LEONARD ROTH (deU'Im~erial College, Londra)

Sulla varieth di Picard e le sue applicazioni (Conferenza e lezioni tenure •ei giorni 15, 16, 17, 18, 20 aprile 1969) (*)

PREFAZIONE Queste lezioni sono state tenure presso l'Istituto Matematieo dell'Universits di Milano durante il mese di aprile 1959, in onoranza al prof. 0. CHISINI. I1 loro tema centrale - - come del resto era appropriato - - ~ stato suggerito da una teoria alia quale il prof. C H I S I N I ha recato importanti contributi, e precisamente lo studio dal punto di vista geometrico delle funzioni ellittiche. 0ra sta di fatto che l'estensione di t u t t a quella teoria, per quanto concerne i concetti principali, pressoch~ immediata: basterebbe paragonare la seguente Introduzione, che riassume brevemente i risultati elementari nella teoria delle funzioni ellittiche, col primo capitolo, per comprendere bene la stretta analogia t r a i l caso generale e quello particolare. Ke consegue che l'interesse di questi studi risiede piuttosto nella fase secondaria in cui si cerca di sfruttare le nozioni generali cosi facilmente acquisite. E a questo punto nascono dei problemi notevoli molti dei quail attendono ancora una soluzione anche parziale. I1 presente lavoro ~ diviso in cinque capitoli. Anzitutto esponiamo le proprieth essenziali delle varieth di Picard, ossia le variets abeliane di rango uno, rimandando per le relative dimostrazioni al t r a t t a t o postumo [18] di CO~FORTO. Poi passiamo nel cap. I I al primo gruppo di applicazioni: lo studio e la classificazione (in grande) delle variets abeliane di tango maggiore di uno. I1 terzo capitolo ~ dedicato alle variet~ pseudo-abeliane, e cio~ le variets algebriche dotate di gruppi continui di automorfismi le cui traiettorie siano variets di Picard. (*) Pervenute in tipografia il 23-6-1959.

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SULLA V A R I E T ~ DI PICARD E LE S U E APPLICAZI01(I

Fin qui abbiamo fissato l'attenzione su certe categorie di variets il cui studio non richiede quei metodi genera]i che formano l'argomento del cap. IV; tall metodi si prestano a qualsiasi variets algebrica di irregolarits (superficiale) q ~ 0 che non contenga qualche congruenza di sottovariets di irregolarits q. Per dare un quadro abbastanza completo della teoria abbiamo dovuto riportare qualche risultato che gi~ si trova dimostrato nei libri di testo (in particolare, nei volumi [81-2] di SEVERI); per5 tale genere di citazione ~ ridotto al minimo. Nel quinto capitolo diamo uno sguardo rapido al metodo di A~DREOTTI di classificare le variet~ irregolari nominate sopra. Infine, seguendo la via tracciata in recenti ricerche, mostriamo come il concerto di irregolaritk superficiale possa ricevere una larga estensione che ci permette - - tramite la tecnica del calcolo esterno delle forme differenziali - - di generalizzare vari dei risultati gis conseguiti. Per concludere ringrazio sentitamente le Autoritk accademiche milanesi, e in particolare il prof. L. AMERIO, per il gentile invito a tenere questo corso di lezioni, il quale mi ha offerto la possibilitk di rendere omagaio all'eminente matematico la cui opera, caratterizzata com'~ da una luminosa visione geometrica, ~ testimone eloquente delia forza e dello splendore della gloriosa scaola italiana. LEONARD I~OTH

Londra, giugno 1959.

SIJLLA VARIET~k DI PICARD E LE SUE APPLICAZIONI

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INTRODUZIONE ]~ un fatto molto notevole che grari parte degli argomenti di queste lezioni, insieme ai metodi che verranno qui impiegati, ~ ispirata dalla elassiea teoria delle funzioni ellittiehe e la sua interpretazione geometriea. I1 materiale sperimentale, gis ampio ed estremamente suggestivo anche in questo caso relativamente semplice, pub riassumersi sotto sette aspetti diversi che or ora passeremo rapidamente in rivista. (1) I1 punto di partenza g il concerto di funzione/(u) d'una variabile complessa u, meromorfa al finito e dotata di due periodi %, % tall che t(u + m % + %) = / ( u ) , ove ~n e n sono interi qualsiasi. I numeri % e c% sono in generale complessi ma in ogni caso il loro rapporto non pub essere reale. D i l i nasce subito la costruzione d'una regione fondamentale (e precisamente un parallelogramma) basata sui periodi primitivi, la quale rispecehia il comportamento d i / ( u ) in tutto il piano della variabile u. Un primo risultato d'importanza capitale ~ che/(u) pub venir costruita per mezzo delle funzioni intere, le cosiddette/unzioni theta (n. 2); difatti, ogni funzione ellittica ~ esprimibile quale quoziente di due funzioni theta opportunamente scelte. Un secondo risultato 6 questo: tra ogni coppia /, /1 di funzioni ellittiehe associate alla stessa eoppia di periodi (primitivi o no) passa una relazione algebriea; eio6 esiste una identit~ della forma P(/, J1) = O, ove P denota un polinomio a eoeffieienti eostanti. E nello stesso ordine di idee abbiamo ehe: ogni /unzione ellittica ammette un teorema algebrico di addizione, ossia esiste un polinomio P, a eoeffieienti eostanti, tale ehe P ( / ( u ) , / ( v ) , / ( u + v) ) = O.

(2) Dall'aspetto funzionale si passa a quello geometrico tramite la relazione P(/, f~) = 0. Difatti, ponendo x -- /, y = ]1, otteniamo l'equazione di una curva piana, detta ellittica, le cui proprietk sono 8eminario

M a t . e Fla. d i M i l a n o

- vol. X X X

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LEONARD ROTH

conseguenze della teoria sopra delineata. Anzitutto, la geometria proiettiva delle curve ellittiche viene svolta prendendo il modello particolarmente semplice offerto dalla funzione p(u) di Weierstrass: colle posizioni x = p(u), y = pr(u), si ottiene la curva (1)

y2 = 4x 3 __ g2x __ g:,

(g~, g:, costanti)

]a quale ~ una cubica piana non singolare. Da questo punto di vista CHISINT ha sviluppato in maniera elegante gran parte della teoria

([13, 25]). g$

*

*

(3) Partendo invece dal tipo normale di JACOBI, e cio~ ponendo x ---- sn u, y ----cn u, otteniamo la quartica piana rappresentata dall'equazione (2)

y" ---- (1 - - x ~) (l - - ]c2 x '~)

(It costante)

Quindi sorge la domanda: quale rapporto esiste tra le curve (1) e (2)? E con tale domanda si passa dalla geometria proiettiva a quella birazionale, e cio6 allo studio di quelle propriets che rimangano invarianti di fronte alle trasformazioni algebriche biunivoche. E non solamente per quanto riguarda le curve piane; la geometria birazionale comprende ugualmente dei modelli iperspaziali, ad esempio - - nel caso attuale - la quartica sghemba, intersezione completa di due quadriche di S3. Ora, strumento essenziale di tale studio 6 la serie lineare di gruppi di punti, segata sulla curva in parola dalle forme di un dato ordine dello spazio ambiente; ebbene, avviene che, nel caso ellittico, tutte queste serie possono venir definite mediante le ]unzioni theta (n. 2). Ad ogni curva algebrica C non razionale viene associata una serie lineare effettiva, detta serie canonica, la quale risulta covariante birazionale di C; la dimensione di tale serie, aumentata dall'unith, ~ il genere di C. Ora nel caso della curva ellittica la serie canonica ~ la serie lineare nu]]a, e quindi il genere ~ uguale ad uno. E quest'ultima propriet~ serve a caratterizzare la curva.

(4) Ogni curva razionale, essendo birazionalmente equivalente ad una retta, a m m e t t e un gruppo continuo, a tre parametri0 di automorfismi, ossia trasformazioni birazionali in s~. Che la curva ellittica goda

SULLA V A R I E T ~ D I PICARD E LE S U E A P P L I C A Z I O N I

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di una propriet5~ analoga ~ conseguenza i m m e d i a t a del teorema di addizione. Riferendosi alla cubica C r a p p r e s e n t a t a dalla (1) e quindi alia funzione p(u), osserviamo a n z i t u t t o che in tal caso il teorema prende la forma 2

(3)

p(u + v) + p(u) + p(v) -

1 4

t p'(u)--p'(v) t t p(u)--p(v) I

P e r t a n t o la funzione p(u + v), ed anche la sua derivata p'(u § v), sono esprimibili in flmzioni razionali delle coordinate dei p u n t i di C relativi ai parametri u e v. Ne consegue che le equazioni (4)

(5)

u' = u + c

u' = - - u + c ,

ore c 6 costante arbitraria, definiscono due automorfismi, detti rispett i v a m e n t e di prima e di seconda specie. E v i d e n t e m e n t e l'insieme delle trasformazioni (4) forma un g r u p p o G1 continuo ad un p a r a m e t r o che c o m p l e t a m e n t e e semplicemente transitivo su C. A1 contrario l'insieme delle (5) costituisce una schiera continua non formante gruppo. Si pub dimostrare che ogni curva algebrica dotata del gruppo G1 ~ necessariamente ellittica. Osserviamo a questo riguardo che ogni sottogruppo del gruppo di automorfismi della curva razionale possiede dei p u n t i fissi e quindi non pub essere c o m p l e t a m e n t e transitivo. Le trasformazioni definite dalle (4) e (5) chiamansi ordinarie, in q u a n t o la curva ellittica generale non a m m e t t e altri automorfismi che questi. Per6 per valori particolari delle costanti g2 e g~ ossia del modulo della curva - - che nella (2) compare esplicitamente quale costante k --- possono nascere delle tras]ormazioni singolari. Dal p u n t o di vista funzionale avviene allora che, nel caso della funzione di WEIERSTRASS, ]a p(Xu), ove X 6 una certa costante complessa, 6 esprimibile razion a l m e n t e in funzione di p(u) e p'(u); ~ chiamasi moltiplicatore della relativa trasformazione.

(5) F i n qui abbiamo t r a t t a t o sempre di trasformazioni birazionali tra curve. Ma c'~ un aspetto i m p o r t a n t e della presente teoria che c o n t e m p l a delle corrispondenze multiple tra curve ellittiche o - - che la stessa cosa - - delle involuzioni ellittiche sopra una curva ellittica C. Consideriamo ad esempio il caso particolare della (4) in cui a b b i a m o

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LEONARD ROTH

nc ~ 0 (mod. %, c%) e con n intero positivo > 1: tale trasformazione genera su C u n a involuzione I di ordine n la cui immagine g una curva

ellittica C' in corrispondenza (1, n) con C; e siecome l'involuzione ovviamente senza punti uniti, la corrispondenza risulta priva di punti di diramazione. E quest'ultimo fenomeno si verifica anche nel caso pid generale d'una corrispondenza (1, n) tra due curve ellittiche. Ora sorge la domanda: nel caso generale, quale sar~ la natura della rappresentazione analitica di C sopra una curva n-pla ellittica CI? La risposta fornita da un teorema di CHISlm [ l l ] secondo cui la relativa involuzione I~ g generabile mediante un gruppo di ordine n di trasformazioni di prima specie di C, il quale ~ ciclico oppure abeliano a base due (n. 9); ne discende c h e s e C' g rappresentata dalla cubica piana ](x, y ) = 0, la rappresentazione richiesta si ottiene aggiungendo al campo di razionalit~ {z, y , / ( x , y) } uno oppure due radicali convenientemente scelti.

(6) Passando ora al lato trascendente-topologieo, prendiamo la regione fondamentale per la funzione p(u) ed identifiehiamo i punti eongrui (rood. %, c%) del contorno. Otteniamo eosl un toro ehe ~ appunto la riemanniana R della eurva C; e su R vi ~ un integrale abeliano di prima specie, ed uno solo, rappresentato dal parametro u associato alla eurva (1): preeisamente abbiamo 9

dx y

(7) Abbiamo gis osservato the ogni funzione ellittica ammette un teorema algebrico di addizione. Notiamo ora, con WEIERSTRASS, ehe tale risultato potrebbe servire come punto di partenza per tutta la teoria preeedente; invero possiamo dimostrare ehe tutte e sole l e / u n zioni meromor]e le quali ammettano un teorema algebrico di addizione sono le /unzioni ellittiche e i loro casi degeneri (tunzioni esponenziali o razionali). Per uno sviluppo della teoria da questo punto di vista ri-

mandiamo il lettore at trattato [34] di I{A~-COCK. I1 eontenuto geometrieo del risultato, ehe pifi ei interessa, pu6 riassumersi come segue: una curva algebrica che ammetta un gruppo continuo G1 di automorfismi ~ ellittica o razionale a seconda che G 1 ri-

SULLA VARIET~t DI PICARD E LE SUE APPLICAZI01~I

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sulta completamente o generalmente transitivo sulla curva. Notiamo a questo riguardo che le trasformazioni singolari - - ove esistano - - di una curva ellittica non f o r m a n o mai un g r u p p o continuo, sicch~ n o n costituiscono una eccezione al teorema.

Abbiamo cosl esposto s o m m a r i a m e n t e i vari argomenti nella teoria delle funzioni di u n a variabile complessa che ci indicheranno la via da seguire nel caso generale. N'ostro compito nel seguito sar~ quello di estendere questo complesso di nozioni e di risultati - - sempre nel dominio della geometria algebrica classica (1) __ alle varieth algebriche di dimensione qualunque. E v e d r e m o che, m e n t r e da una parte talune generalizzazioni vengono effettuate con u n a semplicit~ del t u t t o inattesa, da un'altra nascono dei problemi difficili molti dei quali a t t e n dono ancora una soluzione completa.

(1) P e r i risultati conseguiti nel c a m p o della geometria algebrica a s t r a t t a , vedi la m o n o grafia [6] di BALDASS~RI,

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LEO~ARD ROT~

w 1. LA VARIETA DI PICARD. 1. F u n z i o n i abeliane e matrici di R i e m a n n . - - In questo capitolo esponiamo i risultati preliminari cui dovremo ricorrere nelle applicazioni che formano gli argomenti dei capitoli successivi; per le relative dimostrazioni il lettore potrs consultare i trattati di CONFORTO [18] e di SEVERI [77]. I1 primo concetto fondamentale ~ quello di periodo simuItaneo che si definisce come segue. Sia/(u,, u~, ..., u , ) una funzione analitica a p ( > 1) variabili complesse ui; se esistono p costanti (%, co,_,, ..., cop), non tutte nulle tali che sia (1)

/ ( u 1 + % , u., + % ,

...,

u, + r

=

/(ul, u.,, ..., u p ) ,

diremo c h e / a m m e t t e il sistema (col, co.,, ..., cop) di periodi simultanei: con la premessa che qualora u,, ad esempio, venga a u m e n t a t a da c%, ur viene sempre a u m e n t a t a da coi ( i : 2, 3, ..., p). I n t r o d u c e n d o i pvettori u = (u,, u.,, ..., u p ) ,

,o = ( % , co.,, ..., ~ ) ,

possiamo scrivere la (1) sotto la forma

/(u + ,o) = t(u). E diremo che to 6 un periodo d i / ( u ) . Una ftmzione /(u ), meromorfa ovunque al finito, chiamasi/unzione abeliana di genere p se dipende effettivamente dalle p variabili u~ e se

a m m e t t e un sistema di 2p periodi linearmente indipendenti; un tale sistema di periodi 6 rappresentato dalla matrice

((dll" 0112~"'') 011)2p) (~)

~

=

.

........

O')p, 1) O')p, 2)

...)

O)p,2p

a p righe e 2p colonne. I periodi chiamansi primitivi se ogni altro periodo di / si pub ottenere da essi mediante una combinazione lineare a coefficienti interi non t u t t i nulli. Una matrice a p righe e a 2p colonne di elementi reali o complessi, a t t a a rappresentare il sistema di periodi d'una funzione abeliana, chia-

SULKA

VARIET~k

DI

PICARD

E

LE

SUE

APPLICAZIO~'I

311

masi matrice di Riemann. Sussiste il seguente teorema: u n a matrice o~ della ]orma (2) ~ u n a matrice di R i e m a n n se, e soltanto se, (i) esiste una matrice P emisimmetrica, a 2p righe e 2p colonne, di elementi tutti interi, tale che sia r P-~ co~ -- 0; (ii) la matrice hermitiana i ~ P-~ oJ risulta positiva definita. (Qui co~ denota la trasposta di o)). La matrice P, detta principale, in generale unica. Lo studio delle matrici di RIEMANN, che ~ opera di SCORZA [60, 62], conduce ad interessanti questioni di algebra ed anche di aritmetica. Qui osserviamo solamente che ogni matrice di RIEMANN pub venir ridotta alla ]orma normale

(3)

~o =

. . . . . . . . . . . . .

,!

0 ...

~

a~,~ . . . at,~, P

ove ars = a~,, e i caratteri 31, 3.,, ..., ~p, detti i divisori di ~). sono interi positivi tall che ciascuno divide il successore. 2. Varietg~ abeliane: varietd di Picard. - - Da un sistema di periodi primitivi, possiamo sempre costruire una regione U.,, ]ondamentale i cui punti interni sono tutti incongrui (mod. i periodi) e tale che il comportamento in U2p di qualsiasi funzione abeliana associata al sistema rispecchia il suo comportamento in tutto lo spazio lineare Sp delle variabili u i : U2p ~ o w i a m e n t e un parallelepipedo a 2p dimensioni (reali). Chiamiamo varietd abeliana ogni variets Wp irriducibile p-dimensionale ehe a m m e t t a una rappresentazione parametrica mediante fanzioni abeliane appartenenti ad una data matriee r il rango p di W~, il numero di punti di U2p eorrispondenti al punto generico di W,,. In particolare, Wp chiamasi varietlt di Picard se, e soltanto se, ~ = 1. (Qui si presenta il primo contrasto con la teoria delle funzioni ellitfiche, in quanto ogni eurva ellittiea ha rango uno). Si pub dimostrare the ogni W , ~ algebrica (2). (z) Dffatti, t r a p -}- 1 funzioni abeliane appartenenti alia stessa matrice intercede sempre una relazione algebrica (cfr. l'Introduzione).

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LEONARD ROTH

La definizione del tango p, che si riferisce al punto generico, non esclude affatto la possibilits di elementi eccezionali nella corrispondenza tra Wp e U2p; e tali eccezioni si presenteranno certamente nel caso di un modello proiettivo di Wp dotato di punti singolari non ordinari. 0ra in tutto il seguito ha grande importanza il teorema: ~ sempre possibile costruire, per ogni variet5 di Picard, un modello proiettivo non singolare tale che i suoi punti siano in corrispondenza biunivoca, senza eccezioni, coi punti della regione ]ondamentale U~p. La prima dimostrazione rigorosa di questo risultato, dovuta a SIEGEL, poggia stflle propriet~ delle ]unzioni theta, che ora definiremo. Consideriamo la matrice o~ sempre nella forma normale (3); allora una funzione theta appartenente a o~ ~ una trascendente intera 0(u) la quale, a meno di un fattore costante, soddisfi alle equazioni funzionali:

1 o u,

+

...,

=0(u)

(4) i

(h= 0(u + ah) ---- exp [-- 2 nuh - - nahh] 0(u)

1, 2, 9.., p)

Qui a h rappresenta il p-vettore (a~h, a.,.h, ..., aph) e i l numero n un intero positivo, detto l'ordine di 0(u). Anzitutto ~ chiaro che il rapporto di due funzioni theta dello stesso ordine ~ sempre una funzione abeliana; allora, prendendo r § 1 funzioni 0, (u) (i = 0, 1, ..., r) linearmente indipendenti dello stesso ordine n, si vede che le equazioni parametriche

(5)

x0 : x 1 : ... x

=

Oo(u)

: O

(u) : ... O ( u )

rappresentano un modello proiettivo, situato in uno spazio St, d'una variets abeliana e per di pifl che tale variet~ ha rango uno. 0ra SIEGEL ha dimostrato che, con una scelta conveniente dei humeri n e r, il modello proiettivo gode delle propriets richieste. Tale variets che denoteremo con V., sara sempre intesa nel seguito. Proiettando V~ genericamente su Sp+1, possiamo ottenere, ove occorra, un altro modello della variets di PICARD, e precisamente una ipersuperficie o ]orma di Sp+1 dotata di sole singolarits ordinarie. ]~ conseguenza immediata delle cdse dette che tutte le variet5 di Picard appartenenti alla stessa matrice sono birazionalmente equivalenti. In base alla forma normale di co possiamo asserire che la Vp generale dipende da precisamente p(p § 1)/2 moduli. Avremo poi occasione di considerate delle Vp particolari, tra cui la variets Jp di JACOBI,

SULLA VARIET~ DI PICARD E LE SUE APPLICAZIONI

313

ehe rappresenta tutti i gruppi di p punti d'una curva algebrica di genere p(>_ 2). Evidentemente Jp dipende da soli 3~o - - 3 moduli, siechg per p > 2, essa risulta particoIare; ma per ora il problema di precisare tale grado di particolaritg rimane sempre insoluto. (Per uno studio geometrico della varietg J~ rimandiamo il lettore al lavoro [14] di CHISINI). Un secondo contrasto fra la curva ellittica e la V~ (p _> 2) sta nel ratio che in quest'ultimo caso non conosciamo nessun modello proiettivo facilmente dominabile che potesse venir sfruttato per stabilire geometricamente una parte almeno delle proprietg di Vp. E quindi passiamo senz'altro alia geometria birazionale della varietg di PICARD.

3. La geometria sopra Vp. - - Lo studio delle propriets birazionali di Vp ~ facilitato dal fatto che le variabili u i costituiscono non solo delle coordinate locali ma anche delle coordinate universali su Vp. Probabilmente l'esempio fornito da Vp ha indotto i geometri ad impiegare, nello studio delle varietg algebriche in generale, delle coordinate locali, ottenendo dei risultati notevoli che descriveremo pifi tardi

(n. 5). Su ogni variets algebrica non singolare Wp (p ~ 1) vi ~ luogo a considerate ire tipi di equivalenza: quella lineare, quella algebrica e quella razionale. E su Vp in particolare i primi due assumono delle forme notevolmente semplici. (i) Nello svolgimento di questa teoria, le varieth di cui parliamo possono essere effettive o virtuali. Ma siccome avremo sempre da fare con ipersuperficie effettive, ci limiteremo a questo caso. Data una ipersuperfieie A irriducibile di V~, possiamo subito specificare l'unico sistema [A I, lineare e completo, da essa definito. Difatti sussiste il teorema (di APPELL-~-~UMBERT):l'ipersuperficie A ~ sempre rappresentabiIe mediante una sola equazione 0(u) = 0, insieme colle equazioni parametriche (5). Per di pifl, l'insieme delle funzioni 0(u) di un dato ordine forma un sistema lineare nel senso che esso sega un sistema I A I su Vp; e risulta da un computo di costanti che tutte le ipersuperficie A di V, si distribuiscono in sistemi lineari di dimensioni ~ 1 , ore 8 --

(ma~) p (m = 1, 2, ...) aI 8 2 ... 8p Osserviamo ora the, assoeiato ad ogni A esiste notoriamente un sistema lineare ]A' I, detto aggiunto a A, il quale sega A secondo va-

314

LEOgARD ROTH

riets appartenenti al suo sistema lineare canonico (effettivo o virtuale). 0rbene, nel caso attuale si ha che A ' ~ lineavmente equivalente a A; questa una conseguenza del fatto (n. 17) che l'ipersuperficie canonica di Vp ~ la variet~ nulla dell'equivalenza lineare. (ii) I1 concetto di equivaIenza algebrica (per cui vedi [78]) ~ nato spontaneamente dal seguente fenomeno: su certe variets algebriche dette superficialmente irregolavi - - esistono dei sistemi continui (A } di ipersuperficie A composti con dei sistemi lineari che sono linearmente diseqaivalenti tra loro. Rimandando al w 4 per altri ragguagli in merito, per ora osserviamo solamente che, per quanto concerne Vj,, la teoria-dei suoi sistemi continui pub riassumersi nel teorema: tutti i sistemi continui completi (3) (A } contenuti in Vp hanno la stessa dimensione p, e sono rappresentabili analiticamente clalle funzioni 0(u + c), ove c denota u n p-vettore costante. -

-

(iii) La nozione di equivalenza razionale - per cui vedi [74, 78] serve a creare per le sottovariet~ di Wpdi dimensione minore d i p - - 1, una teoria analoga a quella dell'equivalenza lineare. Invece di sistemi lineari, abbiamo da considerare dei sistemi razionali (birazionali od unirazionali) di variets Vk (k = 0, 1, ..., p - 2); e diciamo che due variets At, B~ sono razionahnente equivalenti se esiste una terza variets C~ tale che A k + C~, B~ + C~ appartengano ad un medesimo sistema razionale. In tale caso scriviamo A k -~-B~, adoperando cio~ il simbolo dell'equivalenza lineare.

Va notato che l'equivalenza algebrica pub definirsi in modo del tutto analogo; qui si tratta sempre di ipersuperficie A, B, C ed il concetto di sistema razionale viene sostituito da quello di sistema algebrico. Abbiamo gih parlato della ipersuperficie canonica d'una varieth p-dimensionale; tall ipersuperficie formano un sistema lineare, che denotiamo con 1Xp_~ [, il quale risulta invariante di fronte alle trasformazioni birazionali della variet'~. 0ra la nozione di equivalenza razionale ci permette di definire p --- 1 sistemi razionali (X, } (k ---- 0, l, ..., p - - 2), tutti relativamente invarianti, che chiamansi sistemi canonici k-dimensionali. E dimostreremo pifl tardi (n. 18) che per una Vp, tutte le varieth X k (k = O, 1, ..., p - - 1) sono effettive e nulle. SEV-ERI ha congetturato che tale proprieth possa servire a caratterizzare la variet'~ di PICARD; m a la questione 6 sempre aperta. (8) U n sistema continuo {A} dicesi completo se non ~ contenuto in un sistema piiJ ampio di ipersuperficie dello stesso ordine di A.

SULLA VARIET~k DI PICARD E LE SUE APPLICAZIONI

315

4. Sulle variet~t gruppali. - - Avremo occasione di considerate vatie specie di variets algebriche le quali siano dotate di gruppi abeliane continui di automorfismi; le chiameremo varieth gruppali (vedi [58]). Tra esse V~ occupa un posto privilegiato sia per la semplicits dei risu|tati conseguiti in questo caso, sia per il fatto che il resto della teoria poggia sullo studio preliminare di V,. Riferendosi alla corrispondenza tra V, e U,_,p, si vede subito che Vp ammette sempre due tipi di automorfismi, rappresentati rispettivamente dalle equazioni (mod. ~o) (6)

u I ~

u

+

c

(7)

u'-------u +c.

Evidentemente l'insieme delle trasformazioni (6), dette di prima specie, costituisce un gruppo abeliano continuo G~ che risulta completamente e semplicemente transitivo su V#. Invece ogni trasformazione (7), detta di seconda specie, ~ involutoria, e l'insieme di tali trasformazioni costituisce una schiera c~p continua. Ambedue chiamansi tras]ormazioni ordinarie; e la VI, a moduli genera.li non ammette a|tri automorfismi che questi. Vedremo in seguito che in casi particolari Vp pub ammettere altri tipi di automorfismi, detti tras]ormazioni singolari; perb queste non formano mai gruppi continui. Possiamo dimostrare che il fatto di possedere il gruppo G, caratterizza V,; precisamente, ogni varietd algebrica non singolare a p dimensioni, la quale possegga un gruppo continuo c~p, abeliano e completamente transitivo, di automorfismi, @una varietd V~, di Picard. Ne consegue che il ~ u p p o in parola ~ costituito da trasformazioni di prima specie e che risulta anche semplicemente transitivo sulla variets Facciamo ora qualche osservazione sul gruppo G~ che ci sars utile pifl tardi. In generale G, non possiede nessun sottogruppo invariante; ma pub darsi che contenga un tale gruppo Gq (1 ~ q _~ p - - 1), ed allora le traiettorie di Gq, in base al teorema, sono variets V~ di PICARD, che formano una congruenza (sistema algebrico di indice uno) su Vp. E discende subito, da considerazioni trascendenti (n. 26) che Gp contiene pure un secondo sottooTuppo invariante G,_q le cui traiettorie costituiscono una congruenza di Vp_q di PICARD. Una Vx, dotata di un tale gruppo G dicesi speciale di tipo q (oppure p - - q). Passiamo ora a considerare una variet'~ W, (p => 1) dotata di un gruppo continuo ~P abeliano che sia solamente generalmente transitivo su W~; tale ipotesi implica l'esistenza di una o pill variet~ di W, che

~10

LEONARD ROTH

risultino invarianti pe] gruppo. Lo studio delle varieth W, si inizia con la ricerca [47] di PAINLEV~ sulle funzioni meromorfe d i p variabili complesse che a m m e t t a n o un teorema algebrico di addizione; tale ricerca ~ invero limitata al caso p = 2, ma l'autore osserva che i risultati da lui ottenuti si estendono subito al caso p ~ 2. I n definitiva, le funzioni di cui si t r a t t a sono o funzioni abeliane di genere p oppure casi degeneri di esse, e cio~ funzioni dotate di meno di 2p periodi, comprese le funzioni razionali. Secondo la terminologia di SEVERI [77], a cui devesi l'applicazione geometrica di tale teoria, quelle funzioni chiamansi quasi-abeliane. I risultati di PAINLEVI~ e di SEVERI (4) s o n o ottenuti poggiando sulla teoria degli integrali semplici attaccati a W, (n. 5), e possono riassumersi nel seguente, teorema: ogni variet5 quasi-abeliana Wp di it: regolarit5 superficiale q (0 ~ q ~ p - 1) ~ birazionalmente equivalente al prodotto di uno spazio lineare di dimensione p - - q ed una varieth di Picard Vq. La restrizione q ~ p - - 1 ~ dovuta al fatto che se fosse q = p, ne conseguirebbe the Wp sarebbe una variets di PICARD e il gruppo sarebbe completamente transitivo su Wp.

5. Forme differenziali e ]orme tensoriali. La classica teoria (5) degli integrali attacca~i ad una superficie algebrica, svolta da PICARD per primo ([48]), ~ stata - - molto probabilmente - - ispirata dall'esempio fornito dalla superficie che oggi porta il suo nome. L'estensione di quella teoria alle varieth di dimensione qualunque, che ora vogliamo abbozzare, pub essere espressa col tinguaggio degti integrali oppure con quello delle forme differenziali; per5 a noi converrh adoperare sia l'uno sia l'altro. Per una trattazione esauriente della teoria il lettore potrs consultare il volume [66] di B. SEGRE. Sia W, una forma di S~+1, a singolarits ordinarie, rappresentata dall'equazione/(xl, x~, ..., xp+1) -- O, ore xl, x2, ..., x.§ sono coordinate non omogenee. E sia (8)

~ ~- E A,: 1 i2 "'" i~ (xl, x2, ..., xp+l) d x i l dxi2 ... d x i k

una forma differenziale esterna di grado/~ (1 _~ ]c _< p) attaccata a Wp. Dieiamo con KAHLER [36] che ~ ~ di prima specie quando parametrizzato regolarmente l'intorno di un punto qualunque P di W, (al finito o all'infinito) la forma trasformata di ~ ha in P coefficienti olomorfi. (4) L'esposizione di S]~V~RI ~ soggetta ad una ipotesi di lavoro che poi risulta superflua (vedi [58]). (~) Per uno studio geometrico dell'analoga teoria per le curve, vedi []2], [14], [15], [26].

SULLA VARIETk DI PICARD E LE SUE APPLICAZIONI

317

Volendo calcolare ~ per mezzo dei parametri locali % (i = 1, 2, ..., p) dobbiamo sostituire la (8) con l'espressione (9) 9 = 2 A~ ~.... ~ (u,, u.,, -

"'"

%) ~ (x,, u,_ x~.,., . . . ...., , %x:~) )

du,

... du

.

Possiamo dimostrare ehe ogni /orma differenziale di prima specie integrabile ([36]); in base a questo risultato possiamo considerare o forme differenziali oppure integrali di prima specie indifferentemente. Denotiamo con gk (k = 1,2, ..., p) il numero delle forme differenziali di grado k e di prima specie tra loro linearmente indipendenti; b chiaro che g~ risulta un invariante assoluto di fronte alle trasformazioni birazionali di Wp che mutino W~, in una forma dotata di sole singolarit~ ordinarie r Di tall invarianti due sono specialmente importanti: ti) il numero g~ (generalmente denotato con q) ~ l'irregolarit5 superficiale o bidimensionale di W,. Wp dicesi superficialmente regolare se, e soltanto se, gl = 0.

(ii) I1 carattere gp ~ quello che nella geometria algebrica classica viene chiamato genere geometrico P~ di W,. Per stabilire l'equivalenza delle due definizioni basta osservare c h e l a funzione A c h e compare nella forma A dx~ dx ..... dx, dev'essere esprimibile quale quoziente P (x~, x.,_, ..., x,+~) / - - - ,

5Xp+l

ore P denota un polinomio di grado n - - p - - 2 (essendo n i l grado di ]) e l'equazione P = 0 rappresenta una forma aggiunta a Wp e clog una varieth passante semplicemente per la varieth doppia di W,, doppiamente per la sun varieth tripla, e cosl via. D'altra parte, ricordiamo che una variets canonica X,_~ di Wp viene definita dall'equivalenza Xp_~ ~ A ' - - A , ove A denota una ipersuperficie di W,; allora prendendo per A una sezione iperpiana ne consegue che A' viene segata su W da una forma aggianta di ordine n p 1. Pertanto il numero gp (o Pg) risulta uguale alla dimensione effetciva, aumentata dall'unith, del sistema I X _ I INel caso in cui tale sistema sia virtuale, abbiamo che P~ = 0. Ma allora pub ben darsi ehe qualehe sistema i-canonico [ i Xp_~ I (con (~) E q u i n d i a n e h e di fronte nile t r a s f o r m a z i o n i birazionMi di u n a variet~ n o n singolare in u n ' a l t r a .

318

LEONARD ROTH

i intero positivo maggiore di uno) riesca effettivo, avente dimensione P~ - - 1; il carattere P~ chiamasi i-genere (o plurigenere di indice i) di Wp. Ora Ks ha osservato che P~ pub venir definito mediante una semplice estensione del concerto su cui ~ basata la nostra definizione di gp; precisamente, P; non ~ altro che il numero delle forme tensoriali di prima specie, (10)

r = A (x, x.,, '

" "'"

x _~) I ~ (x,, x.,, ..., x,) S~ i ~ ( u , , u.,, ..., u ~ ) l

]inearmente indipendenti tra loro. Difatti, la funzione A c h e compare nella (10) dev'essere della forma P (xj, x.2, ..., xp+~) / I

bxp+l

i ore P = 0 rappresenta una forma di ordine i (n - - p - - 2), i-aggiunta a Wp, e cio6 comportandosi come una forma aggiunta contata i volte. 6. Alcune applicazioni. --- Consideriamo ora alcuni casi particolari che ci interesseranno nel seguito. Ed incomineiamo con la variets V, di PICARD. (i) Anzitutto osserviamo che, identificando i punti congrui del contorno della regione fondamentale U2p, otteniumo un toro genera]izzato che ~ la riemanniana R2p di Vp. E per questa ragione che Vp gode deHe propriets topologiche estremamente semplici; e da tale punto di vista ~ stata oggetto di ricerche fondamentali da parte del LEFSCIIETZ [40, 41]. Come abbiamo gih detto, i parametri u i che figurano nelle (5) sono validi ovunque su Vp; ne consegue che i caratteri g~ di Vp hanno i valori g~ = ( ~ ) ( k = 1, 2, ..., p). Difatti, le funzioni \

i2

9 9 9

~

nonchg i determinanti che compaiono helle (9), se non sono costanti, saranno funzioni abeliane ed allora non potranno essere olomorfe dovunque. Risulta che ogni forma differenziale di grado k e di prima specie sopra V, ~ del tipo du 1 du~ ... du~. In particolare, possiamo dire che Vp possiede esattamente p integrali semplici di prima specie e linearmente indipendenti tra loro, i quali denoteremo sempre con u~, u.,, ..., up. E secondariamente, il genere geometrico di Vp ~ uguale ad uno, e la sua ipersuperficie canonica ~ la variet~t nulla dell' equivalenza lineare. Difatti, abbiamo visto che Pg = 1; ora, se la variets Xp_ 1 avesse ordine positivo, tale supposizione sarebbe incompatibile con l'esistenza del gruppo

SULLA

VARI~.T}~

DI P I C A R D

E L~. S U E

APPLICAZIONI

319

completamente transitivo G,. Questo risultato ~ caso particolare del teorema (n. 18): tutte le varieth canoniche X~ (Vp) (k = O, 1, ..., p --- 1) sono effettive e di ordine zero. (ii) Consideriamo ora una variets Wp prodotto di due variets Wq, Wp_q, ambedue non singolari; scriviamo W , = Wq • W~_q, e suppomamo che Wp sia o non singo]are oppure che sia una forma dotata di sole singolarits ordinarie. Allora si dimostra facilmente che k

( w p ) = x .q i=0

ore ~ inteso che i simboli privi di significato vengono omessi, e ore go (W.,) = go (IVy_q) = 1. Per il caso particolare del prodotto di due curve, cfr. [81]. (iii) Un altro esempio istruttivo b fornito dalle variet~ unirazionali. Supponiamo che W, sia una variet'X la quale a m m e t t a una rappresentazione parametrica del tipo x~ = R~ (u~, u v ..., %) (i = l, 2, ..., p + 1), ore le R~ sono funzioni razionali. In questo caso si vede subito che W, non pus ammettere nessuna forma differenziale di prima specie; quindi abbiamo che g, = 0 (k = 1. 2, ..., p). Pertanto, ogni varietfi unirazionale ~ superficialmente regolare ed a genere geometrico zero.

w 2. LE VARIET'~ ABELIANE 7. Sulle tras]ormazioni razionali d'~tna varlet& - - In questo eapitolo vogliamo applicare i precedenti risultati allo studio delle involuzioni appartenenti ad una varieth Vp di PICARD. A tale uopo osserviamo dapprima che, data una involuzione I di gruppi d i n punti sopra V,, la sua immagine ~ una varieth Wp i cui punti sono in corrispondenza (1, n) con quelli di V~,; in altri termini W, ~ una tras]ormata razionale T di Vp. Incominciamo quindi con qualche richiamo circa le trasformazioni razionali. Consideriamo due varietk Wp, IVy' non singolari poste in corrispondenza T ad indici (n, 1); cio~ simbolicamente T (Wp) = Wp'. In tale corrispondenza c'~ una variet~ C, eventualmente vuota od impura, luogo delle coincidenze dell'involuzione I su W,; e ciascuna componente di C va contata con la debita molteplicith. In virtfi dell'ipotesi della non singolarit~ di W e W,', sappiamo che i sistemi canonici I Xp_~ ], I Xp_~' ] - - effettivi o virtua.li che siano - - risultano ben deftniti; e eosl anche i relativi sistemi plurieanoniei di ogni indiee. Per5,

320

LEONARD ROTH

per effetto della corrispondenza T, tali sistemi possono risultare impurl, e cio~ dotati di componenti eccezionali, omologhe ad elementi fondamentali. Supponiamo in primo luogo che su W,' non esistano elementi fondamentali; allora, poggiando sulla definizione di Xp_ 1 mediante il concerto di ipersuperficie jacobiana (n. 17) possiamo dimostrare che la tras/ormata T (Xrp_~) di X1p_l, sommata alla varietd delle coincidenze, dd una varietd Xp_~. ([24]). Nel caso in cui esistano elementi fondamentall, le ipersuperficie corrispondenti ad essi devono essere sommate alla variets C. Per trovare la trasformata del sistema i-canonico di Wpr basra prendere il multiplo secondo i del risultato precedente. I1 contenuto numerico di questo teorema ~ caso particolare del seguente: LEMMA. I caratteri g~ di Wp e Wp' soddis/ano sempre alle disuguaglianze g~ (W~') < g~ (W~). (k = I, 2, ..., p) La dimostrazione ~ immediata; basra osservare che con una trasformazione razionale il numero g~ delle forme differenziali di prima specie non pus aumentare. Di questo risultato faremo grande uso nel seguito. Nel caso k = 1 possiamo ottenere le relazioni che intercedono tra gli integrali semplici di prima specie di Wp e Wp', seguendo il metodo introdotto da HURWITZ nel problema delle corrispondenze tra curve algebriche (cfr. [18, 42]). Supponiamo, per semplicits di discorso, che Wp e Wp' abbiano la stessa irregolarith superficiale q ( = gl) e denotiamo rispettivamente con u~, u~I (i = 1, 2, ..., q) i relativi integrali di prima specie attaccati alle due varieth. Allora sussistono le congruenze (modulo i periodi). q

(1)

u,' ~ Z k~h uh -~- c~

(i = 1, 2, ..., q)

h=l

ove le x e le c sono costanti. U n caso particolarmente importante delle (1) e quello in cui W,' coincida con Wp; allora si tratta d'una corrispondenza su Wp. Osserviamo che in tale caso, se un punto descrive un ciclo chiuso su W,, in modo che te variabili u~ si incrementino simuitaneamente di r 2p

(r = 1, 2, ..., 2p), le u i' ricevono degli incrementi Z a , co~., ove le a , sono costanti intere o nulle. L'esistenza d'una tale corrispondenza su

SULLA VARIET~k D I PICARD E LE S U E A P P L I C A Z I O N I

321

W, implica dunque le 2 p2 relazioni 2p

(2)

Z z,, %,~ = Z a , r h=I

(i = 1, 2, ..., p;

r -~ 1, 2, ..., 2p)

8=1

Esse chiamansi relazioni di Hurwitz; ed in generale impongono qualche restrizione sulla natura delle variets W, che le ammettano. 8. Le involuzioni picardiane su VT,. D'cra innanzi considereremo sempre delle involuzioni I , sopra una variets Vp di PmARD; ed incominciamo con lo studio delle involuzioni picardiane e ciob il caso in cui la variet~ Wp immagine di I , sia anch'essa una varietk di PICARD. In base alla legge di trasformazione della variets X,_~ (n. 7) b chiaro che in questo caso I,, dev'essere priva di coincidenze, e che Vp viene rappresentata sopra la Wp n-pla senza punti di diramazione. Questo risultato si lascia invertire: difatti ENRIQUES ([24], p. 360) ha dimostrate, tramite considerazioni di continuitY, che ogni variet5 non singolare rappresentabile sopra una variet~ multipla di Picard senza elementi diramanti ~ essa stessa picardiana. La dimostrazione consiste hello stabilire sulla varieth Vp l'esistenza di un gruppo G~ (n. 4) il che - - come sappiamo - - caratterizza la variet~ di PICARD. Un secondo teorema, che ci servir~ pifl tardi, ci permette di passate da una variets di PICARD a divisori (n. 1) ad un'altra a divisori unitari: ogni variet~ Vp a divisori ~h (h = 1, 2, ..., p) e relativa ad una matrice ~ si pud considerate come immagine d'una involuzione di ordine 3~ 32 ... ~ su una variet~ V , ~ relativa ad una matrice con gli stessi moduli ma a divisori unitari. Tale involuzione ~ generabile con un gruppo di ordine 3~ 3., ... ~ di automorfismi di V , costituito da tras]ormazioni di prima specie. Questo teorema, che generalizza un risultato di ENRIQUES e di SEVERI [27], Si dimostra considerando le trasformazioni di prima specie su V, rappresentate dalle equazioni (anzi, congruenze) u ~~ u

i §

(i = 1, 2, ..., p)

ove le n, sono dei numeri interi che possono variare da 0 a ~ 1. ]~ chiaro che l'insieme di queste trasformazioni costituisce un gruppo di ordine ~ ~._,... ~p di automorfismi di Vp; e il passaggio dalla matrice di V, alla corrispondente matrice a divisori unitari ~ immediato. U n terzo teorema, d'importanza capitale, ~ il seguente: la variet& W , immagine d'una involuzione di irregolarit5 superficiale p sopra V @essa stessa una varieth di Picard; e l'involuzione su V , @generabile con un gruppo finito di tras/ormazioni di prima specie. 8r

Mot.

e F~S. db M i l a n o

-

vol. X X X

21

322

L~ONA~D ROTS

I1 risultato ~ dovuto a SEVERI [75], ma la seguente dimostrazione di ANDREOTTI [2] ha il vantaggio di dare la forma esplicita del gruppo che genera l'involuzione. Conservando le solite notazioni per Vp, indichiamo con U~ il sistema di integrali semplici di prima specie di Wp che, per ipotesi, ha irregolarits superficiale p, e con ~ la matrice dei loro periodi. Allora avremo un insieme di relazioni di HURWITZ analoghe alle (2) della forma

(3)

Z Zih r

= E at., ~ .

h=l

a=l

Poich~ il determinante delle 3< ~ diverso da zero, possiamo sostituire 9

g|i inte~ali u i con gli inte~Tali vi= E ~ih u,,, dopodieh~ le equazioni /I,=.

analoghe alle (l) diventano (4)

U i ----- v i + c i

(rood. ~)

denotando con ~ la matrice dei periodi dei nuovi integrali v;; sicch~ 2p (Oir ~- Z ars ~ i , , (i = 1, 2, ..., p; r = 1, 2, ..., 2p) $21

Cambiando il sistema di periodi primitivi di ~ e di ~, possiamo supporre c h e l a matrice (a~) venga moltiplicata a destra e a sinistra per matrici unimodulari, riducendosi cosi alla forma diagonale normale. In tal modo le (3) diventano

(5)

~,=,~

n,

( i = l , 2,...,p;

r=l,2,...,2p)

con le ,, interi positivi e ciascuna divisore del successivo. E ovvio allora che l'involuzione, di ordine n = "1 "2 "- ~2p, su V, ~ generabile dal gruppo di n trasformazioni di prima specie rappresentata da 2p

(6)

v/~--- v, + E ~, o),~/,J

(i ---- 1, 2, ..., p)

r=l

ove le ~ sono numeri interj. Dalle (6) segue l'importante risultato: Vp non pud contenere sistemi eontinui d'involuzioni picardiane neppure sistemi continui di congruenze (necessariamente picardiane anch'esse) di sottovarieth. La prima parte del teorema discende dal fatto che tutti i parametri che figurano helle (6) sono interj. In secondo luogo, se V, contiene qualche c o n ~ u e n z a {Vq } di sottovariets Vq (1 _< q _< p - - 1) e cio~ sistema algebrico, d'indice uno, senza punti base, segue dal n. 4

SULLA YARIET~k D I PICARD E LE SUE APPLIC~IO.N'I

323

che Vq ~ una varieth di PICARD e che {Vq } ~ una congruenza picardiana. Per di pifi, sappiamo che Vp deve contenere una seconda congruenza picardiana {V~_q} di variets V,_q di PICAI~D. 0rbene, {Vq } sega su una Vp_q fissa una involuzione picardiana la quale, in base al primo risultato, non pub appartenere ad un sistema continuo. Quest'ultima conclusione ~' d'accordo colla circostanza, rilevata da Scol~z.a, che il problema di determinare le congruenze di sottovariet~ giacenti su Vp ~ di natura aritmetica. 9. Rappresentazione analitica d'una involuzione picardiana. - Come corollario quasi immediato dell'ultimo teorema abbiamo che il gruppo che genera una involuzione picardiana sopra V~ ~ ciclico oppure abeliano a base ]~ (2 < k _< 2p). Che il gruppo ~ , sia abeliano ~ ovvio; ora dobbiamo determinare la natura della rappresentazione di 9 , quale gruppo di traslazioni nello spazio euclideo reale S2p delle coordinate (xa, xe, ..., xep), ore v~ = x~ § i xp+., (s -- 1, 2, ..., p). Supponiamo per comodits c h e l a matrice co sia della forma (E~/i E ) , ove (E) significa matrice unitaria; allora le (6) diventano

v, ~ - - - v ~ + - -

+

~+~

(s= 1,2,...,p)

e il corrispondente gruppo di traslazioni ~ dato da (7)

x/~-

x, +

~~

(rood. 1)

(s ---- 1, 2, ..., 2p)

ove ciascun intero , ~ divisore del successivo. Se denotiamo con k iI numero d e l l e , che sono maggiori di uno, segue che ~,, pub rappresentarsi quale prodotto diretto di k gruppi ciclici; gli interi , possono venir scelti ad arbitrio, purch~ ciascuno di essi sia divisore del successors. Da questo risultato possiamo ottenere la rappresentazione della involuzione I , generata da 9 , . Consideriamo dapprima l'involuzione ciclica I m generata da un gruppo ciclico ~ , sottogruppo di ~ , ; e supponiamo che W, sia birazionalmente equivalente alla forma di Sp+1 avente l'equazione /(xl, x2, ..., xp+l) = 0; allora I~ ~ rappresentat~ dalle equazioni (8)

ym = g (xl, x:,, ..., x~,+l)

] (x,, x~, ..., x F , ) ~-- O,

ove g denota un polinomio convenientemente scelto; per le condizioni che g deve soddisfare cfr. [25].

324

5~o~aD

~OT~

Denotando con nL, n~, ..., n~ i rispettivi ordini dei gruppi ciclici che formano la base di 9,, (sicchg ogni n, divide n,+~, e n~ n~ ... n~ = n), abbiamo che V ~ rappr nel campo di razionalit5 definito dagli elementi {x, x~_, ..., x~+,, g,'/', g.,'/,,, g '/,~} , ove g~, g.,, ..., sono polinomi convenientemente scelti e / (x~, xe,..., x,+ L) = O. In particolare possiamo rappresentare Vx, mediante le equazioni

(9)

y ~_ g'/,,, 4_ g.,'#,, + . . . Jr g '/,k, / = O.

Questo teorema e le sue conseguenze generalizzano un noto risultato di CHIsI~r concernente le curve ellittiche ([i1], [25], [59]). Le condizioni di irriducibilit~ della varieth rappresentata dalle (9) sono del tutto analoghe a quelle trovate nel caso p = 1. Abbiamo visto che una variet~ Vp di PICARD si lascia rappresentare su un'altra Vp~ multipla senza elementi di diramazione. Questo risultato ha aperto un campo di ricerche d'indole pifi generale, il cui problema centrale ~ quello di studiare quelle coppie ( W , , Wp') di variet~ algebriche, ed anche quelle classi di coppie, che godano delle propriet~ analoghe. Troveremo pifi tardi altri esempi di variets abeliane rappresentabili su Vp senza elementi diramati. 1)er5 a prescindere da questo caso le nostre conoscenze attuali in merito sono piuttosto scarse. Tra i vari lavori sulI'argomento bisogna ricordare la Memoria [17] di COMESSATTI sulle superficie cicliche multiple (con o senza curve di diramazione) e la recente ricerca [43] di M~tRCHIO~A, di carattere pifi generale, sulle varieth multiple. Qui intervengono delle questioni topologiche interessanti concernenti il gruppo fondamenta]e, il ~Tuppo di 1)OI~TCAR]~ed anche il fenomeno della torsione; per una introduzione al problema il lettore potrs consultare la Conferenza [44] di MARCHION~A ove trover~ un'ampia bibliografia. 10. Sulle variet~ abeliane. - - Passiamo ora a considerare le varieth abeliane le quali - - per definizione - - sono di rango p ~ 1. Anzitutto osserviamo che ogni varieth abeliana di tango ~ ~ immagine d'una involuzione IQ sopra una variet~ di Picard. Quindi, in base a l m 8 abbiamo che ogni varieth abeliana di tango p associata ad una varieth di Picard a divisori ~1, ~2, -.., 3p, ~ immagine d' una involuzione di ordine p ~ 3., ... 3p sopra una variet~ di Picard a divisori unitari. ~ e consegue che il nostro studio si riduce alla considerazione delle involuzioni I , sopra una variet~ Vp a divisori unitari. Per qualcuno 4egli ulteriori sviluppi occorre premettere che esista un modello non

SULLA VARIET~ DI PICARD E LI~ SUE APPLICAZIONI

325

singolare - - diciamolo Wp - - della eorrispondente variet~t abeliana, immagine di I,; ipotesi non ancora giustificata (7) per p > 2. Incominciamo con qualche deduzione dai risultati dei nn. 7 e 8. Dapprima, poich~ Vp ~ d o t a t a d ' u n a ipersuperficie canonica nulla, si vede che le ipersuperficie canoniche e pluricanoniche pure di Wp sono o effettive o nulle. Quindi

Pg (W,) <_ 1,

P~ (Wp) <_ 1.

In particolare, se I,, possiede o J -~ eoineidenze, il genere geometrico e i plurigeneri di Wp sono tutti nuUi. Difatti, in base al n. 7, la trasform a t a della varietk Xp_ 1 (W~), s o m m a t a all'ipersuperficie luogo delle cop-1 coincidenze, dev'essere linearmente equivalente alla varietk nulla; e p e r t a n t o X~,_1 (Wp) ~ - - A, o r e A denota u n a ipersuperficie effettiva di ordine positivo. Ne consegue c h e l a varietk Xp_~ (Wp) ed anche t u t t i i suoi multipli positivi sono virtuali; onde l'asser*o. I n questo caso si dice che W, possiede un sistema antieanonieo. I n secondo luogo, risulta dal l e m m a del n. 7 che l'irregolarith superfieiale q eli W~ ~ sempre minore d i p . Difatti, in ogni caso q < p, ed abbiamo visto the se q = p, Wp dev'essere picardiana. U n terzo risultato preliminare ~ il seguente: se Wp ha qualehe plu-

rigenere positivo, la eorrispondente involuzione I, ~ priva di punti ]ondamentali (e eio~ punti eoniugati in I,, a variet~ a p - 1 dimensioni). S u p p o n i a m o che si abbia P~ = 1; allora, p r e n d e n d o per modello di Wp una forma di Sp+l, segue dal n. 5 che la forma tensoriale

A (y,, yo y~,+j) t b (Yl, Y2, "", Yp) t ~ -' "'" i ~ (sl, s~, ..., s , ) t ' ove Yl, Y2, --. sono coordinate non omogenee di Sp+: e sl, s._,, ... coordinate ]ocali su Wp, risulta non nulla. Mediante la trasformazione raziona]e tra Wp e Vp essa si m u t a nella forma tensoriale che dh l'i-gehere di Vp, la quale, in termini dei p a r a m e t r i universali %, d i v e n t a t ~ ('~1" U2' " ' " U p ) ~ i

i

(%

..., %) t

ove %, s.,, ... sono parametri che adempiono ad un ufficio m e r a m e n t e simbolico. Ora, se a, b sono dei p u n t i coniugati in I , dobbiamo avere (~) Gi~ nel caso :p = 2, vari dei tipi che si presentano n a t u r a l m e n t e come i pih ovvi model]l proiettivi possiedono delle singolarits complicatissime (vedi [28]).

326

L E O ~ A R D ROTI~

i o (u,, u.~, ..., % ) / i ~ (%, %, ..., %) ~

=

(u,,

...,

I b (~L, %, "", %)Ib"

Pertanto il determinante jacobiano delle u h nell'intorno di a rispetto alle u h nell'intorno di b risulta u2~ale ad una radice i-esima dell'unith ed ~ perci5 diverse da zero. Ma l'annullarsi di tale determinante ~ appunto la condizione dell'esistenza di un punto fondamentale in I,,. Questa dimostrazione, nel case p = 2, ~ di DE Fm~CHIS [21]; l'immediata estensione ~ di ANDREOTTI [2]. l l. I1 teorema principale. - - Dope questi preliminari veniamo al teorema che sta alla base della classificazione delle varieth abeliane: ogni involuzione I,, su V , che abbia qualche plurigenere uguale ad uno e che non sia composta con una involuzione picardiana, ~ generabile con un gruppo G,, di automorfismi cli Vp. La dimostrazione, nel case p -- 2, di BAGNERA e DE FRANCHIS; l'estensione al case generale ~ dovuta a ANDREOTTI [2].

Prendiamo per modello di V, una forma di Sp.l, e denotiamo con (xi), (x/) due punti coniugati di I,, e corrispondenti rispettivamente ai valori (u~), (u,/) dei parametri u. 0ra le x:' sono funzioni analitiche delle x~ e quindi delle u~ nell'intorno del punto considerate. Dimostriamo che per prolungamento analitico le x ( = x,:' (u 1, u 2, ..., up) d~nno luogo a funzioni uniformi e meromorfe in tutto lo spazio Sp delle u~. Infatti, esse possono venir prolungate analiticamente in tu,'to Sp, eccezion fatta al pifi per la variet~ C la quale corrisponde alle coincidenze di I,,, avendo in ogni punto carattere di funzione razionale. E siccome, in virt~ del n. 10, la dimensione di C non pu5 superare p - - 2, ogni cammino chiuso di Sp si pub ridurre, tenendone fisso un punto, omotopicamente a zero senza incontrare C; eppertanto le funzioni x / risultano uniformi e meromorfe.

In secondo luogo, tall funzioni sono funzioni abeliane appartehenri alla matrice n!r di :RIEMANN, essendo co la matrice dei periodi degli integrali u~. Invero ad una linea di S~ congiungente due punti congrui (mod. n!~o) corrisponde su V, un cammino chiuso percorso n! volte il quale produce nei punti coniugati in I,, la soluzione identica. Ma la matrice n!~o non dh un sistema di periodi primitivi per le funzioni x ( = x/(uL, u~., ..., u,); quei periodi sono invece primitivi per le funz, oni x = x~ (uJn!, u.,_/n!, ..., u j n ! ) sicch~ le x / r i s u l t a n o funzioni razionali di quest'ultime.

SULL.k VAi~IETA D I P I C A R D E LE SUE A~PPLICAZIONI

327

Consideriamo ora la corrispondenza razionale che si genera tra la varieth V, pensata come ottenuta dalle equazioni parametriche xi f = x / ( u 1, u~_, ..., u~,) e quella (birazionalmente equivalente a V,) ottenuta dalle equazioni parametriche x i = x~ (u~/n!, u , / n ! , ..., u~/n!). Le equazioni trascendenti analoghe alle (1) sono P

(10)

u / - ~ - Z z~, u h + c

(mod. n!(o)

(i = 1, 2, ..., p)

L'insieme di tutte le possibili sostituzioni (10) che si ottengono passando da un punto (x~) ad uno qualunque degli n punti del gruppo di I,, individuato da (x~) costituisce un ~ u p p o G. Entro il gruppo G consideriamo il sottogruppo F delle trasformazioni di prima specie di G, rappresentato dalle equazioni u / = u~ + c~

(i = 1, 2, ..., p)

Supponiamo che l'immagine W~ di I,, sia una forma di S~§ 1, Poich~ le coordinate (y~) del punto corrente su W~,, pensate come funzioni meromorfe delle u~, sono invarianti per le sostituzioni di G e quindi di F, quest'ultimo gruppo a m m e t t e un sistema di 2p sostituzioni generatrici. (11)

u / = u~ +D-~h

(/ = 1 , 2 , . . . , p ;

h = 1,2,...,2p)

Denotando con V,,' la variet?t di PICARD corrispondente alia matrice ~ = (~,h), osserviamo che: (i) Ie coordinate (y~), come funzioni delle u~, appartengono alia matrice D. e come tali risultano funzioni razionali delle coordinate (z~) del punto corrente su V/; (ii) le coordinate (z~) si esprimono razionalmente in termini

delle (x~) in quanto quelle sostituzioni di G che fanno passare dal punto (x~) al punto stesso corrispondono ai valori delle c; tali che 2p

c = Z ~i, %,

(i = 1, 2, ..., p)

r~l

ore le ~ sono interi qualsiasi. Ma per ipotesi I,, non ~ composta con un'involuzione picardiana; quindi la corrispondenza razionale tra V,' e V~ ~ per forza birazionale, ed allora possiamo senz'altro fare le posizioni ~,h = O',h" D'altra parte la possibilit's di generare I su V~,, = V,, con un gruppo di ordine n di automorfismi di Vp discende dal fatto che, se helle (10) si incre-

325

LEONARD ROTII

mentano le u~ di periodi ~h, = O)h~, anche le u~' si incrementano di periodi appartenenti allo stesso sistema, altrimenti le (11) non sarebbero le sostituzioni generatrici del gruppo F. Aggiungiamo che l'ipotesi che I,, non sia composta con un'involuzione picardiana ~ essenziale; come si dimostra a base di controesempi ([2]). La congettura che, se l'involuzione I,, possiede al pifi ~P-~ coincidenze, essa possa venire generata con un gruppo G,,, fu fatta da LEFSCHETZ [42] senza per5 l'ipotesi supplementare concernente i plurigeneri; che tale ipotesi sia essenziale si dimostra pure mediante contro-esempi. M a v a notato che l'annullarsi di tutti i plurigeneri di I , non implica necessariamente ng l'esistenza di punti fondamentali in I , da una parte ng una variets ( p - 1)-dimensionale di coincidenze dall'altra. E difatti vi sono delle involuzioni I,~ a plurigeneri nulli generabili con gruppi G,: come risulta dalle ricerche di BASSERA ~ DE FRANcHIs [5] nel caso p = 2. I1 risultato gig stabilito ha una notevole conseguenza geometrica. Consideriamo su Vp un sistema continuo completo (.4 } di ipersuperficie A; tale sistema viene trasformato in s~ dal gruppo Gp inerente a Vp. E sia I,, un'involuzione che soddisfi alle ipotesi del teorema. Ora, se facciamo percorrere un punto P su una A fissa - - diciamola A 0 - ne consegae che il luogo degli n - 1 punti coniugati a P in I~ deve scindersi in n - - 1 ipersuperficie A, tutte birazionalmente equivalenti a A o. :E questo il concerto della dimostrazione del teorema principale proposta da ENRIQUES e SEVER~ nella loro Memoria [27]. 12. Sulla classificazione delle variet~ abeliane. - - E chiaro che i nostri metodi attuali possono condurre ad una classificazione completa delle variet~ abeliane solamente nel caso in cui abbiano qualche plurigenere uguale ad uno; e sta di fatto che il problema di classificare le variet~ abeliane a plurigeneri tutti nulli rimane sempre aperto. D'ora innanzi denoteremo con W~ una variets abeliana, immagine d'una involuzione I~, su Vp, la quale abbia qualche plurigenere uguale ad uno. Allora il problema generale di classificazione viene posto come segue. (i) Siccome, per ipotesi, Wp non ~ picardiana, non tutte le trasformazioni del relativo gruppo G,, possono essere di prima specie; e salvo un caso particolare - - quello della varietg di WmTI~CER ([18)]. non sono tutte di seconda specie. In generale quindi si presenta il fenomeno della moltiplicazione complessa; e il primo problema sta nel determinare tutti i tipi a priori possibili di tale moltiplicazione.

SULLA VAPJ~T~t DI PICARD E LE SUE APPLICAZIONI

329

(ii) La seconda fase consiste nella determinazione dei corrispondenti gruppi G,, i quali, in base alle (10), sono sempre gruppi di collineazioni. (iii) Finalment~ si passa alla costruzione effettiva delle corrispondenti matrici di RIEMA~N. Incidentalmente, cosl si ottengono tutti i valori effettivamente possibili del rango p di Wp e dei divisori ~h della varieth Vp. Prendiamo le mosse da qualche sottogruppo G,,, di G, the supponiamo ciclieo di ordine m, e rappresentato dalle sostituzioni (10); e consideriamo dapprima la parte omogenea di esse, in quanto le costanti c~ possono venir fissate nella fase finale dell'indagine. 0sserviamo ora the, adoperando le notazioni matriciali, le relazioni (2) di I-I~'RWlTZ associate alla trasformazione T generatriee di G~ possono seriversi nella forma ore gli elementi della matrice a sono tutti interj. Le equazioni caratteristiche di x e di a sono rispettivamente (12)

[x--xI[

= O,

]a--xI[

= O.

E sieeome per ipotesi T "~ = I, ne eonsegue ehe x" = I, a '~ = I; onde tutte le soluzioni deUe equazioni caratteristiche (12) sono radici m-esime dell'unit& Per di pifi, poieh~ l'equazione caratteristiea di a ~ di ordine 2p, a coefficienti interi, il numero m deve soddisfare alla disuguaglianza v (m) _< 2p, ove ~ (m) denota la funzione aritmetiea di EULERO. ~] COSl si ottiene una prima limitazione sui valori a priori possibili d i m . Altre considerazioni possono servire a restringere ulteriormente il numero delle soluzioni: ad esempio, il fatto ehe il rapporto di due periodi di co non pu6 essere reale, la eircostanza ehe le eoineip_., denze nell'involuzione generata da G,,, devono essere al pifi oo -, e cosi via. Le radici dell'equazione Ix - - x I ] = 0 chiamansi molt@licatori di T; mediante esse la sostituzione omogenea corrispondente alle (10) pu6 venir ridotta a forma canonica. Segnaliamo ora aleuni casi particolarmente interessanti. (i) Anzitutto osserviamo ehe se Wp ~ a genere geometrico uno, tutte le sostituzioni del relativo gruppo G,, sono unimodulari. Questo diseende subito dal fatto ehe st g Pg = 1, la forma du~ d% ... d% di prima specie deve risultare invariante di fronte a tutte le trasformazioni del gruppo. E vale anehe la proprieth inversa.

330

L E O N A R D ROTH

(ii) Nel caso in cui t u t t e le trasformazioni di G, siano di seconda specie abbiamo la cosiddetta varieth W, di WIRTINGER generalizzata; evidentemente W, ha genere geometrico uno o zero a seconda che p g p a r i o dispari. La varlet5 ha rango due; essa b immagine d ' u n a involuzione L., con numero finito (e precisamente 2 ~p) di coincidenze.

(iii) S u p p o n i a m o ora che W~ abbia irregolarits superficiale q > 0; allora possiamo sempre scegliere le u i in m o d o che i differenziali d% (h = 1, 2, ..., q) r i m a n g a n o costanti per G,,. Le relative sostituzioni (10) d i v e n t a n o (13)

'u/ = u + c i.

(i = 1, 2, ..., q)

Si pub anche dimostrare (eft. [40]) t h e in tal caso la matrice o~ pub venir trasformata in maniera t h e le r i m a n e n t i equazioni assumano la forma

(14)"

u/ = z~uj+c i

(3"= q +

1, q + 2, ...,10)

ove, in base ai precedenti risultati, i moltiplicatori x~ sono t u t t e radiei dell'unith diverse da uno. Nel easo in cui il gruppo G,, non risulti ciclico, t u t t e le sostituzioni dei relativi sottogruppi eontengono il sistema (13) come parte eomane. Queste eonsiderazioni si estendono anche al caso q = 0, nel senso t h e allora nessuna sostituzione parziale del gruppo G n pub venir rid o t t a alla forma (13). Cosl, per esempio, la variets di WIaTINGEa superficialmente regolare. N o t i a m o il fatto the. in base alle (13), la varieth W, a m m e t t e un gruppo eontinuo e c o m m u t a t i v o di ooq automofismi le eui traiettorie - - come si vede subito - - sono variet'X Vq di PICARD. Tale variets rientra come caso molto particolare nella categoria di varieth gruppali a cui g dedicato il prossimo capitolo. 0sserviamo infine ehe, se le eostanti c, helle (13) non sono t u t t e nulle, l'involuzione I n su V, g priva di coincidenze; abbiamo cosi trovato degli esempi di variet.X abeliane non picardiane dotate di questa proprieth. 13. Nota sui casi p _< 3. - - Aggiungiamo qualche notizia circa i risultati gi~ o t t e n u t i nei casi p _< 3. II caso p = 1 ~ presto esaurito; infatti, se la eurva ellittica ~ a modulo generale, si ha da considerare la sola I._, generata da trasformazioni di seconda specie. Se esistono delle trasformazioni singolari, la curva dev'essere armonica oppure equianar-

SULLA VARIETA DI PICARD E LE SUE APPLIC.4.ZIONI

331

monica; per una discussione completa delle relative trasformazioni rim a n d i a m o il lettore a [25]. Come abbiamo indicato in precedenza, la teoria delle superficie abeliane ~ stata svolta in due lavori fondamentMi rispettivamente di E~RIQUES-SEVERI [27, 28] e di BAG~ERA-DE FRANCmS [5]. La 5Iemoria di E~RIQ~'ES-SEVERI, the ~ di carattere prevalentemente geometrico, ~ ricca di concerti e di risultati ma essa non dh, e non pretende di dare, una elassificazione completa delle superficie abeliane. Invece la 5Iemoria [5], d'indole trascendente-gruppale, ha per seopo la classificazione e l'effettiva costruzione di tutte le superficie abeliane, all'infuori di quelle razionali o riferibili a rigate (ellittiehe). Per6 nell'indagine, the g basata sul teorema principale (n. 11) e'g una lacuna, in quanto - - e.ome si g visto - - la dimostrazione del teorema poggia sul fatto della non esistenza di punti fondamentali nelle relative involuzioni I ; e quest'ul~imi gli Autori non hanno saputo eseludere dalla diseussione. Soltanto nel 1936 DE FRA~CmS ha potuto colmare la lacuna col metodo del n. 10. La classifieazione di BAGNERA-DE F~ANCmS, the cosl risulta eompleta a posteriori, comprende una ventina di tipi di' eui dieei hanno genere geometrieo uno, corrispondenti cio~ al easo dei gruppi unimodulari. La elassifieazione delle V:, abeliane, limitatamente al caso P~ = 1, stata oggetto d'una ricerca di }-[ALL [33]; da questa risulta che il numero dei gruppi G,, effettivamente possibili ~ pifl di 60, e che a qualcuno di tali gruppi eorrisponde un numero piuttosto elevato di matrici. Aggiungiamo qualche osservazione concernente le superficie abeliane irregolari a genere geometrico zero; queste sono state classificate in ambedue le 5Iemorie citate dianzi, eel una discussione geometrica dell'argomento si trova nel trattato [24] di ENRIQUES. Tall superficie sono interessanti per varie ragioni: anzitutto, sono casi particolari delle superficie ellittiche, considerate nel prossimo numero, e precisamente quelle che possiedono una curva canonica virtuale di ordine zero. Ciascuna superfieie di questa classe contiene due fasci, uno lineare e l'altro etlittico, di curve ellittiche, immagini di due fasci ellittici complementari sulla relativa superficie di PICARD. Il fascio lineare I C[ contiene delle curve ridueibili della forma s 6%, ore C~ ~ ellittiea e algebricamente isolata. :Ne con segue the, se esiste una seconda curva s C / con lo stesso valore di s, le curve C~ e C / sono in generale algebrieamente disequivalenti ma i loro multipli secondo s sono algebricam e n t e equivalenti alla C generica e quindi tra loro. In altri termini, su tale superficie pub verificarsi il fenomeno della torsio~te.

332

LEONARD ROTH

w 3. LE VARIETA PSEUDO-ABELIANE. 14. Un esempio: le superficie ellittiche. - - Le variet~ the vogliamo studiare nel presente capitolo sono generalizzazioni quasi immediate delle superficie ellittiche le quali si presentano per la prima volta - - a prescindere da qualche cenno nella Memoria [49] di PICARD - - helle Lezioni [46] di PAINLEV~ e di cui lo studio geometrico devesi a ENmQUES [23]. Per formarsi un'idea degli argomenti e dei metodi nel caso generale converrh dare uno sguardo a queste superficie: per altri dettagli cfr. [24]. Chiamiamo superficie ellittica ogni superficie W., (non singolare) la quale sia dotata di un gruppo G~ ellittico di automorfismi. Le traiettorie di G, costituiscono un sistema ~1 d'indice 1, di curve ellittiche C aventi lo stesso modulo, e gli automorfismi di W 2 d~nno luogo a trasformazioni di prima specie su ogni C. Le C definiscono un fascio {C} di un certo genere p > 0, ma in generale esistono delle traiettorie le quali sono sottomultipli della C generic& Accanto al fascio {C} esiste un fascio {D } ellittico di curve D, tutte birazionalmente equivalenti e di un certo genere ~ > 0, che sega un'involuzione ellittica (e quindi senza coincidenze) su ogni C. I1 numero (C D) d'intersezioni dei due fasci chiamasi determinante d di W 2. Costruiamo ora la superficie W.,* prodotto d'una curva birazionalmente equivalente a {C} e d'una curva birazionalmente equivalente a {D }. ]~ chiaro che W2* contiene un fascio {C*} di genere p di curve ellittiche e un fascio {D*} ellittico di carve di genere ~. E W.,, si lascia rappresentare sul modello d-plo W.~*; gli elementi di diramazione, se tall esistono, constano di un certo numero di curve C*, e ci5 in virt~ del fatto che una curva ellittica pus venir rappresentata sopra una seconda curva ellittica multipla senza punti di diramazione. Le altre propriet~ principali di W.., possono dedursi da questa rappresentazione. Anzitutto si vede subito c h e l a curva canonica pura o virtuale ~ composta con p - - 1 curve C; onde p~, = p, e i l genere lineare p~l) = 1. E considerando il fascio {C} si dimostra c h e l a serie di SEVER1 (n. 17) ~ la serie nulla dell'equivalenza razionale, eppertanto l'invariante I di ZEUTnE~'-SEGRE vale - - 4. Quindi dalla relazione di NOETHER" I ~- p(1) = 12 p~, ~- 9, risulta che il genere aritmetico p~ @ La classificazione delle superficie ellittiche si basa sul fatto che il fascio {C} sega su ogni D un'involuzione che ~ generabile con un gruppo d'ordine d di automorfismi il quale dev'essere ciclico o abe-

SULL.t

VARIET~t

DI

PICARD

E

LE

SUE

333

APPLICAZION'I

liano a base due (n. 9): allora, bisogna elencare, per un dato valore di =, t u t t e quelle curve D che a m m e t t a n o gruppi di tale natura, e poi, per ogni gruppo, costruire i tipi di superficie effettivamente possibili. Attualmente la classificazione gih compiuta comprende t u t t i i casi ~ 4; per la bibliografia in merito vedi [58]. 15. Prime propriet~ delle varietd pseudo-abeliane. - - Consideriamo una variets non singolare Wp che a m m e t t a un g r u p p o Gq continuo e commutativo a q parametri (1 _< q ~ p - - 1). Le traiettorie di Gq c o stituiscono una congruenza {Vq } di variets Vq, in generale irriducibili. Supponiamo che Gq sia completamente transitivo su Vq, e per di pifl, che Vq rappresenti biunivocamente e senza eccezioni le operazioni di Gq; allora risulta dal n. 4 che Vq ~ una variets di PICARD nella forma precedentemente definita e che gli automorfismi di Gq s o n o trasformazioni di prima specie su Vq. Chiameremo Wp una varieth pseudo-abeliana di tipo q; tale varieth stata considerata per la prima volta da DANTONI [20], per quan~o concerne gli integrali semplici di prima specie e questioni collegate con essi: perb il caso ivi studiato ~ speciale in quanto ~ implicitamente supposto che manchino le variets Vq..~ (n. 16). 0 r a abbiamo visto che, in base alle nostre ipotesi, la Vq generica ~ non singolare; e vedremo pure che ogni elemento irriducibile della congruenza (Vq } ~ anch'esso non singolare. Ha vedremo pure che in generale tale congruenza conterr~t un certo aggregato di membri riducibili ciascuno dei quali consta di una variets di PICARD contata un certo numero di volte (s). Incominciamo col dimostrare che Wp contiene una congruenza pi-

cardiana (V,_q } di variet~ Vp_q tras/ormate l'una dell'altra mediante il

gruppo Gq. I]

metodo qui seguito ~ un'ovvia estensione di quello adoperato da ENRIQUES nel caso p = 2; invece di serie lineari su una curva dobbiamo fare uso del concerto analogo di serie (di punti) a circolazione lineare nulla su Vq ([82]). Una tale serie viene data, in termini dei parametri u,: di Vq, da equazioni della forma (1)

u, (') + u/~) ~. +

~ . .

+ u (,n/ = c

(i = 1,9 2,

--,

q)

ove le c~. sono delle costanti. In particolare, ogni serie d'intersezione di Vq con le forme di un dato ordine dello spazio ambiente ~ rappresentabile in questa maniera. (8) Anche nel caso p ~ 2, la teoria si complica notevoimeate qualora si dovesse considerare la possibilits di curve spezzate: vedi [24].

334

LEONARD

ROTH

Consideriamo dunque una tale serie d'intersezione su Vq; ad un gruppo qualsiasi di questa serie corrisponde un gruppo unico della serie analoga su ogni altro variet~ Vq' irridueibile di {Vq }. Ora segue dalle (1) che esiste un eerto numero - - diciamolo n - - di trasformazioni di prima specie the lascino ogni tal serie invariante e che trasformino Vq birazionalmente in Vq'. Ad ogni punto P di Vq possiamo quindi far corrispondere un sol gruppo di n panti di VeI, mentre ad ogni punti p1 di Vq' eorrisponde un sol gruppo di n punti di Vq, tale ehe P (o P') appartenga ad un unico gruppo di taii punti. Quando Vqr varia in-{Vq } il gruppo deserive una variets a p - - q dimensioni, eventualmente ridueibile. Se risulta irridueibile, denotiamola con V~_q, altrimenti sia Vp_q una sua eomponente, neeessariamente variabile con Vq' 9 Allora le trasformate di V p - - q mediante Gq formano una eongruenza {Vp2q} the sega Vq secondo gruppi d'una involuzione I~ di un eerto ordine d >_ 1; tale involuzione ~ evidentemente priva di eoineidenze e di pifi ~ generata da trasformazioni di prima specie, eppertanto risulta picardiana. Supporremo the la Vp_q generiea sia non singolare indi - - come vedremo - - ogni V~_q dev'essere non singolare. I1 numero [Vq Vp_q] = d, ehe ehiamasi determinante di Wp, ~ un earattere importante della varieth. Osserviamo ora e h e l a congruenza

{Vq } sega ogni V~_q secondo gruppi d'una involuzione Jd che ~ generabile con un gruppo ,gd, di ordine d, di automorfismi di Vp_q, il quale ciclico o abeliano a base k (2 _< k < 2q). Infatti il gruppo ~ e eonsta di quelle trasformazioni di Gq the lascino invariante ogni I p_q, la seeonda asserzione segue immediatamente dal n. 9. Ne discende the un primo passo nella classifieazione delle varieth pseudo-abeliane eonsiste nella determinazione di tutte le variet~ Vp_q che ammettano gruppi 9 , del tipo suddetto. 16. La rappresentazione sopra la variet5 Wp*. - - 2~el caso d = 1, le congruenze {Vq }, {V,_q } sono birazionalmente equivalenti a Vp_e e Vq rispettivamente, e quindi possiamo rappresentare W, sul prodotto Vq • Vp_q; in base alle ipotesi fatte, tale rappresentazione ~ priva di elementi eeeezionali. Nel easo d > 1, eostruiamo dapprima la variet~ Wp* = Vq* x • V,_q* ove Vq* e V,_q* sono birazionalmente equivalenti, senza eecezioni, a {V._q } e {Vq } rispettivamente; tale variet~ W,* contiene due congruenze le quali possiamo denotare, senza risehio di ambiguits c o n {Ve* } e {V._q* }; ed allora le Vq* sono le traiettorie del gruppo di automorfismi su IV.*, che ~ evidentemente pseudo-abeliana di determinante uno. Ora facciamo corrispondere al punto generico di Wp* il

SULLA

VARIET~k

DI

PICARD

E

LE

SUE

335

APPLICAZIONI

gruppo d i d punti (Vq V~_q); in tal modo Wp viene rappresentata sulla variet~ d-pla Wp*. In questa rappresentazione Vq corrisponde ad una variets d-pla Vq* di I)ICARD; e siccome l'involuzione segata su Vq da {V,_q } ~ priva di coincidenze la corrispondenza risalta senza punti di diramazione. Ne consegue che: o manca su Wp* ]a variets di diramazione oppure essa deve constare di un certo numero di variet?~ irriducibili appartenenti alla congruenza {Vq* }. Tali varieth, che supporremo essere non singolari, possono avere qualsiasi dimensione tra q e p - 1 inclusi, e quelle di dimensione q saranno delle Vp isolate. Ad ogni variets - - diciamola Vq,s* - - g e n e r a t r i c e d'una componente ( s - 1)-pla della varieth di diramazione corrispondente una Vq,~ che risulta elemento (s N 1)-plo del luogo di coincidenze su Wp. Sussiste quindi l'equivalenza algebrica s Vq.~ ~ Vr e qui i humeri s (2 < s < d) a ~9riori possono essere divisori qualunque d i d . Evidentemente ogni variet~ Vq s ~ una traiettoria del gruppo G~ e pertanto ~ una variet?~ di PICARD; essa~ rappresentata senza diramazione sulla variet~ d/s-pla V q,tr * " Denoteremo con Bh C~ (q < h < p - - 1) una varieth tipica irriducibile generata da variet~ Vq,,,, e supporremo che essa sia non singolare; ovviamente essa risulta pseudo-abeliana di tipo q. Allora la varieth ( s - - 1 ) B h ~ ~ componente ( s - - 1 ) - p l a del luogo delle coincidenze mentre la variets s Bh ~ appartiene alla congrnenza (Vq}. Questo fatto ha una notevole conseguenza: in generale avviene che le variets quali Bh ~ sono algebricamente isolate, ma pub darsi che esistano due varieth Bh c~), Bh ~' ~, corrispondenti allo stesso indice s, tale che sia s Bh C~ -----s B h ~ ' ; in quel caso W~ ~ dotata di torsione h-dimensionale. La rappresentazione analitica di Wp segue subito dal teorema del n. 9. Supponiamo c h e l a varieth V~_q* immagine della congruenza {V~ }, stia nello spazio Sp_.,+~, e che sia rappresentata dalla equazione F (y~, Y2, -.., Y~,-q+~) = 0; allora, in base alla (9) del n. 9, Wp ~ rappresentabile con le equazioni (2)

Z :

(gl G1 )'/n~ ~- (g2 G2)t/n' --~ ' ' '

-~ (g~ Gk) 'Ink,

] :

O,

F :

0,

ove ] e g~ sono polinomi aventi lo stesso significato di prima e ore G~, G 2, ..., G~ sono polinomi, opportunamente scelti, nelle variabili y,. Questo risultato ~ una semplice estensione della rappresentazione, ormai classica, delle superficie ellittiche; ed esso conduce al teorema: ogni variet~t Wp che contenga due congruenze {Vq}, (Vp_q } specificate

336

LEONARD

ROT'~

come sopra ~ pseudo-abeliana di tipo q. Infatti una tale variet.s deve ammettere una rappresentazione analitica della forma (2) e quindi ammetre anche il ~oTuppo Gq. 17. Sui sistemi canonici. - - Abbiamo gi'~ accennato, nel n. 3, alla possibilits di definire, sopra una variets algebrica W, non singolare, dei sistemi {X~, } di equivalenza razionale per ogni valore di h da 0 a p - - 1, i quali risultino invarianti relativi di Wp; in altre parole, tali sistemi rimangono immutati per trasformazioni birazionali di Wp che non introducano elementi eccezionali. La teoria dei sistemi (X h }, detti sistemi canonici di Wp, pub costruirsi partendo da diverse definizioni che attualmente non @facile conciliare l'una con l'altra (cfr. [64, 65, 86]). Esporremo qui tre impostazioni della teoria che ci saranno utili in seg~ito. (i) La prima si basa sul concerto di variet5 jacobiana. Consideriamo un fascio razionale I S I di ipersuperficie di W~, che sia generale nel senso che il suo gruppo jacobiano J0 (S) - - luogo dei punti doppi del fascio - - consta di un numero finito di punti semplici; allora si pus dimostrare mediante una induzione rispetto a p, c h e l a serie di gruppi di punti definita dall'equivalenza razionale (3)

X 0 (Wp) ---- J0 (S) - - 2X 0 (S) - - X 0 (S ~)

risulta indipendente dalla scelta di S. Essa chiamasi serie di Severi di iV,. L'ordine [X 0 (Wp)] di tale serie ~ uguale a I ~- (--)~ 2p, ore I denora l'invariante di ZEUTHE~'-SEGRE. La dimostrazione di questo risultato @ dovuta essenzialmente a C. SEG~E; e il metodo da lui adoperato, di considerare la curva di contatti di due fasci, ci permette anche di pervenire alla serie (X o (W,)} a partire da fasci non generali, calcolando in ogni caso il contributo virtuale al gruppo J0 (S). E possiamo partite da fasci irrazionali: sia (S} un fascio di genere p > 0, il cui gruppo jacobiano J0 (S) sia generale nel senso gi~ definito; allora si dimostra l'equivalenza (4)

X o (W~) ~ Jo (S) + 2 (p - - 1) X 0 (S).

Anche questo risultato si lascia estendere al caso di fasci irrazionali non generali. La generalizzazione di queste nozioni alle variet~ X h con h ~ 0. che ~ tutt'altro che immediata, devesi a EGER e TODD, ispirati da certi risultati di B. SEGRE per il caso p ---- 3. Introduciamo all'uopo il concetto di sistema lineare generale: consideriamo un sistema IS I lineare

SULLA VARIET~ DI PICARD E LE SUE APPLICAZIOlgI

337

e variabile in un sistema lineare ~P almeno, il cui elemento generico sia non singolare e tale ehe ogni suo sottosistema c~ h (0 < h ~ p) ammetta una variet~ jacobiana Jh (S), luogo dei punti doppi, la quale sia pura e h-dimensionale. Allora, poggiando su questa nozione gli Autori pervengono all'equivalenza razionale ([22, 83, 85]):

(5)

x,, ( W , ) - - A,, (S) - - Xh (S)

(1 <_ h < v - - 1)

ore Xp_~ (S) -- S? e ore A h ( S ) d e n o t a una varieth aggiunta ad S, la quale sega su S una sua varieth Xh_ 1 (S). Osserviamo che nel caso h = p - 1, la (5) non & altro che l'equivalenza lineare classica per l'ipersuperficie aggiunta a S. Si dimostra poi c h e l a variets X~ (W~), detta varietlt canonica h-dimensionale, varia in un sistema razionale invariante (X h (Wp)}; tale sistema pub riuscire effettivo, virtuale oppure nullo.

(ii) Una seconda definizione, puramente geometrica, ~ la seguente, dovuta a B. SEGRE [64]: fissato un qualunque intero s > p--h, e scelti ad arbitrio s sistemi lineari generali [ S 1 ], IS., [, ..., [S, [, risulta (6)

Xt, (Wp) = Z Jh (S~) --- Z Jh (S~ + S ) § --

J,, (S, § S i + S t) - -

... ( - - 1) s-1 Jh ( S , + S._, + ... + S~) ,

ore le somme vanno rispettivamente estese a tutte le combinazioni semplici delle S~. Per altre possibili definizioni, anche topologiche, rimandiamo il lettore alle Memorie [64, 65] di B. SEGRE; cfr. anche la monografia [6] di BALDASSARRI. Un resoconto critico-storieo della teoria trovasi ne[ lavoro [86] di TODD.

(iii) h i contrasto colle definizioni precedenti, che sono di natura algebrico-geometrica, possiamo fornire una base puramente trascendente della teoria. A tale uopo partiamo dalla prima definizione della serie {Xo} data da SEVERI [73] nel 1932. Consideriamo una varieth Wp dotata di almeno un i n t e ~ a l e semplice u di prima specie e tale ehe il fascio segato su Wp del fascio u = cost. di variet~ trascendenti sia generale nel senso indicato sopra; allora si vede facilmente che il gruppo jacobiano del fascio ~ un gruppo della serie {Xo}. Questo risultato ~ stato esteso da EGEa [22] ai sistemi (X h } con h :> 0, nel caso in cui Wp soddisfi a certe condizioni, come ora spiegheremo. Supponiamo che Wp possegga almeno p § 1 integrali semplici di prima specie e linearmente indipendenti tra Ioro, con la propriet~ ehe per h = 0, 1, ..., p - 1, la variet'~ jacobiana di ogni h § 1 degli in8~minario

M a t . e Fin. di M i l a n o

. vol. X X X

22

338

L:EONARD ROTH

tegrali sia una variet~ h-dimensionale pura a componenti tutte semplici. Evidentemente tale variet~ ~ algebrica; e si pub dimostrare che essa non g altro c h e l a X,, (W,) quMe gih definita. Osserviamo in proposito che l'ipotesi circa i p + 1 integrali stata fatta a scopi metodologici, per poter stabilire c h e l a variets jacobiana risulta indipendente dalla scelta degli integrali adoperati nella sua costruzione. Per5 non appena siamo pervenuti ai nostri risultati per altra via - - ad esempio, come nel paragrafo (i) - - possiamo costruire tutti i sistemi { X h } a partire da soli p integrali indipendenti di tipo generale. 18. P r i m e applicazioni. - - Consideriamo ora alcune deduzioni importanti dai precedenti risultati. Anzitutto stabiliamo il seguente teorema di ToDD [84]: le varietg canoniche del prodotto V~ • V~, ore V e V b sono deUe varietg quaIunque non singolari, sono date dalle/ormule h

(7)

X h (V~ • V~) = :Z X~ (V~)xXh_ i (Vb)

(h =- O, 1, ...)

i~O

ove vengono omessi tutti i termini per cui i > a oppure h - - i > b. La prima dimostrazione del risultato era basata sull'induzione rispetto alla dimensione della variet~ prodotto; ma esso ~ una semplice conseguenza delle (6): basra osservare all'uopo che i sistemi lineari generali sul prodotto sono della forma IS x S' ], ore I S l e I S' I sono dei sistemi generali appartenenti rispettivamente a V~ e V b. Secondariamente, dimostriamo ehe tutte le varietfi canoniche d' u n a varietg di Picard sono nulle (e cio~ effettive e di ordine zero). Infatti, eonsiderando la eorrispondenza tra i punti della variet'X Vp e quelli dello.spazio Sp delle variabili ui, si ottiene il risultato come corollario della definizione delle X h (Vp) data da EGER. Una dimostrazione di earattere diverso pus ottenersi dalle (7). Osserviamo dapprima-ehe, applieando quelle formule ripetutamente, possiamo estenderle al easo d'una variet~ prodotto di un numero finito qualunque di fattori non singolari. Ora, nel caso in cui Vp sia il prodotto d i p curve ellittiche, la eonclusione ~ immediata. Per di pifi, sappiamo c h e l a V~ generale ~ topologicamente equivalente a un tale prodotto; e in base ai risultati di B. SEGRE sappiamo pure che le variets X h sono invarianti topologici. lgotiamo infine c h e l a definizione fornita dalle (6) ci permette di stabilire i legami che passano tra due variets Wp, Wp' in corrispondenza (n, 1), almeno in casi abbastanza semplici ([55]). I1 caso pid

SULLA VARIET~ DI PICARD E LE SUE APPLICAZIONI

339

semplice ~ quello in cui manchino addirittura delle coincidenze nell'involuzione It, su Wp ed anche degli elementi eccezionali. Per esempio, se Wp ~ una variet~ di PICARD e Wff e una variet~ abeliana rappresentabile su Wp in tale maniera, segue che tutte le varieth canoniche di Wp' sono effettive o virtuali di ordine zero. In rapporto alle variets canoniche X h di W, vi ~ luogo a considerare certi caratteri numerici che chiamansi invarianti canonici di Wp; questi sono i humeri [X~I X~.... X;,] d'intersezione dei vari sistemi {Xh}, ore il, i 2, ... soddisfano alla condizione i L -4-i~-4-... + i r = = ( r - 1) p. E stato dimostrato da TODD [84], sotto una ipotesi di lavoro non ancora giustificata geometricamente, che il carattere Pa + + ( - - 1 ) p, ove P,, denota il genere aritmetico di W , , @ esprimibile quale funzione omogenea lineare, a coefficienti costanti positivi, degli invarianti canonici; ed egli ha trovato la forma esplicita di tale funzione per p < 6. I1 risultato generale ~ stato poi ottenuto da I-IIRZEBRUCE [35] senza fare appello ad alcuna ipotesi, ma poggiando su potenti metodi topologici. Consideriamo, a titolo d'illustrazione, gli importanti casi p = 2, 3. Per p = 2, si hanno due invarianti del tipo suddetto, e precisamente il grado pm __ 1 virtuale del sistema canonico, e l'ordine I + 4 della serie di SEVERI. La relativa relazione di TODD-HIRZEBRUCH non ~ alt r o c h e la classica relazione di I-N~OETHER: (#"--

1) + (I + 4) = 1_0 (p~ + 1).

Nel caso p = 3, abbiamo i ire invarianti: [Xo] , [X~ X..,], [X23], di cui il primo e il terzo rappresentano rispettivamente l'ordine I - 6 della serie di SEVERI e il grado virtuale ~o del sistema I Xo, I" Introducendo il genere curvilineo virtuale ~, e i l genere aritmetico ~2 di X 2, si pub dimostrare ([63]) che ~ [X~ X.;] = 12 (~., - - ~ 1 + ~o § 2). Risulta poi che in questo caso la relazione di TODD-HIRZEBRUCH riducesi alla ben nora equazione di SEVERI [68]: 2 Pa = ~ o -

~ § ~o, + 4.

E, come si vede, tale equazione ~ indipendente dall'invariante I. Gli invarianti canonici, come i sistemi da cui sono nati, sono solamente invarianti relativi. O r a si affaecia il problema di precisare il comportamento di tali sistemi di fronte alle trasformazioni di W~ che introducano degli elementi eccezionali. La questione generale presenta delle difficolth notevoli~ e le nostre conoscenze attuali in merito sono scarse. Per qualche osservazione sul problema rimandiamo il lettore al resoconto [86] di TODD.

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LEO~ARD ROT~

1 9 . . S u i sistemi cano~ici delle variet~t pseudo-abeliane. - - Sia Wp una varieth pseudo-abeliana di tipo q (1 < q < p - 1) con relativo gruppo G~. Siccome i sistemi {Xt, (W,)} devono risultare invarianti p e r Gq, ne consegue che, se sono effettivi, saranno composti con la congruenza {Vq} delle traiettorie di Gq; e saranno certamente nulli per h < q. Pifi precisamente, dimostriamo che ([53, 55]) i sistemi {Xh(Wp) } sono tutti nulli per h < q, mentre per h > q sono composti con la congruenza {Vq } delle traiettorie del relativo gruppo Gq di automorfismi. Va notato che anche in quest'ultimo caso i sistemi canonici possono essere virtuali o nulii. La dimostrazione poggia sul seguente lemma, che generalizza un classico risultato nella teoria delle superficie: Sia I S t u n ]ascio lineare irriducibile sopra una variet~t non singolare Wp; che sia dotato di variet5 base S ~ semplice non singolare ed irriducibile; e sia S o una ipersuperficie di IS I la cui unica singolarit~t sia una varietd V r (1 < r < p - 2) s-pla che sia non Singolare e che non incontri S~: allora il contributo di S O al numero IX o (Wp)], calcolato per mezzo di ] S I, ~ (s - - 1) [X o (Vr)]. Questo lemma ~ stabilito per induzione rispetto a p e r esattamente come nella dimostrazione di C. SEGRE dell'invarianza della serie {X o}, e cio~ considerando la curva di contatti di I S ] con un secondo fascio I T I di carattere generale. Con procedimento del t u t t o analogo esso pub estendersi ad uno o pih dei casi in cui (i) S Ocontenga un numero finito di varieth analoghe a Vr, eventuahnente di dimensioni e di molteplicitk diverse, purch~ tall varieth siano a due a due sghembe tra loro; e (ii) il fascio razionale I S I venga sostituito con u n fascio irrazionale soddisfacente ad ipotesi simili a quelle precedenti. La prima parte del teorema viene ora stabilita mediante induzione rispetto a p e h. Supponendo dapprima che sia vero per t u t t e le variets pseudo-abeliane di dimensione minore di p, consideriamo un fascio I S I appartenente alia c o n ~ u e n z a {Vq} oppure - - quando q = p - - 1 - - il fascio (~rq } stesso. Kel caso attuale bisogna modificare alquanto, in maniera ovvia, la nozione di sistema generale precedentemente definita. Allora, poich~ S e S ~ sono ambedue pseudoabeliane di tipo q, segue dall'ipotesi induttiva che i gruppi X o (S) e X o (S~) sono nulli. Per dimostrare che il carattere virtuale J0 (S) nella (3) o nella (4) risulta nullo osserviamo che, nel caso attuale, invece di membri nodati di un fascio, abbiamo an certo numero di ipersuperficie dotate di variet~ multiple, soddisfacenti alle condizioni del lemma, le quill sono o varieth di PIC.~RD o variets pseudo-abeliane di dimensione minore di p. In ogni caso, qaindi, in base al n. 18, il gruppo X o (Wp) nullo, onde il teorema ~ stabilito per h = 0.

SULLA VARIET~ DI PICARD E LE SU]~ APPLICAZlONI

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l~el caso h ~ 0, poggiamo sull'equivalenza (5), osservando che, sempre in virtd dell'ipotesi induttiva, le variets aggiunte A h (S) devono appartenere anch'esse alla congruenza {Vq}, e pertanto sono pseudo-abeliane di tipo q, oppure, eventualmente, picardiane, e cosl il risultato ~ completamente dimostrato. Aggiungiamo the, in [55], si troveranno delle equivalenze per i sistemi {X h (Wp)} con h > q. Abbiamo i seguenti corollari: gli invarianti canonici di Wp sono tutti uguali a zero; l'invariante di Zeuthen-Segre e il genere aritmetico hanno i rispettivi valori (-- 1 F -~ 2p e (-- 1)P-~. Infatti, poich~ tutte le variet~ Xp appartengono alla congruenza {Vq } oppure hanno l'ordine zero, tutti i relativi numeri d'intersezione considerati nel n. 18 sono uguale a zero. Quindi, discende dalla relazione di TODD-HIRZEBRUCH che P (W,) = ( - - I F -~. 20. Alcuni esempi. - - Come abbiamo visto, il prodotto d'una varieth Vq di 1)ICARD con una variets Vp_q qualunque ~ una varietk pseudo-abeliana di tipo q e di determinante uno. Le varieth quasiabeliane irregolari (n. 4) rientrano come casi particolari in questa categoria; precisamente, ogni variet~ quasi-abeliana Wp di irregolarith superficiale q ( > 0) ~ pseudo-abeliana di tipo q e determinante uno; la congruenza complementare {Vp_q} ~ costituita da variet~ birazionali. Una seconda classe importante di variets pseudo-abeliane ~ quella delle variet?~ Vp di PICARD che abbiamo chiamato speciali (n. 4); una tale V~ di tipo q pub essere pensata come varietk pseudo-abeliana di tipo q, ed allora la congruenza complementare consta di varietk picardiane di dimensione p - q; oppure i ruoli delle due con~uenze possono venir invertiti, nel qual caso Vp diventa pseudo-abeliana di tipo p - - q. Ad ogni modo sorge il problema di calcolare il determinante d; e - - come risulta dalle ricerche di SCORZA - - qui si tratta di un problema di natura aritmetica. Un altro problema, aritmetico anch'esso, si presenta quando la V, in parola si specializza ulteriormente, per esempio quando le Vp_q complementari diventano speciali alla loro volta. E questo caso pure viene indagato da SCORZA ([61, 62]). La variets di PICARD Vp speciale a determinante d si lascia rappresentare, senza elementi di diramazione, sopra una variet~ di PICA!aD Vq • V,_~. Pi5 generalmente, possiamo costruire una variet~ di PICARD della forma Vql • Vq, • ..., ove Vq~ ecc. sono tutte variets di PICARD. Una tale varieth - - diciamola Vp* - - contiene varie congruenze picardiane ed il suo gruppo G, ammette evidentemente altrettanti sistemi di imprimitivitS. E pifi generalmente ancora, una va.riet~ di PI-

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LEOXARD

ROT~

di simile struttura ma a divisori maggiori di uno pub venir rappresentata, senza elementi di diramazione, sopra un prodotto multiplo Vp* In maniera del t u t t o analoga possiamo costruire delle variet'~ pseudo-abeliane speciaIi di indici (q~, q., ..., q,), essendo data una partizione qualsiasi del carattere q : q = q~ + q2 + .-- § q," Consideriamo la variet~ Wh* = Vq * • Vq * • ... Vq * • V~_q*, ove Vo*, Vq*, ..., Vq* sono variet~ di PmARD e Vp_q* ~ una variet'~ irriducibile qualunque. Allora la variet~ W, rappresentata nella maniera consueta sopra la Wp* d-pla risulta pseudo-abeliana; essa contiene r congruenze {Vq,} (i = 1, 2, ..., r) di variet'~ di PICARD, ciascuna delle quali ~ generata dalle traiettorie di un s o t t o ~ u p p o invariante di Gq. Evidentemente ogni tal congruenza ~ d-secante la sua congruenza complementare CARD

{V,_q,}. Si potrebbe eoneepire una elasse ancora pifl ampia di variet'X pseudo-abeliane speciali per cui i vari numeri d'intersezione [1~% V._q,] non fossero t u t t i uguali. 5Ia la eostruzione di tali varieth darebbe luogo a diffieili problemi di esistenza coneernenti le variets di PICARD a divisori assegnati, simili a quelle questioni aritmetiehe a eui abbiamo aceennato sopra. Diamo ora uno sguardo ai risultati conseguiti per i primi valori di p. Nel caso p = 2 delle superficie ellittiche, si conoscono gi~ numerosi esempi illustrativi dei vari fenomeni che possono presentarsi in questo campo di studi, compreso quello della torsione; e, come si detto al n. 14, la classificazione ~ stata spinta fino ad un certo punto senza per6 arrivare a delle conclusioni generali. Passando al caso p = 3, abbiamo anzitutto due classi da considerate: le W 3 ellittiche (q = 1) e le W 3 iperelIittiche (q = 2). Nrel primo caso la c o n ~ u e n z a {V~ } delle traiettorie pub contenere una infinit'~ di curve VI,,, corrispondenti a diversi valori di s, le quali generano ml certo numero di superficie B (") ; o W~ pu6 contenere solamente un nu?" . mero finito di curve l ~,~, oppure ci possono essere delle superficie B (~) ed anche delle curve VI.~ isolate. Sono questi gli elementi che d~nno luogo alle coincidenze nell'involuzione segata dalla congruenza {V~ } sopra ogni superficie V~ del fascio ellittico complementare su W~. La prima di queste tre possibilit~ ~ stata studiata in [51], ove sono stabiliti i legami che passano tra {V~ } e V~_. Si trova pure che gli invarianti del sistema canonico I X~ I hanno i rispettivi valori ~o = O, fl~ = 1, ~., = - - 1, sicch~ P~ = 1; e viene data un'equivalenza per il sistema IX., I.

SUILA VARIET~ DI PICARD E LE SUE APPLICAZIOI~I

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Nel caso d'una W~ iperellittica abbiamo un fascio (V~ } di traiettorie, di genere p >_ 0, ed una congruenza complementare {V~ } di curve V1 di genere ~. La teoria della W~ ~ molto simile a quella delle superficie ellittiche ed anche a qualsiasi varieth pseudo-abeliana di tipo 1. Gli invarianti hanno i valori constatati sopra; e il sistema [ X., [ composto col fascio (V.,}. Nel caso 7: = 0, la congruenza {V1} possiede sempre delle superficie unisecanti, e quindi W~ pub trasformarsi birazionalmente in un cono a base V,, ([51, 52]). 21. Le variet~t impropriamente abeliane. - - Un'altra classe notevole di Wp pseudo-abeliane si presenta nello studio delle variet~ abeliane. Dimostriamo ora che ogni variet~t abeliana Wp di irregolarith superficiale q (0 ~ q ~ p) e avente qualche plurigenere positivo ~ anche pseudo-abeliana di tipo q. Infatti, in base alla seconda ipotesi, la relativa involuzione I , ~ generabile con un gruppo G, di automorfismi della varieth V~ di PICARD sostegno di I,, e quindi sono applicabili le considerazioni svolte nel n. 12; le (13) ci mostrano che Wp ammette il gruppo continuo Gq che caratterizza le variet~ pseudo-abeliane di tipo q. Evidentemente Vp dev'essere speciale di tipo q; e la congruenza complementare su V~, viene trasformat~, in quella complementare SU W p .

Notiamo in particolare che: ogni varietgt abeliana che abbia qualche plurigenere positivo e che sia immagine cl'una involuzione priva di coincidenze ~ sempre superficialmente irregolare. Se fosse q -- 0, ogni sottogruppo ciclico del gruppo generatore della relativa involuzione sarebbe rappresentato da una sostituzione delia forma (14) ed allora l'involuzione ammetterebbe certo delle coincidenze. Dimostriamo infine che ogni varieth abeliana W~ di irregolarit?t superficiale q (0 ~ q ~ p) che abbia qualche plurigenere positivo ~ rappresentab~ile parametricamente mediante ]unzioni algebriche di ]unzioni abeliane di genere q ed altre ]unzioni abeliane di genere p - - q. Difatti, la corrispondente variet~ multipla Wp* risulta prodotto di due variets abeliane di generi q e p - - q rispettivamente; quindi le coordinate del suo punto P* generico sono esprimibili quali funzioni razionali di funzioni abeliane dei generi suddetti, e - - come s a p p i a m o le coordinate del punto P generico di Wp sono funzioni algebriche di quelle di P*. In virtfi di questo risultato W. pub chiamarsi varieth impropriamente abeliana ([53]). In conclusione, tra tutte le variet~ abeliane (nel senso lato della parola) superficialmente irregolari e soddisfacenti alia solita ipotesi, quella di PICARD 6 l'unico tipo proprio.

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LEONARD ROTH

22. Ancora sulle varieth gruppali. - - Le precedenti considerazioni ci permettono di completare, in preparazione per il prossimo capitolo, il quadro generale delle varieth gruppali. Anzitutto giova ricordare il seguente lemma ([24], p. 365): sia dato, sopra una variet~ Wp non singolare, un sistema continuo, cop-" aImeno, di varieth V r generaImente non singolari; aUora, se Pg (Wp) ~ O, anche Pg (Vr) ~ O. La dimostrazione, che procede per induzione rispetto a p, ~ conseguenza immediata del fatto che, in base alla condizione P~ (Wp) ~ 0, il sistema caratteristico di ogni sistema infinito di ipersuperficie contenuto in Wp dev'essere speciale. :Risulta quindi dal n. 4 che ogni varlet& quasi-abeIiana ~ di genere geometrico zero. Come secondo corollario abbiamo che una varieth Vp di Picard non pud contenere nessuna sottovariet& di genere geometrico zero; in particolare, nessuna curva razionale. Ci5 discende dalla propriets di Vp di possedere un gruppo Gp completamente transitivo di automorfismi, insieme coi risultati gis conseguiti circa le variets gruppali, che possono riassumersi nel seguente teorema ([59]): Ogni varieth gruppale che abbia qualche plurigenere maggiore di zero dev'essere o picardiana o pseudo-abeliana; e in quest'ultimo caso essa contiene sempre qualche congruenza superficialmente irregolare di varieth. Supponiamo dapprima che Wp ammetta un gruppo di dimensione p che sia completamente o generalmente transitivo; nel primo caso Wp risulta picardiana mentre nel secondo essa ~ quasi-abeliana (n. 4) ed allora contiene una congruenza di varieth birazionali; quindi, in virtfi del lemma, ~ di genere geometrico zero. In secondo luogo, supponendo che il gruppo sia intransitivo, esso possiede delle traiettorie che costituiscono una congruenza (Wr }; se il gruppo ~ completamente transitivo su W~, W~ ~ picardiana ed allora Wp risulta pseudo-abeliana. In tutti i casi rimanenti Wr ~ birazionale o quasi-abeliana e quindi, in base al lemma, il genere geometrico di W, risulta uguale a zero. L'ultima asserzione nell'enunciato discende dal n. 15, ove abbiamo visto che una variets pseudo-abeliana contiene sempre, in pifi della congruenza di traiettorie - - che pub risultare regolare - - anche una congruenza picardiana di dimensione complementare. Veramente si potrebbe dimostrare di pifi: sta di fatto che tutte le variets gruppali che non siano n~ picardiane n~ pseudo-abeliane sono birazionalmente equivalenti a variet~ rigate, e cio~ a luoghi di spazi lineari ([32]). M a i l presente risultato sar~ sufficiente ai nostri scopi.

SULLA VARIET~ DI PICARD E LE SUE APPLICAZIONI

w 4. LE

345

PICARDIANE D'UNA VARIETA ALGEBRICA IRREGOLARE.

Considereremo in tutto il seguito una variet~ algebrica V~ (n > 1) che supporremo o p r i w di singolarit~ oppure un forma di S~+~ dotata di sole singolarit~ ordinarie: secondo le nostre conoscenze attuali, tale ipotesi potrebbe risultare r e s t r i t t i w . Una seconda ipotesi a cui dovremo fare appello ~ la seguente: qualora abbiamo da contemplare una congruenza di sottovariets su V , , supporremo anche the il suo elemento generico sia non singolare. Finora una tale supposizione stata giustificata nel sol caso di un fascio irrazionale di ipersuperficie SO V ~ .

23. L'irregolarith geometrica. ~ I1 concetto di irregolarit~ geometrica che ora esporremo nasce quasi spontaneamente dalla nozione di equivalenza lineare. Consideriamo, su V,,, un sistema continuo (algebrico) completo {C} di ipersuperficie C. In taluni casi possiamo dimostrare che {C } ~ totalmente contenuto in qualche sistema lineare. M a l e prime ricerche nella geometria delle superficie hanno fornito esempi di sistemi continui non cosl contenuti: ad esempio un fascio irrazionale di curve o, pifi generalmente, di ipersuperficie V~_ 1 su V,,; difatti, ogni V,,_1 ~ isolata rispetto all'equivalenza lineare e perci5 non possibile inquadrare {V,,_I } in un sistema lineare. Supponiamo ora che il sistema {C} si trovi helle stesse condizioni: allora, siccome ogni C individua un sistema lineare completo, necessariamente facendo parte di {C}, dobbiamo contemplare un sistema continuo completo (C} composto di c ~ (p >__ 0) sistemi lineari a due a due disequivalenti. Orbene, poggiando sui criteri di equivalenza lineare, possiamo dimostrare che su V ~, il numero p raggiunge un massimo q (cfr. [81]). I1 numero q chiamasi l'irregolaritdt geometrica di V,~; e ogni variets per cui q > 0 si dice geometricamente irregolare o - - per brevit~ - - irregolare. Nel caso q = 0 si dice the V,, ~ regolare. Facciamo ora due osservazioni che ci saranno utili nel seguito. In generale esistono su V, dei sistemi continui completi i quali sono composti di c~ ql sistemi lineari disequivalenti, con q / < q. E notiamo che, partend0 da un sistema {C } per cui p = q, possiamo sempre iraporre alle C un certo numero di condizioni in modo da ottenere da esso un sistema continuo c~q, e non pifl ampio, di varieth C a due a due linearmente disequivalenti. Dalla nozione di fascio irrazionale si passa facilmente a quella di

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ROTH

congruenza irregolare sopra V,; in quest'ultimo caso trattasi di un sisterna ~ - " d'indice uno, di variets V~ (r ~ n - - 1) tale che la variets W,_, immagine della eongruenza (V, } sia geometricamente irregolare. Per comodits di linguaggio includeremo sempre il caso r = n - - 1 nella definizione; allora l'irregolarit~ in parola ~ il genere del fascio. Ci5 premesso, sussiste il teorema: ogni variet5 V, contenente una congruenza

di irregolarit~ q; ~ 0 ~ essa stessa irregolare, avente irregolarith q ~_ q~. Per dimostrarlo basta considerare su W,_, un sistema continuo di irregolarit~ q;; ad esso corrisponde su V, un sistema continuo, di irregolarit~ q;, costituito da ipersuperficie appartenenti alla congruenza {v,} Osserviamo che questo risultato si estende anche al caso r = O, nel senso che ogni V , che contenga una involuzione di irregolarit5 q essa stessa irregolare, avente irregolarit5 q ~_ q'. La dimostrazione come sopra. 24. La variet~ di Picard-Castelnuovo. - - Fissiamo l'attenzione sul sistema {C} di irregolarith q, e costruiamo l'immagine birazionale Vq dei sistemi lineari in esso contenuti. Siano [C~ I, I C'-, I due elementi qualsiasi deli'insieme {I C I}: ad ogni altro elemento [ C [ associamo il sistema lineare defini~o da

Ic'l

= IC+C,-c,l.

Poich~ [ C ' [ appartiene all'insieme, si vede che la (1) definisce una trasformazione birazionale in s~ della variets Vq, che possiamo indicare ool simbo o I C l I In p rtioolare, se ozni [ C I di (I e l } viene mutato in s~. 0ra, riferendosi al modello Vq il quale si suppone non singolare (9), ne consegue che esso ammette un gruppo Gq continuo abeliano di automorfismi che risulta completamente transitivo su Vq; eppertanto, in base al n. 4, Vq non ~ altro che una variet~ di PICARD (sicch~ l'ipotesi dell'esistenza del modello non singo1are viene giustificata a posteriori). Chiamiamo Vq la variets di PicardCastelnuovo attaccata a V~; oppure la prima picardiana di V,,. Nella prima parte di questo capitolo vogliamo dare qualche saggio della sua utilits nell'ambito della geometria algebrica classica; susseguentemente svolgeremo in maniera pifi dettagliata l'analoga teoria trascendente, ed iniine indicheremo come i due punti di vista possano conciliarsi (9) SEv]~m [81] ha osservato the in ogni caso Vq pub avere t u t t ' a l pih delle falde lineari.

quasi

SULLA V A R I E T ~ D I PICARD E LE SUE APPLICAT.IONI

347

l'uno con l'altro. Gis nel caso delle varieth di PICARD stessa sappiamo che sono identici (n. 3). La variets Vq, introdotta in questa maniera da CASTELNUOVO[8, 9] nel 1905 non ci ds una rappresentazione immediata di V,~; l'idea di tale rappresentazione devesi a SEVERI [69]. Prima di descriverla, notiamo qualche semplice propriets di V~. Supponiamo dapprima che V,~ contenga una involuzione di irregolarits q; allora, considerando un sistema continuo completo composto con l'involuzione, otteniamo una picardiana Vq' che sars rappresentata semplicemente o multiplamente su Vq ([75]). 0 r a supponiamo invece che V~ contenga una congruenza di variet~ di irregolarits ql < q; la picardiana di un sistema contiuuo appartenente alla congruenza sarh una Vq', eppertanto Vr dev'essere speciale di tipo ql (n. 4). Per ottenere, qualora fosse possibile, un modello n-dimensionale di V~, sopra Vq, consideriamo il sottosistema c~1 m diciamolo 2] - ottenuto dal solito sistema {C} imponendogli un numero opportuno di condizioni algebriche. Per ogni punto P di V~ passano i ( > 1) membri di Z, generalmente distinti; e denotiamo con D la variets composta con queUe i ipersuperficie. A1 variare di P su V,~, le D descrivono un sistema ~'~ con~inuo; ora le D non possono riuscire fra loro tutte l i - , nearmente equivalenti perch,, in quel caso, in base ad un noto criterio di SEVERI [81], anche le C sarebbero t u t t e linearmente equivalenti. Allora sono possibili i tre casi seguenti: (i) vi sono c~ r D linearmente equivalenti ad una data D di esse (1 < r < n - - l ) ; (ii) le D sono tra loro a due a due linearmente disequivalenti; (iii) le D sono a ~ a , linearmente equivalenti (v > 2).

La prima ipotesi conduce subito all'esistenza su V,, di u n a congruenza irregulare di variet5 V . N'ella seconda eventualits supponendo - - come ovviamente necessario - - che q > n, possiamo rappresentare fl sistema {D} sopra una variets V,,* giacente su V~, la quale ~ birazionalmente equivalente a V,,. Nel terzo caso avviene che, ad un gruppo di v punti di V,, corrisponde lo stesso punto P* di Vq, il cui luogo ~ una variets V,** in corrispondenza (I, ,) con V,,. Evidentemente la costruzione non si effettua se q ~ n; ma cade in difetto anche se Pg (Vn) = 0: difatti, se in quest'ultimo caso ci fosse un modello V~*, in base al n. 7 si avrebbe Pg (V,,*) -- 0, in contraddizione col n. 22. Risulta quindi che se V , ha genere geometrico zero, essa contiene qualche congruenza irregolare. E vedremo pifi tardi che,

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L E O N A R D ROTH

in tal caso, come nel caso q ~ n, c'~ sempre u n a congruenza di irregolarits q. Pifi generalmente si pub dimostrare che la costruzione della variet~ V~* cade in difetto se, e soltanto se, V, contiene u n a congruenza di irregolarits q. Ma ci5 g non necessario ai nostri scopi attuali.

25. Alcune applicazioni. - - Come abbiamo gih osservato, presupponiamo sempre c h e l a picardiana Vq sia priva di singolarits come del resto ~ lecito (n. 2). Ma con cib n o n ~ detto che il modello V~*, se esiste, sia non singolare anch'esso: anzi la questione dell'esistenza o meno di u n tale::mode"tlo rimane sempre aperta. Nelle seguenti applicazioni p r e m e t t e r e m o , come ipotesi di lavoro, che se V,, ~ non singolare, esista u n suo modello n o n singolare V,* Stabiliamo prima una propriets caratteristica della varieth di PICARD: ogni varieth V , di irregolarith n, che sia dotata di ipersuperficie canonica nulla e cite non contenga nessuna congruenza di irregolarit~t n, una variet~ di Picard. I n base all'ultima osservazione del n. 24, esiste un modello semplice o multiplo di V,, che, per le ipotesi fatte, ~ proprio u n a variets di PICARD. Se tale modello ~ semplice, il t e o r e m a ~ dimostrato; se invece ~ multiplo, n o n ci possono essere elementi di diramazione, altrimenti V, sarebbe d o t a t a di u n sistema lineare canonico di ordine positivo (n. 7). E quindi, in base al n. 8, V,, risulta picardiana. D i m o s t r i a m o ora la seguente disuguaglianza di Castelnuovo-Comessatti: Se V , non contiene nessuna congruenza irregolare, allora P~ (V,,) > n (q - - n). b~el caso n = 2, il risultato fu stabilito da CASTELNUOVO [7, 9] con m e t o d i trascendenti; l'estensione al caso generale fu d a t a da COMESSATTI [16] nello stesso ordine di idee (vedi n. 39). Qui invece esponiamo una dimostrazione geometrica che segue il m e t o d o a d o p e r a t o da d'ORGEVAL nel caso n = 2 ([45, 57]). (i) Anzitutto, per q u a n t o si ~ d e t t o sopra, possiamo escludere il caso q < n. Consideriamo d a p p r i m a il caso q = n; per ipotesi la costruzione di SEVERI nel n. 24 conduce sempre ad un modello semplice o multiplo di V~, il quale ~ senz'altro una varieth di 1)ICARD. Quindi abbiamo che P~ (V,,) = 1, oppure P~ (V,,) > 1, a seconda che il modello ~ semplice o multiplo (n. 7).

(ii) :~el caso q = n + 1, esiste sempre, per ipotesi, un modello V,* sulla picardiana V,,~1. Ora le trasformate di V,* m e d i a n t e gli

SULLA VAF,IET~k D[ P I C A R D E LE SUE AFPLICAZIO~[

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automorfismi del gruppo G,,+j relativo a V,+~ descrivono un sistema {V,**} di dimensione n + 1; difatti la dimensione di tale sistema potrebbe risultare inferiore soltunto se V,* possedesse qualche gruppo continuo di automorfismi, sottogruppo di G + L, il che ~ impossibile in quanto V,* non ~ n~ una varieth di PICARD (essendo q ~ n) n~ dotara di nessuna congruenza irregolare (n. 22) (~0). 0ra V,,+~ possiede una ipersuperficie canonica nulla, e quindi le aggiunte ad una V,,* appartengono al sistema {V,,* }, sicch~ le variet~ canoniche di V,* sono caratteristiche (") del sistema {V,,*}, e cio6 segate su V,,* datle variets V,* prossime ad essa. ~[a quest'ultime sono c~" e quindi P~ (V,*) = n § 1; ed allora Pg (V,) > n § 1.

(iii) Veniamo ora al caso q > n + 1. In questo caso, per ragioni analoghe, il sistema {V,*} delle trasformate di V,,* mediante il gruppo Gq relativo a Vq ha dimensione q; e seguendo il ragionamento svolto da ENRIQUES ([24], p. 449) in un caso simile, si vede facilmente c h e l a dimensione del sistema caratteristico di {V,,*} 8 almeno n § 1. Consideriamo ora un sistema continuo completo {Vq_~ } di ipersuperficie Vq_l generate dalle variets V,*; poich8 Vq ha per ipersuperficie canonica la variets nulla, il sistema lineare aggiunto ad una Vq_~ del sistema deve appartenere al sistema stesso: o simbolicamente, =

Quindi il sistema (lineare) canonico di Vq_~ ~ proprio il sistema caratteristico su essa, ed ~ costituito da variet's Vq_.,_che sono ancora generate da trasformate di V,,*. Per una tale Vq_.,_ sussiste la relazione di aggiunzione

V'q--2 = 2 Vq_.,- " Perci6 una variets canonica Vq_:~di Vq_.,. ~ il doppio della sua variet'~ caratteristica ed ~ generata da trasformate di V,*. Cosi procedendo si vede che l'intersezione di q - n - 1 variets Vq_L ~ una W,, per cui la relazione di aggiunzione Wi, =

(q - - n) W,,.

Ma una tale W,, ~ formata da almeno una V,,*, e quindi il sistema canonico di V,* contiene il multiplo secondo q - - n del sistema carat(a0) A dire la verits nel n. 22 abbiamo parlato di irregolarits superiiciale anzich~ quella geometrica; ma per quello che ci occorre ora, la teoria precedente poteva svolgersi in termini dei concerti attuali. (~) I1 concerto di sistema caratteristico ~ analogo a quello dell'intorno di prim'ordine di un p u n t o ordmario della varieth immagine del sistema continuo in discorso.

350

LEONARD ROTH

teristico di V,*. Perci5, osservando che l'irregolarith di V,* ~ uguale a q, si ha che P , (V,,*) - - 1 > (n + 1) ( q - - n). E siccome in ogni caso P~ (V~,) > P~ (V,*), il teorema ~ completamente dimostrato. Una conseguenza immediata del teorema ~ che ogni variet~ V~, di irregolarit~ q ~ 0 per cui Pg (V,) ~ n (q - - n) contiene sempre qualche congruenza irregolare. Questo risultato comprende anche il caso particolare P~ -= 0, q ~ n. Aggiungiamo, a titolo di notizia, c h e l a classificazione delle superficie per cui p~ _ 2 ( q - 2) ~ stata effettuata da COMESSATTI ed altri; tali superficie si riducono a pochi tipi. Nel caso del problema analogo per n = 3, sono ben scarsi i risultati conseguiti finora: per le relative citazioni bibliografiche rimandiamo a [56, 57]. 26. La variet~ di Picard-Severi. - - Consideriamo una variet~ V, di irregolarit~ superficiale q :> 0; e siano u~ (i = 1, 2, ..., q) i relativi integrali semplici di prima specie tra loro linearmente indipendenti. Tali integrali individuano un sistema di periodi la cui matrice ~ ~ una matrice di :RIEMANN. Chiamiamo la variet~ di PICARD appartenente a o~ la variet~ Vq~ di Picard-Severi attaccata a V n oppure la seconda picardiana di V,~. E assumiamo le u~ come i soliti parametri universali Sll Yq t. 0ra sorge la domanda: quale legame passa tra la prima e la seconda picardiana di V, ? La questione diventa precisa solamente dopo aver dimostrato che l'irregolarits geometrica di V, ~ sempre uguale all'irregolarits superficiale (vedi n. 28): ma cib premesso, si pub stabilire, con ANDREOTTI [1 ], che ciascuna delle due variet5 ~ la prima picardiana dell'altra. E risulta poi che in generale le due variets sono birazionalmente distinte. D'ora innanzi tratteremo sempre della variets di PICARD-SEVERI, the possiamo denotare con Vq senza rischio di equivoci. Anzitutto riprendiamo in considerazione la rappresentazione parametrica delle variets di PICARD mediante ]e equazioni (n. 2): (2)

X0 : XI *- "'"

*-Xr

=

(~0 (1]l) "- (}L ( U ) "- ,,. O r ( U )

ed applichiamola a Vq. Denotando con x un punto corrente su V,, chiaro che possiamo ottenere una rappresentazione di V,, su Vq tramite le equazioni

(3)

u, (x)

=

u,

(i =

1, 2,

...,

SULLA VARII~T)t DI PICARD E LE SUE APPLICAZIO-NI

351

Vediamo dapprima sotto quali condizioni possiamo trovare cosl un modello proprio di V,,, e cio~ una varieth V,,* n-dimensionale in corrispondenza birazionale o multipla con V , . Ovviamente un modello proprio non pub esistere se q ~ n; per6 non ci soffermiamo su questo caso poich~ rientra nel]a seguen~e investigazione generale. Scelto un punto x generico di V,,, dobbiamo cercare quali punti y soddisfino alle relazioni (mod. i periodi) (4)

u i (x) ~

u~ (y).

(i = 1, 2,.., q)

Se le (4) ammettono una soluzione, ed una sola, allora - - in base alle (2) - - si ottiene su Vq una varieth algebrica irriducibile la quale birazionalmente equivalente a V,. Se invece le (4) ammettono , ( ~ 1) soluzioni, si ottiene una variet~ immagine d'una involuzione I v su V,,, che chiamasi involuzione ]ondamentale di V,,. In ogni altro caso le (4) rappresentano una congruenza, di irregolarit'~ superficiale q, di variet~ (12) lungo le quali i q integrali assumono valori costanti. E d allora la rappresentazione richiesta viene a mancare. Inversamente, se V,, contiene una congruenza di variets la cui immagine possieda q~ integrali semplici di prima specie, allora, siccome si t r a t t a d'una trasformata razionale di V,,, segue dal n. 7 che q~ _< q; e precisamente q~ integrali di V, rimangono costanti lungo i membri della congruenza. Insomma, un modeUo proprio V,,* di V , su Vq esiste se, e soltanto se, V, non contiene qualche congruenza di irregolarit~ superficiale q; e

nel caso q ~ n, tale congruenza esiste sempre. Tutti questi risultati sono di SEVERI che li ha stabiliti prima per le superficie e poi per le varieth in generale (vedi [70, 71]). Notiamo infine il caso in cui precisamente q' delle relazioni (4) a m m e t t a n o infinite soluzioni, mentre le soluzioni delle rimanenti q - - q' sono in numero finito; allora, come si ~ detto, V,, possiede una congruenza, di irregolarit~ superficiale q', di varieth algebriche. Ora, mentre ~ inteso che la variets Vq ~ sempre non singolare, nulla ci dice che il modello V,,*, se esiste, si trovi helle stesse condizioni (~3). In certi casi particolari possiamo costruire un modello proprio non singolare; ma in generale bisogna fare l'ipotesi che tale modello esista. (12) Neeessariamente algebriche, in base alle (2) e il t e o r e m a (di W~.ImtSTRASS-HURWI~z-S~.v~.RI) s e c o n d o cui ogni funzione meromorfa sopra una variet~t algebriea ~ u n a funzione razionale. (la) I n f a t t i , anche se per una seelta g e n e r i e a dJ x le (4) a m m e t t o n o u n n u m e r o finito (ed allora c o s t a n t e ) di soluzioni, tale conclusione pub benissimo cadere in difetto per q u a l e h e scelta particolare.

352

LEONARD R O T H

Segnaliamo qualche conseguenza quasi immediata della nostra ipotesi di lavoro. (i) In primo luogo, una varieth V , a genere geometrico zero contiene sempre una congruenza di irregolarit~ (superficia!e) q. Difatti, se cosl non fosse, esisterebbe un modello V , * semplice o multiplo, necessariamente a genere geometrico zero anch'esso, il che ~ impossibile (n. 22). Questo teorema, che generalizza un risultato di CASTELNUOVO, d o v u t o a SEVERI [69]. (ii) I1 modello V,*, se esiste, ha irregolarit5 (superficiale) q. Dalla corrispondenza tra V, e V,* si deduce che l'irregolarith di V,~* non supera q; ma sta di fatto che i q integrali semplici di Vq inducono altrettanti integrali su V,* iiii) Se V, ha irregolarit5 q e contiene una congruenza di irregolarit5 q' ~ q, senza contenere una congruenza di irregolarit~ q, allora possiede anche una congruenza di irregolarith q - qt. Per ipotesi, esiste il modello V,~* sulla picardiana Vq; e per di pifi, in base alle (4), quest'ultima dev'essere speciale (14) di tipo q': contiene dunque una congruenza complementare di irregolarits q - - q', la quale sega su V,,* una congruenza che ha per immagine una congruenza di u~o~lale irregolarits su V,. (iv) La seguente osservazione ~ dovuta a ANDREOTTI [4]: la setie ( X o (V,) } di Severi ~ composta con l'involuzione ]ondamentale I.. Infatti, dalle (4) discendono le equazioni du i (x) = dui (y); quindi, se du~ (x) = O, anche du~ (y) = 0, onde la conclusione (n. 17).

(v) Abbiamo parlato in precedenza della seconda picardiana V~ d'una curva di genere q, che chiamasi variet~ di Jacobi della curva. 0ra, mentre tale Vq ~ un tipo molto particolare di varieth di PICARD, la picardiana d'una V, con n ~ 2 ~ perfettamente generale. Questo risultato ~ di LEFSCHETZ [41], che ha dimostrato per via topologica che ogni Vq ~ la picardiana di qua]che sua sottovariets ad esempio la sua sezione con qualche spazio lineare di dimensione opportuna. Per di pifi, ogni V,, (n > 3) ha la stessa picardiana della sua sezione iperpiana generica. Quest'ultimo teorema, nel caso particolare n -~ 3, devesi a CASTELNUOVOed ENRIQUES [10]; anzi, gli Autori hanno dimostrato che ogni superficie di V:, la quale soddisfi a certe condizioni di generalit~ ha la stessa irregolarit~ superficiale di V~: bisogna che (14) Difatti, quegli integrali che si mantengono costanti lungo le sottovarieth di una congruenza su V~* rimangono costanti lungo le sottovariets d'una congruenza di V~ stessa.

353

SULLA VARIET;k D[ PICARD E LE SUE APPLICAZIOlqI

tale superficie appartenga ad un sistema lineare c~2 almeno e c h e l a parte variabile delia sua curva caratteristica sia irriducibile. La necessits di queste condizioni risulta evidente da contro-esempi: anche una V~ regolare pub contenere delle superficie irregolari, ma risulta sempre che o sono isolate o ~1 in numero oppure c h e l a loro curva caratteristica ~ riducibile. 27. Applicazioni ed esempi. - - Illustriamo i precedenti concerti sopra qualche esempio importante. (i) In contrasto con le varietk considerate negli ultimi paragraft, quelle che spesso si presentano nella geometria sono superficialmente regolari. Anzitutto si pub dimostrare che ogni ]orma non singolare di S,+ 1 (n > 2) ~ regolare. Tale risultato ~ classico nel caso n = 2, e la conclusione generale ne consegue dal teorema di LEFSC~ETZ del n. 26. Una seconda classe di variet~ regolari ~ quella costituita d~lle variet~ unirazionali; come abbiamo gih osservato nel n. 6.

(ii) }{el n. 6 abbiamo citato la formula (11) per i caratteri g~ d'una variets prodotto, in base alla quale possiamo affermare che, per una V n = V~ • Vb, sussiste la relazione (5)

q (V,) = q (V,) + q (Vb).

Una prima deduzione ~ la seguente: se V,, contiene due congruenze di dimensioni complementari e di rispettive irregolarit5 q' e q", aUora

q (V,,) >_ q' + q". Se le congruenze {V~ } e {Vb } sono unisecanti, possiamo applicare la (5). Se invece sono d-secanti (d > 1), rappresentiamo V,, sopra il modello d-plo W,, prodotto di due varieth birazionalmente equivalenti a {V~ } e a {Vb} rispettivamente, e poi applichiamo la disuguaglianza (n. 7): q (V,) ~ q (W,~).

(iii) Un caso interessante dell'ultimo risultato ~ fornito dalle variets pseudo-abeliane. Con le notazioni del n. 15, sia Wp una tale variets e siano {Vq }, {Vp_q} le sue congruenze associate, di rispettive irregolarits q' e q. Allora risulta [20] che l'irregolarits di W~ ~ uguale a q + q'. Difatti, se tale irregolarits fosse maggiore, ci sarebbero pifi di q' integrali semplici di prima specie costanti lungo le variet~ V~. .Sr

l t a r i , o M ( t t . e F~8. di, Mi.l~tno -

vol. XXX

23

354

LEONARD ROTH

Un'altra osservazione sulle variet~ pseudo-abeliane, dovuta a A~DREOTTI [4], e la seguente. ]~ chiaro che l'involuzione I a = (Vq V~_q)

su Wp ~ tale che in tutti i punti dello stesso gruppo gli integrali u~ assumono dei valori congrui modulo i periodi; quindi l'involuzione I~ composta con l'involuzione ]ondamentale I,. Nel caso in cui I~ non coincida con I,, il corpo di funzioni razionali sul modello Wp* ~ un sottocorpo proprio dell'analogo insieme costruito sul modello proprio di Wp, se tale esiste, il che esige che sia q + q~ > p. Quindi, mentre l'immagine multipla Wp* si pub sempre costruire, il modello proprio sulla picardiana pub benissimo mancare; in particolare, se la congruenza delle traiettorie risulta regolare, esso manca sempre. (iv) Dimostriamo ora che una variet5 di Picard non pu,~ contehere un sistema continuo di involuzioni irregolari. Sia V, una variet~ di PICARD e sia Wp l'immagine di qualche involuzione I, di irregolarits q ~ 0, contenuta in essa. Allora, se ~ Pg (Wp) = 1, possiamo applicare a I il teorema del n. 11; in quel'caso le equazioni (13), (14) del n. 12, che rappresentano le sostituzioni di un sottogruppo ciclico tipico del gruppo generatore di I, ci mostrano che i parametri relativi alle sostituzioni di tale gruppo non possono variare con continuitY.

Se invece ~ P~ (Wp) -- 0, segue dal n. 26 che Wp contiene una congruenza di irregolarit~ q; allora Vp ~ speciale, contenente una congruenza, necessariamente picardiana. Ad ogni involuzione quale I corrisponde una congruenza su Vp. E d abbiamo visto (n. 8) che questa congruenza non pub appartenere ad un sistema continuo. (v) Ne consegae che una V , (di irregolarit~ q) non pud contenere un sistema continuo di involuzioni irregolari, a meno che non possegga qualche congruenza di irregolarith q. Siano x, x~, x2, ... i pun~i di un gruppo dell'involuzione I - - che possiamo supporre diversa dall'involuzione fondamentale I~ - - sopra V,,; allora, per ogni integr~le u i di prima specie attaccato a V,, sussiste una relazione analoga alla (1) del n. 7 (cfr. [18]):

(6)

E u i(uj) = Z ai,~ % ( x ) + ci ( i =

1,2,...,q).

J

Ora, per ipotesi, esiste sulla picardiana Vq di V~ il modello V.*; quindi le relazioni (6), definite originariamente solamente su V~*, si lasciano prolungare, dando cosl un'involuzione su tutta Vq, ed allora ci si ritrova nelle condizioni del teorema precedente.

SULLA V A R I E T k I)I PICARD E LE SUE APPLICAZIONI

355

0sserviamo che l'ultima ipotesi dell'enunciato g essenziale: allorch~ non si verifica, V~ pub benissimo contenere un sistema continuo di involuzioni irregolari. Nel caso n = 2, tall involuzioni sono state compiutamente determinate ([75]). I1 risultato suddetto g classico per le curve, nel qual caso prende il nome di teorema di Painlevd-Humbert-Castelnuovo; per i relativi ragguagli vedi [72]. I1 teorema fu poi esteso alle superficie da SEVERI [67]. Ma evidentemente esso ha carattere generale, in quanto rispecchia una propriets delle variet~ di PICARD.

(vi) Abbiamo visto che, se V, contiene qualche congruenza di irregolarit~ massima q, non esiste il modello V~* sulla prima picardiana e nemmeno sulla seconda picardiana relativa a V,. 0ra g facile vedere che in questo caso non ci pus essere nessun modello birazionale di V,, su una variets Vq di PICARD di dimensione uguale alla irregolarith q di V,. Infatti, se esistesse un tale modello W,~ su Vq, alla congruenza giacente su V,, dovrebbe corrispondere una congruenza di irregolarit~ q su W,,, la quale a sua volta darebbe luogo ad una congruenza analoga su Vq, in contraddizione col fatto (n. 4) che ogni congruenza contenuta in Vq ha irregolarits minore di q. Da questo risultato negativo si trae la conclusione che, per quanto concerne la classificazione delle varieth V, di irregolarit~ q, qaelle variets che contengono congruenze di irregolarit~ q non si lasciano stadiare quali variet~ immerse in variet~ Vq di PICARD. Quindi tali V, vengono escluse dalle considerazioni del prossimo capitolo. 28. Sul teorema ]ondamentale. - - Come abbiamo accennato nel primo capitolo, ogni varieth Vq di PICARD con q >_ 2 gode delIe seguenti due proprieth: (i) essa possiede esattamente q integrali semplici di prima specie;

(ii) ogni sua ipersuperficie appartiene ad un sistema continuo completo, composto di co~ sistemi lineari diseqaivalenti, ed avente sistema caratteristico completo. Queste proprieth si sono manifestate come un esempio ed anche una sfida ai geometri delle due generazioni passate: da oltre 55 anni si tenta di costruire una teoria analoga ed ugualmente armoniosa per tutte le variets V, (n > 2) di irregolarits superfieiale q > 0. Qui vogliamo dare un breve riassunto dei risultati eonseguiti finora nel caso generale, giacch~ ta storia deI caso n = 2 stata raccontata ed ampiamente documentata pifi volte (cfr. [24,

81]).

356

LEO~ARD R O T g

Consideriamo una V, (n >_ 2) con i soliti q integrali semplici; anzi tutto 6 facile vedere che su essa esistono dei sistemi continui completi composti con ooq sistemi lineari ed a sistema caratteristico completo; chiamiamo tipico un sistema continuo godente una tale proprietY. Se V,~ contiene qualche congruenza di irregolarith q, la cosa 6 immediata. In ogni altro caso consideriamo il modello V,,* sulla seconda picardiana Vq: sappiamo (n. 3) che le funzioni theta del sistema 0 (u + r segano su Vq un sistema tipico; ebbene, tall funzioni ds a pari tempo un sistema analogo su V,,* e quindi su V,. Questa semplice osservazione 6 dovuta a KODAmA [37]. I1 processo pus anche venir invertito: partendo da un sistema tipico {C } di V,, consideriamo la relativa prima picardiana, che ha dimensione uguale all'irregolarits geometrica q di V,,. Si pub dimostrare con CASTELNUOVO [8, 9] che i q integrali semplici della picardiana ds luogo a precisamente q integrali analoghi attaccati a V,~. Tornando al primo problema, osserviamo che, a partire da un sisterna tipico {C } 6 possibile costruire un'infinith di sistemi consimili. Se I A t denota un sistema lineare completo, si consideri il sistema continuo {I A + C - C I I}, ove I C l e I Ci I sono sistemi lineari distinti di (C}: allora, sotto opportune ipotesi di generalith, il nuovo sistema riesce tipico anch'esso. M a i l teorema fondamentale nel presente ordine di idee ha una portata molto pid vasta: si tratta invero di stabilire delle condizioni generali sotto le quali un dato sistema I A I di V n sia atto a definire un sistema continuo tipico. Gis nel caso n = 2 si conoscono esempi di sistemi (.4 } tali chela serie caratteristica sulla curva A generica risulti incompleta: quindi qualche ipotesi restrittiva sar~ essenziale, nel caso n~>2. l~ella 5{emoria [37] KODAIRA perviene ad un risultato di carattere generale tramite il concerto di sistema lineare ampio; un sistema lineare completo I A l chiamasi ampio se non possiede componenti fisse e se ~ atto a rappresentare le sezioni iperpiane d'una varieth W,~ non singolare la quale sia in corrispondenza birazionale e senza eccezioni con V,. Ci5 premesso, siano I C l e I CI [due sistemi lineari distin~i di 9 un sistema tipico (C }, costruito come dianzi mediante le funzioni theta; ' e sia I K I il sistema lineare canonico di V,,. Allora KODAmA stabilisce il teorema: se i sistemi I A § C - CI l e I A - K § C - C~ I sono ambedue ampi, il sistema I A] individua un sistema eontinuo completo {A } tale che su ogni suo elemento non singolare il sistema caratteristico risulta completo. (Per altri risultati in merito, vedi anche [37]).

8ULLA

VARIETk

DI P I C A R D

E LE

SUE

APPLICAZIONI

357

Nel medesimo lavoro KODAIRA generalizza un classico teorema di CASTELNUOVO: ferme restando le ipotesi, si dimostra che la deficienza del sistema caratteristico di IA [ ~ uguale all'irregolarith q; e che neI caso di ogni altro sistema lineare completo di ipersuperficie generalmente non singolari, tale deficienza non supera il valore q. Pifi recentemente KODAIRA e SPENCER [39] hanno ripreso ]a questione nell'ambito della classe pifl vasta di variet~ compatte complesse, che comprende - - naturalmente - - quella delle variet~ algebriche. Qui il concerto di sistema lineare ampio viene sostituito con quello di ipersuperficie emi-regolare: seguendo un'idea di SEVERI, una ipersuperficie di V, chiamasi emi-regolare se il sistema I K I completo sega sa essa un sistema completo. Tale condizione ~ meno restrittiva di quella data in precedenza. L'importanza di quest'ultimo concerto si era gi'~ rivelata durante i tentativi di stabilire il teorema fondamentale per le superficie algebriche con dei mezzi puramente classiei. Fino ad oggi una dimostrazione algebro-geometrica del teorema ~ stata ottenuta solamente in due casi: (i) per una curva aritmeticamente effettiva (~5) sopra una superficie di genere geometrico zero (ENRIQUES);

(ii) per una curva emi-regolare sopra una superficie qualsiasi (SEVERI).

Per quanto concerne le superficie algebriche, il teorema fondamentale ~ stato dimostrato da POI~CAR~ per le curve aritmeticamente effetrive, con l'impiego delle cosiddette ]unzioni normali; il suo metodo stato poi rielaborato da SEVERI (per un abbozzo della dimostrazione cfr. [82]). D'altra parte, la trattazione di KODAIm~, per quanto poggi su teorie riposte quali la coomologia e ]a recente teoria dei fasci, e fa uso non solo dei classici risultati trascendenti ma anche degli integrali armonici, ha il gran merito di risolvere la questione per tutti i valori d i n . Una sohlzione anche parziale del problema, basata su metodi pifi elementari, sarebbe di alto interesse, sia scientifico che didattico.

(i~) Una curva sopra una superficie dicesi aritmeticamente effettiva se la dimensione virt.uale del sistema lineare completo da essa individuato, calcolata in base al teorema di RIEMAN.n-ROCH, risulta non negativa. Per la relativa teoria vedi [81].

LEO~ARD

358

ROTH

w 5. APPLICAZIONI ED ESTENSIONI. ~ O" Nell'ultimo capitolo abbiamo dato vari esempi dell ' ~lmpm~o delle due picardiane nello studio delle variet~ irregolari. In questo capitolo riprenderemo in esame il modello V,,* (supposto esistente) e faremo vedere come, in circostanze favorevoli, esso possa condurre ad una classificazione, per lo meno in linea generale, di tall varietY, poggiando sulle proprieth delle funzioni theta. Vedremo pure che, nel caso delle superficie, ~ possibile pervenire ad una precisazione maggiore, grazie al legame (n. 26) tra l'involuzione fondamentale e la serie di SEVERI. Nella seconda parte del presente capitolo daremo un breve resoconto delle recenti ricerche (di KODAIRA ed altri) che sono state ispirate da alcuni risultati ed induzioni di SEVERI [68], pubblicati una cinquantina di anni fa. Mediante i caratteri g~. della varieth V,,, gi's definiti nel n. 5, possiamo introdurre - - tramite una certa formula di SEVERI-KODAIRA un insieme di n - 1 invarianti assoluti, le irregolarits qk (2 < k _< n) le qua]i generalizzano il classico concetto di irregolarit~ q ( = q2)- In conclusione mostreremo che, merc~ tali invarianti, si possono stabilire delle disuguaglianze analoghe a quella di CASTELNUOVO-COMESSATTI (n. 25), che si collegano con l'esistenza, o meno, di congruenze sulla varieth V,~. -

-

29. Problemi di classificazione per le variet5 irregolari. - - D'ora innanzi consideriamo una varieth V, (n > 2) di irregolarith q > 0, la quale non contenga nessuna congruenza di irregolarith q; il che vuol dire che si ha sempre q >_ n, P , (V,~) > 0, e che in ogni caso esiste un modello V,,* - - supposto non singolare - - sulla seconda picardiana Vr La V,,* ~ immagine dell'involuzione fondamentale I, su V, (n. 26). Se q -- n, si t r a t t a d'una variet'~ di PICARD, semplice o multipla, m a in tutti i casi per cui q > n - - che qui ci interessano - - V,,* ~ immersa nella relativa picardiana Vq. Cib posto, i problemi di classificazione possono riassumersi come segue: (i) I1 processo si inizia con la scelta di un ambiente Vq per un dato valore di q: tale Vq pub essere a moduli generali o a moduli particolari, a divisori unitari o a divisori qualunque. E va notato che su certe variets Vq particolari possono presentarsi dei tipi speciali di V,~* non esistenti sulle Vq generali. Lo studio sistematico delle variet~ V,,* procede per i valori successivi di q : q = n + 1, n + 2 ......

SULLA V A R I N T k DI PICARD E LE S U E &PPLICAZIOIq[

359

(ii) I n secondo luogo, fissata la t r r si t r a t t a di determinare le classi di V,, per cui si abbia v = 1; tall classi coincidono con quelle dei modelli V,,*, sicch6 lo studio si riduce a quello delle varieth irriducibili giacenti su Vr (iii) Questi ultimi risultati formano poi la base per la classificazione delle variets V,~ per cui ~ > 1. E qui entrano in gioco non soltanto i possibili valori di ,, ma anche la natura degli elementi di diramazione su V,*. (iv) In questa fase del problema sarebbe interessante di stabilire per quali variet~ particolari tall elementi manchino addirittura. Per quanto concerne la scelta della V~ nello stadio (i) del problema, qui ci limiteremo per brevit'~ al caso generale; i vari casi speciali non presentano difficolt~. Per i problemi (ii) e (iii) ci siamo valsi dei risultati di ANDREOTTI [3] per il caso n = 2, i quali sono in gran parte applicabili al caso generale. Per n > 2 ci sarebbe molto da dire ancora relativamente al problema (iii), mentre per n = 2 ANDREOTTI 6 pervenuto a conclusioni abbastanza precise. Come vedremo, le difficolth che si presentano nel nostro studio sono molto simili a quelle gis incontrate nelle ricerche classiche di NOETHER e di HALPgE~ sulle classificazioni delle curve algebriche. Ad esempio, il caso q = n + 1 ~ analogo a quello delle curve piane, il easo q = n + 2 somiglia quello delle curve di S~; e cosl via. E l'analogia tra i due problemi pub essere spinta molto pi~ in lh (eft. i risu|tati dei nn. 31-32). 30. Il caso ~ = 1. - - Dobbiamo considerate le due possibilith: q=n+ 1, q > n § 1. I - q = n § 1. In b a s e a l n . 3, e a m b i a n d o p i n q , s a p p i a m o c h e le funzioni theta di un dato ordine m definiscono su Vq dei sistemi lineari 10~ I ciascuno di dimensioni ~ ---1, ore = (m ~q)q/~l ~ .-- ~ Ne consegue che si ha sempre ~ > 1, tranne nel caso ~h=m=l. Ora, eccetto questo caso, si pu6 dimostrare che il sistema I O, ] 6 privo di punti base. Difatti, se m > 1, il detto sistema pub concepirsi quale somma di un sistema [0, [ e di un sistema [0 ~ [, e nb il sistema con-

360

LEONARD ROTH

t i n u o delle 0j n~ quello delle 0m_1 possiede dei p u n t i base. I1 caso m = 1, ed anche il caso eccezionale di cui sopra, riehiedono u n esame a parte. 0 r b e n e , il grado virtuale del sistema 10m I ~ positivo, sieeh~ segue dal classico t e o r e m a di BERTINI ehe l'ipersuperficie 0 m generica ~ irriducibile e n o n singolare; il ehe significa che nel caso attuale l'ipotesi di lavoro ~ superflua. Per aleuni e s e m p i del easo m = 1, vedi n. 34. I n conclusione, possiamo affermare che se ~ = 1, q = n § 1, tutte le variet~t V , sono birazionalmente equivalenti ad ipersuperficie segate su V,, dalle ]unzioni theta di ordini m (m = 1, 2, ...). I I - q > n -~- 1. Consideriamo l'insieme delle funzioni 0 a p p a r t e n e n t i a d u n a d a t a m a t r i e e co; dalla definizione del n. 2 si vede subito ehe (i) la s o m m a di due funzioni t h e t a di ordine n ~ u n a t h e t a di ordine n; (ii) il p r o d o t t o 0m 0 ~ u n a t h e t a 0 +,. R i s u l t a ehe le ]unzioni theta appartenenti alla matrice ~ ]ormano un anello graduato ~ (o)).

Ci5 posto, ANDREOTTI d i m o s t r a che per tale anello sussiste il seg u e n t e t e o r e m a della base: Data una successione 01, 0e, ... di ]unzioni theta, di rispettivi ordini n 1, n.,., ..., appartenenti all'anello ~ (o~), esiste sempre un numero finito di esse - - ad esempio 01, 02, ..., 0 - - tale che ogni altra ]unzione della successione possa esprimersi nella ]orma 0 t = A I01 § 2 4 7

... +A~O~,

ore le A~ sono ]unzioni theta di ordini nt - - n~ (i = 1, 2, ..., s).

31. La ]unzione di Hilbert. - - D e n o t a n d o con A~, = (01, 02, ..., 0,) u n ideale di ~ (co), dieiamo sizigia dell'ideale u n sistema d i s funzioni A 1, A.,, ..., A s dell'anello tall che sia O~A~ + 0 2 A 2 +

... +O~A,~--O.

P o s s i a m o eoneepire le sizigie quali elementi di u n o spazio v e t t o r i a l e ad s dimensioni. D e n o t a n d o con A~a il v e t t o r e (A1, A2, ..., A,), si h a ehe AI~

A., I =

0.

L a totalit~ di questi v e t t o r i costituisce u n modulo; e dal t e o r e m a di HILBERT discende che ogni modulo dei vettori ha una base finita.

SULLA VARIETA DI PICAttD E LE SUE APPLICAZIONI

361

Ci5 posto, possiamo costruire una base per il modulo delle sizigie dell'ideale A~,, cosi ottenendo una matrice A~t a s righe e a t eolonne, essendo t il numero dei vettori della base. Poi troviamo le sizigie At1 del modulo dei vettori della matrice A~t, le quali soddisfano all'equazioIle

A~t AL~ =

0.

Con i vettori della base dell'ultimo modulo costruiamo una terza matriee Atu, e eosl via. E possiamo dimostrare ehe tale proeesso termina sempre dopo un numero finito di operazioni. Dopodiehg si proeede alla eostruzione della funzione di HILBERT relativa all'ideale A = AI.~, e eiog il massimo numero 7, (A, m) delle theta di ordine m 3q eontenute in A e linearmente indipendenti tra loro. I1 proeesso sopra delineato del ealeolo della eatena delle sizigie ei permette di valutare z (A, m) per ogni m > 1. Sia A, A,t, At, , ... la eatena delle sizigie di A. Denotiamo con m / ~ q , ..., m . / 8 i rispettivi ordini di 01, 0.,, ..., 0~. Denotiamo con m / ' 8q, ..., m u" ~q i rispettivi ordini delle t h e t a della prima riga di A~. Denotiamo con m / ' 3q, ..., m~" ~q i rispettivi ordini delle theta della prima riga di A~u. E cosl via. Allora si pub dimostrare ehe 1 D x(A,m)

t = Z (m--m/) q-Z i~l

(m--m'i --m/') ~ § i=l

i

§ Z (m

--

m 1' - -

To1 H - -

iy~,/H)q...,

i=l ore

D

=

(~q)q/81

8 2 ... ~q.

32. I1 caso q = n + 2. - - ]~ evidente che i precedenti risultati trovano la loro applicazione pifi semplice nel caso q -- n + 2. Segnaliamo qui due sottocasi particolarmente interessanti. I - Intersezioni complete. Anche qui ~ facile vedere c h e l a V,, generiea ~ priva di singolarit& difatti, se V,, ~ l'intersezione completa di Vq con le ipersuperficie segate su essa dalle funzioni 0, 0 ~, il sistema lineare segato da l0 I ha per elemento generico una varietk non singolare, e su questa il sistema 10'l sega un sistema lineare il eui elemento generico ~ non singolare anch'esso. II. - Varieth di residuale finito. Siano V,,, V,' due varietk di Vq corrispondenti rispettivamente agli idea]i A. A' di )t (o~). Denotando

362

LEONARD ROTK

con 0~, 0~ d u e elementi di A senza fat-tori c o m u n i , d i c i a m o che V,,' u n residuo di V,, rispetto a 0, 0', se sussiste il legame A' =

(0~, 0,~) : A

Ci6 premesso, la variet~ V,, ~ di residuale zero se il suo ideale A generabile con due e l e m e n t i soli. P r o c e d e n d o per induzione si dice che V,, ~ di residuale p se essa ~ residuo d ' u n a V,,' di residuale p - - 1, e n o n minore. Questo concerto ~ s t a t o il p u n t o di p a r t e n z a per i m p o r t a n t i ricerche salle curve di S:~ da p a r t e di GAETA [29]; e c o m e ha osservato ANDREOTTI, il t e o r e m a f o n d a m e n t a l e nella teoria di GAETA si p r e s t a bene agli sviluppi attuali. Esso p u 6 essere e n u n c i a t o c o m e segue:

Ogni V , di residuale p corrisponde a un ideale generato dai minori di ordine massimo d'una matrice (0~) a p + 1 righe e p + 2 colonne, la quale ~ omogenea e di rango p + 1. Inversamente, ogni V,, il cui ideale sia generabile dai minori d'una tale matrice ~ una variet~ di residuale ~. N'ei casi I e I I si p u b procedere al calcolo delle relative funzioni

di I-~ILBERT seguendo la via gi~ t r a c c i a t a nel caso n = 2. 33. II caso , ) 1. - - S u p p o n i a m o ora che si abbia ~ ~ 1, q _> n + 1; allora l'involuzione f o n d a m e n t a l e I,, che ~ definita dalle relazioni u, (x) ~-- u, (y) ' (i -- 1, 2, ..., q) costituita da g r u p p i di ,~ ~ 1 p u n t i , in generale distinti. E r i c o r d i a m o p u r e (n. 26) c h e l a serie di SEVERI ( X o ( V , ) } ~ c o m p o s t a con I,. La discussione del caso , > 1 si basa sui seguenti fatti. A n z i t u t t o si p u 6 d i m o s t r a r e ([4]) che I, n o n possiede mai delle coincidenze isolate; e che se esistono delle coincidenze, la serie {X 0 (V,,)} dev'essere di ordine zero. S e c o n d a r i a m e n t e , e s a m i n a n d o il caso in cui m a n c h i n o delle coincidenze in I~, si d i m o s t r a ([4]), t r a m i t e i g r u p p i f o n d a m e n t a l i di V , e di V,,*, che i divisori ~ (V,,) e ~ (V,,*) d e v o n o soddisfare alla relazione ( V,*) ~ ~ ~ ( V,,). We consegue che, se V , * ~ priva di torsione, la c o r r i s p o n d e n z a tra V,, e V,,* ~ perforza birazionale. I n conclusione, possiamo enunciare il seguente teorema:

I1 caso ~ > I pud presentarsi se, e soltanto se, si verifica una delle clue eventualitS: (i) la serie di Severi di V,~ ~ di ordine zero;

SULLA VARIET~ DI PICARD E LE SUE APPLICAZIONI

363

(ii) la varieth V * ~ dotata di torsione tale che il diviso,re di V, sia minore del divisore di V,* E coincidenze nell'involuzione ]ondamentale I, possono sussistere solamente nella prima eventualith. Le precedenti considerazioni si applicano a tutti i valori di n; per5 nel caso particolare n = 2 si pub fare un'ulteriore precisazione, in base ad un risultato di DANTONI [19]. Se supponiamo - - com'~ sempre lecito - - che V 2 sia priva di curve eccezionali, allora possiamo asserite c h e l a serie (X o (V2) } ~ di ordine zero se, e soltanto se, V~ ~ ellittica o picardiana. Pertanto il caso di coincidenze in I, pu6 sorgere solamente se V2 risulta ellittica; ed allora si dimostra ([4]) con le notazioni del n. 16, che il luogo delle coincidenze di I~ consta della curva composta Z (s - - 1) B~(~' Per ora almeno non siamo in grado di stabilire un risultato analogo nel caso n > 2. Si tratterebbe in primo luogo di caratterizzare le variets V,, irregolari (anzi, con irregolarits q _> n + 1) che abbiamo serie di SEVErn di ordine zero. In base ai risultati del n. 19 tra queste vi sono certamente le variets pseudo-abeliane; ma non sappiamo dire se ve ne siano delle altre. 34. Alcuni esempi. - - Guardiamo ora alcuni casi illustrativi dei nn. 30-33. (i) Sia V, la varieth immagine delle, n-ple di punti d'una curva C di genere q ~ n + 1: atlora Vq non ~ altro che la variets Jq di JACOBI relativa a C. Denotando con P il punto di V, immagine del gruppo (x1, x.., ..., x,) di punti su C, si vede che V, possiede esattamente q integrali semplici di prima specie linearmente indipendenti, dati dalle formule v~(P) ---- u~(xl) +u~(x2) + . . . + u i ( x . ) . ( i = 1 , 2 , . . . , q ) La matrice dei periodi dei v~ ~ identica con quella dei periodi degli u~. Ora si vede facilmente che in generale la rappresentazione di V,, sopra V,* ~ birazionate e senza elementi eccezionali. Difatti, presi due punti P, Q di V,, corrispondenti ai rispettivi gruppi (x), (y) di C, ovvio che le relazioni v~ (P) ~ v~ (Q) sussistono se, e soltanto se, valgono le z u (xi) ~ j=l

E ui(yj).

(i = 1,...,q)

i=1

Orbene, in base al teorema di ABEL per le curve, queste ultime relazioni possono sussistere solamente se i gruppi (x), (y) appartea-

364

LEONARD

ROTH

gono ad una serie lineare g,) di C, senza p u n t i fissi; e per di pifi, siccome q > n § 1, quella serie dev'essere speciale. 3Ia, come sappiamo (cfr. [25]), tale serie non pub esistere per valori arbitrari di n, nemm e n o sulle curve a moduli particolari. Ne eonsegue che la rappresentazione di V,, ~ generalmente priva di elementi eccezionali. I n tal caso, ponendo q = n § 1, come nel n. 30, vediamo che la V,,* generiea segata su V e da una funzione t h e t a di prim'ordine 5 non singolare. Se invece supponiamo che C sia a moduli particolari, allora pub darsi che essa contenga qualche serie speciale di ordine n; quindi nascono degli elementi eccezionali nella eorrispondenza tra V,, e V,,*. Ad esempio, se esiste un'uniea serie completa g,,~, ad essa corrisponde un p u n t o multiplo isolato su V,,*; allora non b detto the possiamo trovare su Vq un modello non singolare di V,,.

(ii) Consideriamo una V,, della forma V,, = V' • V", dove V' e V" h a n n o le rispettive irregolarit~ q', q" (ambedue positive) tali ehe q' + q" > n. Allora q (V,,) = q~ + q", e V,, non pub eontenere nessuna congruenza di irregolarith q. Sappiamo ([81]) ehe ogni integrale sempliee di prima specie di V,, proviene da un simile integrale attaeeato o a V' oppure a V": p e r t a n t o segue ehe la picardiarta di V,, ~ il prodotto delle due picardiane di V' e V". E risulta ehe ,J = 1 se, e solt a n t o se, le involuzioni fondamentali di V', e V" h a n n o a m b e d u e Fordine uno. (iii) U n risultato alquanto a nalogo al precedente sussiste per ogni varieth pseudo-abeliana IV,, per la quale possa costruirsi un modello proprio sulla relativa picardiana. Con le solite notazioni, discende dal n. 27 che tale modello W,, giace su una varieth di PIC.A_RD di dimensione q + q', che ~ speciale di tipo q (o q'); le sue eongruenze complementari {Vq }, {Vo, } r a p p r e s e n t a n o le due congruenze fondamentali su Wp. La eorrispondenza t r a W,, e lVp risulta birazionale se m a n e a n o r t u t t e le varietg 1 q,~ ne!la congruenza di traiettorie su W,,: altrimenti sempre ,~ > 1, e v i g diramazione lungo le varietg immagini delle V~.... ciascuna eontata ( s - - 1 ) volte. (iv) Abbiamo accennato in precedenza (n. 13) al fenomeno della torsione ehe pub presentarsi ~.ella teoria delle superfieie ellittiche. Nel presente ordine di idee b interessante rilevare the A~'DREOTTI [4] ha stabilito una f o m m l a per il divisore ~ di ogni superficie ellittiea W~ di irregolarits q > 3. Modifieando le usuali notazioni, d e n o t i a m o con C 1, C 2, ..., C t le carve sottomuleiple delle traiettorie C su W 2, e con

SULLA V A R I E T k DI PICARD E LE

s,, s.,, ..., s t

SUE APPLICAZIONI

365

le loro rispettive molteplicith; e supponiamo che si abbia 2
<_s.,_ <

...

<_s t .

Allora, studiando i] comportamento dei grappi fondamentali di W:: e W., si perviene alla relazione ,J a ( W . , ) = s~ s., ... St_L, essendo , Fordine dell'involuzione I~. Evidentemente questo risultato non comprende il caso importante delle superficie ellittiche di genere geometrico zero, ore manchi il modello ~ ; per5 si pub ragionare in modo analogo sull'immagine W.,*, sempre esistente anche in quel caso. 35. S u l t e o r e m a d i R i e m a n n - R o c h . - - Le ricerche precedentemente descritte sulla classificazione delle variets superficialmente irregolari mostrano in modo palese l'inadeguatezza degli invarianti classici di fronte ai vari problemi di caratterizzazione che ivi si presentano. Sorge quindi la domanda se si possano trovarne degli altri per poter completare il quadro dei nostri risultati. A proposito, un'idea degna di ulteriori sviluppi si ~ gih affacciata nel n. 5, ove abbiamo definito, per una variet~ algebrica V,, i caratteri g~ rappresentanti i rispettivi numeri delle forme differenziali (di prima specie) di grado k (1 _< k < n). Prendendo le mosse da qaella nozione possiamo introdurre un insieme di irregolarits analoghe a quella superficiale. La via che qui seguiamo, che ~ dovuta a KODAn~A [37], fa uso di forme armoniche, di correnti ed altri concerti di natura topologico-trascendente; per ora non ~ possibile dare una esposizione pifl affine ai metodi classici. I1 lavoro di KODAII~Acon~empla in primo luogo una varietal k~ihler i a n a V , , la quale notoriamente include come caso particolare una variets algebrica non singolare. Per essa sono ben definite le forme differenziali di prima specie, e tramite quelle di grado n possiamo definire anche il sistema lineare canonico I K l e quindi il sistema ] K + + D [ aggiunto ad un dato sistema lineare [D [. Allora, essendo S una ipersuperficie non singolare arbitraria di V,,, si pu6 stabilire il teorema di RIES, A.~'x-Rocu per il suo sistema aggianto nella forma (1)

dim ] K + S ] = g,, (V,,) - - g,,_~ (V,,) + g,,-L (S) - - 1 + s

ove s denota il numero di differenziali di prima specie e di grado (n - - 1) di V, che si annullano su S. In un secondo tempo si pu6 estendere la (1) ad un sistema della forma] K + S + T I, ore S, T sono ipersuperficie non singolari qualsiasi.

366

LEON~RD ROTH

Ci6 posto, definiamo il genere aritmetico di V , mediante la formula (2)

a ( V , ) = g, ( V , ) - - g , - i ( V , ) q- . . .

-k ( - - 1) "-1 gl (V,).

Si tratta poi di dimostrare che tale definizione riducesi a quella classica nel caso particolare d'una variet~ algebrica, lntanto possiamo prorate che (3)

a (S + T) = a (S) q- a (T) + a (S T).

Allora, poggiando sulla teoria delle forme armoniche si deduce dalla (1) che, se E ~ una ipersuperficie non singolare appartenente ad un sistema lineare ampio (n. 28), si ha che (4)

dim t K + E ]

= a ( V , ) + a (E) - - l .

La (4) ~ una seconda versione del teorema di RIEMANN-ROCH per un sistema aggiunto I E' I" Nel caso d'una varieth algebrica, e col linguaggio della geometria classica, essa ci dice che il sistema [E' [ ~ regolare (cfr. [68, 82]). Rileviamo qui che il teorema generale di RIEMANN-ROCH per una variet& algebrica V,,, nella forma datagli da HODGE, ~ stato stabilito da MARCHIONNA [82] con soli mezzi classici. 36. I1 genere aritmetico e la /ormula di Severi-Kodaira. - - I1 prossimo passo nella trattazione di KODAIRA ~ diretto verso la conciliazione dei suddetti concetti e risultati con quelli della teoria classic& Ricordiamo a tale uopo una delle definizioni date da SEVERI [68, 82] del genere aritmetico d'una variet~ algebrica V~ non singolare; Fattuale formulazione differisce alquanto da quella originale, ma ~ sostanzialmente identica con essa. Partendo dal concetto di ]unzione caratteristica di HILBERT, gi~ incontrato nel presente capitolo, possiamo dimostrare che, per tutti i valori sufficientemente alti dell'intero h, sussiste un polinomio v (h, D) tale che sia (5) dim t D + h E I = v(h, D). E possiamo dimostrare inoltre che il valore v (O, D) di tale polinomio riesce indipendente dalla scelta del sistema ampio [E I; esso chiamasi dimensione virtuale del sistema ]D I" 0ra, seguendo SEVERI, si definisce il genere aritmetico P (V,) di una variets algebrica non singolare V~ quale dimensione virtuale di I K I, aumentata da 1 + (-- 1)~-1; sicch~ (6)

P~ (IYn) = v (0, K ) + 1 + (--- 1) n-1 .

SULLA VARIETA DI PICARD E LE S U E APPLICAZIONI

367

Uno dei risulgati principali dimostrati da KODAIRA ~ the nel caso attuale si ha che P~ (V,,) = a (V,,); allora, in base alla (2), (7)

g,,_~ (V,,) + . . . + ( - - l) "-~ g~ ( V , ) .

P,, (V,,) = g, ( V , ) -

Questa formula ~ stata congetturata da SEVERI [68] nel 1909, e da lui verificata in alcuni casi particolari. E, come tosto vedremo, essa eostituisce la base per sviluppi importanti nella teoria delle varietk algebriche. Intanto segnaliamone un corollario: in base alla (7), il genere aritmetieo d ' u n a varieth algebrica non singolare ~ u n invariante assoluto per tras]ormazioni birazionali della variet5 (a patto che tall trasformazioni non diano luogo a punti singolari sulle trasformate). 37. Le irregolarit~ q~. - - Osservando ora che g,, ( V , ) non ~ altro the fl genere geometrico Pg di V,,, si vede che l'ultima irregolarith o irr~olarith n-dimensionale q,, = Po - - P~, di V,, si esprime mediante la formula

(8)

q,, = g,-~ -

g,,-2 + " "

+ (--1)"

ga.

Applichiamo la (7) alla V,,_~ sezione iperpiana generica di V,,, denotando con q,-1 l'ultima irregolarit/~ di V,_I, e tenendo conto che i numeri g~_~, g t _ 3 , ..., g~' delle forme di prima specie su V,_I sono rispettivamente uguali ai numeri g,-2, g,,-3, ..., mentre g~,,_~ ~ uguale al genere geometrico di V,,_~. N e consegue che q,,-~ = g , , - 2 - - g , - : :

4- . . .

4- ( - - 1 ) "-L gl,

la quale, confrontata con la (8), ci d~ (9)

ff,,-I -----q,~-I + q,~" Similmente, per valori discenden~i di n. g,,-., = q~,-2 4- qn-1

(10)

............. g2 = q: + q:~ g~ = q~ ~- q~(q~ -- 0),

ove q, ~ l'irregolaritd k-dimensionale della sezione V, di V~ con uno spazio Sa_~+ , generico dello spazio ambiente S d di V,.

368

LEONARD ROTH

Attesa l'invarianza assoluta dei numeri g,, risalendo d a n = ] in su ne segue l'invarianza assoluta di q.,, q~, ..., q,,_,; l'invarianza assoluta di q,, ~ gi~ stabilita. In concltlsione ([79]), la variet~t V,, possiede n - - 1 irregolaritgt q2, q~, -.., q,,, che sono humeri interi invarianti assoluti per tras/ormazioni birazionali. Il numero detle ]orme dfferenziali di pri~na specie e di grado k (1 _< k _< n - - 1) ~ dato dall'equazione g~. = q~ + q,~t (qt = 0). Va notato che l'irregolarith q~ ~ sempre non negativa; cib risulta dalle classiche ricerche nella teoria delle superficie. Ma le altre irregolarits possono avere segni qualunque, subordinatamente alle restrizioni g, > 0 (cfr. n. 38). Dalla (8), applicata alle sezioni lineari di V, di dimensioni appropriate, si traggono le espressioni (11)

q.~ = g~_~ --g,_.,_ + . . . + ( - - 1 ) ~g~

(s = n , n - - l , . . . , 1 )

per le irregolaritS,. Tall irregolarit~., definite a prio.ri quali caratteri proiettivi, vengono cosl espresse dalle sonlme alternate che mettono in rilievo la loro invarianza. Dopo ci5 ~ facile dare alla loro definizione un aspetto a priori invariante (gi~ acquistato per g,~). A tale uopo introduciamo il concetto di varieth ordinaria sopra V,,; una sottovariet~ W h (2 < h _< n - - 1) chiamasi ordinaria se ~ irriducibile non singolare e s e i l numero g~ (1 < s < h - 1) risalta uguale al numero analogo di V,,. ]~ evidente che le W~, ordinarie sono assolutamente invarianti; inoltre tall varieth esistono effettivamente per ogni dimensione di h da 2 a n - 1 (infatti ineludono delle sezioni lineari di V,, come casi particolari). Da questa definizione discende subito ehe l'ultima i rregolarit~ di u n a varietg ordinaria ~ u n intero indipendente dalla varietY, considerata. Un altro concerto, anch'esso dovuto a SEVERI [79], g quello d~ varieth totalmente regolare, e cio~ una V,, per cui q, = 0 (s = 2, 3, ..., n). Evidentemente, condizione necessaria e sui~ciente perch~ V,, sia totalmente regolare ~ che non possegga ]orme differenziali di prima specie di grado k = 1, 2, ..., .n-1. Infatti, dalle condizioni q, = 0 seguono gk = 0; e inversamente. 38. Alcune applicazio~i. - - Esaminiamo ora vari esempi importanti. (i) Sia V._,una superficie (irriducibile non singolare) di V,,, sulla quale non si annulli identicamente nessuna forma lineare di prima specie di V,,. Allora le g, forme di prima specie staccano altrettante forme

369

SULLA VARIETA DI PICARD E LE SUE APPLICAZI01~I

indipendenti su V2, epperb gr ~ gl, ove gl~ denota l'analogo carattere di V 2. Ricordando che g~ = q2, g / = q~, ne segue'che q2~ > q2- Quindi l'irregolarits superficiale di V 2 ~ la minima irregolarits delle superfieie generiche di V,~; generiche nel senso che su ciascuna di esse non si annulla nessuna forma lineare di prima specie di V~. Sia ora una V3 irriducibile non singolare di V~, avente l'irregolarits q2, la quale sia generica nel senso che su essa non si annulla nessuna forma quadratica di prima specie di V,. Allora, con ovvie notazioni, g . / ~ g2, e siccome g2~ - q2~ § q3~, g2 = q2 + q3, g~ = g2, ne eonsegue q3~ ~ q3; cio~ l'irregolarits q3 e la minima irregolarits tridimensionale d'una variet~ V 3 generica fra quelle che gi~ hanno l'irregolarit~ superficiale di V,. Risalendo per valori crescenti delle dimensioni, si pub stabilire una proprieth analoga per ogni carattere q~.

(ii) Notiamo alcune classi di variets totalmente regolari. Anzitutto c'~ quella costituita dalle ]orme non singolari di uno spazio di dimensione qualunque; ~ questa una conseguenza del fatto che per una tale forma, tutti i caratteri gk son nulli, eppertanto anehe i caratteri q, sono nulli, in forza delle (10). I n secondo luogo, ogni varieth unirazionale ~ totalmente regolare e a genere aritmetico zero. Abbiamo visto (n. 6) che per tale variet~ risulfa g~ -= 0, onde dalla (7) discende che P~ = 0; attualmente questa l'unica dimostrazione nora della propriets in parola. Poi si ha che q, ---- 0, come dianzi. I n terzo luogo, consideriamo la classe di S~ doppi di tipo generale: si t r a t t a di un S~ doppio la cui variets di diramazione sia una forma non singolare di ordine pari - - diciamolo 2m (m > 1). Allora si dimostra per induzione rispetto a r che il sistema canonico ] K ] ~ rappresentato dal sistema lineare delle forme di ordine m - - r - - 1 di S~: infatti, considerando la fete di rette doppie - - che sono curve iperellittiche - - nel piano doppio, formiamo il loro sistema aggiunto e quindi il sistema canonico. Poi, per trovare il sistema canonico dell'S 3 doppio, consideriamo il sistema di piani doppi ed applichiamo ad esso i precedenti risultati. E cosi via. Osserviamo ora c h e l a dimensione effettiva del sistema delle forme di ordine m - r - 1 coincide con quella virtuale, e cio~ nel caso attuale abbiamo sempre Pg = P~. E siccome i vari sottospazi lineari di S sono immagini di variet~ ordinari (n. 37), ne consegue che lo spazio doppio S (r ~ 2) di tipo generale ~ privo di ]orme differenziali di prima

specie ed ~ totalmente regolare. 8et~tar~o

Mat.

e F $ s . eli M ~ t a n o

-

vol. XXX

24

370

LEONARD ROTE[

Va notato che non appena passiamo dal caso generale a casi particolari, le ultime conclusioni - - ed anche que[le concernenti le forme di un iperspazio - - possono cadere in difetto. Per limitarci all'esempio pifi semplice, consideriamo una forma le cui uniche singolarit~ siano dei punti multipli isolati di tipo generale; seil numero e gli ordini di tali punti sono abbastanza piccoli, vuol dire che impongono delle condizioni indipenden~i alle forme aggiunte che staccano il sistema I K I" Ma se eosl non ~, la dimensione effettiva di I K I risulta diversa da quella virtuale, ed allora l'ultima irregolari~s non ~ pifi nulla: potrebbe essere positiva o negativa. E considerazioni analoghe valgono per I'S~ doppio ]a cui variets di diramazione sia dotata di singolarits a proposito cff. il seguente paragrafo (v.).

(iii) Passando alle variet~ irregolari, esaminiamo prima il caso delle variets di PICA~D. Discende dal n. 6 che per una Vp di PICARD si ha che g~ = ( ~ )

(k = 1, 2, ..., P). Quindi, in base alla (11),

qk = (k p 1) 4- ... 4- (--1)~p .E dalla (7) risuXta che Pa = (-- 1)~-1. Per quanto concerne le variet~ abeliane (non picardiane) possiamo affermare che i loro caratteri g/soddisfano alle disuguaglianze (n. 7) g / _ < g~ (k = 1, 2, ..., p).

(iv) Consideriamo ora una varlet& prodotto V, = V, x-V,_, del tipo gi~ esaminato nel n. 6. Abbiamo visto come i caratteri g~ (V,) possano venir espressi in funzioni dei caratteri g~ (V,) e g~ (V,_,); dalle formule del n. 6 e in forza della (7) segue l'importante risultato P. (V.) + (-- I)" ----{s (V.) 4- (-- I)'} {P. (V~_.) 4- (-- i)~-'}. Questo. insieme con la formula Pg (V~) -- P, (V~) Pg (V~_.). sono s%ati stabiliti da G~ETA [30] con soli mezzi classici. Osserviamo inoltre che ogni varietk ordinaria di V,, ~ prodotto di varietk ordinarie appartenenti rispettivamente a V~ e V,,_,. Le irregolaritk q~ (V~) sono tutte esprimibili, tramite le (11), in funzioni delle irregolarits di V~ e di V~_~. Questi risultati trovano applicazione immediata nella teoria delle varietk pseudo-abeliane. Come abbiamo dimostrato nel n. 16, una tale varietk Wp si lascia rappresentare sopra una variets multipla Wp* che un prodotto della forma Vq* • Vp_~* (1 < q < p - - 1); pertanto i caratteri a~ (Wp) sono tutti esprimibili in funzioni degli analoghi ca-

371

SULLA VARIET~t D I PICARD lg LE S U E '-APPLICAZIONI

ratteri di Vq* e di V*p_q. E allora i caratteri g~ (W,) devono soddisfare alle disuguaglianze g~ (Wp) > g~ (Wp*) (k = 2, 3, ..., p). Per6 abbiamo gis visto ehe, nel easo k = 1, vale inveee il segno di uguaglianza. (v) Esaminiamo infine il easo dello spazio doppio S r irregolare del tipo pifi generale; tale variets viene definita induttivamente a partire dal concerto di piano doppio irregolare il quale - - come risalta da lavori elassiei - - nel easo generale ha per eurva di diramazione un eerto numero (sempre pari) di curve irridueibili e non singolari appartenenti ad un faseio a panti base distinti. Consideriamo dunque un S~ doppio la eui variet~ di diramazione eonsta di 2 m forme F, di ordine b, di un faseio I F ] la eui varieth base C sia irridueibile non singolare, e quindi intersezione eompleta di due forme F in posizione generiea. Anzitutto dimostriamo e h e l a variets V r immagine dell'S~ doppio eontiene un faseio iperellittieo (quindi irrazionale) di ipersuperfieie di genere m - 1. Difatti, alla F generiea del faseio I F [ eorrisponde su V~ una eoppia di ipersuperfieie eiaseuna delle quali ~ birazionalmente equivalente a F; e tali saperfieie eoineidono se, e soltanto se, F fa parte della variet~ di diramazione. Quindi segue dalla formula di ZEVTHEN ehe il genere p del faseio g dato da 2p - - 9. = 2m - - 4. Gli invarianti di V sono stati ealeolati da GaLLARATI [31], seguendo un metodo di NOETHE~. Per valutare i generi P,, Pg, bisogna trovare la postulazione, sia virtuale sia effettiva, della varieth C rispetto alle forme di ordine m b - - r - - 1 ehe debbano eontenerla come variets ( m - 1)-pla. 0ra, in base al notissimo teorema di NOETHER, possiamo serivere l'equazione di ogni tal forma; poi, eomputando il numero dei eoeffieienti indipendenti ehe ivi eompaiono, troviamo per le due postulazioni in parola le rispettive espressioni =

--m

+ (--1

(m

1),

Ne segue ehe

P = m(b-l) a

r

§ (--1)'-~(m----1) ,

Pa=m, b - - 1) 9

9"

Pertanto l'ultima irregolarith q, = ( - 1 ) " ~eminario

Mat.

e Fis.

di Milano

. vol. X X X

(m--l) 24*

372

LEO~D

BOTH

Da questa formula possiamo dedurre le rimanenti irregolarit~ q, mediante sezioni lineari della varieth di diramazione; cosi, per k ~ r, si ha che q~ = (--1)~ ( m - - l ) . Allora, dalle equazioni del n. 37 abbiamo

1

gr

l

-~

m

(b-l) r

ab = o

(k = 2,9., . . . , r - - l ) ,

g~ = m - - 1 .

Riassumendo, uno spazio doppio S~ (r > 1) la cui variet~ di diramazione consti di 2m (m > 1)/orme non singolari dello stesso ordine b ( > 1) appartenenti ad un /ascio di tipo generale, contiene un [ascio iperellittico di genere m - 1. Esso ha irregolaritd superficiale m - 1, e possiede m

r

]orme differenziali di prima specie e di grado r, mentre

privo di /orme differenziali di prima specie e di grado k (k = 2, 3, ..., r--l). Sarebbe interessante trovare una dimostrazione geometrica di quest'ultima parte de] teorema.

39. Ulteriori sviluppi nelIa teoria delle /orme differenziali. - - I1 legame tra forma differenziali ed integrali di prima specie attaccati ad una data varieth V,, somiglia quello che esiste tra vettori e scalari. Tall forme godono certi vantaggi rispetto agli in~egrali in quanto possono venir moltiplicate secondo le regole del caIcolo esterno: ad esempio, il prodo~to d'una forma di prima specie di grado h per una forma di prima specie di grado k ~ una forma di prima specie di grado h + k, identicamente nulla quando h + k > n. Se h ~ k, tall prodotti (ordinati) sono in numero gp, g~; ma non ~ detto che siano linearmente indipendenti. La teoria delle forme differenziali pub veair applicata al problema delle congruenze irregolari contenute in V,, cosi generalizzando vari risultati di CASTELNUOVO,SEVERI e COMESSATTI (n. ~5). Ci limiteremo ora a qualche esempio concernente l'impiego delle forme di primo grado; per6 come osserva SEVERI [80], C'~ qui un vasto campo di ricerche in cui andrebbero sfruttate le forme di grado superiore. Sempre con le notazioni del n. 37, ricordiamo che, se la variet~

373

SULLA V A R I E T ~ DI PICARD E LE S U E A P P L I C A Z I O ~ I

V~ contiene qua|the congruenza di s0ttovarieth di irregolarits superficiale q (0 < q ~ q.,), vuot dire che esattamente q degli integrali u~ di prima specie attaccati a V , rimangono costanti lungo i membri della congruenza suddetta; e inversamente. I1 problema delle congruenze irregolari equivale quindi a stabilire delle condizioni sotto le quali gli integrali u~: presentino questa particolarits Possiamo sempre supporre che sia q~ >_ n, altrimenti V,, conterrebbe certo una congruenza di irregolarits q2. La soluzione di un problema importante in quest'ordine di idee devesi essenzialmente a COMESSATTI [16]; essa poggia sal seguente lemma di SEVERI [SO]. Siano r

(% = V A ~ d x k

(j = O, 1, ..., h)

j=l

h + I forme di prima specie e linearmente indipendenti, appartenenti a V , , a coefficienti Ajk funzioni razionali del punto di V,. Se gli integrali Ui

~

f

O~i

sono fnnzionalmente dipendenti, cio~ se la matrice (Aj,) ha il rango al -pifi h, diremo che le % sono r a z i o n a l m e n t e d i p e n d e n t i . Qualora fra -]e ~j esistano h forme razionalmente indipendenti, ]a matrice (Ar avr~ il tango h, e percib potranno trovarsi h + 1 funzioni razionali (non tutte identicamente nutle) ~o, v~, --., ~h det punto di V , soddisfacenti alle h

E A~,

=

0

(k = 1 , 2 , . . . r )

~0

epper5 le % saranno legate dalla relazione h ~0

nella qua]e le ~z non possono ridursi tutte a costanti, altrimenti le sarebbero linearmente dipendenti. Quindi qualcuna delle o), per esempio ~o, deve soddisfare ad una relazione ~o = k1r + ~2~. § -'" § ~hc~ con le ~ funzioni razionali, non tutte costanti. Ora, formando il prodotto esterno delle r si trova the

I Aoz, Aoz, ... A0z~ % % ... o~,, -

X

l.
I

......... Ahz, .4h~ ' ... At,~ ~

dxz. dxz~ ... dxz, .

374

r,EO~D

RO~

Onde il l e m m a : la condizione aj~nchd il prodotto (esterno) ~ % ... ~ sia identicamente nullo su V equivale alla condizione cite le [orme o) siano razionalmente dipendenti; e, se non sono nulli tutti i prodotti delle o) ad h ad h, dalla condizione consegue che i coe~cienti del legame lineare tra le (~, che ~ necessariamente unico, sono ]unzioni razionali non tutte nulle n~ tutte costanti. Ci5 premesso, sussiste il t e o r e m a :

Condizione necessaria e su~ciente perch~ una V ,, (di irregolarith q., > O) contenga una congruenza ~ h (1 < h < n - - 1 ) di irregoIarith superficiale h + 1 almeno, ~ che su V,, esistano h + I ]arme differenziali di prima specie, linearmente indipendenti, il cui prodotto sia hullo, senza che lo siano tutti i prodotti di quelle /orme ad h ad h. L a necessits della condizione trovasi in [70]; la sufiicienza s p e t t a a COMESSATTI [I6], p o g g i a n d o su u n concerto di DE FRANCHISe di CASTELNVOVO p r e c e d e n t e m e n t e utilizzato nel caso n = 2: cosl egli stabilisce che le funzioni razionali x definite sopra sono integrali primi del sistema differenziale too = O, oh = O, ...,

co~, = O,

e p p e r t a n t o gli integrali u, sono c o s t a n t i su ciascuna delle varieth algebriche r a p p r e s e n t a t e da[le equazioni ,;.~ = xL, ),-.,=)-,,_

.--, L, = x h "

Tali v a r i e t h costituiscono, al variare delle ;-., u n sistema di equivalenza, intersezione completa, su V,. Ne consegue c h e l a varieth generica del s i s t e m a - - a prescindere da e v e n t u a l i c o m p o n e n t i fisse - - 6 c o m p o s t a con delle variets V,,_,, algebriche irriducibili e variabili in u n a c o n g r u e n z a c~ h di irregolarit~ superficiale > h + l, le quali sono alla loro volta integrali del s u d d e t t o sis~ema differenziale. 40. Alcune consequenze. --- Come corollario i m m e d i a t o si vede che se Pg (V,,) = O, V,~ deve contenere u n a c o n g r u e n z a di irregolarith q~. Difatti, il p r o d o t t o d i n forme co i n d i p e n d e n t i su V n o n p u s che essere nullo, perch8 a l t r i m e n t i d a r e b b e r o luogo ad u n a f o r m a di p r i m a specie e di grado n, ed allora sarebbe Pq (V,,) > O. S i m i l m e n t e si dimostra: Una V , con % > n - 1 > 0 ha tutte le irregolarit5 positive, oppure contiene per qualche valore di h (tra 1 ed n - 1) una congruenza ~ h superficialmente irregolare.

SI~LLA VARI]~Tk DI PICARD E LE SUE APPLICAZIONI

375

Sia qh§ (h < n - - 2) la prima irregolarith non positiva di V,,. Poich6 gh+~ = qh~-~ § qh~-.,_, risulta gh+z <~ qh+,. D'altronde gh = qt, + qh+~, e siccome qh > 0, cosl gh > qh+~. Pertanto g~, ~ gh~; cib significa che qualcuno dei prodotti di h forme ~ o ~ nullo o moltiplicato per un'altra conveniente forma o) ds un prodotto hullo di h + 1 forme lineari; onde la conclusione. La presente teoria ci fornisce pure dei limiti inferiori per i caratteri g~; precisamente: Sopra u n a V,, di irregolarit~ q., = p ~ O, non contenente nessuna congruenza irregolare (e quindi avente p ~ n), i carattari gk (k -- 2, 3, ..., n) soddis/ano alle disuguaglianze

Infatti, nessuna delle ( ~ ) forme di prima specie provenienti da prodo~ti ad h ad h, in un prefissato ordine, delle forme o) su V , , pub annullarsi identicamente su V,,, perch5 in quel caso V,, conterrebbe qualche congruenza irregolare. E d'altronde le /( . )

forme considerate

non possono essere legate da una relazione lineare a coefficienti costanti, perchg in tal caso si potrebbe dimostrare che o quelle costanti sono tutte nulle oppure qualcuna delle forme si annulla su V,,, implicando l'esistenza di qualche congruenza irregolare. Questo risulta~o, ed anche i precedenti, sono dovuti a SEVERI [80]. interessante notare che il caso particolare n = 2 si trova gis in una Nora lincea di CASTELZ~UOVO, pubblicam nel 1949, sui moduli delle superficie algebriche. M a i l teorema discende subito dalla rappresentazione di V,, sul modello V,*, che esiste certamente in virtfi delle ipotesi fatte; basra osservare che g~. > g~*, e poi ragionare come al n. 38 (iii).

Per concludere facciamo qualehe cenno a vari problemi insoluti nel presente campo di ricerche. Abbiamo visto che, su una data varieth V,,, esistono sempre delle sottovarieth V h che hanno le stesse irregolarith - - fino al limite delle loro rispettive dimensioni - - della V,, stessa. Ora ci si pub domandare: quale sar~ il grado di generalith di tall variets V h? I nostri risultati precedenti lasciano gi~ intravvedere che le V~, non soddisfacenti a

376

LEONARD ROTH

questa condizione sono in qualche senso particolari. E nel caso n = 3, possiamo precisare i termini (( superficie generica )) e (( superficie particolare )~ in merito (cfr. n. 26 (v)). Ma per n ~ 3 la questione rimane tuttora aperta. Abbiamo illustrato un po' sommariamente l'impiego delle forme differenziali di prima specie e di primo grado nel problema di caratterizzare le variet~ dotate di congruenze irregolari di sottovariet~. Ed chiaro c h e l a considerazione dei prodotti di forme di grado superiore al primo dovr~ condurre a risultati pifi precisi e pi~ completi in questo campo. Ora, accanto alla propriets meramente qualitativa di possedere delle forme differenziali di prima specie c'~ un'altra quantitativa che forse varrebbe la pena di sfruttare. Come abbiamo detto altrove, ogni tal forma possiede dei periodi, in generale non nulli; e il numero ed anche i valori di quei periodi potrebbero benissimo influire sulle propriets delle variets regolari od irregolari che siano, con cui le forme sono associate. In particolare essi potrebbero venir collegati col problema di assegnare dei limiti per i moddli delle variets algebriche, problema che, tranne nel caso delle curve, presenta quasi sempre degli ostacoli formidabili ad una soluzione rigorosa. Ma tutto ci5 ~ strettamente connesso colla trattazione trascendente-~opologica della geometria algebrica, il che ci allontanerebbe troppo dai metodi the abbiamo voluto esporre in questo corso di lezioni.

SULLA

VARIET~t

DI P I C A R D

E LE SUE

APPLICAZIONI

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