1
s,(U~(z)'*a~(z-').-g.
Dana le cas B 1 lea iddaux Hi(Z) de I1~(0 sont permutds transitivement par Gal (ll~(0/lI~) ils sont donc premiers A p.
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Extensions di6drales et monogen6it6
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Dans le cas B2 avec p =t= 3, on remarque que les idhaux II~(Z) sont ambiges dans Q ( 0 / Q o et sont permutes par G a l ( Q ( 0 / k ). Dans le cas B2 avec p = 3, on 6crit ~.I(Z)~[I(Z-1) 2~-- bl(z)B2(Z-1)2( l -j)~. Les b~ ~tant des id6aux de 2g et e valant 0, 1 ou 2. Dans le cas A, les id6aux ramifi6s dans k(()/k sont les id6aux au-dessus de p lorsque p est ramifi6 dans k/Q, sinon k(O/k est non ramifi6e aux places finies. Le groupe de d6composition des id6aux au-dessus d e p dans k ( 0 / Q est d ' o r d r e p - 1 et celui des id6aux de t[i(Z ) est d'ordre 2, engendr~ par s_ a z. I1 s'ensuit que les id6aux II~(z) sont premiers /t p lorsque p + 3 ou lorsque p = 3 n'est pas ramifi6 dans k/Q, ce sont donc des id6aux de k 6tendus fi k(0. Dans le cas A lorsque p = 3 est ramifi6 dans k/Q on a k = Q(x/3m), ~; = Q ( ~ - m) avec m premier fi 3. Si (3) est inerte dans Q ( ~ - m)/Q, les lI,(z) sont premiers fi 3; si (3) est d6compos6 dans Q ( x / 7 - m ) / Q , les id6aux Hi(X) peuvent ne pas ~tre premiers fi 3. 5. Etude d'une condition n6cessaire fi la monog6n6it6 de Z N comme Zk-alg6bre. Soit f un nombre premier, premier tip et ramifi6 dans N/k. U n tel id6al est d6compos6 dans ~:/Q ce qui impose les conditions suivantes: (7)
casB1
f-l(p),
casB2
f=_+l(p),
casA
f-(d)
modp.
Les id6aux premiers de Tcau-dessus de f divisent le produit [ I lli(Z). I1 en r6sulte, darts les cas A et B1 que Pun des id4aux au-dessus de C dans k(0 fgure dans la d6composition de ((x, Z) p) avec une valuation positive, congrue/t 1 modulo p, de plus pour tout automorphisme s~ la valuation de s~(fx, Z) p) en cet id6al est positive et non congrue fi un modulo p. Dans le cas B 2, on aboutit aux mames conclusions en remplagant 6ventuellement Z par Z- ~ et en choisissant les automorphismes sl dans Gal(Q(0/k). O n se place d6sormais dans les conditions suivantes: il existe un ideal (d) de Z premier fi p e t ramifi6 dans N/k. On choisit un id6al 5r au-dessus de (d) dans N ( 0 et on note: Y"=~e"c~k(0;
~"=Y"c~Q(0;
~=~"c~k.
(Dans les cas B1 et B2, oga' et 5(' coYnddent.) On suppose de plus que Z N = ~k[O]. L'id6al 5r peut alors ~tre choisi de fagon que 0 < Wse.((x, Z) p) -- ~//-ae,((zx, Z) v) - I (modp) et que pour s s Gal (N(O/N): 0 < "Uss(ae,)((x, Z) p) -- ~//~{z,)((zx, Z) v) ~ 1 (modp). Comme s est ramifi6 dans N(O/k(O les m6mes congruences peuvent atre r66crites avec ~ " au lieu de s et (x, Z), (zx, Z) au lieu de (x, X) p, (zx, Z) p. Lorsque (E) est d6compos6 dans •k, YT/k = ~1 ~2, o n peut choisir un id6al 5q," (resp. ~2") au-dessus de ~1 (resp. ~2) v6rifiant les conditions pr6c6dentes. On choisit maintenant une uniformisante 7r de l'id~al s telle que ~/r~,,(Tz) -- I et ~/~(se,,)(rr) = 0 pour tout s ~ Gal(N(O/N), s q=id. 15'
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J. COUGNARD
ARCH, MATH.
D a n s c h a c u n des cas A, B 1, B 2 l'6criture de o-r(0) - o-r + i(0) fait a p p a r a l t r e u n terme de la forme Z"(a) (1 - g'(a)) leo
e l f = I~ (oF(O) - ~7~+i(0)) c'est que ~/'ze,,(a~(O) - a'+i(O)) = 1. r=O
I1 existe d o n c u n 616ment u, inversible m o d u l o ~ " tel que G'(0) - G'+'(0)
- z(r
(1 - z(~) ~) u ,
o (~e")
ce qui d o n n e en faisant le p r o d u i t p o u r les diff6rentes valeurs de r
a,(o) _ p ~ l ~'(o) - G'+'(o) 7~P
11 r=O
~
, - v H z(~') (1 - z(d)) ( ~ " ) r=O
off v e s t inversible m o d u l o ~ " . Soit
Ai(O) 7-cP
- v(1 - Z(a)i) p ( ~ " )
ot~ l'616ment u, et par c o n s 6 q u e n t l'616ment v, est i n d 6 p e n d a n t de i. E n faisant le q u o t i e n t des expressions o b t e n u e s p o u r deux valeurs distinctes i et i' o n o b t i e n t (avec les n o t a t i o n s pr6c6dentes): Proposition 2. Si Z N = 2~k[O] et s'il existe un iddal premier E, premier d p, ramifid dans N/k, il existe une unitJ e de 2~k telle que
- Z(G)"J
e (~e").
Soit alors t u n entier tel que e~ - I (•), o n a d o n c
-
et d o n c
Z(~)"J
- Z(a)"]
ceci ~tant vrai quels que soient i et i', o n 6crit la relation p o u r r* i, r* i' et o n c o n j u g u e p a r st, o n o b t i e n t d o n c la c o n g r u e n c e ci-dessus off ~ est remplac~ p a r s,(~q~); (E) n ' ~ t a n t pas ramifi6 dans Q(0/II~, o n a d o n c
(8)
-
x(G)"]
Le n o m b r e -- 1 ~tant t o u j o u r s d a n s le g r o u p e des unit6s, o n peut supposer t pair. L o r s q u e p = 3 la c o n d i t i o n ci-dessus est t o u j o u r s v6rifi6e. P o u r u n e 6tude du cas p = 3
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o n peut consulter l'article de J.-J. P a y a n ([6]). O n suppose d o n c d a n s ce qui suit que p > 5. Si k est q u a d r a t i q u e i m a g i n a i r e o n peut p r e n d r e (t = 6 si k = I I ~ ( ~ - - 3 ) , t = 4 si k = II)(xfZ-1), t = 2 sinon). O n suppose d6sormais k q u a d r a t i q u e i m a g i n a i r e (ce qui 61imine le cas B1). O n a trois s i t u a t i o n s / t envisager: 1 6 r e p o s s i b i l i t 6: k q u a d r a t i q u e imaginaire, k :t: ~ ( ~ 1), k + II~(~f~- 3). Le calcul de [3] sur la c o n d i t i o n (7) avec t = 2 a b o u t i t fi (2p + 1) (2p - 3) - O(E) or o n a vu que f doit v6rifier E -- _+ 1 (p) d o n c il ne peut pas diviser 2p - 3, c'est d o n c que ~~ 2 p + 1. Si N / k est s a u v a g e m e n t ramifi6e, avec les c o n d i t i o n s que l ' o n vient d ' i m p o s e r fi k, 2[N n'est pas 2gk m o n o g 6 n e ([61) d'ofi: Th6or6me 1. Soil N / ~ une extension di~drale de degrk 2p (p premier) imaginaire, ne contenant ni ~ ( x ~ - 1) ni f f ~ ( ~ - 3). Pour que 7Zw soit monogdne il faut que N / k soit non ramifike sur son sous-corps quadratique ou bien que E = 2p + 1 soit premier et qu'il n'y ait pas d'iddaux autres que ceux au-dessus de f dont l'indice de ramification soit dgal ~ p. 2 6 m e p o s s i b i 1i t 6 : k = ~ ( ~ -
1), o n est n6cessairement dans le cas A. O n doit
Les premi6res valeurs possibles p o u r E sont ~ = 2p _+ 1, E = 4p - 1. Si Y = 2p - 1 et p-1(4)
on a (=
1 (4)done (@)=
iet
O n a u n r6sultat a n a l o g u e s i p - - 1 (4). O n m o n t r e de m~me que # = 2p + I e s t impossible. Si o n suppose f = 4p - 1, o n consid6re la c o n d i t i o n 7 avec i = 2, i ' = 1, o n pose Z(a) = [, ce qui d o n n e
(J + ~)~p - 1 (t). 4p
Soit Z C]p ~s =_ 0 (Y) qui se transforme en s=l 3
3
t,~up+ ~ 4 p v ~--- • u=O
CU4.Pp(~)
u=O
pour v = 1,..., p - 1 . On obtient pour v = 2 2 (4p)!
+
2! (4p - 2)! =1+2
(4p)! (p + 2)! (3p - 2)[
(4p)! (4p)! + p! (3p)! (2p)! 2
ce qui r e v i e n t / t 0 = I (~).
+
(4p)! (2p + 2 ) ! ( 2 p -
+ 2)!
(4p)! (3p + 2)! (p - 2)!
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J. C O U G N A R D
ARCH. MATH.
On obtient donc to > 4p + 1, or l'6tude de la condition (8) pour to > 4p + I faite dans [4] montre que to divise (4p + 1) (4p + 2) (4p + 3), 6tant donn6es les conditions que nous avons c'est que to = 4p + 1. L'article de J.-J. Payan cit6 pr6c6demment montre que si N/k est sauvagement ramifi6 et p + 5, Z N n'est pas 2gk-monog~ne. On peut donc conclure: Th~or~me 2. Si N est une extension dikdrale de degrk 2p (p premier) contenant Q ( x / - 1), pour que 2gN = 2g [0] il faut soit que p = 5 et que les idOaux au-dessus de 5 dans ~g [ x / - 1] soient les seuls ramifiks dans N/ff).(~- i) soit que to = 4p + 1 soit premier et que
les id~aux au-dessus de to dans ~[x/~- 1] soient les seuls ~ ~tre ramifies dans N / ~ ( ~ - ~ ) . 3 ~me possibilitY: k = ~ ( x / ~ - 3 ). On doit prendre t = 6, on est encore dans le cas A. Le nombre premier to doit v6rifier
lacon ru nc -( ) ,or =(-1)
2
=(-a)
(-1)
:
.
L'6tude de ~ - : ( ~ t ( p ) p e r m e t d'61iminer comme pr6c~demment les valeurs 2 p _ 1, x
/
4p 4- 1. La premi6re valeur possible est alors 6p - 1. On 6crit encore la condition (8) pour i = 2, i'= 1 et on pose Z(a) = [, on est alors conduit ~t: 5
5 up+v = up C6p -- ~ C6p(to) u=O u=O
qui pour v = 2 donne 0 - 1 (f). I1 faut donc que f > 6p + 1 ; la discussion qui pr6c6de la proposition 1 de [4] montre qu'alors to divise (6p + 1) (6p + 2) (6p + 3) (6p + 4) (6p + 5) la seule valeur possible compte tenu des congruences de to est to = 6p + 1. On sait de plus (cf. [6]) que si N / Q ( ~ - 3) est sauvagement ramifi6e et p 4= 7, 2gN n'est pas 2gk-monog6ne. On peut donc conclure: / Th~or~me 3. Soit N une extension dikdrale de degrk 2p (p premier) eontenant ff~(x~- 3) pour que 7Zu = 7Z[0] il faut soit que p = 7 et seuls des id~aux au-dessus de 7 et 43 soient ramifies dans N/(D(x/- 3) soit p =l=7, 6p + 1 premier et seuls les id~aux au-dessus de
6p + l dans 2g[l + x / - 3] s~
ramifi~s dans N/ff)(x~-
R e m a r q u e s. On a remplac6 dans ce travail les propri&bs des sommes de Gauss utilis6es dans [3] par des propri6t6s galoisiennes de 2gN; des propri6t6s analogues [2] existent pour N/if) di6drales de degr6 2p", on peut donc esp6rer g6n6raliser/t ces extensions les th6or6mes ci-dessus.
Bibliographie [1] A.-M. BERGE,Sur l'arithm6tique d'une extension di6drale. Ann. Inst. Fourier Grenoble 2, 31-59 (1972). [2] J. COUG~ARD,Propri6t6s locales et globales de certaines extensions m6tacycliques. Ann. Inst. Fourier Grenoble 32, 1-12 (1982).
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Extensions di6drales et monogen6it6
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[3] M.-N. GRAS,Non monog6n6it~ de l'anneau des entiers des extensions cycliques de Q de degr6 premier ~ > 5. J. Number Theory, 23, 347-353 (1986). [4] M.-N. GRAS,Non monog6n6it6 de l'anneau des entiers de certaines extensions ab61iennes de Q. Publ. Math. Fac. Sci. Besangon 1983-1984. [5] J. MARTINET,Sur l'arithm6tique des extensions galoisiennes fi groupe de Galois di6dral d'ordre 2p. Ann. Sci. Fourier Grenoble 19, 1-80 (1969). [6] J.-J. PAYAN,Sur les classes ambiges et les ordres monogbnes d'une extension cyclique de degr6 premier impair sur Q ou sur un corps quadratique imaginaire. Ark. Math. 11, 239-244 (1973). Eingegangen am21.11.1985 Anschrift des Autors: Jean Cougnard U.A.-C.N.R.S. n ~ 741 Facultb'des Sciences de Besangon 25030 Besangon Cedex