Periodica Mathematiea Hungarica Vol. 8 (3--~), (1977), pp. 213-223
SUR LES COURANTS D'UNE VARIETE DIFFERENTIELLE INVARIANTS SOUS L'ACTION D'UN GROUPE DE LIE Pa r
M. PUTA (Timisoara)
Dans cette note on d6finit les courants d'une varidtd diffdrentielle, invariants sous Faction d'un groupe de Lie. La note se divise en trois parties. Dans la premiere partie on dtudie une varidtd diffdrentielle arbitraire M e t un groupe de Lie G qui actionne effectivement sur M. P o u r cette structure on ddfinit les courants de M invariants sous l'action du groupe G e t on dtudie des propridtds algdbriques et topologiques de ces courants: leur comportement par rapport s la diffdrentiation et leur comportement par r a p p o r t au produit avec une forme diffdrentielle G-invariante. On montre que l'espace des courants G-invariants est un sous-espace fermd de l'espace de t o u s les courants de M. Dans la deuxibme partie de cette note on dtudie la cohomologie des courants G-invariants de M. Dans le cas particulier off M admet une partition de l'unitd G-invariante on montre que les groupes de cohomologie ~ coefficients dans le faisceau de germes des courants G-invariants sont nuls pour route dimension q > !. Sous la restriction que le groupe G est compact on ddmontre le lemme de Poincard pour les courants G-invariants de M. On montre aussi que dans le cas oh la mesure Lebesgue sur M est G-invariante la cohomologie des eourants G-invariants de M coincide s la cohomologie s coefficients rdels de M. Dans le cas o/1 la mesure Lebesgue sur M n'est pas G-invariante on montre seulement que le groupe de cohomologie s 0 dimension des courants G-invariants est trivial. The article is the text of a talk given at the Symposium on Differential Geometry in Debreeen, Hungary, on August 28--September 3, 1975. A M S (MOS) subject classifications (1970). Primary 58A25, 53C65; Secondary 22E05. Key words and phrases. Differentiable manifolds, invariant differential forms, currents, invariant, cohomology of differential forms, Poincar4 lemma, compact Lie groups. 2 Periodica Math. 8 (3--4)
214
PUTA: L E g ~OUI~ANTS D ' U N E VA!R.IET~ DIFF]gR]gNTI:ELLE
Dans la troisi~me partie de la note on consid&re le eas particulier off le groupe G est compact et coincide & M. L'action de G sur 3I est donn6e par les translations & gauche. On d6montre dans ce c a s q u e l'espaee des p-courants invariantes ~ gauche, coincide & l'espace des p-formes invariantes gauche. 1. Soit M une vari6t6 diff~rentielle r6elle, d6nombrable ~ l'infini, ~ n dimensions, C~-diffSrentiable, sans bord, G u n groupe de Lie et # : G • M -+ M une action effective de G sur M, C~-diff~rentiable. Nous noterons par @P l'espaee des p-formes diff~rentielles de M, C ~diffgrentiables s support compact. Soit { Uk} un recouvremen~ ouvert de M, au plus dgnombrable et loealement fini et {~k:M--~ R} un ensemble des functions C~-diff6rentiables qui d6finit une partition de l'unit6 subordonn6e & {Uk} (Supp ~k = Ak c Uk; Ak compact). ~P sera muni de la topologie de la limite inductive (stricte). @P---- lim ind |
K q = A1U . . . U Aq.
@P est alors une limite inductive stricte d'espaee de Frgchet. I1 est aussi un espace Montel, s@arable et reflexif ([2], p. 35). D~FINITION. On appelle p-courant sur M une application lindaire et continue T : @'~-P ~ R . E n t e n a n t compte de ~ ' - P = lira ind ~ P(Kq), T est continue si et seulement si T i| est continue pour chaque compact Kq c M . Alors l'application T e s t continue si et seulement si pour chaque (~h)h~g E ~ ' - P ( K q ) la relation q)h -- e~n-P(Kq) ~ 0 implique (T, qvh} --~ 0 c R ([2], p. 36). P
Nous noterons par ~ ' l'espace des courants s p dimensions sur M. P
L'espace ~ ' est muni d'une manigre naturelle de le topologie forte, d6finie par les demi-normes:
p'MT)
= supl(T, ~)I ~B
off B e s t un sous-ensemble born6 de @. P
~ ' est un espace de Frdchet, Montel et reflexif ([2], p.
a9).
P
L'action # de G sur M dgtermine une action de G sur @': P
(g, T)EG>(6~ ' o~ n--p
P
> l~g(T)~~ '
PUTA: LEg COIII%ANTS D'UNE YAIgIJ~T~ DIFF~I%I~JgTIELLE
215
P
D]~FINITION. U n p i e o u r a n t TE @' est G-invariant si:
VgEG,
#(g, T) = T.
P
P
Nous noterons p~r @~ l'espace des p - c o u r a n t s G-invariants et p a r @~ l'espace des p-formes G-invariantes. R E M A I ~ Q U E 1. I1 existe des courants qui ne sont pas G-invariants. Soit G ---- M = R et F a c t i o n # de G sur 3 / d g f i n i e p a r la relation: #(g, x) ---- g -t- x. Alors ]e n - c o u r a n t de Dirac ~o n ' e s t p~s G - i n w r i a n t . E n effeL p o u r c h a q u e 0 E| nous avons:
<#g(~o), ~> = = <~o(X), ~ ( g + x ) > = ~(g) = @g,
~>
done #g(~o) = as ~ So. 2. I1 existe des eourants qui ne sont pas ddfinis p a r une f o r m e diffdrentielle et qui sont G-invariants. Soit M ---- 11, G ----- R* = l l \ { 0 } ; #(g, x) = gx. Alors le n - e o u r a n t de I~EM3_I%QUE
n
Dirae ~oE~' est G-invariant. E n effet, p o u r ehaque ~0E@~ nous avons:
<#g(~o), ~> = @o, ~g~> = <~o(X), ~(gx)> = ~(0) =
~>
n
done #g~to = ~o p o u r chaque gER*, ee qui implique ~oE| P
PROPOSITIO~ 1. a) |
P
est un sous-espace /ermg de | P
b) M u M de la
P
topologie induite par la topologie de @', l'espace @~ est complet. p D ~ O ~ S T ~ A T m N . a) Soit (T,),eNE@b et T = lim Tn, n-p
chaque
pour
n-p
~0E~ nous aw~ns: lira . Alors p o u r # ~ 0 6 ~ nous
avons ]
lim = <#gT, ~>. Mais lim . Done n--p
VgEG, VqoE@: P
ee qui implique 2*
donc
TEg9 h.
<#gT, qo> ~ ,
216
PUTA: LES C O U R A N T S D'UNE VAI%I]~T]~ DIFFEI%ENTIELLE
P
b) |
P
est complet ([2], p. 40); alors Z)~ est aussi complet car il est sousP
espace ferm6 de |
q.e.d. p
p+l
PROPOSlTIOI~I 2. Si TE| P+q
P
p
alor8 dT6|
b)Si
q
P+q
T6@~
q
et ~6@~,
alors T Ao:E@~. c) Si TE@~ et SE@'~, alor~ S| P
DI~,MONSTI%ATION.~) Par hypoth~se TE@b. Alors: n--p
VgEG,
~gE|
= (--1)P+I
<#~(dT), 9> ---- ---- (--1)P+~
~a~dq0> =
(--1)p+IQzgT,
d9> =
(--1)P+I
d#;~> -----
dg> : ,
p+l
c'est-&-dire VgEG, #edT = dT, donc dTE| b) P a r hypoth~se TE|
Alors:
n-p
: : = <~gT, ~ A r
: = P+q
-- , donc VgEG, #g(T A~) : T A~, c'cst-A-dire T A~6~6. p
q
n-p
Alors V(F, h)EGxG, VgE|
c) Par hypoth~se TE@~, $ 6 |
: <~es, r <~hT, ~> : : donc #(g,hlS|
= S|
P+q
ce qui implique S|
( M x M ) , q.e.d.
2. Nous eonstruisons ]e diagramme: 0
1
p
dpa
|p
d~
p+l
(t) |0
d,
)
|1
d,
>
*o*
>
p+l >
@,
k
>
k
oh ~D' = 0, pour k Y> u + 1, i e s t l'inclusion et d~ ---- dk] |
PBOPOSITION 3. Pour chaque p >, 0 nous avons: dpoi
=
iod~
*oo
VVE|
217
PUTA: LES COU]%ANTS D'UNE VARI]~T]~ DIFF]~RENTIELLE n-p
D~ONSTgATIO~. Eu effet, pour
chaque
p
~oC@, TE@5 nous
avons:
<(dp o i)T, q~> : (--1)P+ I = (--1)P+I = < (i o dGp)T,~}, donc dp o i ~- i o dpG, q e.d. Ii rdsulte que le diagramme (1) est commutatif. En tenant compte que dp+lOd p = 0 les suites du diagramme (1) constituent un complexe de chalnes. Nous pouvons donc considdrer les groupes de cohomologie: /~q(i) = Za/Ba, q q" Hq(M) ~- zq/B q q
off Zq = {TE@'Idr
= 0), q
q-1
B q-~ {T~@'t ~ $ 6 |
de sorte que dq_~S = T} q
Z q - = z q[Teb;
q
B ~ = B qN@5.
En tenant compte que le diagramme (1) est commutatif il rdsulte que l'inclusion i induit un homomorphisme ~ entre les groupes de cohomologie: .
i : H~(M)
--> Hq(M)
i(T + B q) d~f T A- B q. PROPOSITION 4. Soit M une varigtd diffdrentielle connexe sans bord. Alors: a) ker d ~ 0 ~ R ; 0 b) si la mesure de Lebesgue de M est G-invariante (c'est-d-dire V~6@, VgCGI SV(,g(x))dx = SV(x)dx) alo~: ker doG ---- R; c) si la mesure de Lebesgue de M n'est pas G-invariante alors: ker do~ = {0}. D~MO~STRATION. a) Si TCkerd0a ([5], p. 52). I1 r4sulte ker dGo _C R. b) Soit C~R. si et seulement si
Alors d e = O ,
alors d~
done R C k e r d
done
T-~CcR
o. I1 r4sulte C 6 k e r d 0G
t~
,(2)
VgEG, V~0(~),
C[~(#g@))dx -- ~q~(x)dx] ---- O.
Si lu mesure de Lebesgue sur M est G-invariante alors
~ qJ(#g(x) )dx -~ ~ q~(x)dx n
pour ehaque gCG et ~ |
done nous avons la relation (2), I1 r4sulte ker doa = R.
218
PUTA: LE$ COUt~ANTS D'U~E VAI~I]~TI~ DIFF]~B~E~NTIELLE
: c) Si la mesure de Lebesgue n'est pas G-invariante, alors nous avons la relation (2) si et seulement si C = 0. Done ker d06 = {0}, q.e.d. D~r~T~O~
([4], p. 40).
Soit TE|
xEM.
Alors
T = 0 en x s'il
rt--p
existe V S ~ ( x ) tel que pour chaque ~vE| a y a n t supp (~) ~ V~ on air: -~ 0 . Done xEsupp (T) si et seulement si pour chaque V~E~(x) il rt--p
existe ~E |
a y a n t supp (~) _ V x et (T, cp> ~ 0:
Soit x E M. Nous noterons par G x l'orbite de G qui contient x. P
PI~O:POSITIO:N 5. S i
TE~PG et xEsupp (T) alors: G~ _ supp (T).
D]~t~IONSTRATIOlg. Soit yEGx, done ~gEG de sorte que y = #g(x). L'application # : G • est continue, done pour chaque W#g(X)E E~(#g(X)), il existe VxE~(x ) tel que #g(V~) c W#g(~). P o u r V x il existe rt--p
~E @ a y a n t supp @) ~ V x eL
= = = # O. Done pour chaque W/~g(x) il exis~e ~v (~v = / ~ W ) ~ y a n t supp (~o) _c W/~g(x) et ~- 0. I1 rdsulte y ~- ttg(x)Esupp (T), ce qui implique: G x ~ supp (T) q.e.d. p CO~OLLAIRE. Si G actionne transi~ivement sur M, alors V TE | a,
supp (T) = M.
p
Nous noterons par @~ le faisceau des germes des p-courants G d n v a r i a n t s de M ([5], p. 356). P~orosITIO~ 6. Soit M une vari~t~ di//drentielle et {#i} une partition de l' unitd de M, invariante ~ou8 l' action d'un groupe de Lie G. Alor~ le8 /aisceaux q
~_5 (q = 1, 2 . . . .
) ~ont /in~.
DI~MOI~STI~ATIOI~. Soit {Ui}iE I u n recouvrement ouvert au plus ddnombrable et localement fini de M e t {#i}iez une p a r t i t i o n de l'unitd subordonnde { Ui}iez invariante sous Faction d ' u n groupe G. Alors, en vertu de la propo-
219
PUTA: LES COURA2qTB D'U.NE VAI~I]~T]~ D I F F ] ~ R E N T I E L L E
sition 3b nous pouvons ddfinir: P
%..
9
P f
9
par: P
P t
cfi : T ~ E O o
f
> q~i(T~) ~ I z i T ~ .
P
Done ~
sont des faiseeaux fins ([6]), q.e.d.
COROLLAIRE. Darts
l'hypoth6se
de
la
proposition
6 nous
avons
q
H q ( v , ~_'G) ~ O, pour ehaque q ~ 1.
I~EMARQUE. I1 existe des varidt6s M qui satisfont ~ la condition de la proposition 6. P a r exemple si l'action de G est telle que (M, zc, M/G) est un esp~ce fibr6, alors il existe sur M des partitions de l'unit6 G-invariantes. Nous allons considdrer le cas particulier q u a n d G est compacte. PI~OPOSlTIO~ 7 (lemme de Poincard pour les courants G-invariants de M). Soit M une varigtd diffgrentielle rgelle, connexe, sans bord, G u n groupe de Lie P
compacte qui actionne sur M . Alors pour chaque T E Z 6 il existe u n ouvert U p--1 P
et u n courant SE@6 tel que, sur U nous avons: dS=T.
DI~MOI~STRATION. Le lemme de Poincar6 est d6montr6 en [5] pour les P
courants. Donc si T E Z 6 alors pour chaque x ~ M
il existe un ouvert U et
p--1
un courant S E| de sorte que sur U dS----T, p-1 Nous montrerons qu'on p e u t construire u n courant S~ @'6 satisfaisant sur U s la relation d S = T. Considdrons l'application lin6aire n-p+l G
off me est une mesure unitaire prdcisde de G. Cette application est continue. n--p+1
E n effet, si ~h | ~ 0 (h ----1, 2 . . . . ) alors il existe n n compact K de sorte que pour ehaque h c N , supp (~%) ~ K. Alors supp (/z~vh) ~ #~I(K) et done n--p+1
#g~%
) 0. I1 rdsulte (S, #~?h} ~ 0 ce qui implique ( S , %,} = ~ ( S , #~cft,} dm a --+ a 0, done l'application S est continue. I1 s'en suit que l'application S est u n p-courant.
2S0
PUTA: LES COUttANTS D'UNE VAI:LII~T]~ DIFF]~I~ENTIELLE
S est u n eourant G-invariant. E n effet, pour ehaque gEG nous avons
O
Donc S E @~. Nous montrerons que sur U, dS = T. rt--p
Pour
ehaque ~ C |
~ supp @ ) ~ U on p e u t dcrire suecessivement:
= ( - - 1 ) P f dm a = ~ dm6 = ~ dma = G
G
0
= 2 <~T, ~>em~ = 2 dma =
Q
~>(~.[ dmo
=
~>
ce qui signifie que sur U, dS = T, q.e.d. REMA~QU~. Darts l'hypoth~se de la Proposition 7 nous avons la suite ex~ote: 0
0 --~ ker d0a
) ~_5
G
1
~0 , ~ _ "
p
, ...
~_
G
p+l
ap , ~_~
~ ....
PROPOSITIO~ 8. Soit M une varidtd diffdrentielle connexe, sans bord, G un groupe de Lie compact qui actionne sur M. Alors:
a) Hq(M, kerd0~ ~ H q ( M ) pour q ~ 1; b) si la mesure de Lebesgue Bur M est G-invariante, alors: Hqa(M) , v N Hq(M), pour chaque q ~ 0; c) si la mesure de Lebesgue sur M n' est pas G-invariante, ators: 0 R~(M) = o.
D~MONSTRATION. a ) L a proposition a) est u n cas particulier du thdorbme de G. DE R~AM ([6]). (M-compact, donc i] existe sur M une partition de l'unit6 invariante sous Faction de G.) b) L a proposition 6 implique kerd0a ----_R. Alors:
Hq(M, R) N H q ( i ) . De [5], p. 355 nous ~vons:
H q ( i , R) -~- Hq(M). I1 rdsulte Hqa(M),'~ Hq(M), pour chaque q ~ 0.
PUTA: LES COURANTS D'UNE VARI]~T]~ D I F F T ~ R E N T I E L L E
221
c) Dans ee cas, ker doG = {0}. Mais H~(M) = ker doG donc H~ q.e.d.
= O,
3. Nous allons considdrer le c~s particulier M = G, G-compact et commut~tif et l'~ction de G dans M, ddfinie par: t~g(x) = g + x = L g ( x )
soit p
P
{aE@IL*~ = ~, VaEG}
| p
p
$ ' = {T,,,I off ~E|
n-p
(T,,,,,~) = J'~A~, V(pE|
P
p
P
g-.~--
P
.
P
PROFOSITION 9. $' ~---@. D~MO~ST~ATm~. Nous ddfinissons P
P
par P
P
~b : mE@ -+ ToE~'. q5 est 6videmment une surjection. Si ~(wl) -= ~(w2), alors n-p
(.O1A ~ = S O.)2A ff ,
V q) E O-~
n-p
done S ( % - ~ , , ) k ? = 0 pour chaque est un isomorphisme, q.e.d. p
~E~, done co1 = w 2. I1 rdsulte que p
P
I~OPOSITIO~ 10. Si To~ES', alors T~ESg si et seulement si wE@ e. DI~MONSTRATION. Nous
~vons:
-= .[ w(x) A cf(a + x)dx -~ .[ o.)(x -- a) A ~(x)dx, n-p
n-p
pour ehaque ~E@, aEG; = S w(x) Acf(x)dx, pour cheque (pE | Si LaT ~ ---- T~o pour chaque aEG, Mors S[co(x -- a) -- w(x)JAcp(x)dx = 0 rl--p
pour ehaque aEG et q0E@. I1 r~sulte L*w = w pour chaque aEG. L~ reciproque est dvidente, q . e . d . P
P
REM~RQUE. De la proposition 9 et 10 il r~sulte: $~ = ~)e'
222
PUTA: LES GOUttANTS D'UNJE VA:RI]~T]~ D I F F E R E N T I E L L E
PttOPOSITION 1 l. ~{ ~ous noton8 p~r 9 tc~ convolution de8 c o . r a n t s Bur u ~ p
groupe de Lie, alors T
(@~ et
0
p
f(@ i m p l i q u e n t T * f E ~ . P
D]~MOI'TSTI~ATION.E n [1] on d ~ b l i t clue T * / E S ' . Nous d d m o n t r o n s que P
T
9
/E$g./ P o u r cela i1 est suffisant de vdrifier clue p o u r chaque aEG: L a ( T 9 f) :
T 9 f.
Nous ~vons suecessivement (L~(T 9 :
~) :
(T 9
L * ~ ) ~ ( T 9 f, q~(a -b x)) :
( T x @ f ( y ) , ~o(a+ x + y)) -~ (T~, ~ f ( y ) ~ ( a - ~ x + y ) d y ) :
~- (T~, ~ f(z -- a .... x)cf(z)dz) -~ (T~, ~ V(z)f(z -- a -- x ) d z ) = = (T~|
-- a - x)) = (of(z)|
-- a -- x)) =
= (~, (T~, f(z - - a -- x ) ) ) = (~, ( L a T , , f(z -- x ) ) ) = =
(~,
-
x))> = (T , / , ~>
n--p
p
p o u r c h a q u e ~E@. D o n e T * f E $ ' g ,
q.e.d.
P~o~OS~TIO~ 12. P
P g -- ~)g
P f
D~MONSTRAT~O~. Soit T E@g, nous ~vons T , ~ ~ - T ,
~ ~ lira fn, donc
p
T ~ limT,f~
:
limTT./, :
p
limTg~, off Tg~ ~ T T , I ~ ( $ g ~ @g. M~is
P
P
REM_41~QUE.
n~
f
P
P
Si P
et P
P
i
@u .~ { T E @ ' I R a T -~ T , VaEG' I P
P
off Rg(x) ~ x q- g, alors nous avons, de m~ni6re unalogue, @~ ---- @aSoit to : G ~ G, d6finie par: P
,p : g ( g
P
-*to(g) = g - ~ E G et @b = { ~ ( @ I L * ~ = ~, R*~ ~- a V d E G } . p
PROPOSITIOI~ 13. Soit T ( ~ ' .
n-p
e~) L e courant T I@ ~ est fermd, b) S i n
-- p -~
n--p
== 2k ~- 1, et T est u n p-courant w i n v a r i a n t ,
alors T l@b -~ 0, donc il n ' y a
PUTA: LES COURANTSD'UNE VARI~TE DIFF~RENTIELLE
223
n--p
pas de courants ~p-invariants sur G dont la restriction d @b soit un courant di//g~'ent du courant nul. D]~MO~ST~ATION.
a)
Pour chaque
n--p--1 ct~@ 0, V*g = ( - - 1 ) n - P - l ~
([3]), et
d o n e n o u s p o u v o n s dcrire s u c c e s s i v e m e n t : @ ( d T ) , ~> ---- = (--1)P+~ = ( - - 1 ) p + I ( - - 1 ) n - p < T , d~} = (--1)n-p
MMs (w(dT), a> = (dT, W'a> = ( - - 1 ) " - p - ~ (dT, ~> n-p-I
done pour ehaque ~@b
nous avons:
(--1)n-p ---- ( - - 1 ) n - P - l f d T , o5}. n-p-1 II rdsulte que dT [ @b = O. n--p
b) P o u r e h a q u e ~ @ b nous avons:
= @(T), ~> = = (--1)n-p
C o m m e n - - p = 2k § l, il rdsulte que T] |
= 0, q. e. d.
RI~FI~RENCES [ 1 ] a . DIEUDONN]~,t~ldments d'analyse, tome I I I : Chapitres XVI et XVII, Cahiers Scienti[2]P.
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(Refu le 3 septembre 1975) LICEUL AGI~ICOL OAL~,A AI~ADITLI7I1~1~.34 ~--1900 TI~I~OARA I~01VlANIA
