S u r les formes canoniques d ' u n e expression diff4rentielle X~ dx~ -t- X~dx2 -1- 9 9 9 Jr- X ~ d x ~ . P.~R

C. l%o~ssIA~s k l'Universitg d'Odessa. Etan~ donnge une expression diff~rentielle X l d x ~ -t- X ~ d x 2 + 9 . . X ~ d x ~

p variables indgpendantes x, ot~ X1, X 2 , . . . X~ song des fonctions analytiques queleonques de ces variables, on peu~ toujours ramener cette expression & la forme la plus simple, dire canonique, paire

Fldf~ + l)89

+ . . . + .F,,df~ (2n~p),

ou impaire

d 5 -}- .F2df2 Jr- ....Jr- .F,,+,dh+, (2n+ 1
X 2 d x~ -[- 9 9 9 -t- X 2 . d x ~ .

2~ variables ind~pendanges, et si (m~ n) dgsigne l'expression e~ /x le dgterminan~

(1,1), (2,1), ...(2n, x) ] (1,2), (-%2) . . . .

C'~' ~) I'

0x,, ,

O. l~ouss,*~,..

248

A. Clebseh a d6montr4 les egahtes ):

-~ a

O,

ax-'-;'

"'"

8u axe.,

x,,

(1,1),

...

(2~,a)

au

X.,,, (1, O, Ov

,,,-1-3--~1'

2n), . . . (2n, Ou

ax--] '

"""

a e~ 0F~'

2n)}

0u

axe.

(1,1), . . . ( 2 n ,

~,~2. a~ ' (1, 2n) , . . .

=~F,

1)

=2(8u

O r _ _ _ _au O r ) .

(2n, 2n)

En posant dans ees 4galit6s u, v ~ f , ~', A. Clebseh a ~rouv4 les 4quations, auxquelles satisfont les variables d'une forme eanonique paire, exprimges en fonction des variables de l'expression diff&entielle denude darts le eas p = 2 n . Mais si nous faisons un pas plus loin er exprimons la premiere partie de ces dgalitds encore en fonetion des variables d'une autre forme canonique paire ,~

Ckdq0k

k-.~-I

de la mgme expression diffgrentielle, hens obliendrons ]es ~galitgs suivantes:

ou, pour la simplicitd:

(-)I = (v)~, (u, @ = (u, v)~. En posan~ clans ces derni~res ggalitgs , , v-----f, F, nous obtiendrons les dquations: (T& == o, ( F & = 2'~, (t~; f~)~ = o , (~',, ~ ) ~ = o , (.F,, f~)~ = 0 (i=+=7~), ( F , f,)~ = 1. (i, k = 1, 2, . . . n), *) J. Crelle, Bd. 61, 1863: ,,Uoberalas Pfaff'sche Problem". Zweite Abh. S. 149.

Formes canoniques.

249

auxquelles safisfon~ les variables d'une forme canonique paire, exprimdes en fonction des variables d'une autre forme canonique pair. On volt done, que ees dquations prgsentent une consequence, prgsque imm6diate des ggalitgs (2), donnges par A. Clebseh. G. Darboux a ddduir les relations ehereh&s en supposant, ClUe le nombre des variables de la forme canonique soit ggal '~ eelui de l'expression diffgrentielle donnge, par une m&hode, dont la base sont les propridtds invariantes des d&erminants:

(i, U , . . . (1, 2 ) , . . .

(v, i) (/,, 2)

O, --X,,

(i, ~), . . . (p, p) O,

Zl,

au ax,'

- - X ~ , (1, lo), . . . (p, io) au

av ~x~

"'"

~v

~ i ' (~' ~)' "'" (~' ~)

(1, 1), . . . (p, l)

X~, (1, 2), . . . (p, p)

0,

X,, . . . X~o (~, 1 ) , . . . (~, ~)

O,

(1, p),

~-,

Pa~ul, 9

O,

O,

X~,

~

x,,(1,1)

"

"

...

(~,, ~))

au ~xp

,~

Xp

..

(v,l)

--~-~p, Xp, (1,1o),... (2o, p) EUe es~ done au fond la m~me, qui a mais beaucoup gdn&alisge. Les gquations, dans le eas des formes canoniques paires d6duisen~ immgdiatement des 6galitds (2); eanoniques impaires

~t~ donn~e par A. Clebseh, ddduites par G. Darboux, sont les m~mes, qui se eL dans le eas des formes

elf, + Fdf2-t- ... + F.+~df~+~ eL dq~ + % d ~ 2 + ... + r elles son~:

a[~--1, ~~f~ ~'~ ~-;-s - - o , ~----o, (f~,/&+(f&=o,

(f~,F,)~-b(F&=_F,,

(fo f~)~ = O, (F,, Fk),p ---- O, (F o f~)~ = 0 (i~=k), (F,, f~)~ = 1, (i, 7~----2, a , . . . ~ + U, ") Bull. des 8r math. e~ ~str. 2~sgrie, t. VI, 1882: ,,8ur le probl~me de Pfaff."

250

(3. Rotrssra~g.

si les symboles (u),, (u, v)q dgsignent respee~ivemsnt les expressions n+l

n+t

Cette m4thode est caraetdris6e par cette circonstance, qu'il est n6cessaire d'introduire les variables de l'expression diffdrentielle donnde. S. Lie, en se fondant sur les 4quafions diff6renfielles de A. Clebseh, auxquelles sa~isfont les variables d'une forme eanonique paire, exprim4es en fonetions des variables de l'expression diff~rentielle donn4e, a ddduit*) les formales de transformation de contact; de ces derni~res il a d4duR les 4quations, auxquelles satisfont les variables d'une forme eanonique, pairs ou impaire, exprim6es en fonction des variables d'une autre forms canonique de la m~me expression diffdrentielle donn4e. A. Mayer a donn6 lee formules de transformation de con%act**) par une m4thode diff6ren~e do eelle de S. Lie et indgpendante du probl~me de Pfaff. On peut l'appliquer an cas des formes canoniques d'une expression diffgrentielle donnge, somme eela a 4t6 fair par S. Lie par rapport aux formes eanoniques paires***), et dgduire de ee~te mani~re, les 6quaiions eherehges ind@endamment de l'expression diffgrentielle donnge. Dans ee mgmoir, qui est un extrait, un peu vapid, de men ouvrage sur le problems de Pfafft), je dgmontre les r41ations, qui existent entre les variables de deux formes canoniques, paires on impaires, de l'expression difMrentielte donnge par une mdthode trbs-simple, inddpendanle de l'expression primitive. Ells est intgressante encore par eette raison, que lee rdlations cherehges se dgduisent ~ l'aide de proprigtgs nouvelles des variables des formes eanoniques. 1.

Supposons, que nous ayons une expression diffgren~ielle

2n variables ind@endantes f, ~', et sa transform4e %d% + %d~: +.

9 9+ r

9) Ma~h. Ann. t. 8, 1875: ,,Begrfindang einer Invariantentheorie der Berfihrungstransformationenq. 9*) Math. Ann. t. 8, 1875: ,Direete Begrfindung der Theorie der Berfihrungstran~fermationen't 9**) Math. Ann. t. 9, 1876: ,Allgemeine Theorie tier partiellen Differentialgleiehungen", p. 258. #) Mgmoires de l'Universi~4 de la Nouvelle Russie, t. 07, 1~96: ,Th~orie d'int6gration d'une 4quation diff~rentielle

x,~, + X,d~. +... + x p ~ % = o, et la m4thode de Pfaff".

Formes eanoniques.

251

I1 s'agR de ddduire les gquations, auxquelles satisfont les variables d'une d'elles, p. ex. f , / e exprim6es en fonction des 9% r De l'6galitg F~df, + _~,~df2 + . . . + iF, dr, -.~ r rig, + r

+ ... + *,dg,,

nous dgduisons

(I)

~f, .~, ~-~ = o

. ~ F, ~E = r !~=l

t=l

(k--~ 1, 2, . . . ~*), eli par l'indgpendance des variables ~ f,

(i, i - - 1 , 2 , . . .

n).

En diffdrentiant la premiere des 6quations (2) par rapport ~ F~, et la seconde par rapport ~ /~, et retranchant les rgsultab obtenues, nous auro n s

(3)

\~

~-6

~t~ ~ / - = t (i=l)

k=l

(i, Z

=

1 , 2 , . . . n).

La seeonde des gquations (2) peut s'gcrire sous deux formes

~~k

k~l

(i,t=l,

2

k~l

~ ~Pk= 0

2,...n).

En diffgrentiant la premiere par rapport ~/;~ et la seconde par 'rapporL a ~i, et retranchant~ nous obtiendrons

k=l

(i, ~ = 1 , 2 , . . . n).

Enfin~ la premiere des 6quations (12) peut s'6crire sous deux formes

~k k=l

2 k~.(

(i, l = 1, 2~...n).

C. Ro~ss~.

252

En diffgrentiant la premiere par rapport ~ fa et la seconde par rappor~ f~ et retranchant, nous deduisons

(5)

~=~ k~fz ~f, ( i , ;t =

~/-7 ~ / = o

l, 2 . . . n).

Nous avons done ob~enus trois syst&mes d'6quations (3), (4) et (5). Mais par l'ind@endance des variables _F~f nous avons encore:

(6)

(i, Z = 1, 2 . . . n ) ,

=

~,~** ~

+ ~ *~ ~ - ~ / -

(i, ,!, = 1 , 2 . . .

1 ( i : z),

n).

Des 6quations (3), (4)~ (5) et (6), (7) nous d6duirons les propridtgs nouvelles des variables ~', f, r ~, ei-dessus mention6es. En effet, en rettanchant les gquations (3) et (4) des dquations (6), nous obtiendrons:

(i, Z =

1, 2 . . .

n).

Supposons, que l'index ~t conserve dans ces gquations une valeur quelconque 1 , 2 . . . n, mais que l'index i varie de 1 ~ n. Dans cette supposition nous aurons 2n 6quations lingaires et homog~nes ~ 2 n inconnues

,(k =~ 1, ~ . . .

n)

Fo~mes

r

253

et eomme le ddterminant de ces gquations (f~, f~. . . . &, ~ , . . .

~)

u'es~ pas nul par l'ind4pendance des variables r q), il en r~sultera, q~e ~\-

=

~

~'~,

(~,k----l, . . . n). l%e~ranehonsde m~me Ies 4quations (3) et (5) des gquations (7), nous obtiendrons

(i, x =

1, 2 . . .

n).

Supposons, que t'index i conserve dans ces 4quations une valear quelconque 1, 2 , . . . n , mais que l'index 2 varie de 1 s n, nous aarons 2n 4quations lindaires et homog~nes s 2n inconnues

(k ~ 1, 2 , . . . n). et :omme le ddterminant de ces 4quations ~(r . . . . % , ~, . . . . ~ ) ~ ( ~ , ... ~ , f, . . . . &) n'esl pus nul par~Find4pendance des variables ~, q), il rgsulte de ces 4quations:

(i, k ----- 1, 2, . .. n). Nous avons done obtenu les relations suivantes:

(8)

~--~,'

~------~'

~

~t,'

~ ~ , '

quf expriment les proprie'tds nouvelles des variables f, F, ~, O, ci-dessus men%iondes. Portons main~en~n~ les valeurs des ~~f~ ~~F I' ~r ~ ~f? ~lv, t:ir4es des 4qua~ions (8), dans les gquations (2), (3), (4) et (5). Mathem~ische Annalen. L,

17

254

C. Rouss~.

Nous obtiendrons les 4quations suivantes

~.Fi, t~1

k=l

2(

~f~ ~f,

~f~ ~f,~

\~-~ ~~

~~ ~ !

= O, _o

k=l

(i,i=

(i+a) 1 (i = z)

1,2,. ..)

ou, pour abrager, (f,), = o,

(F,), = F~, (f,,/i),, = o, (P~, z',)~ = o, (F,,f,),=o (i+z), (F,,f,)~= 1 (i, z = 1 , 2 , . . . n ) .

Nous avons donc d4montr6 le thdor~me suivant: Les variables ind@endantes f, E de l'expression diffdrentielle

JF, df~ + F 2d f2 + . . .

+ F~ dA, exprim~es en fonetion des variables cp~ @ de sa transformde r

+ r

+ 9 9 9 + r d~o.,

satisfon% aux 4quations diffdrentielles partielles du premier ordre: (f,)~ = o, (F&, = F,, ( 5 , f~)~ = O, (F,, _~'~) = O, ( ~ , , f~)~ = o i f + ~), (F,, f,), = 1.

2. Supposons maintenan~, que nous ayons une expression diff4rentielle

dfl "Jr-P2 df2 "+

"'" +

Fn-~-iC~f~2r

s 2n -{- 1 variables inddpendantes /, F, e~ sa transformde d ~ l + r162

+ 9 9 + q)~ld~o,,+~.

Nous allons ddduire tes 4quations, auxquelles satisfon% les variables d'une d'elles, p.-ex, f, ~', exprim4es en fonction des variables cp, @ de l'autre. De l'4galit4

d& + F~dA + . . . + F,+~df,+, = ,~,~ + %d~2 + . - . + r nous ddduisons

Formes eanoniques.

255

-4-1

n-Vt

af~ --~- " ~ F, afi

af, .O_ "~t 2~ Of,

(1)

~+t

af~

at' + ~ ~ (k =

o

2, 3, . . . n +

1),

et par l'ind@endanee des variables f, iv: ~' q~,

Z

~ q~~

O cPi

~

k~2

Oqgk

~Ti~i,

k~2 n-.~l

(i, ~ .-~ 2, 3, . . . n

+ 1).

En posant /~-----1, ces dernigres &luafions peuvent s'4crire sous la forme plus simple n+l

n-~-i

k~2

k~2

(i-~ l,2,...n+

l,

,l--2,3,...n+l).

Pattens de ces dernibres 4quations. Diff&entions la premibre par rapport ?~ I'a, et la seconde par rappor~ g ~, et retranchons les r4sultats obtenus. I1 viendra

(a)

~\~-~

ati

k~2

(i=

ati ~ - ~ ] - 1 (i---a) ~=2,3,...n+1).

l,2,...n..}-],

La seconde 4quation (2) peut s'4erire sous deux formes Oep~

n4-1

n-{-1

~r

O~pt Y ( P k 0~%

k~

k~2

(i, ~ ~ 2, 3, . . . n Jr- 1).

En diff@entian~ la premiere par rapport ~ t'a, et la seconde par rapport Ivo e~ retranchant, nous aurons

(4)

\~

.

.

.

.

k=++

(i, a = ~, a , . . .

n + 1).

0

256

O. Roussx~ss.

Enfin la premiere des 4quations (2) peut s'4crire sous deux formes nq-1

af~ + Z

n-I-t

r

~

~

__

k~2

~ F~.

k~9

En diff6rentian~ la premiere par rappor~ ~ f~, la seeonde par rapport f~, et re~ranchant, nous obtiendrons

O)

~

0

(,,;, ;L= 1, 2 , . . . ~ + 1). Nous avons done obtenu trois syst~mes d'dquations (3), (4) e~ (5). Par l'ind@endance des variables f~ F nous avons encore quatre syst~mes d'~quations :

(i,,~= 1, 2 , . . . ~ + 1), 8~ aF~

a% a~ = 0

(i~2, 3,...n+ ~-, (~F~ ~q~

O)

~

1, ~.~ 1 , 2 , . . . n-4- 1); ~

~r

(i--~ 2, 3 , . . . n--}- 1, g = l , n+X ...~

0 2 , . . . n.4- 1),

~-I-1

(i, ~ = 2, 3 , . . . n + l ) . Si nous supposons, que l'index g varie dans les aquations (6) de 2 n-{-1~ et si nous retrancbons de ces dqua~ions (6) ]es dquations (3) et (4)~ nous ob~iendrons

(i= 1,2,...n+1,

~=2,3,...~+1),

~f~ ~, "~r~ ( ~f~ ~*~'~ ~*~ ( ~f~ ~ ' ~ ~ , ~ + ~= t.~,, , , ~ - ~ / + ~,, ,,7-~, + ~-~;/j = o. (Z --~ 2, 3 , . . . n..{- 1, i ~ - 2 , 3 , . . . n + 1 ) .

Formes oanoniques.

257

Supposons, que l'index it consbrve dans ces derni~res 6quations une valeur queleonque 2, 3 , . . . n-I-1~ mais que 1'index i varie dans la premibre de 1 ~ ~-{- 1, et dans la seeonde de 2 ~ n - ~ 1. ~ous obtiendrons 2 n ~ - 1 dquations lingaires et homoghnes ~. 2 n - ~ 1 ia~connues af~ ~f~ ~% ~f~ ~

(~ ~ 2, 3 , . . .

n + 1).

Le dgterminant de ces 6quations

n'est pas nul par lqnddpendanee des variables ~o, r Par consgquen~ nous aurons af~

af~

a%

~t~

~

(it,~ = 2 , a , . . . n + l ) . Supposons maintenant, que dans les dquations (3) et (5) l'index i varie de 2 k ~ -~- 1~ et retranchons dans cette supposition les 6quations (3) et (5) des dquations (7). I1 en r&ultera: n§

at~ -t- k ~ 2 Lati \b-~ -k -b-~,/ q- ' ~ , \ a %

(it.----],2,...n+~,

~/j

=0,

i=2, a.... n+~),

a%

a%(av

am ll

k=2

(;~, i = 2, 3 , . . . n--k 1). Si nous supposons, que rindex i consbrve dans ees dernibres gquations une valeur quelconque 2, 3 , . . . n -~- 1, mais que l'index it varie de 1 n -~ 1, dans la premibre gquation, et de 2 $ n -~- 1 dans la seconde, nous aurons 2~ -[- 1 gqua~ions lindaires e~ homogbnes ~ 2n -[- 1 inconnues

-~,

a% aft, a ~ + ~f~ ( ~ = 2, 3, . .. ~ §

et comme le ddterminant de ees dquations

~(~i, ~ . . . . ~ + t , % . . . . r

a(f,, f~, :.. f~+, F,,.. F,~+O

258

C. Rouss~s~.

n'es~ pas nul par l'ind@endance des variables ~ O, il viendra

a~

O, ~

a~

af,

ati

(~, ~ = 2, 3 , . . . ~ + ~). Substituons duns la premiere gquation (1) zgro au lieu des

~'

(~--2,3,

...+~);

nous obtiendrons

~_f_,= ~. 0opt

Nous avons done obtenu les dquations suivantes: (8)

~-

, ~,

=

o, ~

~

-- o, ~

=

~,

~.~ = -

a~,,,

~f~ ' a% ~f~ (i, k = 2, 3 , . . . n--}- 1),

analogues aux~quations (8) du w 1. A l'aide des gqualions (8) nous pouvons dcrire les gquations (3), (4) et (5) sous une auSre forme. Supposons, dans ces derni~res gquations i, g~----2, 3, . n @ l , 9

.

et potions au lieu des ~-s ~f,

leurs valeurs, tirdes des dquations (8).

. ~ \~-~ a~ k~2

a~,~ g-~,

n'-l-l(af, t af,

~f,~

~v

~'

~r

~-~,

~r ~-~

Nous obtiendrons ~ (i = , 9 ,

O,

k~2 n--+- l

2J

~~

~ ~ -g-~j = 0

k~-2

(~,~

2,3,

. . . n+

U,

ou pour abrdger (9)

~ , f ~ ) ~ = 0, ( i + s F ~ , ~ ) ~ = 1, (f~,/~)~o~ 0, (F,, F~)~= 0, (i, ~ = 2, 3 , . . . n + 1).

Consid4rons maintenanr ]a seconde el la troisi~me dquation (7).

af~

~f~

Multiplions ]a seconde par ~--~k~ la troisi~me par ~ les resultats obtenus.

af~

a f, af~

et retranehons

Nous aurons

af, af~

n+l

*~2

~+1

k~2

~f~ ~ f ~

Formes canoniques.

259

En sommant ce rdsultat par rapport ~ k de 2 ~ n + 1, nous obtiendrons n+l k:2 n-+-~

"+' (Ofl

Of2

Of, O f ~

(~,i=~,~,...~+~). Mais comme k=2

(i,/t~2,3~...n+

1),

il vient ~0 k~2

k~2

oil, pour abr6ger (11)

(5,/'~)~ + (fz)~ ~ 0

(~:~,3,...n+

l).

Si enfin nous mul~iplions la seeonde gquation (1) par ~-6-~, la troisi~me par ~-~ et si nous retranchons, nous aurons

i~2

Sommons ce rdsultat par rapport ~ k de 2 I1 vient

le~2

n+l.

k~2

Mais ~+~

( ~f, ~F~

k~2

~

~%]

--1 ( i ~ ) ,

d'aprbs cola nous aurons n.-~-I

k-~2

( or, ~ ,

~ ~

~-I

+ y~ + k~2

~

C. RoussrAs~. Formes canoniques.

260 ou, pour abrgger (12)

(f,, u,)~ + (F&, = F, (a = 2 ,

8 , . . . ~ d- 1).

Nous avons donc demontr4 le th4or~me suivant." Les variables ind6pendantes f, F de rexpression diffdrentielle

,if, -Jr- F2df2 "i-"" -t- F,,+~ dr,,+,, exprim~es en fo•ction des variables ~, r cle sa lbransform~e d~l -t- % d ~ 2 -{- " 9 9 -{- r d~+l, satisfont aux 6quations diffgrentielles partielles:

(f,, f & , = o, ( E , F~)~, = O, (F,, f,)~ = 0 (i::l=~), ( ~ , f & = 1 (i, ~, = 2, 3, . . . n + 1). Oclessa~ Janvier 1897.