S u r les t r a n s c e n d a n t e s et les n o m b r e s

dl~mentaires

de B e r n o u l l i

et d'Euler.

( P a r NIELS NIELSEN, (~ Copenhague.)

PREMII~RE PARTIE. Applications des fonctions trigonom4triques

I. SUR UNE CLASSE DE S]~RIES Dig PUISSANCES.

J.Vlo WORPITZKY (*) a d o n l l e , "~t l'aide de deux d6veloppements des fouctions de BE~NOULLI, une suite de representations iud4pendantes des hombres de BERNOULLI et d'EULF~R. Or, comme je le d~montrerais dans une autre occasion (~), les deux formules fondamentales susdites de M. WORPITZKY lie sont que des repr~sentants isol~s d'uue iniinit~ de formules contenant un parami~tre quelconque et donnant, pour une valeur sp~ciale de ce paramStre, les formules en question. Du reste, la m~thode de M. WORP1TZKY est assez partietle; car ]as polynomes entiers de x, dSfinis comme coefficients des s~ries de puissances de ~, obtenues pour les fonctions

(cos~)-~, ~-~-j ,

~ ],

[-~--)

(~) Journal de CreUe, t. 94,, p. ~03-232; 1883. (~') Dans un M4moire qui paraitra dans les Annales de l'J~cole Normale.

(')

180

N i e l s Nielsen: Sur les transcendantes dldmentaires

nous donnent aussi, pour des valeurs sp6eiales de x, les nombres de B~RNOULLI et d'EULEm Dans nos reeherehes suivantes nous avons "~ donner un nombre de repr(Ssentations ind6pendantes des polynomes susdites et par consequent des hombres de B~RNOUHa et d'EuLEm Quant aux s~ries de puissances obtenues pour les fonetions (1), soit ? (7.) une fonetion analytique, r~guli~re aux environs du point ~ = 0, et telle que (0) = 1, il existe un nombre positif ~, de sorte que ,p (~) est, pour ] ~ ] % ?, r~guli~re et diff6rente de z6ro. Soit ensuite x un nombre eomplexe queleonque, la s6rie de puissances =

I:

n=O

n !

a son rayon de convergence plus grand que z~ro; de plus, il existe un nombre positif r, de sorte que la s~rie (2) est uniform~ment convergente et par rapport h x et par rapport a a, pourvu que I~. t < r et I x t g K ~ c x ) . En se rappelant les ideatit(~s

fo(X) = 1 ,

f,, ( x ) = D~ [(~ (~'))-"].=o,

on conclut que f,,(x) est un polynome entier de x, dont le degr~ ne peut jamais 5tre plus grand que n. Posons maintenant, dans if2), y au lieu de x, puis multiplions d'apr~s la r~gle de CATCHY les deux s~ries de puissances ainsi obtenues, nous aurons, pour les polynomes f. (x), la formule d'addition suivante f, (x + y) =

Z

f,,_~ (x) £ (y).

(3)

Quant aux coefficients des polynomes f,, (x), diff(~rentions p fois par rapport ~ x la formule (o~), puis 1)osons x = 0, nous aurons

(-- 1),' log

=

X

n=p

~t !

'

formule qui montrera clairement que les potynomes L, (x) sont g~n~ralement d'une nature tr~s compliqu~e. Posons dans (4,) p = 1, puis diff(~rentions par rapport fi ~, il r(~sulte ~ ' ( : ~ ) _ " 7 ~ f'.(O) ~,,_, ¢(,4 ( n - - 1)! ;

(5)

181

et les hombres de Bernoulli et d'Euler.

diff~rentions ensuite par rapport ~l x la formule (~), ce qui donnera ( )~-~ ,~' (~) "='~ f,, (x) ~,,_, --x\]~(~ • ~('~) - - ,,=, Z (n -- 1)'. ' puts multiplions, d'apr~s ta r~gle de CAUCHY,les deux s~ries de puissances (2) et (5), nous aurons pout" les polynomes f,, (x) les fornmles l'~cursives f,, (x) = x .

~=~'-' ( n - - l ) ~2 s=O

8

K,,-~ (0) L (x).

(6)

,

Prenons maintenant pour point de d6part l'identit6 6vidente ? (~.)= ! -

( 1 - - ~ (~)),

puts remarquons qu'il existe un hombre positif a, de sorte que nous aurons, pour ! ~ l ~ a , c o n s t a m m e n t II --~?(~-)l~ 1, la formule binomiale donnera ?(~)

=

,

52

xq-n--I

1--~(~)

(7)

It,

n=O

off la s~rie qui tigure au secoffd membre est uniform6ment" convergente et par rapport "a x et par rapport gt ~, pourvu que nous ayons ~ la fois [ x i --<_K - < ~ , [ a I <= ~ - - 8, off a d6signe une quantitY, positive arbitrairement petite• Cela pos6, nous aurons, pour les polynomes L, (x), les repr6sentations ind~pendantes f,, (x) --- 1,=t

P

Dg (1 - - ? (~))~ =o.

(8)

Or, il faut bien remarquer que des repr6sentations ind6pendanies de la forme (8) ne sont pas particuli~res pour les polynomes d~tinis 'a l'aide d'une s6rie de puissances de la forme (~). En effet, soit n un positif entier et p u n nombre entier, tel que O ~ p _ < , , , nous aurons par d6composition (en posant s ° = 1, pour s = 0): n,x" o¢ (x + 1)

__~='~ ( - - . l y ( - - s y ( n ) (a~ + n) - -

X

soit ensuite f(a0 ---- a0 x" + a, x ~-' + . - • + a,_, x + a,,

•

(9~

18°2

N i e l s N i e l s e n : S u r les transcendantes dldmentaires

u a p o l y n o m e entier q u e l c o n q u e d u degr6 n par r a p p o r t h x, puis m u l t i p l i o n s par a,,_~ les d e u x m e m b r e s de (9), n o u s a u r o n s f (~) = ~

+n

•

~

~ (-- 1)~f(-- s) s=O

n

93 - ~ 8

(lo)

8

ou, ce qui est la m~me chose, f(~,) =

x (-a)

s=0

"

(ll)

_~+"_f.-~..

s

\'~ -- s ]

D6signons m a i n t e n a n t par u, ~ et x trois h o m b r e s complexes quelconques, p a r F ( x ) u n p o l y n o m e entier de x d u degr6 n a u plus, n o u s a u r o n s i m m 6 d i a t e m e n t , en vertu de (11), cette autre formule plus g6n6rale - ,

F(~+~)

=

X (--1) ~

s=O

8

(t2)

r(~-s~).

~

Nous ne n o u s arr~tons pas p a r la g~n~ralisation, ~ l'aide de (1~), de la formule (8), ce qui ne j o u e a u c u n r61e p o u r nos recherches suivantes.

I I . D]~RIVI~ES SUP]~RIEURES DE LA FONCTION (COS ~)-u.,

P o u r ~tudier la p r e m i e r e des fonctions (1) d u p a r a g r a p h e I, n o u s a u r o n s p a r la conclusion o r d i n a i r e de n ~ n-C-1 u n e expression de la f o r m e D~o (cos ,~)-" :

(cos ~)-~ ,b (tg ~),

(1)

a~n

off ¢ (x) est, p o u r t o u s l e s n, u n p o l y n o m e entier pr~cis6ment d u degr6 n et p a r r a p p o r t ~t x et p a r r a p p o r t ~t :~. S u p p o s o n s ensuite q u e ~ n e s o i t p a s d e l a

forme ( q + 1 ) , %

oflq

est

u n n o m b r e entier, la s~rie de p u i s s a n c e s (cos (y + ~) - ~ = Z '~ (tg ~) y. \ COS ~? ~=0 n !

(~)

et les nombres de Bernoulli et d'Euler.

183

~O • a s o n r a y o n de c o n v e r g e n c e e¢al a u p l u s petit des h o m b r e s

off p d~signe u n e n t i e r q u e l c o n q u e .

P o s o n s t g ? ~ x, n o u s a u r o n s en v e r t u de (2) ,,=~o (1, (x) (cos y ~ x sin y)-~ --~ E ....... Y". ._-o

(3)

n !

Q u a n t a u x p o l y n o m e s ¢p (x), n o u s a u r o n s s a n s peine, en v e r t u de (~) et (3), ces d e u x ~ q u a t i o n s f o n c t i o n n e l l e s ¢ (x) = (l + ~ 1 D~ * (.~) + ~ x ¢ a,n~2

a + 2,n

* (x) = ~ (~ +

1) (1 + x ~) ,s, (x)

(~)

(.~) a,~

....

~

(5)

• (x),

d'ofi, en p o s a n t x ~ 0, (6)

Posons pour abr~ger ,o,, (~) = ~ (~ + 1 ) . . . (~ +- ,~ - 1),

n > 1,

n o u s a u r o n s p o u r les six p r e m i e r s d e s p o i y n o m e s en q u e s t i o n les e x p r e s s i o n s suivantes a,0

¢ (x) = \

*

1

i

(x) --- ~ (~) x ~ + a,3

• (~)=.,~ (~)~+(a

~'+~

~) x

a,5

¢ (x) =

o,~ (~) x ° + 10 ~ (~) (~ ÷ ~) x :' ÷ (15 ~3 ÷ 30 ~ ÷ 16 ~) x.

A n n a l i di M a t e m a t i c a , Serie IIl, Tomo XIX.

25

18&

Niels Nielsen:

S u r les transcendantes dldmentaires

Remarquons que la formule (3) donnera pour ~------ 1 . (~) = ( - 1)-,

¢

(x) = ( - 1 ) . x,

(7)

nous aurons, en vertu de la formule d'addition (3) du paragraphe I, eette ~quation aux differences tinies par rapport it ~. n--t

~

,=oF" ( - - 1 ) ' i , ] 2 s 4 - 1 * (x) 4--~'(--l)"-'[2s)¢,(x).~:~

*(x)--.(x)=x.

(8)

On voit que La formule g~n~rale (1~) du paragraphe I ne donne aucun rfisuttat simple pour notre fonetion q,. Or, il est tr~s facile de donner d'autres representations ind~pendantes qui sont plus simples. A cet effet, appliquons l'identit6 6vidente cos (y -4- ~) d"+~': 4- e -~" cos~ -e~,+~-e'".l nous

.(

e - ~ - - 1\ +;~=~f),

aurons

cos~

1~ ( - ~)~ p=0

~,e~ 4- 1 ] e

,

(9)

off la s~rie ainsi obtenue est du m~me caractgre que celle qui tigure darts la formule (7) du paragraphe I. Posons pour abr~ger L;(~)=

Z (--I)"

(~-l-2p--ls)",

L~(~)~---:¢',

(10)

s-~-0

nous aurons en vertu de (2) et en cherchant, duns la s~rie qui tigure au second membre de (9), le coefficient de la puissance y" ~,,l,(tg¢) Z ( - - i ) " ( :~ 4 - p - - ) 1 L~. ( ~) . e-;~' , = (-- i), p'-,~ " p.o p (~2cos ~y'

(11)

repr6sentation ind@endante qui est tr~s curieuse. En effet, remarquous que le premier membre de (11) est toujours r(~el pour des valeurs r~elles de ~. et ?, nous aurons, outre les representations ind@endantes cherch~es, savoir 1~ ~" cos p q,~'~*~(tg?) = P=~]~(-- I) "+~' ~ 4 - P - - ~ L~ (~.) (2 cos ,~)~' (12) p=')

P

~'~+~ s i n p y , * a,~,,+l ( t g ? ) = p---~,~+l Z (--1) ''÷~'+'( ~ 4 - p - I ) L~,(~)(2 p=l

p

cos ~y'

(13)

et les nombres de Bernoulli et d'Euler.

185

ces deux identit6s

p~n+l

(

~2 (-- I)" ~"-+-P p=o P

~=l

( - 1),,

k

1 ~ 2n+l -

cosp ~ = 0 ) L, (~) (2 cos 9?'

-

P

]

(1Q

L~ (~) . , , - - ~

(15)

t~cu~

Cela pos6, les formules de MoIvI~E cos p ¢ Z (-- 1)~ (cos ~)" = ,=0

;~=0 ( _

sinp9 _ (cos ~)"

1)~

(tg ?)~"

(

)

to (tg 9) ~+' 2s+ 1

donnent iinalement, pour le polynome * (x), les repr6sentations ind@endantes ¢(x)= ¢ (x)

p=0 E (-- 1)'+~ ~ + p l- ~- p

=

i

Z • p=l

( - - 1) "+~ :¢ +

) L~~'(~) (l+ix)~'+(1--ix)Pv,+, --1

L~ (:¢)

(1+

,,,

-2~,+~

(•6) x)~

•

(17)

Remarquons que la formule (1) donnera pour z-----1, :¢ = 2 respectivement

D~

1

1

= eos---~

(I) (tg 9)

2~n D; +' tg 9 = (1 + tg'~ 9) ¢ (tg 9),

(18) (19)

nous venons de donner des repr6sentations ind@endantes de ces deux d6riv6es d'ordre sup6rieur. M. JENSEN a trouv6, il y a trente arts tt peu pros, de telles repr6sentations ind@endantes, et un grand nombre .d'autres formules, tt l'aide du calcul symbolique; mais malheureusement il n'a pas publi6 les tr~s beaux et tr~s importants r6sultats qu'il a trouv6s par ce proc6d6 (*). (*)Dans une conf6rence, -faite h la Soci6t6 Math6matique de Copenhague dans la s6ance du 25 janvier 191% M. JENSEN a d6velopp6 les plus impor~ants de ses r6sultats susdits.

186

N i e l s N i e l s e n : S u r les tromscendantes dldmentaires

I][[. ]~TUDE DES FONGTIONS PARTICUL1]~RES.

Posons dans la formule (3) du paragraphe II x = 0, ~-----x, nous avons ~t 6tudier les polynomes

<, (~) = ® (o) =

D~ ¢ (~) I

~ > i,

(1)

I~ I < T "

(2)

ce qui nous conduira h la s6rie de puissances

(cos #-" = ~_-0Z (~ u)! ~",

L'dquation fonctionnelle (5) du paragraphe II d o n n e r a dans ce cas a.+, (x) = ~ (x + l) <, (x ÷ ~) - - x ~ ao (x),

(3)

d'ofi particuli~rement

<,+, (o) = ao (~),

ao ( -

1) = ( -

l) o,

(+)

de sorte que les s6ries de puissances 1 --1+ cos ~

tg~=

y. (~3--,,=l n)! '

E (2n+l)! .=o

'

i<<

t~t<

,

off les E,, sont les nolnbres d'EULER, les T,, les coefficients des tangentes, donn e n t ces valeurs sp6ciales a'o (0) = T,,,

a,, (1) = Eo,

~o (2) = T,,+,.

(5)

Appliquons ensuite les formules ( 3 ) e t (6) du paragraphe I, nous aurons ici =

<,+, ( x ) = x .

a~_~ (x) < (y)

~ s=l

T~ a~_~+, (x),

(6)

(7)

O~ 8 - -

ce qui donnera pour les six premiers des polynomes a., (x) les expressions

187

et les hombres de Bernoulli et d'Euler.

suivantes

a0 (~) = i a: (x) = 3 x ~ -}- 2 x a3 (x) = 15 x ~ + 30 x ~ -}- 16 x

a, (x) = 105 x 4 + 4,20 x ~ + 588 x ~ + 272 x a , @) = 9~5 x ~ + 6300 x 4 + 16380 x 3 -4- 18960 x ~ + 7936 x. N o u s a v o n s e n c o r e fi, d 6 t e r m i n e r le h o m b r e e n t i e r a,, ( - - p ) , est u n e n t i e r . A cet effet, n o u s a p p l i q u o n s la f o r m u l e 616mentaire

(cos ~)~ =

2~- ~

ott p >

1

s - ~ cos (p - - ~2s) ~,

off il f a u t a d m e t t r e ~o = 1, m a i s ~,,~= 2 p o u r m >

1. P o s o n s p o u r a b r 6 g e r

-----p - - t

~; = Ilous

X

p

p - - ~ s)",

8

(8)

&uroIIs

D~" (cos ~' ~)~-o - -

~-~

~.~,

d'ofi la v a l e u r c h e r c h 6 e

~o ( _ p )

=

( -2p_1)" ~. 1 ~I~,

n>l.

(9)

Cela p o s 6 a p p l i q u o n s , p o u r ~ ~-~ 0, :¢ = q, ofi q d 6 s i g n e u n p o s i t i f e n t i e r , la f o r m u l e g 6 n 6 r a l e (12) d u p a r a g r a p h e I, n o u s a u r o n s p o u r a,, ( x ) l a repr6seatation ind6pendante

a. (x) = PX'~ ( -

1)"+"

+ p

1

n

d'oh particuli~rement pour q =-1

p Combinons maintenant

\ n - - p! U~.

les f o r m u l e s (1) et (12), ( 1 3 ) d u

(11) paragraphe

II,

Niels Nielsen: Sur les transcendante~s dldmentaires

188

nous aurous, pour a. (x), ces deux autres representations ind6pendantes a~(x)--~ •

--

x-~p--1

p--0

L,(x)

(1~)

P

p=~,~-l y, (__ 1).+~p x - F - p - - 1 L~ (x).

a . (x) =

(•3)

D'autres representations iud~pendantes peuvent ~tre d6duites ~t t'aide des identit(~s 1

cos :¢ --~ 1 - - 2 sin ~ ~- = (1 -- sin ~~)~-, ce qui donnera -p=0 ~,

Z x -~-p--1) sin ~-~-! ~ / ~] p=0 \ P

P

(sin a) ~',

(14)

de sorte que nous avons tt calculer les d~riv~es D:((sin:¢) ~]

,

off n et p sont des positifs entiers. A cet effet, appliquons les formutes ~l~mentaires = ~ -2- - ~

~=o ( -

1)~

~ , _ ~ cos (~ p - - ~ s)

(sin :¢),~,+, = (--~ 1)"~=p ~ ( - 1 ) ~ (2p?

1) s i . ( ~ p - ~ s + ~ ) : ~ ,

puis posons pour abr6ger ~: p - 1

A; ----

~: ( - - l) ~

(p--

e s)",

(15)

s~0

nous

aurons

(-- 1) q

D~ (sin~' :c)~=o=--~=-~- A$, n - - p = 2 q ~ O .

(16)

Cela pos~, nous aurons, en vertu de (14), ces deux autres repr6sentations

et les nombres de Bernoulli et d'Euler.

189

P--~ (--1) "+~ ( x - t - p - - 1 ) ~. a,, (w) = Z 2~.+,-, A~,

(17)

ind6pendantes

2~_ ,

(is)

A~;.

Etudions encore la s6rie de puissances (•9)

(sin - ' ~ -~) ~---~--~.~--o(2 n) (x) :d"' les formules d'EuLER 1

eot~=

O:.

>2

t~I<%

(2n)I

n~---1

~ )-~ •

,,_-o,, 2~.(2n__l) B. ~,, 1+ ~ ,=, (~ n) !

oh les B,, sont les nombres de BERNOULLI,donneront b',, (0) - - 22" B . 2n '

b,, (1) =

(2 ~" - - 2) B,,

'

b~ (2) = "

(2 n - - 1) 2 ~" B,,

"

(~0)

De plus, nous trouvons en vertu de (16) b,,(--p)--.

(--1)" (2 n) ! A~+,~. p > l , (p_]_ 2 n) ! 2~-, ,

ce qui donnera, en vertu de la formule g6n6rale (12)du paragraphe I, cette repr6sentation ind6pendante

bo(x)= y~ (-- 1)"+~ off q d6signe un positif entier quetconque.

(2 n) !

(pq_+_2n)!2~_ ` A~+~,',

(21)

190

N i e l s N i e l s e n : S u r les transcendantes dldmenlaires

DEUXIt~ME

PARTIE.

Applications de la fonction exponentielle

IV. GI~NI~RALISATIOND'UNE S]~RIE D'EULER. S o i e n t x et ~. d e u x n o m b r e s d o n n 6 s q u e l c o n q u e s , il existe u n p o s i t i f P, tel q u e la s~rie de p u i s s a n c e s de y

(~ -

e-+-'>~-" ~--~ ( - l) ° + ~-i ) =.=02 nt

hombre

(~) ~

(~) ~Tt

a son r a y o n de c o n v e r g e n c e ~gal ~ p ; p o u r les coefficients q~ (x) n o u s t r o u v o n s s a n s p e i n e les ~ q u a t i o n s f o n c t i o n n e l l e s a,n..[..1

+" (~)= a,V~-I

a.-]-l,n

~W

a,n

(~)

( ~ ) - - ~ ( X - - 11 W(~) a~n

a~n

+ (x) = (~ + n x) + (x) - x (x - - 1) D~ + (x),

(3)

a~

d'ofi n o u s o b t e n o n s p o u r les six p r e m i e r e s suivantes

f o n c t i o n s ~'(x) les e x p r e s s i o n s

aDO

+(~)=1 a,t

a,3

+ (x) ~ ~ x~ + (7 ~ ÷ ~ ~) x ~ ÷ (6 ~ ÷ ~ ~+ -+- ~) x ÷ ~.+ a~5

• " (x) ~ ~ a~~ -t- (15 ~2 _~_ 11 :~) x '~ ~- (25 ~ . + 30 ~ -t- 11 ~) ~ -i-t- (10 ~' -~- 10 ~ - b 5 "~2 ~ - ~,) x -4- ~+-

t91

et les hombres de B e r n o u l l i et d~Euler.

Combinons ces valeurs sp6ciales et les 6quations fonctionnelles susdites, ~,~ n o u s verrons que ¢ ( x ) est u n p o l y n o m e entier et par r a p p o r t 'a ~ et par r a p p o r t "a x, et ee p o l y n o m e est du degr6 n par r a p p o r t ~'l ~. mais du degr6 n - - 1 par r a p p o r t "a x; dans le d e r n i e r cas il faut s u p p o s e r ~.>= I. P o s o n s ~ = - - 1, n o u s aLlrOllS ,,," (x~ = -

(m--

1)"%

u=_> 1,

ee qui donnera, eu vertu de la formule d'addition (.3) du p a r a g r a p h e 1, l'6quation aux diff6renees finies

'~ ( * ) - : * ( ~

+5,= ,%,/(x -, r,--' ,,,-(~).

(~)

La m6me formule d'ad(titio)~ (hnme)'a, en vertu (te (~), eette a u t r e t'ormul(~ sp6eiale ,i~ (x) -= ,. ,r ix) ÷ ~ x "~. , x

qui nous sera tr6s utile dans ee

qui

i5)

suit. C~J~

II est tr6s fa('ile de trouver, pore' les ~t:'(x), des repr6sen'tations ind6pen• d a n t e s , car I Menlate &gdente ~"

o

•

m-1

--1

x--1

d o n n e r a la formule

(o) qui est du m6me earaet6re que la tbrmule (7) d u p a r a g r a p h e I. Appliquons ensuite la tbrmule, o6 p e s t u n positif entier, 8==p

t

s=O

~ 8,

puis p o s o n s p o u r a b r f g e r L; =

); ( - 1;

~=o

(~

_

,.)~ =

~t L;: (o),

(7)

o5 L~ ( ) e s t la fonction d6finie par la formule (10)(lu p a r a g r a p h e II, nous n

o~

An~,ali di Matematica, Serie II[, Tomo XIX.

o6

192

Niels Nielsen: Sur les transcendctntes dldmentaires

aurons

(e-y(~-i)

n:p

d'ofl, en vertu de (1) et (6), la repr6sentation suivante p=l

P

(s)

L~.

O r d o n n o n s maintenant, selon des puissances ascendantes de x, le second m e m b r e de (8), puis posons q, ( x ) =

Z e;" (~) x

p=t

"-" ,

(9)

110118 a t l r o n s

,,.=o

p--r

]

p---r

Cherchons ensuite, au second membre de (10), le coefficient de la puissance ( p - - r ) 5 ce coefficient devieadra

nous aurons pour ~; (~.) eette autre expression ~(~.)~---

)2 (--1)" x + p - - r - - 1 r=0 p -- r

.

~.q-n (p--r)". r

(ll)

Inversement nous aurons en vertu de (9) et (lO) ( ~ - q - p - - 1) ~--p-t r. )

Introduisons m a i n t e n a n t dans (2)et (3)les expressions (9) ct (tO), nous aurons les formules r6cursives L ; +~ = p

(G+L;_,)

03)

dont la premi6re est due h GRUNERT (~). (*) M~}thematische Abhandlunffen,, Altona, 182~. Citation de M. WOIRPITZK¥,darts le Journal de Crelle, t. 9f, p. 210; 1883.

et les nombres de Bernoulli et d'Euler.

193

P o s o n s dans (1) x = 0, x = 1, la fonction qui ligure au premier m e m b r e deviendra r e s p e e t i v e m e n t

e--%

(1 -? y)-~,

ce qui d o n n e r a

,F (0) = ~",

,~ (1) = {

'

(l,a)

I L?.

06)

) n

d'o~t en vertu de (8) et (9) ces d e u x d ~ v e l o p p e m e n t s

a~"= ~ (-~)"--, x + j ~ p=t

P

j,

~,=, e (x).

(17)

La premiere de ces d e u x formules est due 5 C a u r , v (~) et j o u e un r61e f o n d a m e n t a l dans les recherehes de M. WomwrzKY.

V, FORMULE8 D'EoLER, DE LAPLACE ET DE SCHEI{K.

Le cas pa, rticulier de nos r e c h e r c h e s prSc6dentes qui c o r r e s p o n d 5 ~. = l est classique. P o s o n s p o u r abt'6ger J~tt

+,, (.) = ,v (x),

(l)

l'~quation fonctionelle (2) du p a r a g r a p h e IV donnera ~,u-[-l\

])..,t~(x)l

=x+,,(x),

u>l;

,l~ .=0

c'est-h-dire q u e n o u s a u r 0 n s ces d e u x sSries de p u i s s a n c e s

(~)

x - U~,~-- 7 - - y +

n=~2

(~) Rdsumgs Aualytiques, p. 35; Turin, 1833,

(n + 1) v.

(a)

19~

N i e l s N i e l s e n : S u r les transcendantes dldmentaires

tandis que les formules (40 et (5) du p a r a g r a p h e IV d o n n e n t ici

+.(~)=

y,

(x-

~ .... (x),

s~n--i ( 'D,) ,#,,+, (x) = (x + 1) +~ (~) + z .

:~

s~[

S

(+)

u>l

+~(x) ~ ....

(x).

(5)

' "

Posons p o u r abr6ger V ; = ~=p-* ~: ( - - 1 ),. (n + 1) ( p - - r)" = 9 , ("l ) , r=o r

(6)

n o u s a u r o n s ces deux repr6sentations i n d 6 p e n d a n t e s + , , ( x ) = ~ . L ~ @ = - I ) "-~'

(7)

+,, ( x ) =

(8)

~

~p=t

~t n ~2) t';a~ ,

d o n t la s e c o n d e est indiqu6e par EULER (*) et d6montr6e par LAPLACE (~*). EULER (*~) a ealcul6 les huit premiers des fonctions +,, (x), savoir

+o@)= 1 +, (~) = j +~ (z) = z +

+~ (x)

1

= x ~ -4- z~ x -4- 1

~/, (x) = x ~ - + - 11 x~-+- 11 x +

1

~ (x) ---~x ' -+- 26 x ~ - 4 - 6 6 x '~-t- 26 x -f- 1 '~ (x) = x" -? 57 x ' -~- 302 x ~ _4._3002x ~ -]- 57 x + 1 ~7 @ ) ~ x * -~- 1020x" + 1191 x * -~ ~ 1 6 x ~ -~- ] 191 x ~ -~- 1020x ~- I.

It saute a u x yeux que ces p o l y n o m e s sp@iaux sont rdciproques; appliq u o n s la formule r@ursive (5), nous a u r o d s la proposition suivante due SCH~RK (*~*~) :

(~) It~stitu~ioues calculi differeutial~, p. 4~$6; Saint-P6tersbourg, 1755. (~) Voir LAcaOtX:Trai~d du calcul diffdreuticl ct intdgral, t. 3, p. ~[10; Paris, 1819. ( ~ ) Is~stitutio~es calculi differentialis, p. 485486. ( * ~ ) Jour~tal de Crellc, t. 4, p. 30~; 1829.

t95

et les hombres de B e r n o u l l i et d ' E u l e r .

L e p o l y n o m e ~,, (x) est, p o u r n ~ 1, ur~ p.olynome rdciproque d u degrd n - - 1, savoir

de sorte que u o u s a u r o . s , p o u r 1 ~ p

< n:

(m) R e m p l a ~ o n s m a i n t e n a n t d a n s (2) y p a r y : ( x - - 1 ) ,

il en r~sulte

o~--I ,,=~ ( - - l)" +,, ( . ) x - - e-.~ - - 1 + ~ E =i n ! ( x - - 1)" y ' ' d ' o h en p o s a n t ---e ~' a u lieu de x et 2 h i a u lieu de y l l n=~ + , , ( - - ~ ' ) ( ~ h i ) " ~ ~ -4- e -~'~ - - e ~'' -4- I "+" .=t ~ n v.(e ~'~ - k 1 )"+'

'

ce qui d o n n e r a , en v e r t u d e s i d e n t i t ~ s

•

I (

e ~" q- 1 -~ 2 e~' cos x,

tg (x -4- h) ----- T

2e "

\e~¢~-~e-~""

)

1 ,

la sdrie de TAYLOR u=oo i,,-1 dJ e TM)e -(''-')~ h" E ~ "'(-.=, n I ( c o s x) "+' '

tg(0:+h)--:tgx-q-

de sorte q u e n o u s a u r o n s en d i f f ~ r e n t i a n l n ibis p a r r a p p o r t h h, p u i s posant h ~ 0 i"-' +. (--e "~'~) e - ` ' - ' ' ~ D;tg x = (cos oo)"+' (11) Cela pos~, i n t r o d u i s o n s d a n s (11) le d ~ v e l o p p e m e n t (7), n o u s a u r o n s p~n--1

D~ tg x =

( - - i) "-1 .

E

p=0

e--~a¢; ( - - ly'2"-~'-' L ; + , . (cos m)v+~ ,

(12)

ce qui d o n n e r a les d e u x r e p r 4 s e n t a t i o n s i n d ~ p e n d a n t e s D y t g x ---- (cos x) "~ 2 ~"

n ~"+1 tg x = (cos x) '7

E p=t

( - - "'

~ ' ~ ' • (~ c o s x)"

p~2n

p=oE(-- 1)'+~

~'+' (2c°Scos p ~f3y x

(13)

196

N i e I s N i e l s e n : S u r les transcendantes dldmentaires

et les i d e n t i t 6 s P=e'* 2 (p_-, p=~--1 p=O

sin p w l) ~'-~ r , - + , . . . . ~'+' (~ c o s ~)~

0

(15)

cos p x __ 0. (-- 1)" Li;~ "(2 cos x) ~

(16)

On voit que ees formules s o n t d u mfime genre que les formutes plus g6n6tales (12), (13) et (1Q, (15) d6velopp6es dans le p a r a g r a p h e II, mais que les coefficients ne s o n t pas f o r m e l l e m e n t les m~mes. Nous ne n o u s arr~tons pas ~t l'6tude des relations n u m 6 r i q u e s ainsi obtenues. I n t r o d u i s o n s ensuite clans (11) le d 6 v e l o p p e m e n t (8), n o u s t r o u v o n s les f o r m u l e s de SCHF,RK (*) p=~-i sin ( 2 p ÷ 1) x D~~ tg x =---2 . . . ~ 0 ( - - 1)~ ~"-~" (cos x) ~+~ D~,"+'tgx ---- (cosx)~.+,

Vl.

2. p~o (--1)~' ~'-~ '"+~" c o (cos s ( 2 p x) ÷ 2~÷~ ) x

(17) (18)

~]TUDE D'A(JTRES FONCTIONS PARTIGULI~JRES.

P o s o n s d a n s les formules d u p a r a g r a p h e IV x - ~ - - 1 et x a u lieu de ~., u o u s a v o n s ~ 6tudier les fonctions

c: (~) = + ( - 1),

(1)

ce qui n o u s c o n d u i r a ~ la s6rie de p u i s s a n c e s {1 - I - e ~ , - ~ = ' = ~

(--1)" c,~ ( x ) . .

~=0

77

i ~-t< e

n !

(2)

Dans ce cas n o u s a u r o n s l'6quation fonctioanelle (.,~)

et les r e p r d s e n t a t i o n s i n d 6 p e n d a n t e s c,, (x) =

Z (--

p~l

(*) Jouru,al de Crelle, t. 4, p. 303; 1829.

P

L~

(~)

"

et les non~res de Bernoulli et d'Euler.

c. ( x ) =

~E ( - - 1)"-" ~ @),

197

(5)

p~I

ce qui d o n n e r a les v a l e u r s sp6ciales ,o (~) - - l

c~ ( x ) = x 3 c4 ( x ) =

3x ~

x 4 -- 6 x ~ -i- 3 x ~ +

2 x

c, (x) = x ~ - - 10 x ' + 15 x ~ + 10 x '~. R e m a r q u o n s q u e l ' 6 q u a t i o n fonctionelle (3) d o n n e r a

~',,,,

(o) -

-

~,, (~) =

c~ (t),

~ ~,, (t) - - c,,~, (t),

n o u s a u r o n s , en v e r t u de la s6rie de p u i s s a n c e s 2

-~,'~ ( - - J)" T,,

.._,,

(~)< ~

ce,~ valeurs n u m 6 r i q u e s e2,, (o) = ( - - t) o T,,,

e~,, (1) = O,

e',,, ~, (o) = o

(a)

e.~,,., (1) - - ( - - 1)" 1'~,+,

c~,, (°2) == ( - - l) "+x iv,,+,,

(7)

c~,+, (2) ~--- ( - - 1)"2 T,,+,.

P o u r d 6 t e r m i n e r les valeurs n u m 6 r i q u e s entier, n o u s p o s o n s

c,, ( - - p ) ;

- : = 8-T' (Pt ( , , - .¢,

off p e s t

(8) u n positif

(.,)

s=:) 1 81

et n o u s a u r o n s , en v e r t u de l'identit6

( +¢3%)

"

l'expression suivante ~o(-p)=(-

1)"~ o-~ B~,

(lo)

tie sor[e q u e la f o r m u l e g6n6rale (12) d u p a r a g r a p h e ! d o n n e r a cette a u t r e

198

N i e l s N i e l s e n : S u r les tra~scendantes dldmentaires

representation ind~pendante

c,, (x) ---- Z (-- 1)°+; p=~

"

p

)t J q

n --

p

~"-,'~ .B;~,

(l 1 )

off q est u n positif entier quelconque. Nous avons encore ~t consid~rer le d ~ v e l o p p e m e n t s u i v a n t --

Z d,, (x)

I < ~2 ~..

W2)

m u l t i p l i o n s p a r :c -x les d e u x m e m b r e s de (iS), puis diff~rentions par r a p p o r t h ~, it en r(~sulte l'~quation fonctionelle x d~_, (~) - - x d,, (x + l) = (n - ~) a,, (x);

(13)

c'est-'h-dire que n o u s a u r o n s p o u r n ~ ! a',, (o) = -

d. ( 1 )

a,,_, (1) = d,, (~) + (,~ -- 1) a,, (~).

'D,

Cela pos~, ]a sO'ie de p u i s s a n c e s ~t~O0

Bn

2~t

off les B . s o n t les u o m b r e s de BERNOULLI, d o n n e r a les valeurs n u m ~ r i q u e s suiwmtes (-- l)" d'~,, (0) = ~ B.,, ",r~o+, (0) ---- o (l+) a~,, (9) = ( -

l) '~-' B.,,

a~,,+, (1) = 0

d2, , (~) = ('--- l)" (~ '~ - - 1).~,1,

(15)

(~2n~.1 (~)

= ( - - ~),,--1 B,,.

([6)

Dans ces formules il faut a d m e t t r e g6n6ralement n : > 1; mais l'expression de d~,, (2) u'est pas appliquable p o u r n = 1 ; d a n s cette expression il faut s u p p o s e r ~,> 2. h p p l i q u o n s ensuite l'identit6

( off p e s t

-----

~P

()

)2 ( - - 1 ) ~ p e-("-~)5

s~0

S

un positif entier, n o u s a u r o n s en vertu de ta d~finition (7) d u pa-

199

et les hombres de B e r n o u l l i et d'Euler.

ragraphe IV la s6rie de puissances toujours convergente

!

--

e-e¢ ~11~

ll=oo

! ---- 2

(--

I)"

.L;+ ~,

~,,

ce qui donnera

d,,, (--p)

--

(-I)" n ! L;÷,, ' ( ~ + p) !

~l'ol'l la repr6sentatioil ind6pendaute

p=~ (n + p

q) !

p

(is)

, --p 1

olh q est un positif entier quelcollque. ]-leniarquoiis en passant que les t)oiyilonies d, (;r.) soili i,l[inff~me,d Ji(,s avec les follet.ioiis lie STII/LI~(I (~).

TROISIEME PARTIE. Table

des

formules

num6riques

VJ_I. FORMULES CONTENANT DES NOMBRES QUELCONQUES.

D6signons par q un positif entier quelconque, ,t,andis que m est un enticr qui dolt satisfidre aux conditions indiqn6es, nous aui'ons les repr6sentations ind6pendantes qui contiennent les deux hombres m e t q:

(~) Voir mon Hartdbuch der Theorie dei" Gammafunktion, p. 71-77; Leipsic, 1906. Annali di Matematica, Serie III, Tomo XIX.

~27

0200

N i e l s N i e l s e n : S u r les tra,nscendantes dl&t~entaires

, =Zt

E,, =

o2,~-,

p=l e + " B , = P="+

P=" X

(~'~°-- ~) B . =

(2n--l)2~'+B. =

p

, m --p

p

m --p

( - - t) ÷ (2 n) !

m = > n.

(o)

I ~'

m > n,

(3)

m > n. .

(~)

~+~++~"~

+p--t

( - - 1)"+" (2 n ) !

] '~:'~ '

+m

m > n

~+-+"~

F. v=l (2n'--~-Pq) !~'q-~

P

~ m-- p l

~,,~v,~

T,,--- J+=++' m +( - - ) l)~+vZ 12~'~-'++(

':+

T,,+:+ = v=t Z ( - - I) "+v++' 2~-"-~'+'

v=+ X ( - - 1)"+"+' ~ - "

T,,+, :

B,, e +--+=

B,, :

'72 ( -

v=t ++':+

(°2'1~--1)B"= v=,+ ( _ B,, -----

v=,

+++t

m >__ ~ n - + I.

(+ +++_I)(+ ++) p

q

v=-+ 2 ~,`-v~+~ .X ( - - 1)"++'+' v=1

~2 T,,÷, :

(7)

IP+++ ' , ,, m - - p ] -+"~'

p

++++_ p

-4+ P - - I p

B~,

m > 2 ++.

-+- m m - - p IB-'"+ / ~ ~'

+=,,,(--1)"+~'(121~)! Y (~n+pq)!

I

q p

1~,++ - -

~+p--1 p

4

11"+,'~' (~ ~+ .+- l)! ! - ~ ÷ p - - 1 (~n+pq-~-J)!

\

p

+ m ]

--p/

p]

~

+'+++

(8)

(.9)

(10)

~="' ~-- 1)'++'(e'+)! (+'q +'~'++-,+ +,,,>~.+. v ~ t (m + + p q) t +v q '~ p ! +'+"+ ' =

(+ n) t (~,")"++' n, + p q) t

(5)

(11)

,

m>9+n,. =

(l~)

N~.+,,+,,,, p]"~ ' +++~ ~ ~+~. (1.3)

jL~,'~+-~+I~ m > 2 n + l . ' =

(l~)

0201

et les uombres de B e r n o n l l i et d'E~aler.

R e m p t a ¢ o n s m a i n t e n a n t t o u j o u r s .m pal" sa plus petite valeur, puis posons q = 1, et posons encore dans (3), (6), (9) et (10), (13) et (1!~) q - - 02, n o u s a u r o n s les fornmles plus particuli6res et plus simples T , , = ~~=" ( - ~)"7' (,q

I.

E,, = J.= v"

lI. Ill.

T

(--I)"*,'(,~

l)~t;"

~ " ( - 1)'+" (p + 1 ) ( u + ~] v=f

IV. V. VI.

V.[I. VIII.

XI. XII. XIII. XIV.

'd~ - - P]

Z -02~_,

T,,+, =

02n

'-)G.

Z

--

~2 (-1)"+, (02 ,~) ! (,~+11A-...+, ,=.~ l:=t ( p + 2 n) ! 02~'-~ V~. - - P , ' "-"

(2 "~'- 2) B,, =

(02n - - I) ~ " B,, == ~=-(-|)"+"(02ny! E v=t

"

(v+l)(~+~A~,,+~.

( p + 02 n) ! ~ ' - '

\n --p]

"=" (-- l)"+" (02 n) , ( : g - l ) ~ , . + , ~ , , (~ n - - 1) 02'-'"B,, = v=* ~' (02 P q - 02 n) .l 02=,'-, _ p _ "'-~p "

IX. X.

o

p=, ~;02,'-' ~v]'a; •

~=t

T,,+, =

X

02 T,,+, =

/

e.

( _ l),,~,+, 02.._~,+, ~2 +

R~.+ ~

,~

p---..1 p----~u4-1 Z (-p=~

T.+,=

\p

Z ( - - 1 ) "+~'+'02~'-~' 2 n - t -

T.+,=

02 T.+, =

P

1)"+,+' 0~"-~+'

(

02 n + 3

y_, p~-t

)

02 n - - p + 1 ( p +

io=~n

~ (-1)"+~'+'02~"-~'( e n ÷ l

v=~

( p _ } _ l ) B~,"

02'~ --

~,~ ~ - - P

1) m - + '

) B~;,.

( - - 1)"+~+' 2~"-°~+' ~ n - - p + 1 "-'~ '

909

Niels

Nielsen:

Sur

B,,

XV.

~n

- - r=l Z

B,,=

XVII.

(2n--1)B,,:

XVIII.

B,,=

dldmentaires

(9 n)! (9,q

(--

(gn+p)!p

\ P / ....~

"

(-- 1)"+~*' (9 n) ! {9 ,~ + l ~ L~"+~'

~=~-

XVI.

les t r a n s c e n d a n t e s

~ p=t

(2 n - k p ) ' .

Z

[9 n - - p ]

(2n+p)'

l?~L

~2n--.p

"

p=~"+~ (-- 1)"÷"~-' (9 n 4- 1)! ( p ~- 1) [ 9 n -4- 3 Z (9 n -~- p ~-- i)! ~n--p+l ~,=1

! 14,,~,÷,.

~=-~,* (__ l)"t~'(gt0 ! (99n-~-IlL~;+~," ( g n - - 1) B. = ~=t }2 ( ~ n - } - g p ) ! n -- p/

XIX.

xx.

B,,=

2

p=l

(9n-}-9

I)

~-1) v•

9t~--p÷I

~"~

"

Dans ees formules nous avons pos6 pour abr6ger

~----

2

P

E

(--1;

s----O

L,--

8 ,

(p--°28)';

A;----

(p

s)",

B~=

E (--1) ~

s=9

,.v

(p--~s)",

(p--s)".

De plus, nous avons entres les T. et les B. la relation suivante T, ~

VIII.

2 ~" (9 ~ ' ' - l) B,,. 9n

R E P R E S E N T A T I O N S SANS DES PARAMI']TRES.

Les representations ind~pendantes d'une forme plus simple que nous venons d'indiquer pour les fonetions a,, (x) e t c . (x) d o n n e n t une suite d'auires formules num~riques, savoir:

XXI. xxII.

I',, = T. =

p=~ (-- 1 y~ ~' 9 ~'-~'

Y~

p=t

)2 p=l

2/2

Li'.

( _ 1),,+~, 9~,,-~,--, L ; - ' .

et les nombres de Bernoulli et d'Euler.

/o=2n (__ l),,+v

XXIII. XXIV. XXV. XXVI.

Eo = E,,=

C~" (l).

2~,

p=~-n--i

(-- 1)"+~'p

X

~,,_,

p.-~l

p=~ (-- 1),,+~ (p + 1) X 2~ L~" (~).

T,,+, = T"+I =

X

p=0

P=0

p=,,,-, .p=~ ( _ 1),,,,,p ~2' (p + l) L~

(e).

XXVII. XXVIII. XXIX.

~V(--- I)"~,'A,,,,

2,-:,,E

p-~.l F"-----e

~2. T

(-- l)" : (p + 1)

~,,

p----i

v = " ( - - 1)"+" ,, T,,= ~ &,.

XXX.

(1)

p=t

XXXI.

-=~(-- i)"+,' - - g E,,= X g~,,--7, \ p=t

p

XXXIV. XXXV.

A~;.

p='~(-- 1)"+" ,.

XXXI[. XXXIII.

p . 2 ~'

p----I p=~n

T.+, =

2 T,,+,----

~2 (-- 1)''+'+' (p + 1) °2'"-" L~".

p----I

.p-"~n+l

X

( - - 1) "+~'+~(p + 1) ~'~-'+' L~,+'. ~=2n

T,,= p:..:I 2 (-- J)"÷"g"-'. .-v----~n-{-I

XXXVI.

To+,=

XXXVII.

To+, =

)2

la----.i

( - - I ) "+'+' 9,.,,,+~ .,.

~----'2n

XXXVIII.

X (-- 1).+.+, eg~" (2).

p-,~l

p=~n+I

2 T,,+, ----

X

(-- 1) "+v-' V~"+' (2).

203

Niels Nielsen:

XXXIX.

S u r les trcet~scendantes dldmeutaires, etc.

T.+~ =: )2 p_~O p-.~n--I

XL.

T,,+, = ,,+0~'+',-- °2 .

E

p=0

(-- 1)~' ~----..:"'+' i

Les deux derniers d6veloppements sont tir6s des formules (14) et (18) du paragraphe V. Dans les fornmles de XXII[ '~ XXV[ il faut poser

-

()

L; (~)=~",

ee qui d o n n e r a ~; (0) = ~" . L;.

Quant ~ la fonction ~ ( x ) qui tigure dans les formules XXXVI[ eL XXXVIII, IIOUS a v o l t s

V; (x) =

2

~=0

(--iy

(p--s)",

p -- s

ce qui donnera (D~ ~ ( x ) t

9~-' (1)

~-~

/ x ::O

On voit que plusieurs des quarante repr6sentations i n d @ e n d a n t e s particuli6res que nous venons d'indiquer sont bien_ connues.