Teoria degli anelli di serie di potenze. Memoria di WALTER THIm~ (a Bonn, Germania)

Sunto.

- I n questa memoria ~ dato u n riassunto della teoria degli anelU di serie di potenze con appIieazioni •ella geometria algebrica e nella teoria dells fun~ioni di pi~ variabili eomplesse. Uno sgua/rdo alla prcfazione dar& an'idea piit particolareggiata del conte~uto.

PREFAZIONE Questa memoria espone la teoria degli anelli di serie di potenze in vista di applicazioni alla geometria algebrica ed alla teoria delle funzioni di piit variabili comp.lesse. Essa si suddivide in due parti, la prima dedicata alla teoria delle serie di potenze formali, la seeonda concernente le particolarit~ che intervengono quando si aggiunga il presupposto della convergenza. Nella te,~ria delle serie di potenze formali (§§ 1-14) viene inizialmente supposto the il dominio dei coeffie,enti sia un anelto commutativo dotato dl uniter; ma dal § 9 in poi si ammette ehe quello sia un corpo infinito, di guisa (.he il teorema di preparazione di WEIERSTRASS risulta applicabile senza limitazioni. Strumento essenziale per dimostrare i teoremi pifi profondi sulle varietCt algebroidi ~ la funzione norma, costituente l'analogo della forma associata (o di C~.YSEY) della geometria algebriea (cfr. [6], p. 32). Le applicazioni delle serie di potenze formali riguardano prineipalmente la geometria algebrica, e pffi precisamente lo studio di proprieth loeali delle varietk algebriche. A questo seopo, nel § 14 si introduce il concerto di falda, investigandolo poi coll'uso della funzione norma. Nella seconda parte, il dominio dei coefficienti ~ il corpo dei numeri eomplessi, e si possono utili~zare tutti i teoremi sulle serie di potenze formali anche neU'ipotesi della convergenza, in quanto le ope, azioni pifi importanti del calcolo delle sei:ie di potenze non condueono fuori detl'anello delte serie di potenze convergenti. A quei teoremi viene aggiunta una teoria dei germi di insiemi analitici, riferentesi atle propriet~ di una varieth analitica helle vieinanze di an punto fisso. Tali proprietk sono essenzialmente di natura topologiea; ed anche ora il pifi importante strumento di dimostrazione la funzioue norma.

W. THIM~: Teoria degli anelli di serie d~ potenze

248

Debbo l ' i n i z i a t i v a delia p r e s e n t e m e m o r i a al Prof. BE)rXA~I~O SEGRE d u r a n t e il mio soggiorno a l l ' I s t i t u t o 2~azionale di Alta ~ I a t e m a t i c a in Roma, n e l l ' a n n o a c c a d e m i c o 1954-1955. P e r questo, e per il Stio c o n t i n u o i n t e r e s s e alia r i u s c i t a del lavoro gli sonG molto obbligato. R i n g r a z i o inoltre cordialm e n t e i Professori M. BEBrEDICT¥ e M. RosA~L t h e si sonG sobbarcati alia n o n lieve f a t i c a di t r a d u r r e il m a n o s c r i t t o tedesco in l i n g u a italiana.

§ 1. - D e f l n i z l o n l

e notazionl.

1.1. ]Notazioni di teoria degli i n s i e m i Se /i!3 e ~2 SOnG d u e insiemi, si indicheri~ con /113~j ~ la loro u n i o n e e con /i13 f-~ t0 la loro intersezione. Se tl~ 6 c o n t e n u t o in /!13, s c r i v e r e m o ~-C/il3. Se in p a r t i c o l a r e /9 6 u n elemento d e l l ' i n s i e m e /il3, s c r i v e r e m o /ge/113. 1.2. l~totazioni di teoria degli ideali. T u t t i gli anelli che i n t e r v e n g o n o nella nostra t r a t t a z i o n e sonG c o m m u t a t i v i . (a) Gli ideali di un ane]lo 1R s a r a n n o i n d i c a t i con l e t t e r e g o t i c h e m i n u s c o l e a, b, . . . , i , p, q, ... ; inoltre ]e lettere I) e q s a r a n n o r i s e r v a t e gener a h n e n t e agli ideali p r i m i o primari. L ' i d e M e hullo sar~t indicato con (0). (b) S e a congiungente,

e 13 son() ideali d e l l ' a n e l l o ~ , i n d i c h e r e m o con (a, b) l ' i d e a l e cio6 la totalit~ degli e l e m e n t i a-}-b, con a e a e be13. Se al, a2, ..., a,. 6 u n a base d e l l ' i d e a l e a, s c r i v e r e m o a n c h e a - - ( a l , a2 . . . . . a,.). L ' i d e a l e intersezione di a e D si i n d i c h e r h con a c-~ 13; con a - I3 si indicheri~ l'ideale prodotto di a e 13, cio6 il pifi piccolo ideale che c o n t i e n e tutti i prodotti ab, con a e a e b e 13. (c) U n anello nel q u a l e ogni ideale possiede u n a base f i n i t a si dice anetlo ¢ n o e t h e r i a n o ~. 1.3. Ideali r i s t r e t t i e ideali estesi. S i a n o ~ e ~ due anetli, t a l i che ~ sia sottoanello di ~. (a) S e a

e 13 song ideali di ~, si ha (err. [7], pag. 36): (a ~ b) ~ 111 = (a ~ 112) ~ (b c-, "iR).

(b) So p i~ u n ideale primo o p r i m a r i o di ~, allora a n c h e p f-~lR 6 ideale primo o r i s p e t t i v a m e n t e p r i m a r i o di 1R (err. [7], p. 37).

W. THIM~vI: Teoria degli anelti di serie di potenze t"

(c) Sia a un ideale di 1R. Le somme finite ~p,a~, con a ~ e a e

249

p~.~

J.

( i - - 1 , 2 ..... r) riempiono un ideale di ~, che si chiama l ' e s t e n s i o n e in d e l l ' i d e a l e a, o ideale esteso, e c h e s i indica con ~ . a . Valgono le relazioni (err. [7], p. 34):

(U

~ . (a ~ b) C ( ~ . 8) r-, ( ~ ' b),

(2)

~ . (a, b) = ( ~ . a, $ . b),

(3)

5 . (a. b) = ( 5 . 8 ) - ( 5 . b). 1.4. Unit'h e ideali massimi.

(a) Un elemento a dell'anello 1R si dice unitk di ~ so l ' e q u a z i o n e a . x - - 1 ammette in 1~ una soluzione a~. :Naturalmente ~ pub contenere unitk solo se ammette modulo, cio6 un elemento identico (rispetto alla molti. plicazione). Un elemento di 1R, che non sia un'unit/~, si dirk • non-unit/~ 2. Le unim di un anello formano un gruppo moltiplicativo rispetto all'operazionc di prodotto dell'anello. In un eorpo tutti gli elcmenti diversi dallo zero sono uniter. (b) Particolarmente importante 6 il ease nel quale le" n o n - u n i t k di 1R formano un'ideale in 1R. Questa propriet/~ 6 eollegata con u n a proprietk rela. tiva agli ideali massimi. Un ideale m di un anello IR si dice massimo in 1R se non esiste aleun ideale a di IR, diverse da Ili e da 1R stesso, e tale t h e m C a C 1R. Ebbene :

(c) Le non-anit/t di 1R formano in 1R un ideale s e e soltanto se 1R possiede uno e un solo ideale massimo, e qaesto ideale consta .allora delle non-unit/~ di 1R (cfr. [141, p. 48). (d) Un anello noetheriano con un solo ideale massimo si dice <~anello locale >>. 1.5. Anelli di polinomi. Sia 1R un anello. L ' a n e l l o dei polinomi in n indeterminate ah, ah, ..., x , con coefficienti in 1R sark indicate con 1R[xl, x2,..., ~,]. Brevemente scriveremo anche ~ . , o, quando occorra tener presentc la lettera usata per le variabili, ~,,x. Gli ideali di questo anello si indicheranno con 8, b, ..., l~, q, ....

Annali di Mat~matw.a

$g

250

W. THIMM: Teoria degli auelli di serie di pote~ze

CAPITOLO I. S E R I E F O R M A L I DI POTEI~ZE § 2. - A n e l l l

d! serie

formali

di potenze.

2.1. Alla base delte eonsiderazioni seguenti sta un anello commutativo ~ . Sia x~, x~ .... , x , un sistema di i n d e t e r m i n a t e ; indieheremo questo sistema con x, o, quando oeeorra tener eonto de| nume~-o delle indeterminate, con (x),. Con ¢Ph--~,(x)-"'.ph(x),, ~ (x~, ~c~, .... x . ) si denoteri~ un polinomio omogeneo di grado h nelle indeterminate x~, x2,..., x , , con eoe[ficienti in ~ . P e r serie formale di potenze intendiamo u n ' e s p r e s s i o n e del tipo: 2(1)

f ( x ) "-- f(oe,),~ - - ¢¢o -'[- ~:L(x,) ÷ ¢p~(x,) ÷ ,.. ÷ c~h(x ) ÷ ...,

nella quale ¢p~ si ehiama il termine di grade h in f; in particolare ~o si direr termine noto. Due serie formali di potenze si dieono identiche quando coincidono termine a termine. 2.2. Nell'insieme delle serie formali di potenze si definiscono u n a somma e un prodotto mediante le seguenti regole di calcolo : se f--~ ~ o - ~ - ~ . . . ÷ ~ h ÷ - . e g - - Co ÷ Cl -~ ... ÷ Ca -{- ..- sono le rappresentazioni di due serie formali di po~enze, si ponga:

2(2) 2(3)

f + g = (~o ÷ Co) ÷ (~, ÷ C~) ÷ ... ÷ (~, ÷ ~ ) ÷ ...

f ' g - - ~o" Co + (~o~+~ICo) + . . . ÷(%C~, + ¢Pl~h-~ ÷ . . . ÷ ~, C~-, ÷...-{"~," '.Po)+....

Si verifica facilmente che, rispetto a queste operazioni, l ' i n s i e m e delle serie formali di potenze ~ un anello eommutativo. Esso si indieherk con ~[[xl, x2, .., x,]], o brevemente con ~,, o con ~ , x , err. 1.5. 2.3. L ' a n e l l o detle serie di potenze ~5, contiene tutti i polinomi nelle indeterminate w con eoeffieienti in ~ , perch~ questi sono serie formali di potenze con un numero finito di termini diversi da 0. Poich~ le regole di calcolo 2(2) e 2(3) valgono anche per i polinomi, 1 anello ~ , eontiene come sottoanello l'anello dei polinomi ~ , , . ]~el seguito si studiano anelli di polinomi sopra anelli di serie di potenze e si adotter~ la seguente notazione: 1' anetlo dei polinomi nelle indeterminate wl, w2,..., wt con eoefficienti n e l i ' a n e l l o delle serie di potenze ~,--~[[zl, z~,..., zA]] si indichera con llS[[zl, z~,..., zh]][wl, w~,..., wt] o b r e v e m e n t e con ~h,z.

W. THIM~: Teoria degli anelli di ser~e eZi potenze

251

2.4. La stcuttura degli anelli di serie formali di potenze esce dall'ambito detle strutture usualmente considerate in algebra, perch~ per fissarne un elemento ~ necessaria una successions infinita di dati. Cib implica che in molte importanti questioni possono e debbono intervenire infinite operazioni di caleolo. GiSt la definizione di una serie formale di potenze fa apparire quest'ultima come il risultato di infinite addizioni. Poich~ perb nella presents situazione generals non si pub parlare di convergenza, l'introduzione di infinite operazioni di caleolo con serie formali di potenze presuppone che, per ogni grado prefissato arbitrariamente, i relativi termini che compariscono nelle varie operazioni rimangano, da un certo punto in poi, inalterati. Per enuneiare proposizioni in quest'ordine d'idee ~ necessaria la seguente definizione. Sia f e ~,~ una serie formale di potenze f=~=0. Sia ~ il primo terrains non nullo hello sviluppo 2(1) di f ; allora l'intero s si dice il grado minimo di f e si indies con ~)(f); % si chiama il termine direttore di f. Se f - - 0 si pone :

oo.

Se f, g sono elementi di ~ , ,

3(4)

si h a :

a)(f-t-g) ~ minimo di w(f) e ~(g),

e:

2(5)

g) >

+ (o(g).

Se l'anello ~) 6 un dominio d'integritst, cio~ se non possiede divisori dello zero, nella 2(5) vale sempre il segno di uguaglianza. 2.5. TEOREM/k 1, cfr. [2], p. 58. S i s fl, f2,..., f , , , . . , u n a successione infinita di serie formali di potenze in ~ , . L a successions dei loro gradi m i n i m i o~1, o~, ..., O)m, ... tends verso oo. Allora si p u b considerare la s o m m a :

2(6)

f = fl--Z- f ~ Jr-... -~- f m -f-...

ed essa ~ u n a serie formals di potenze in ~ , .

Si fissi un intero _hT~ 0. Dall' ipotesi sulla successione dei gradi segue l'esistenza di un indite h - - h ( ~ ) tale che per i_~ h si abbia II terrains di grado N nella somma infinita 2(6) coincide allora col di grado ~T della somma finita fl -]- f2 -t- ... "-F fh ; ogni termine di f si dunque con un numero finito di addizioni, l~e segue il Teorema l.

minimi ¢~ > hr. termine calcola

252

W. THIMM: Teoria degli artelli di .~'erie di potenze

§ 3. - S o s t i t u z i o n i

nelle

serie

formal|

di potenze.

3.1. Le serie formali di potenze non possono essere considerate come funzioni, eiob non b lecito sostituire al posto delle x uu sistema di valori; se si eecettuano f valori (tutti o in parte) nulli. Se infatti in una serie formale di potenze si pone le zero al posto di talune de]le x. rimane un~ serie formale di potenze nelle x rimanenti. Perb sono possibili anche altre sostituzioni, seeondo la seguente definizione: Siano g~, g~,..% g,, serie formali di potenze, prive di termine noto, nelle m indeterminate y~, y2, ..., y,~ con coeffieienti in ~ :

g~ ~ I~,~Y,

(~(g~) :> 1

(v--1,

2, ..., n).

La sostituzione (x)n "-T(y)m di equazioni:

3(1)

x~ - - g ~ ( y ~ , y , , ..., y,~)

(v - - 1, 2, ..., n),

si dice formalmente analitica in ]0,,Y. La matrice dei coefficienti dei termini lineari delle g~ si denomina matriee funzionale di T. Nel caso in eui m e d n siano uguali, il determinante di questa matriee si chiama determinante fun~(x~, x2, ..., x,) zionale di T e Io si indica con h - - ~ ( y ~ , Y~,..., y,~); si ha h e i r .

3.2. TEOREMA 2. Sin f una serie formale di potenze di ~ x . L a trasformazione, formal. mente analitica in ~ , , y , (X)n ~-T(y)m, trasforma f in una serie formale di potenze f - - f ( Y l , Y~, ..., Y m ) - - f ( g l , g2,..., g,) dell'anello ~~,~Y. Se f ~ rappresentata mediante la 2(I), per la 2(4) e ia 2(5) si h a t h e la serie formale di potenze ~ h - - ~ h ( Y ) - - ~ h ( g l , g2 .... , gn) ha grado minimo ~a ~ h. Applicando il Teorema 1 alla sueeessione ~h si ottiene il Teorema 2. 3.3. U n a trasformazione analitiea formale rappresenta omomorficamente l'anello delle serie di potenze ~ , x nell'anello delle serie di potenze ~ , , y . Si ha un isomorfismo tra questi due anelli quando n----m e la trasformazione i~ invertibile. P e r quanto riguarda la possibilit~ di tale inversione, si hanno i seguenti teoremi. Se ( x ) , ~ - T(y),, designa una trasformazione analitica formale in ~,,~y e (y),~---U(z)~, una trasformazi0ne analoga in ~ z , in base al Teorema 2 si possono comporre le due trasformazioni e costruire ta trasformazione (w)n ~ TU(z)~, che risulta analitiea formale in ~ z . L a matrice funzionale

W. TH*M~: Teoria degli anelli di serie di potenze di TU 6 allora il prodo~to delle matrici funziouali della T e della partieolare, se il numero delle variabili x, y, z 6 lo stesso, si h a :

253 U. In

~(w., x~, ..., x , ) _ ~(xt, w=, ..., x,,) O(yz, y ~ , . . . , y , ) ~(z~, z ~ , . . . , z , ) - - ~ ( y ~ , y ~ , . . . , y , , ) ' ~ ( z , , ~2,..., z,,)"

3(2)

3.4. TEOREMA 3: (Teorema sulle funzioni implieite), err. [2], p. 64. Siano F~(xx, ~ 2 , . . . , ~,~, Y~, y2, . . . , y , , ) ( i - : 1, 2 .... , m)m serie f o r m a l i di polenze dell'anello ~,~+,~ = ~ [ [ ~ , x2, ..., ~¢,~, y,, y~, ..., yl,]]. Queste F~ siano prive di termine note. M e d i a n t e la sostituzione x, -- O, x~ -- O, ..., ~,, -- 0 si ottiene da F~ u n a serie formale di potenze nelle y ; sia essa L(Y~, Y~, ..., Y,,) e ~ , , y . S i a inoltre 5 il determinante funzionale

5 - - ~(f' ' f* ' "'" , f " ) . Se A ~ u n ' u n i t ~ ~(Y~ , Y2 , ... , y , , )

di ~ (err. 1.4.) esistono m serie formali d~ potenze dell' anello ~,~¢ :

3(3)

Yi = gi(~,, x= .... , a~,)

(i = 1, 2, ..., m),

F~(x., x2...:, x n , g,, g~, ..., g , , ) = 0

(i = 1, 2, .... m).

tall ehe :

3(4)

P e r la dimostrazione si introdueano le seguenti notazioni. Sia F E ~ n + , ~ ; sostituendo in F y t = 0 , y 2 - - 0 , . . . , y , , - - 0 si oitenga f ~ , i x . Il grade minimo di f sia ~(F). Sia ~ , ~ il termiue incognito di grade h nella rappresentazione di g~; sia eio6: g, = $ i ; , 1 + Ei~,= + ... + !!i,, h + ...

( i = 1, 2 , . . , m).

Determiniamo prima i ~ ; , , . II termine lineare di F~ s i a : m

(1)

Z a~jyj + ~,,,

( i - - 1, 2, ..., m);

eve ~,1 6 una forma lineare helle ~v con eoeffieienti in ~ . Le ~ j , t ( j = 1, 2,..., m) sono allora determinate dal sfstema: (2)

Z a~j~j, 1 + +,., ~ = 0

f=l

(i = I, 2, ..., m).

I1 determinante del sistema (2) 6 5. Se h 6 uu'unith di ~ , si ha 5 - 1 E ~ In questo case la soluzione (2) 6 costituita da forme lineari nelle x, con eoefficienti in ~ senza termine note. Se per j - - 1 , 2 , . . , m, si eseguisoe nella Fi la sostituzione

254

W. THIMM: Teoria degli anelli di serie eli potenze

si ottiene u n a serie formate di potenze _F~~) dell'anello ~)+,--]~[[x~, x~,..., x,~, y~), y(~), ..., y~)]] e si h a : F(~~) -- Z aiiy~ .~) q- (b~~)

(i -- 1, 2, ..., m).

P e r le (1) e (2), ¢~t) ha grado m i n i m o _~ 2, e si ha anche ~(¢~))~'~ 2. Si s u p p o n g a ora di aver ealeolato i termini di grado ___~h nelle serie g~. Questi termini soddisfaeeiano inoltre alle seguenti proprie~h: Se, per j " - 1 , 2,..., m si esegue helle E~ la sostituzione:

(3)

Y~ = ~ , 1 + ~ , ~ + . . . + ~i, h + y~h),

+. si ottengono serie formali di potenze F~(h) dell'anetlo ~~(a) yl h), y(2h), ..., y~)]] tall c h e :

E(~a) -- E a~jy~h) q - ¢b~a) i=1

= ~[[x~, x,, ..., ~ ,

(i --" 1, 2, ..., m),

o r e (I)~h) ha grado minimo _~2 e ~((I)~a ) ) : > h q - 1 . P e r h - - 1 si 6 gi/~ visto t h e queste propriet~ valgono. Se netla (I)~h) sostituiamo le i n d e t e r m i n a t e y~> con altrettanti zeri, otteniamo u n a serie formale di potenze di ~ , x , la quale, per la ~((I)~h)) ~ h - b 1, ha grado minimo ~ h - b 1; il suo termine di grado h + 1 sia ~b~,4+1. Allora le ~t,h+l sono date dal s i s t e m a : (4)

~ a,i~j, h+~ + ~ , a+t = 0

(i --- 1, 2, ..., m).

i=1

Poioh~ h - l e ~ , si ottengono polinomi omogenei nelle x di grade h q--1 con eoeffieienti in ~ . Se, per j - - 1, 2, ..., m, eseguiamo nella F(~h) la so~tituzione : y~h)

__

q~-1)

~i, 4+t + Yi

,

o il t h e ~ lo stesso, se effettuiamo la sostituzione:

yi= ~,~+

~j,~+... +~,h+~+y~+~)

~ ' - - 1 , 2,..., m) ~(~-~)

sulla F~, otteniamo u n a serie formale di potenze F~ h+~) dell'anello a-,~+- , e si h a : E(~h~) -- ~ a,iy}h+~) + V~ a+~)

(i -- 1, 2, ..., m).

W. THIMM: Teoria degli anelli d~ serie di po$enze

255

P e r le proprietk delle ffp~h), la (I)~h+~) ha grade minimo ~> 2, e in virtfi delle (4), ~ ~((I)~h+~)) _> h + 2. Abbiamo pereib la possibilitk di calcolare con lo stesso metodo via via i termini di grade pi~ alto e di ott enere eosl la serie g~. Come applicazioni di questo teorema si possono, c~me era v e d r e m o : (1) d e t e r m i n a r e le unith di ~,~, (2) earatterizzare le trasformazioni analitiehe invertibili. 3.5. TEOREMA 4. Una serie formale f d i potenze di ~,~ ~ u n ' u n i t ~ quando e soltanto quando il sue termine nolo ~ u n ' u n i t ~ di ~ . (a) L a

necessit~ della condizione segue

dalla

definizione

di

unitk.

(b) P e r la dimostrazione d e l l ' i n v e r s e poniamo f - A-]-/'1, in mode t h e f~ e ~,, e ¢o(f~)~ 1. Applichiamo poi il T e o r e m a 3 alla serie F - - Ay ~ (y -~- 1)]'~. Poiche era h ~ per ipotesi u n ' n n i t k di ]~, esiste una serie gx~ ~ , , ~ tale t h e Ag~ -~- (g~ ~ 1)f~ -- 0. Come si verifiea faeilmente, posto g -- A-~(g~ -~ 1), vale la relazione f . g - - 1, e quindi f ~ un'unith. I1 Teorema 4 implica che gli elementi di ]~,~ aventi grade minimo ~ 1 non sono certamente unith di ~ n . Se ~ ~ un corpo, tali elementi s~)no tulle e sole le non-unith. Pifi in generale, dal Teorema 4 e da 1.4. segue il TEORE~A 5. - L a totalit~ delle n o n - u n i t ~ dell'anello di serie di polenze ~,~ ~ un ideale in ~,~ s e e soltauto se la tolalit~ delle n o n - u n i t d dell'anello forma u n ideale in ~ . I n questo case sia ~ che ~ sono anelli con uno ed u n solo ideale massimo, l'ideale delle n o n - u n i t & La condizione del teorema ~ soddisfatta p. es. quando ~ i~ a n corpo, perch~ allora lo zero i~ l ~uniea non-uniti~ di ~ , cfr. 1.4. Se ~ i~ un corpo, l'ideale massimo delle non-unit~ di ~ n ha la base x~, x2, ..., x ~ . 3.6. TEORE:MA 6. Una trasformazione analitica formale in ~ , y ~ invertibile in ~ , ~ soltanto se il sue determinante funzionale ~ u n ' u n i l 4 in ~ .

se e

(a) P e r la dimostrazione della sufficienza di questa condizione basta applicare il Teorema 3 alle serie formali di potenze F~(x, y)--g~(y),~--~c~ (i -- 1, 2, ..., n), err. 3(1), per m -- n. (b) Poich~ la trasformazione identica ha determinante funzionale 1, la necessiti~ segue dalla formula 3(2). U n a trasforma~ione analitica f o r m a l e inv(~rtibile si dice ¢ formalmente pseudoconforme>>. U n a trasformazione formalmente pseudoconforme genera un isomorfismo tra gli anelli ~ n x e ~nY. Le trasforma~ioni formalmente

W. T H ~ :

256

Teoria degli anett~ di serie di pote~ze

p s e u d o e o n f o r m i f o r m a n o u n gruppo, efr. 3.3. ]~ p a r t i c o l a r m e ~ t e i m p o r t a n t e la r i c e r c a di qaelle proprieth degli anelli di serie formali di potenze e dei loro ideali che sono i n v a r i a n t i rispetto a t u t t e le t r a s f o r m a z i o n i f o r m a h n e n t e p s e u d o e o n f o r m i . L e c h i a m e r e m o (( i n v a r i a n t i a n a l i t i e i >>.

§ 4.

Ideali

-

in un

anello

dl serle

d! potenze.

4.1. Come in ogni anello, anche in u n anello di serie di potenze si possono i n t r o d u r r e i concerti di ideale, ideale primo, ideale primario. I1 pill i m p o r t a n t e t e o r e m a in q u e s t ' o r d i n e di idee ~ il s e g u e n t e t e o r e m a della base. TEOREI~A 7 (di Rtlcx~RT), cfr. [17].

Sia ~) u n anello con modulo. L' anello di serie di potenze ~,, ~ noe the. riano, se ~ ~ u n anello noetheriano. ]~ s u f f i c i e n t e p r o v a r e il t e o r e m a nel easo n---- 1. Se i n f a t t i esso vale in q u e s t ' i p o t e s i , la pr0priet/~ di essere n o e t h e r i a n o si t r a s p o r t a da ~) a ~ , , q u i n d i da ~ a ~2, ecc. Sia a u n ideale di ~ = ~[[x]]. Gli e l e m e n t i di a aventi grado m i n i m o k h a n n o t e r m i n e d i r e t t o r e b$ a. L ' i n s i e m e dei loro coeffieienti, e o m p l e t a t o con lo zero, f o r m a un ideale bk in ~ . Poieh~ 1 . x e ~ si ha che [ k C bh+~. Essendo ~) noetheriano, la c a t e n a di ideali [o C [~ C D2 C ... a m m e t t e u n elemento m a s s i m o I),, -- [,,+~ -- .... P e r k -" 0, t, 2, ..., m sia ..., _ ~ u n a base di Da. Esiste allora u n a serie di potenze f ~ k ) e ~ avente t e r m i n e direttore b~)x k. Queste serie di potenze f ~ k ) ( j _ l, 2 .... , ak; k -=- 0, 1, 2, ..., m) f o r m a n o u n a base di a ; sia i n f a t t i g e a, e il t e r m i n e direttore d i g sia bws. C o n s i d e r i a m o p r i m a il e a s o : (1) s___m. Allora b e D ,

e con o p p o r t u n i

~S

e l e m e n t i h~S)~l~ si o t t i e n e aS

b--Z

z~(.~)h(~)

s~_>s~l. Se eosi via. Dopo m e n t i g, g~), ..., ehe s,._l <-- m <

La

serie

di

potenze

g--Z

hl.~)f~~) h a

grado

minimo

~ aneora s~m si opera su g(2) come si ~ operato su g, e un n u m e r o finite di passi si ottiene u n a suecessione di eleg"'~ di a con gradi m i n i m i erescenti s -- s~ < s2 < ... < s,. e tale s,.. I n o l t r e :

g'"'----.g-- E

(1)

g(2)

ask h (s) )~.(s),)

E "°i',i

,

h~s l ) ~ "

i=i ]----i

L a serie g(r~ p r e s e n t a il easo (2) s > m. I1 t e r m i n e d i r e t t o r e di gC~) sia b(~)x.sr. Poieh~ g ~ ) a a

si ha

am

b (~) e bs,

b,~ Esistono q u i n d i in ~ certi eIementi h}"j tali ehe b(~-" ~2 ~(~)~-(')

257

~V. THII~I~f: Teoria degli anelli di serie d~ potenze Allora il grade minimo della serie g(r+z)= g ( * -

=E ~s"f]~) zs,-,~ i~ almeno y s,. q - 1 . Allo stesso mode operiamo su gC,.+~ e cosi via; otteniamo u n a sueeessione g(r~, g,'+~), ... con :

eve h~s~)e~ e i gradi minimi s~ s~+~ di g(~), g(~+~) soddisfanno alia disuguaglianza s~+~ > s~. Mediante le OD

hi

-

-

Z h~sv)xs~"-~

(j

=

1, 2, ..., =,,~)

si definiscono eerie serie formali di potenze di ~1, per mezzo delle quali si pub serivere g(* nella forma:

g(,) =~Z hjf(j ~).

(2)

]=1

Da questa e dalla (1) si ottiene una rappresentazione di g mediante gli ele. menti della base data. 4.2. Rieordando la definizione di anello locale (1.4., d), dai Teoremi 5 e 7 segue il TEOREMA 8.

L'anello di serie di potenze ~

~ u n anello locale se tale ~ ~ .

La eondizione del teorema ~ p. es. soddisfatta se ~ ~ un corpo. 4.3. Come nella teoria generale degli ideali, si associa una dimensione ad ogni ideale primo di ~,, : Si dice ehe un ideale primo t~ di ~ (p :4: ~,~) ha dimensione p se esiste u n a catena aseendente di ideati primi diversi:

OCO~C...COp eontenente p-{-1 termini e non no esiste aleuna di lunghezza maggiore. Questa definizione si eompleta con la definizione di dimensione per ideali i m p u r i : se a /~ un ideale di ~,, (a =t= ~n) con la rappresentazione mediante ideali primari : a -- q, r,, q~, r,, ... ~ q,. A n n a l i d i Maternatica

3~

258

W. THI~,XM: Teoria degli anelli di serie di potenze

e se pi ~ l'ideale primo associato all'ideale primario qi, ]a dimensione di a per definizione la massima tra le dimensioni degli ideali primi Pi (i = 1, 2, ..., r). U n ' i m m e d i a t a eonseguenza delle definizioni date ~ il seguente teorema, cfr. 3.6. TEORE]~i 9. L a dimensione di u n ideale in u n anello di serie di potenze ~ u n invariante analitico.

§ 5. - I I l e m m a

di Hensel.

5.1. Per molte questioni sulla struttura degl] ideali di un anello di serie di potenze hanno grande interesse i polinomi, con eoefficienti in un tale anello. In quest'ordine di idee, fra i teoremi pifi notevoli, ricordiamo il lemma di ~[ENSEL e il teorema di preparazione di W~,IE:aS~ASS. TEOREMA 10 (Lemma di HE)%SEL) (cfr. [20], pag. 52). S i a ~ u n corpo e ~ k in y dell'anello ~ [ y ] con Per wl -- O, x2 = O, ..., xh go(Y) e ho(y) di ]~[y] p r i m i

-- ~[[xl, x~, ..., xh]]. S i a dato u n polinomio F ( y I (x)h) coefficiente del termine di grado massimo uguate ad 1. -- 0 il polinomio F sia il prodotto di due polinomi tra loro F ( y [ (0)h) = go(y), ho(y).

Essendo m, p, q i gradi di F, go, ho risp., abbiamo m = p + q. Allora neU' anello ~h[Y] F si scompone univocamenle nel prodotto di due polinomi G(y ] (x)a) di grado p, e H ( y [ (x)h) di grado q, tali che G(y [ (0)h) -- go(Y) e H ( y t (0)h) ---- ho(y). F ( y ] ( x ) h ) - G(y I (x),)-H(y I (x~)k),

v,

$,[v]. Siano X~~), ) . - - 1 , 2,..., h~__(V+k_l k - - 1 ) '

xl, w2,..., xa di grado v ~ 1 . di potenze :

i prodotti

0rdiniamo F ( y t ( x ) k ) seeondo questi prodotti Nv

(1)

F(y ] (x)h)

di potenze delle

go(y)" ho(y) + ~.

~

x Ix ~vJ,

W. THIMI~: Teoria degli anelli di ser~e di potenze eve le f~*) sono polinomi di y in ~[y] di grade ~ m - - 1 . co

(2)

G(y ] ( ~ ) ~ ) - Yo(Y)-~ ~'

(3)

H(yl(x)~) =he(y)+

259

Poniamo:

Nv

E

~'

x yx ~y~,

Z -~z ,,z

v=l

~:,

;L-----Z

e determiniamo le g~O, h~) come polinomi in y di gradi rispettivi p - - 1 e q - - 1 , mediante un procedimento rieorrente. Percib sia g~O)--go, e ~(o) ..~ -- ho. Supponiamo che g~) e h(~~) siano gih calcolati per v--O, 1, ..., r, ),=1, 2,..., s ~ N~; per v < r sia s -- ~ . Distinguiamo i casi s < ~ , . e s -- z¥,.. (1) So s < N~ determiniamo ys+~, "(~) h ~_~ (~) s e c o n d o la seguente formula, che formalmente segue da F - - G . H e dalle (2) e (3). (4)

o,~s+~

-~-

oys+~

--

~

"

•

La somma a destra ~ estesa a tutti quei valori degli indici ~, ~, ),', ~t', per i quali ~ X~O.X~(~ ~ ' ) - ~~.r(r) +~. Si ha inoltre l ~ r - - 1 , l~pL'~r--1. Per la nostra ~ premessa di induzione possiamo supporre noti tutti i polinomi g(l~.), '~Z' zJ ~.') a secondo membro della (4). (2) Nel case s - - h r ~ ,

g~+~) e h~~+1) vengono espressi dalla relazione:

(5) A seeondo membro la somma ~ estesa a tutti i valori di )., ~t, ).', ~', per i quali ~ Xx(~) v ~ ' ) X,(~+1). Essendo 1 ~ ~ ~ r , 1 ~ ~ ' ~ r , i polinomi eorrispondenti sono noti. R i a s s u m e n d o : 5[elle formule (4) e (5) i secondi membri sono polinomi noti di grade ~ m - - 1 . La soluzione delle equazioni (4) e (5), per polinomi ,,1, ,~÷1 e yl , ,vl di gradi rispettivi p - - 1 e q - - 1 , equivale alia soluzione di un sistema di equazioni lineari, nel quale il determinante d e i coef[icienti ~ il risultante di go e he. l~Ia-questo risultante ~ diverse da 0, pereh~ go e he non hanno un divisore comune. Oosicch~ il calcolo dei polinomi y_(r) , ~ , •(r) ,vs+~ e g~'~), ~(r .,t 4-1) ~ univocamente possibile. Abbiamo quindi un proeedimento ricorrente per determinare tutti i polinomi g(x~), h~~). Ordinando i secondi membri delle (2) e (3) per potenze di y, otteniamo i polinomi G e H, t h e per x ~ - - 0 , x , - 0, ..., x a - - 0 si riducono a go e a d he.

260

W. THIM~I: Teoria degli andIli di serie di potenze

I §§ 3,"4 e 5, contengono gi~ risultati fondamentali per lo sviluppo della teoria. Ulteriori risultati dipendono dalla validitk del teorema di preparazione di WEZEaSmRASS, del quale parleremo nel prossimo paragrafo.

§ 6. - I1 T e o r e m a

di preparazione

di Weierstrass.

6.1. Mediante il teorema di preparazione di WEIERSTRASS si ottiene un'(< algebrizzazione >> dei probtemi riguardanti le serie di potenze. ~] importante rilevare che la sua applicabilit~ resta subordinata ad un'ipotesi, nella quale una delle indeterminate comparisce in maniera diversa delle altre. P e r mettere in evidenza questo fatto, denoteremo con w tale indeterminata e con z~, z2,..., zh le rimanenti. Il comportamento particolare d e l l ' i n d e t e r m i n a t a re date dalla seguente definizione : (a) Sia p(zt, z2, ..., z,, w) una non-uniter dell'anello ~ a + t -- ~[[zt, z~, ..., zk, w]]. Esiste un num.ero intero s ~ 1 colla segueute proprietk. Se si h a : OD

6(1)

p =

z

p~(z)w~,

9=0

(;on p~ ~ ~ , - - ~[[zl, z~, ..., z,]], le serie Po, P l , ..,, P,-1 abbiano grade minimo 1; la serie p, abbia grade minimo 0 e il sue termine note sia u n ' u n i t ~ di ~ . Diremo allora t h e p ~ p r i v i l e g i a t a rispetto a w. (b) U n polinomio p dell' anello ~ [ w ] si ha (con m ~ 1): 6(2)

si dice p r i v i l e g i a t o s o p r a ~

se

p - - w ~ + al(z)w " - 1 -]- ... + am(~)

e i cocfficienti a,(z) hanno grade minimo ~ l. P e r il polinomio privilegiato usiamo il simbolo/o(w ]z). U n polinomio in w, privilegiato sopra ~ a , ~ una (particolare) serie di potenze privilegiata rispetto a w. Possiamo anche considerare il case in cui manchino le indeterminate z~; deneteremo tale ipetesi con k - - 0 . In questo case, una serie di potenze di w, di grade minimo > 1 dovrk dirsi privilegiata rispetto a w s e e soltanto se il sue coefriciente del termine direttore ~ u n ' u n i t ~ di ~ ; inoltre i polinomi privilegiati sopra ~ sono tutti e soli quelli della forma no", con m _> 1. 6.2. F o n d a m e n t a l e per le successive ricerche ~ la cost detta formula di WEIERS~RXSS, di eui era dimostreremo la parte formale.

W. TmMM: Teoria degli anelli di serie di potenze TEOI~E]KA|ll ( F o r m u l a di

261

WEIERSTRASS).

Sia p(z~, z2, .... zh, w) una serie di potenze dell'anello l~k+~----~[[z~, z~,..., zk, w]] ; si supponga p una non-un~tb privilegiata rispetto a w e preeisamente soddisfaeente alle condizioni espresse in 6.1. (a). Consideriamo un'arbitraria serie di potenze di ~a+~ : O~

f = ~ f,(z)w ~, Y:O

con f~e~k-----~[[z~, z~, ..., za]]. Esiste allora una serie di potenze q in ~ + ~ e un polinomio f di w con coefficienti in ~ e di grado <:s - - 1 : f = how "-~ + h~w '-2 + ... + h,_~

6(3)

con h ) - - h ~ . ( z ) e ~ h , k - - 0 , l, 2,..., s - - l , in modo tale che i termini noti delle serie h~ e fx ( ) , - O, 1, 2, ..., s - 1) coincidono e si abbia p . q --I- f -

6(4)

f

Inoltre q ed f sono univocamente determinati. Poniamo : oo

q = ~2 q~(z)we ; le nostre asserzioni equazioni : (i)

seguono

allora d a l l ' u n i v o c a

~ qep,~_e -{- f,,, -- 0

per

solubilitk del sistema

di

m :> s,

p.=o

ehe ora d i m o s t r e r e m o . L e serie di potenze c o n s i d e r a t e abbiano le s e g u e n t i r a p p r e s e n t a z i o n i (cfr. 2 . l ) : P v - - E Pv~,

q v = E q~,

i=o

f~ = ~2 f ~ , ~=0

i=o

h~ =

Y, h~ Ii=0

In c o n s e g u e n z a delle nostre ipotesi valgono le : (2) Poo -----Plo =P2o ----...---- Ps-lo -- 0 e P s o - ~ ~ u n ' u n i t ~ di ~ . Allora le (1) f o r n i s c o n o : (3)

E I~=0

Z q~P,,~-~,,~-v "{v: 0

+ f,n. - - 0 per m ~ s, n ~ 0. In p a r t i c o l a r e per m -- s, n -- 0 si ottiene per le (2) la relazione :

qoo~+ f,o = O.

262

W. THI~I~a: Teoria degli anelli di seriv d~ potenze

Poich~ per ipotesi ~ ~ u n ' u n i t h di ~ , si h a : 6(5)

qoo - - - - f,o

Attribuiamo ora al termine q~ 1' indice intero g(~, v) --- ~ + v(s + 1) e calooliamo i massimi indiei dei termini di (3). Questi eompetono ai termini: q,, . . . . 1, q , , - , , , , q ~ - ~ + ~ , , , . . . , q,,,, e sono d u n q u e m 4 - ( n - - 1 ) ( s - { - 1 ) - - --m--s~ l -{-n(s-{- 1), m ~ s + n ( s - ~ 1),..., m + n(s ~ 1). P e r / - - - - I, 2 , . . . , s nella (3) il termine q,._~+~,,~ ~ moltiplicato per p~_~, o "- 0. Supponiamo allora di conoseere tutte le q~ con g(~, v ) < m - - s - ~ n(s ~ 1); la (3) permette di caleolare univocamente it termine q~,_~,,~, t h e ha come coefficiente P ~ o - - ~ . Poich~ l' unico termine con indice 0, cioi~ q00, b gik stato ottenuto, abbiamo cosl un proeedimento ricorrente per il ealcolo dei termini q~ con i n d i t e g(~t, v) erescente, onde l'asserto. 6.3. U n a eonseguenza della formula di WEIEI~STRASS ~ il TEORE~A 12 (Teorema di preparazione di WEIERSTRASS). S i a p(z~, z~, ..., z~, w) u n a serie di potenze dell'anello ~k÷~ - - 15[[z~, z~, ..., z~, w]]. Inoltre p sia urea noa-ur~it~ di ~ + 1 , privilegiata rispetto a w (err. 6.1.). Esistono allora ur~'unit& q dell'anello ~a+~ e u n polinomio privile. giato sopra Oaz, sia esso p(w I z ) e ~a[rv], tall the si abbia 6(¢

p =

. q.

P e r la dimostrazione, applicando la formula di WEIERSTRASS 6(4)con f~--~v', si ha: q' . p - - We --- ~'. P e r 6(5) il termine noto di q'_b u g u a l e _ a ~-~. e, per il teorema 4, q' un'unit~ di ~a+~. Se poniamo p ----w' -{- p', vale la 6(6) con q -- q'-~. 6.4. U n a generalizzazione della formula di W]~IERSTRASS ~ data dal seguente : TEOREMA 13. Sia ~h+~ l'anello di serie di potenze ~[[zl, z2, ..., zk, wl, w2,..., w,]] e ~ -- ~[[zl, z2, ..., z~]]. Per i - - 1, 2, ..., l sia dato u n polinomio p,(w, ! zl, ~ , ..., zh, wl, ws, ..., w~_l) di w~, the sia privilegiato sopra ~ + ~ - I . Allora ogni serie di potenze f di ~h+z ammette u n a rappresentazione : 6(7)

f =

q,p

÷

... ÷

qtpz + i,

W. THIMM: Teoria deg~i anelli di ser~e di potenze

263

nella quale q~ appartiene all'anello ~a+~[w~+~, w~+~, ..., w~] (j = 1, 2, ..., l) e ~ un polinomio in w t , w~, ..., w: con coefficienti in ~ , f ~ ~a[w~, w~, ..., wt].

P e r la formula di W ~ E a s ~ a ~ s s si ha f - - q t P t + f t , con q t ~ a + ~ e ft 6 ~a+t_t[wt]. Ammettiamo di aver gik ottenuto per la f u n a rappresentazione del tipo:

(~)

f=q~+tP~+t-l-qt.~Pj+~+...'q-qtPt-}-~-~,

con qx ~ ~a+x[wx~, wx+~, ..., wt] e ft_j ~ ~a+~[wi+~, w1+~, ... , wt]. Come polinomio in wi+~ , wi+~ ,..., wt, la f t - j ammette una rappresengazione del ripe:

ft_~= Z a~W,, eve W~ ~ u n prodotto di potenze di wi+~ , wi+2 , . . . , w~ e i coefficienti appartengono a ~a+i" P e r la formula di WE~ERS~RASS abbiamo: a~ = b~pi + ~

a~

(v = 1, 2, ..., n),

con b~ e ~ , + i e a~ ~ ~,+i_~[w~]. N e segue :

(.'2)

ft-~ = q~P~ + f~-i+t,

avendo posto qi = S b~W~ e f~_j+~ -- Z a~W~. Si ha q~ ~ ~a+j[wt+~ , wi+z,... , w~] e ft-i+~ ~ un polinomio dell'anello ~k+i_~[wj, wi+~ , ..., wz]. Sostituendo (2) in (1) si ottiene f -- qiPi + qJ+~Pi÷~+ "" + qtPt + ft-i+~. Abbiamo cosi uu proeedimento induttivo per il calcolo di ~ il quale precede per valori deorescenti di j (tie6 per ~ = 1 - 1, l - 2, ..., 1, 0). P e r j - - - O , dalla (1) si ottiene f - - f t .

6.5. Holto importanti propriet~ degli ideali di serie di potenze si ricavano mediante 1' introduzione della cosl delta base polinomiale. All'uopo dimostriamo il seguente teorema: TEOREMA 14. Per i ~ 1 sia ~ ÷, l'anello di serie d~ potenze ~[[z~, z~, ..., zh , w l , w~, ..., w~]], e ~ h - ~ z . Sia a un ideale in ~ + : , a =~=~ h + t , it quale ammetta base finita e goda della seguente proprietY: Per i -" 1, 2, ..., l, l' ideale a eontenga un polinomio p,(w~ l ~x, ~ , . . . , za, wl, w2,..., w~_l) nella w~, ehe sia privilegiato sop'a ~,+~_~. Allora a possiede una base nell'anello ~A[w~, re~, ..., wt], cio~ nell'aneUo dei ~olinomi in "w~, w2, ..., w~ con coeffivienli in ~hz.

W. T~IMM: Teoria degli anelli di serie d i potenz¢

264

Sia ]'1, fs, ..., f,. u n a base di a. P e r la f o r m u l a di WEIERSTRASS si h a :

fz - - q~p~ -~- fz

(~ -- 1, 2 , . . . , r),

con q z e ~ , + ~ e fx e~k+~_x[W~]. Di e o n s e g u e n z a fl, f2, .... f[, p~ eostituiscono u n a base di a in ~a+,_x[w~]. A m m e t t i a m o di aver giA costruito u n a base g~, g~,..., g~ di a n e l l ' a n e l l o ~a+i[wi÷~, wi+~,... , w~]. Come nella dimostrazione del T e o r e m a 13, si trovano eerti e l e m e n t i hx di ~ a + i [ w / + , , w i + ~ , . . , w~] e eerti polinomi g z e ~ a + i _ x [ w i , wi+x , ..., w~] tali e h e : (X = 1, 2, ..., s). Gli e l e m e n t i g~, g2,..., gs, Pi costituiscono u n a base di a n e l l ' a n e l l o ~Jk+i-~[wi, wi+~,..., wt]. Si eostruisee cosi, in f o r m a r i e o r r e n t e rispetto a l l ' i n d i c e j deerescente, u n a base di a n e l l ' a n e l l o ~k[w~, w,, ..., wt]. COROLLARm. - Sotto le ipotesi del teorema 14, l'ideale a contiene p e r ogni i - - 1, 2, ..., l u n polinomio Pi dell' anello ~,[w~, wz, ..., w,], il quale come polinomio i n w~ ~ privilegiato sopra ~ + ~ _ ~ . (Si osservi che abbiamo soltanto supposto p, ~ ~,+~_~[w~]). Sia

(1)

p, = wF + ~ a~((zh, w~,..., w,_l).J~. ~o

Se a p p l i e h i a m o il t e o r e m a 13 ai eoefficienti az c o n s e g u e : i--1

az - - E bz~pe "k- (~x,

(2)

p,--~l

con b x ~ e ~ , + ~ w ~ + ~ , . . . ,

w~_~] e a ~ . e ~ , [ w l , . . . , wi_l]. Dalle (1) e (2) si trae i--1

p~ -- v. q~p~ ~ p~,

(3)

~-~0

~.: 0

s o s t i t u i a m o in (3) z ~ - - - 0 , z 2 ~ 0 , . . . , zh--0, w~:0, w2 ---- 0, ... , w i _ ~ - - 0 , a d e s t r a p~, p~,...,, p ~ si a n n u l l a r a n o , e q u i n d i a n e h e la s o m m a . P e r e i b a e c a n t o a p~, a n e h e to~ ~ privilegiato sopra ~ k + i - 1 .

W. THIM~: Teoria degli anelli dl serie di potenze

§ 7. - S u l l a

decomposizione e polInomI

in fattori di serie prlvilegiati.

265

dI potenze

7.1. II teorema di preparazione di WEIEI~STRASS pone in evidenza la classe delle serie di potenze privilegiate e dei polinomi privilegiati; dedurremo qui talune loro proprietk. TEOREMA 15. S i a [5 u n dominio d'integrit& (a) Se p e q sono due serie di potenze del. l'anello [5~+~--[5[[z~, z2, ..., z~, w]], privilegiate rispetto a w, allora anche il loro prodotto h - - p . q ~ privilegiato rispetto a w. (b) Se h ~ u n a serie di polenze dell' anello [sa+~, privilegiata rispetto a w, e se h -" p • q, ore p e q appartengono a [5~+~, allora anehe p e q sono privilegiati rispetto a w.

Se in h, p, .q eseguiamo la sostituzione z~ -- O, z., - - O, ..., za - - O, si ha

h(O, w ) - p(O, w). q(O, w). Poieh~ [5 ~ un dominio di integritk, nessuna di queste serie si annulla sotto le ipotesi (a)o (b). I loro termini direttori siano rispettivamente ~w r, aw r, xw t ( r ~ l , s ~ l , t ~ l ) ; si h a allora r - - s - { - t e ~ - - a z . P e r quanto riguarda la parte (a) del teorema, a e z sono unit~ di [5, quindi lo ~ anche p. P e r la parte (b), ~ ~ supposto u n ' u n i t ~ di [5; ne segue 1 - azp-x, e da cib risulta ehe anehe ~ e a sono unitk. 7.2. Aceanto al teorema precedente, sulle serie di potenze privilegiate, poniamo il seguente teorema sui polinomi privilegiati: TEOREhIA 16. S i a [5 u n dominio d'inlegrith. (a) Siano p e q due polinomi in w, privi. legiali sopra [5az; allora lo ~ anche h " - p . q. (b) S i a h u n polinomio in w, privilegiato sopra [shz ; se si ha h - p . q, essendo p e q polinomi dell'anello [sk[w], allora questi si possono ridurre, medianle molliplicazione per unit~ di [sAz, a polinomi privilegiali sopra [skz.

(a) L a parle (a) segue i m m e d i a t a m e n t e dalle definizioni. (b) Poich~ il prodotto dei eoeffieienti dei termini di grado massimo di e q dk il coeffieiente del termine di grado massimo di h, il quale b 1, i primi sono unitk di [sk. Mediante moltiplieazione per anita di [sa possiamo ridurli all'identitk. Se sostituiamo, in h, z l - - z 2 - - z k - " O, otteniamo una potenza di w ; quindi anehe p e q devono.ridursi con questa sostituzione ad una potenza di w. A preseindere dal eoeffieiente del termine di grado massimo, i coefficienti d i p e di q hanno pereib tutti grado minimo _~ 1. Anrmli di MatematW~

34

266

W. THII~Z~: Teoria dcgli a~elli di serie di pole,,zc

7.3. Dopo questi preliminari possiamo dimostrare taluni teoremi sulla decomposizione in fattori. In molti anelli, t h e si presentano spesso, vale il teorema delFunivoca decomponibilith in fattori: S e a e b sono non-unit~ dell'anello 1R; a si dice divisibile per b se esiste u n elemento c di ~ tale che a--b-~; b si dice divisore proprio d i a se anche c ~ una n o n - u n i t ~ ; l'elemento a d i ~ si dice irriducibile se non ammette divisori propri. I1 teorema delt'univoea decomponibilit~t in fattori si enuncia come segue: Ogni elemento di ~ ~ rappresentabile come prodotto di un n u m e r o finito di elementi irriducibili di ~ . Questa decomposizione ~ univoea a meno di unit~ di 1R. I1 problema delia decomposiMone in fattori negli anelti di serie di potenze ~ molto pih complicato che negli anelli di polinomi, e non ~ ancora risoluto in generale. :Negti anelli di polinomi vale, eom'~ noto, il teorema (cfr. [4], p. 6): Se ~ ~ un'anello nel quale vale il teorema dell'univoca decomponibiliti~ in fattori, tale teorvma vale anche in ogni anello di polinomi ~[x]. Nella dimostrazione dell'univocith interviel~e in maniera essenziale l'algoritmo euclideo delle divisioni successive. Poichi~ negli anelli di serie di potenze non vale alcunch~ di analogo, il teorema dell'univoca decomponib~li k pub essere dimostrato soltanto sotto opportune ipotesi restr:ttive per ~ . TEOREMA 17.

Sia ~ un dominio d'integril& Nell'anello di serie di potenze ~ z valga il tcorema dell'univoca decvmponibilitd in [atlori. AUora og~i serie dell'et~e!lo ~+~~[[z~, z2 .... , z~, w]] la quale sin privilegiala rispetlo a w, ammetle una decomposizione in faUori ultivoca. La serie p e ~ ) , + , s i a privilegiata rispetto a w ; per il teorema di preparazione di WEIERSTRASS essa ~ ii prodotto di un'uniti~ di ~ a + l per un polinomio p, privilegiato sopra ~ a . P e r il Teorema 15 lo stesso fenomeno si verifiea per ogni fattore di p appartenente a ~ a 1. Ad una decomposizione in fattori d i p in ~ + 1 eorrisponde d u n q u e u n ' , m a l o g a decomposizione d i p in ~ [ w ] , e da u n fattore dell'una decomposizione si passa al corrispondente hell'ultra mediante moltiplicazione p,,r uni1~ di ~ + i . I n v e r s a m e n t e per il T e o r e m a 16, ogni deeomposizione in fattori di io in US~[w] d~ luogo ad una decomposizione di p in ~ h + l - I1 problema della decomposizione in fattori di p b cost ricondotto alla determinazione dei fattori irriducibili d i p in ~k[w]. Dall'ipotesi dell'univoca decomponibililh in fattori in ~ k segue quindi, per il teorema di algebra sopra citato, l'analoga propri~tk in ~k[w]. ]n particolare p ammette in quest'anello una de(.omposizione univoca in hlttori irriducibili, e quindi l ' a m m e t t e anche p in 15k+~.

W. T a i ~ :

Teoria degli anelli di aerie ai potenze

267

7.4. I1 Teorema 17 mostra e h i a r a m e n t e quale importanza abbia il teer e m a di preparazione di WEIERS~R~SS nella teoria della decomposizione in fattori. N a t u r a l m e n t e sarebbe sufficiente ehe la serie considerata fosse privi. legiata rispetto a u n ' a l t r a delle indeterminate. La questione r i m a n e percib aperta solo per le aerie di potenze che non sono privilegiate rispetto ad a l c u n a delle indeterminate. I n molti cast importanti possono essere d'aiuto, in tale eireostanza, le eonsiderazioni seguenti. Poniamo la seguente definizione : U n a trasformazione lineare omogenea ( y ) , = L(x),, : 7(1)

y~ -- aixxl -~- ai2xs 2f.... ~.. a~nx,

(i :- 1, 2, ..., n),

con coefficienti a~1 in ~ e d e t e r m i n a n t e dei coefficienti non nullo si e h i a m a (( ~ - t r a s f o r m a z i o n e di coordinate ~>. TEOREM~. 18. S i s ~ u n corpo con infinili elementi. Siano h , f~, ..., f,, m n o n - u n i t 4 dell'anello ~,,~. Allora estate u o a ~ - t r a s f o r m a z i o n e di veordinate 7(1) tale the le serie trasformate f(y) e ~ , y (i - - I, 2, ..., m) siano privilegiate rispetto all' indeterminata y , . Introducendo nuove indeterminate u~, u~,..., u , , 1, 2, ..., m) la sostitu~ione

(k(1)

x~ = y~ -{- u&,, Xn"-

esegaiamo

in

f~(x)

(i = 1, 2,..., n -- 1),

unyn

Se ~).) ~ il termine direttore di fx /7 possiede un termine direttore di grade r~l e in es~o l'addendo y ~~-'~.) (u). Seegliamo era in ~ un siatema (~)., di valori tale che si abbia ~-e,,~)(a).-~:d2~(~)'-.... ~)(z~) =l=0. Poieh~ ~ contiene intiniti e'ementi, un tale sisLema estate. Ponendo in (1) tali valuri ne segue 1' asserto. •

.

7.5. Sotto le ipr, tesi del Toorema ] 8 ogni n o n - u n i t h di ~,~ pub essere rie~ndotta,, con una ~ - t r a s f o r m a z i o n e di eo.rdinate, ad una serie t h e sia pri. viiegiata rispetto ad una delle indeterminate. Ora si pub d u n q u e d e d u r r e senza limitazioni l ' u a i v o e a decomponibilit~ in fattori in a5,, dall'ipotesi the essa valga in ~ , , - 1 . Ne s e g u e : TEOaE~t~. 19. Se ~ ~ u n eorpo cor~ infiniti elementi, allora in ogni anello di aerie di potenze ~,~ vale il teorelna dell'univooa decom~onibilit~ i n faltori (cfr. 7.3.).

268

W. T m ~ :

Teoria degt~ a~elli di serie di potenze

Rimane aperta la questione della validith di tale teorema negli anelli di serie di potenze per i quali l'anello dei coefficienti' sia 1)ifi generale. Generatizzazioni di questo tipo non si possono perb dominare scnza i n d a g a r e pifi profondamente nella struttura degli anelli 1 ~cali e degli anelli di valutazione. .~nche qui l e ricerche portano anzitutto a generalizzazioni del teorema di preparazione di WE][ERSTRASS. Lavori su questa questione trovano le loro origini in KRULL [10], [11] e COHE~ [3]. I1 problema d e W u n i v o e a decomposizione in fattori fornisce un esempio della oomplicazione che si incontra in quelle ricerche sulle serie di potenze, nelle quali non vale incondizionatamente il teorema di preparazione di WEIERSTRASS. Non si pub eontestare il significato delle ricerche sugli anelli di serie di potenze con anelli di coefficienti di tipo generale; tale significato risulta ~uttavia pifi evidente nella teoria dei n u m e r i e nell'algebra che nella geometria algebrica, della quale ci oecupiamo qui in partieolare. P e r q~anto riguarda quest'ultima, il compito pi~ importante ~ quello di precisare la s t r u t t u r a degli ideali negli anelli di serie di potenze. Questo compito si divide in due p a r t i : ( 1 ) r i e e r c h e sulla struttura degli ideali primi, (2) spezzamento di un ideale helle sue eomponenti primarie. L ' i d e a conduttrice di queste r i e e r e h e ~ di risolvere i problemi degli ideali di serie di potenze con i mezzi dell'algebra e p r i n c i p a l m e n t e mediante la teoria dell'eliminazione. Gih la dimostraT, ione del teorema 17 ~ u n esempio di come le relazioni tra un anello di serie di potenze e nn anello di polinomi - - nel nostro caso ~k+~ e ~k[w] - - possono essere utilizzate per giungere a teoremi per l'anello di serie di potenze: L'efficacia di questo metodo algebrico proviene dai teoremi di WEIERSTRASS del § 6 e dal teorema seguente, che nei casi pifi importanti p e r m e t t e di aecertarsi della validith delle ipotesi in quei teoremi. 7.6. TEORE~IA 20. Sia ~ u n corpo con infiniti elementi. Sia ~t un ideale nell'anello di serie di potenze ~ x (a :4= ~,~x, a =:~(0)). Allora esiste u n a ~-frasformazione di coordinate ( Y ) n - L(x)~ e inoltre u n numero k the, indicato con a* il trasformato di a mediante la L, gode delle seguenti propriet~ : l'ideale a* contiene, per ogni i -" 1, 2, ..., n - - k un polino~nio Pk+~ in yk+~, the ~privilegiato sopra ~k+~-ly. L'intersezione di a* con ~ y ~ l'ideale hullo.

S u p p o n i a m o di aver trovato, per r _:~ 0, un ideale a C'), proveniente da a mediante u n a ~ - t r a s f o r m a z i o n e di coordinate: (1)

(f("). =

L~(x).

e ehe per i - - 1 , 2,..., n - - r c o n t i e n e - u n polinomio p,÷~ nella ~,+~:(r), che priviiegiato sopra ~,.+,_~,r,. Se F intersezione d i ~,~(r,__ ~[[~(~), i(2~),..., ~V)]]

W. TmMM: Teoria degli aneN$ eli serie di potenze

269

con a (r~ contiene soltanto l ' e l e m e n t o nullo, poniamo, per k - - r : St*--~I0") e y ~ - - ~ ( r ) ( i - - 1 , 2, ..., n). Altrimenti tale intersezione contiene una non-uniti~

f(i(%, 4= O. P e r il teorema 18 esiste allora una ~ - t r a s f o r m a z i o n e di coordinate:

(2)

(~(~+~)),.= L'~&~(~(~)),,

tale che la serie trasformata f*(~(~+~))r sia privilegiata rispetto a ~+1. P e r il teorema di preparazione di "~rEIERSTRASS si h a :

(3)

f* = p , ( 5 ~+' I (~(~+~)).-~) • e~({(~+~))~,

eve e.. ~ un'unitA e p,. un polinomio in ~,. ~(r+x), privilegiato sopra ~,._~o'+I). L a trasformazione L',.+I opera soltanto sulle ~r), ~r) .... , ~ ) . La completiamo ad una ~ - t r a s f o r m a z i o n e di coordinate L~+I, * in tutte le n indeterminate ~(r), ponendo : :(~+1) ~+~ :

(4) Allora L , + I dunque :

~(9. ~T,

(i = 1, 2, ..., n -- r).

~ definita dalla considerazione simultanea di L*+x ed L~ ;

(5)

([(r+~)),, = L~+~(m)n =

L~+~L~(x),.

L a L*+I porti a(r) in if(r+ 1), cosi t h e a(r+ 1) proviene da a mediante la L , + t . P e r le proprieth di a(~) e p e r la (4), a (r+*) contiene, per ogni i = 2, 3,..., ~(r+x) n -- r + 1, un polinomio p,.+,_, in ~r+i-t, t h e ~ priviiegiato sopra ~..+,_~(r+x). P e r la ~3) aaehe p,. appartiene a a (~+x), e tale condizione ~ perci6 soddisfatta ancho per i - - - 1 . Si b eosl trovato un ideale a(~+ 1), il quale gode delle pro. prietk volute. Si pub ripetere il proeedimento su a(,'+~< Iniziando con r = 0 e a (°) = a si ha la possibilittt di costruire l ' i d e a l e a*. Nel teorema 20 si ~ ineontrato il numero k, come il numero delle inde. terminate indipendenti di a dope la ~ - t r a s f o r m a z i o n e di coordinate L. Cosi introdotto, esso potrebbe dipendere da L, ma, come si vedrl~ pifi tardi, esso coincide con la dimensione di a.

§ 8. - E s t e n s i o n e d a g l i i d e a l i d i p o l i n o m i agli ideali di serie di potenze. 8.1. I1 p i h importante teorema di estensione si e n u n e i a ; TEOREMA 21, cfr. [4], p. 149 e [7], p. 23.

Sia

R

un

dominie

d' integrit&

noetheriano

con

modulo.

8iano

270

Teoria degli anelli di serie di potenze

W. T H ~ :

R~ -- R[[w~, w~,..., w~]] ed Rt -- R[w~, w~, ..., w~]. Sia W l'ideale (w~, w~,..., w,) in R~. Sia q un ideale primario in R~ e q - " R~q la sua estensione in R~, cfr. 1.5. Se l'ideale congiungente (q, W) ~ diverso da R~, vale la relazione:

(a) Sia f~, f~,..., f,. una base di q. 0gni elemento possiede una rappresentazione :

r=

f' di q' ~ ~ n / ~

~2~ + ~A + ... + r,?,

con f ~ R t per i - - 1 , 2 .... , r. Prefissato ad arbitrio un intero p >" 0, vale, per i----1, 2, ..., r, l ' u g u a g l i a n z a :

~ = _~ + t~' dove pi 6 un polinomio in Rt di grado grado minimo ~ p-~-1. Da cib segue:

~p

e f~' una serie di Rt con un

0ra f * : f'--p-~--p-~f.- ...--p-~f~ ~ un polinomio di /~l con grado minimo ~ p - { - 1 ed a p p a r t i e n e percib a We. Quindi ~ f ' e ( q . W0 per ogni p ~ 0 . L'intersezione di tutti i (q, WP) per t~_ > 0 ~ un ideale b di R~, ed ~ CI'Cb. (b) Consideriamo ora l ' i d e a l e (W.b, q) di R~. Da W . b C b e q C segue (W-b, {t)Cb. Mostreremo che in questa relazione vale il segno di uguaglianza. A questo seopo sia:

(w~, ~ ) = i , n... n~, una rappresentazione mediante componenti primarie. P e r l'ideale primo p~ a p p a r t e n g a a q~. Distinguiamo due casi:

),--1,

2,..., s

(1) W non giaecia in O~. Poich~ W. b C q~, ne segue, per la propriet~ fondamentale degli ideali primari, t h e b C qz. (2) ~ C P z . P e r un esponente e abbastanza grande vale allora W~Cq~, e per la de[inizione di b i~ bC(W~, q). Poich~ ~ anehe q C ( W . O , q) C q ~ , otteniamo di nuovo b C q ~ . Questa relazione /~ quindi vera per ogni ).. Di qui segue :

~c¢ e

(1)

come

n~n

... n ~, = ( w . b ,

affermato:

~ = ( w . ~, ¢1).

q),

W. THIMM: Teoria degli anelli d{ serie di potenze

271

(c) Sia d~, d~,..., d~ una base per b-- Dalla (1) seguono le rappresentazioni :

d i - - E (%d i + q i , ]=t

i = l, 2,..., t,

con ¢o---~ i elementi di W e qi di q. Vale allora: t

(~q - - a)~i)d~ = q~, con ~ i i = l

per i - - j

e 8q=0

i - - 1, 2, ..., t,

per i=~=j. Indieando con h il determinante

I] 8q-- ¢°'i H, si ha: hdi ~ q,

(2)

i = 1, 2, ..., t.

m

D'altra parte b h = 1 + per ogni esponente n > sarebbe 1 e q, W), e (q, primario e non eontiene i = 1, 2, ..., t. ]~ d u n q u e ne segue l'affermazione

co con co e W, e pereib anehe h" b della stessa forma, 1: h " = l + ~ , , ~,eW. Se ora h" fosse in q, W ) = R-~, cosa che noi abbiamo eseluso. Poieh~ q aleuna potenza di h, deve percib essere d i ~ q - per ~)C q. Essendo in (a) stato dimostrato t h e q C q c - ~ , q ' = q.

8.2. I1 teorema 21 si pub generalizzare al easo di idea]i arbitrari. A questo scopo dimostriamo dapprima, adoperando le stesse notazioni di 8.1., un complemento (a) ed un lemma (b). (a) Sia a

un

ideale

in Rt con

(a, W ) = _ R t .

Allora ~ F estensione

a--Rt.a--Rt. Dall'ipotesi segue per 1 la rappresentazi0ne 1 = a + ~ con a e a e co ~ W. P e r il teorema 4 a b una uniter in Rt e percib a = R t . (b) Siano ~ e ~ ideali di Rz, tali che (a, W) ---- -~t e (D, W ) - - R t . Allora anche (~a N D), W) = R-t. Dalle ipotesi seguono per 1 le rappresentazioni 1 = a + ~ 1 , 1 = 6 + ~ , con a e a, b e I) e ~o~, ¢o2e W. La moI~iplieazione di queste due formute porge 1 = a b + to con to e W. Da a - b e a (3 b segue quindi 1' affermazione. 8.3. T E O R ~ A 22, cfr. [4], p. 149.

Sia R un dominio d' integrit~ noetheriano con modulo. Sia R~ ---- R[[wx, w~ .... , wl]] e Ri = R[wl, w~, ..., wt]. Sia W l'ideale (wl, w~, ..., wl) in R t . Un ideale -a in Rz ~ intersezione degli ideali I) e C, dove D non con. liene alcuna componente Frimaria q con (q, W) = Rt e (C, W) = ~ . Essendo

W. THI~Ih~: Teoria degli anelli di serie di potenze

272

a l'ideale esteso

Rt" ~t di a in Rl, vale la relazione: a n ~, = 8.

8(2) (a) S i a

a - - q~ n ci~ n ... n q,

,ha

r~pp,~ont~zio~

¢o.

componenti

primarie di a. Per gli ideali primari qh, ~h, ..., ~ i sia (-q~i, W):~::Rt, mentre per i rimanenti ~h, qi~, "", qi~ valga: (q]~, W)--Rt. Posto :

a = b n ~, e, per la 8.2. (b), (C, W ) - - R l . rappresentazione di a.

Con cib ~ stabilita la voluta

(b) Dalla 1.3. (0) segue:

a = R,. i c (R,. b) n (R,. ~:) = R,. 8, poichb per la 8.2. (a) b RI" C - - Rt. Posto qi).-- Rt" q~i, per X---- 1, 2 .... , s, per il teorema 21 b

(1)

q~x N

.~, =

~l~i.

Inoltre dalla 1.3. (v) s e g u e : Rt" b C q~, n q~ n ... n q i , e anche :

acq~,nq~,n...nq~. Da cib segue, per le 1.3. (a) e (1):

(2)

a N / 4 Cb. (v) D ' a l t r a parte ~ b . C C a e per la 1.3. (c):

R~. (8. c) = (R,. 8). (Rz. c) = Rz. 8 C a. Faeendo l'intersezione con -~z si ha naturalmente 8 c ( R ~ . [~)N-~t- Da cib segue 8 C a n/~z. Questa relazione e la (2) porgono 1' affermazione. 8.4. In un impor$ante caso particolare si dimostra, a complemento del toorema 21, t h e l'estensione di un ideate primario ~ primario.

W. THIMM: Teoria degli anelli d~ ser~e di potenze

273

T E o n ~ A 23.

Sia ~ un dominie d'integrgt~ noetheriano con modulo, e ~ + ~ l'anello delle serie di potenze ~[[z~, z2, ..., zk, w~, w2 ..... w~ll, i ~ 1, ~ k -- ~ z . Sia inoltre ~ , ~ l'anello di Folinomi ~ [ w ~ , w~,..., w,]. Sia q un ideale primario in ~ , con le seguenti proprietY: (a) per ogni valore i - - 1, 2, ..., l, q contenga un polinomio p~ delF anello ~ , ~ , che come polinomio in w~ sia privilegiato sopra ~+~_~. (b)essendo W l'ideale (w~, w~, ..., w~) in ~ , ~ , sia ({], ~ ) : ~ = ~ , ~ . Allora t'i leale esteso ~t "- ~ + ~ " q di q in ~:÷~ ~ u n ideale primario in ~ + ~ e vale la relazione : 8(3)

q --~k,~ N q.

La formula 8(3) ~ una conseguenza dell'ipotesi (b) e del teorema 21. Sia f una serie in q ed f ~ g . h con g, h e ~ + ~ ; h non appartenga a q. Dobbiamo dimostrare che una potenza d i g appartiene a q. Per il teorema 13 ~: g - - q ~ g , h : : q ~ - ~ h con q~, q ~ q e g, h e , k , 7 , da cui segue:

f --g.h--q~.q~%q~.]~+q~.g-~g.h. Posto f - - f - - q l q ~ -qJ~--q~-g, si h a - f - - - - - g . h e q N ~ , ~ = - q . Inoltre h non un elemento di q, poich~ altrimenti h dovrebbe appartenere a q. Poiche ~ un ideale primarto in ~k,z, una potenza g~ appartiene a ~; e da .qP _ ( g - q~)Pe segue era g.~e q . q ~ dunque un ideale primario in ~k+z. COROLLARIO 1. Se q ~ un ideale primo in ~k,z, helle ipotesi del teorema 23, allora q----~k÷~-q b un ideale primo in ~k+z. Nella precedente dimostrazione era ~ ~ - - 1 . Dalle definizioni segue il: OOROLLARIO 2.

Se, nelle ipotesi del teorema 23 l'ideale primo p appartiene all'ideale primario q, q - - ~ k + z - f l ~ un ideale primario dell'ideale primo p--~)k+z" p.

§ 9. - L a

struttura

di un

9.1. In conformith del programma pifi esattamente la costruzione degli potenze ~ , , . A fondamento di tutte anello dei coefficienti ~ un corpo con Annali di Matematica

ideale

primo.

di cui al n. 7.5. esaminiamo ormai ideali primi dell'anello di serie di questc considerazioni poniamo come infiniti elementi. $5

W. T m ~ t :

274

Teoria degli anelli di serie di pot, enze

TEOREMA 24. Sia ~ u n corpo con infinili elementi ; p u n ideale primo nell'auello di serie di potenze ~),, ( p ~ : : ~ . ) . Esiste allora u n a ~ - t r a s f o r m a z i o n e di coordinate ( y ) , , - - L ( x ) , , tale che l'ideale trasformato possiede u n a base nell'anello di polinomi ~k,,--k---~[[y~, Y2, .... yk]] [y~+~, yk+~, ..., y,,] e vale la relazione ~ k y A p -- (0). Quesla base conliene, per i -- 1, 2, ..., n -- k, u a poli~o~io irri. dUcibile pk+~ in y~_~, y~+2, ...,, yk+~ ehe come p o l i , o m i o in yk+i ~ privitegiato sopra ~+~_~y. I n quesle condizioni noi parliamo di u n a base di polinomi in ~ , , _ ~ . II numero k ~ uguale alia dimensione di p, cfr. 4.3. Essendo f u n a arbilraria serie di ~ , , , esiste u n elemento p di p e u n polinomio f di ~ , , _ ~ , tali che:

9(1)

f

--

f+

p.

Indicando con p l'ideale p N ~ k , , - k , - P ~ u n ideale primo in ~ k , , - ~ . Vice. versa p ~ l'estensione di p in ~ . . L' anello delle classg reslo ~,/]y ~ isomorfo all'anello algebrico delle classi resto ~ k , , - ~ / P .

I precedenti risultati sulla base di polinomi sono conseguenza dei teoremi 20 e 14.- La rappresentazione 9(1) segue del teorema 13. Le relazioni fra p e p seguono dal teorema 23. L'isomorfismo tra l'anello ~ , / p e l'anello ~ , , - k l P sussiste-in forza della formula 9(1), cosicch~ la elasse resto di f i n ~k,,,--k/p 6 ! ' i m m a g i n e della classe resto di f in ~,Jt~. L'affermazione circa il valore di k potr~ essere dimostrata soltanto pih tardi, in 9.7. 9.2. Come segue dal teorema 23, vale una inversione del teorema 24, nel senso seguente: COROLLARIO

1.

S i a p un ideate primo dell'anello di polinomi ~ k , , - k , e sia ('p, y~+l, Y~+~, ..., y,):~=~k,,--k. In p siano contenuti dei polinomi Ph+~ con le pr0prietk deseritte nel teorema 24. Allora l'ideale esteso p di p in ~ . ~ primo, ed L ' u l t i m a asserzione del teorema 24 si rivela un importante mezzo per dedurre ulteriori propriet~ dell'ideale primo p ; essa infatti riconduce l'analisi di ~n/P al problema algebrico dello studio di un'estensione algebrica; preeisamente vale il: CO]~OLL/~IKIO 2.

L'ane]lo de]le classi resto ~)./p ~ isomorfo ad una estensione algebrica intera di un anello di serie di potenze ~ con k < n.

W. THIMM: Teoria degli anelli di ser~e di potenze

275

Indieando infatti, per i = t, 2,..., n - - k . con ~+~ la classe resto di Yk+i rood p, O~/p ~ isomorfo all'anello [~[~k+~, ~u+~ .... , ~,,] estensione algebrica di ~ , e questo ~ algebrico int~ro sopra ~ , pereh~ p contiene i polinomi p~+~. COnOLLARIO 3. Sia f una serie di D - . Se f non appartiene a p, esiste un polinomio di f: 9(2)

f m + o,(y)~fm--, + ... + Om--,(y)kf + Om(y)~

con eoefficienti in ~

e em =1=0 ehe appartiene a p.

Essendo il polinomio f definito seeondo la 9(1), f individua nna Classe resto ,~ di ~ , , _ ~ / p . Ora ~ ~ algebrico intero sopra ~ e soddisfa percib un'equazione algebriea i r r i d u e i b i l e :

O)

~m + ~, :~m-, + .., + ~,m = o.

dove le T~ sono elassi resto di elementi di ~ in ~,,~_~ e 7,* =[=0. E queste classi resto possiamo senz'altro identificarle con elementi e~(y)~ di ~ . Ritornando dalle classi resto all'anello ~ , , , _ ~ questa equazione signifiea:

fm + C~(y)kfm--,+

... + C,,,(y)k ------O rood ~.

Sostituendo qui /~eon f - - p , si ottiene la proposizione voluta 9(2). La" serie vn, 6 0 k si chiama • Norma • di f rispetto a p. Questa norma non ~ una uniter di Ok, se f non b una unifft di ~ , , . 9.3, P e r le estensioni algebriche finite si dimostra hell'algebra il teorema dell'elemento primitivo (cfr. [4], pag. 29): 0gni estensione algebriea finita ~L " - K ( u l , us,..., u,,) di un corpo perfetto K con infiniti elementi pub e s s e r e generata con l'aggiunta di un cosidetto elemento primitivo w. Si ottiene w nella forma:

con coefficienti ~ in un arbitrario sottocorpo A di K con infiniti elementi. Se K ~ il corpo quoziente del dominio d'integrit~t R e d R ~ integralmente ehiuso in K, si dimostra inoltre, cfr. [4], pag. 132: Se u~, us,..., u,, sono interi algebrici sopra R, allora w pub essere scelto intero algebrieo sopra R. Se w soddisfa l'equazione irridueibile p ( w ) - - O , p e R [ w ] , ogni elemento intero algebrico g di ~ b rappresentabile nella forma: g -- ~ w ) / D

dove G e R[w] e D indica il discriminante d i p .

276

W. TmM~[: Teoria degli a~elli di .~ric di pole~ze

Questi teoremi vanno applicati con R m ~ e A -- ~ . Che ~ sia integralmente chiuso nel suo eorpo quoziente, si d i m o s | r a e s a t t a m e n | e come per gli anelli di polinomi. Questa proprieth segae facilmen~e dal f~tto t h e ~ ~ u n dominio d'integriti~ con decomposizione uniwwa in fattori, err. I7]. l)~g. 76 e teorema 19. In ,ltre si dovrebbe supporre t h e ~ sia perfetto. Quando la caratteristiea di ~ b ua numero primo, questa proprieth, com'~ noto, uon segue dall'essere ~ perfetto. Esauriamo dapprima il caso di earat~eristiea 0. 9.4. TEOREMA 25. S i a ~ u n corpo di caratteristica O. Sia p u n ideale primo nell'anello delle serie di potenze ~ , (p =4=~ ) . Esiste allora u n a ~ - t r a s f o r m a z i o n e di coordinate (z)~-~ L(x),,, tale the l' ideale trcrsformato contiene elementi del tipo seguente :

(a) Per zk+~ u n polinomio irriducibile F(zk+~ ! (z)k) dell'a~ello ~klzk+:]. the privilegiato sopva ~ k . (b) Per i 9(3)

2, 3, ..., n -

k u n polinomio lineare in zk+~ della forma :

D'~z)~ . z~+~ - - G~+~(z~+~ ; (z)k)

dove G~÷i ~ u n poli~wmio dell'anello ~[z~:+~] e D il discriminante di F.

P e r la dimostrazione stabiliamo anzitutto, dope una ~ - t r a s f o r m a z i o n e di coordinate (y~,--L~(x)~, una base dei polinomi di p, appartenente all'anello ~,,~_~:, err. Teorema 24, e sia p - - O N ~ , , , _ ~ . Dopo cib c(~struiamo a n elemento primitivo come combinazione lineare: 9(4)

zk+~ -" ~:+~yk+~ -}- ~l,+~yk+~ -}- ... -{- ~,,Y,,

con ~k+~e~. Sia ~ ÷ ~ la elasse resto di y~+~mod t~ e

Sia poi F il polinomio irridueibile appartenente a ~[z~+~] con la radiee ~+~. i l l o r a sussistono le rappresentazioni: ~+~ ~ G~+~(~+~)/D

con G~÷~e ~[z~+~], essendo D il diseriminante di F. Queste equazioni dieono pertanto ehe le quantita Dy~÷~ G~÷~ appartengono a p e pereib a p. Senza venir meno alla generalit'h possiamo supporre ~+x=~= 0; eib si pub infatti .ottenere con una opportuna numerazione d~lle y~+~. Definiamo allora mediante la 9(4) e mediante le z~--y~ per i - 1, 2,..., k, k--{-2, ..., n una ~)-trasformazione di coordinaie L_~. Con (z),~~ L~. L~(x~ si soddisfa allora F enuneiato del teorema.

W. T H L ~ :

Teoria degli anelli di ser~e di potenze

277

9.5. Nel case della caratteristica p > 0 si pub procedere analogamente al case algebrico, cfr. [12]. pag. 74. I1 fondamento di questo trasporto consiste nel seguente t e o r e m a : Sia~ ID un corpo perfetto di caratteristica p, e sia f u n a serie dell'anello delle eerie di potenze ~ . I n f facciamo la sostituzione x~ -- ~ per i -- 1, 2, ..., n ; si pub allora dalla serie trasformata estrarre la radice p~.

Se infatti f =

~,

a~,~,...~,x~,x~'- ... x~,~, sarfi, (f)l~

=

~. (a~,,,...,,,)~[~

• ~;' ... ~,:,, •

Hella 9(4) considerando ~+~, ~+~, ..., ~. come indeterminate, ~+~ radice di un polinomio irriducibile ¢(z~+~/(y)~, ~+~, ~+~, .... ~,,) dell'anello ~ [ ~ + ~ , ~ + ~ , ..., ~n, z~+l]. Se ~qb/~z~+~:4:0, si possono applicare le ordinarie considerazioni t h e conducono alla costruzione di un elemento primitive. In questo case vale il teorema 25. Essendo O~/~cz~_~--O, esiste una potenza massima z~+~, tale t h e (I) ~ un polinomio di zP+~. Allora si pub dimostrare p~ pt ..., che 4) ~ anche polinomio di ~+1, ~:+~, ~ . Introduciamo in (I): ~

--

y~P$ ,

i--l,

2, .... k.

P e r mezzo del nostro lemma si pub dimostrare facilmente che (I) ~ potenza pt di un polinomio irriducibile W(zk+~'(Y)k, ~k+~, ~k+~,..., ~,~) dell'anello ~'k[~k+~, ~k+2 .... , ~n, Zk+~], con ~'k "-~k:Y. Definiamo l'ideale p' dell'anello ~'~,,,_~ -- ~'~[y~+l, y~+~, ..., y,,] mediante la seguente posi~ione : un polinomio :p di quest'anello appartiene a ~', se : ~ e p . Si dimostra facilmente che p' primo e che O ' N ~'~--(0}. Indicando con il simbolo H~+~ la classe resto di y~+~ rood p' in ~'~,,_~

u n a radice di W. Inoltre ~ era ~Wi~z~+l:~=0, cosicchi~ si pub applicare a p' il teorema 25. Con opportuna specializzazione di ~ + 1 , ~k+2,..., ~,~ in vale quanto segue: (a) esiste in lY un polinomio irriducibile F'(zk+i/(Y)k) del. l'anello ~'~[zk+~] t h e ~ privilegiato sopra ~ ' k . (b) In p' esiste, per i - 2, 3 .... , n--k, un polinomio lineare D'(:Y),~yk+i- G'k+i(z~+~ : (Y)k) con G'k+i in ~'k[Zk+~] e i l d i s c r i m i n , n t e D' di /7". P e r la definizione di p', p contiene (a) un polinomio (F')p~ -- ~'(Zk+l~(y)k) dell'anello ~k[z~ r 1], (b) per i -- 2, 3, ..., n - - k pt ~ u a polinomio D(Y)k'Yk+~ Gk+i(zk+~: (y)k) con Gk+ie~k[z~_~]. Pertanto D e ~ k non ~ pill il discriminante di F. Definendo alloru le ~-~rasforma~,ioni di coordinate L2 ed L come prima, vale in luogo del teorema 25 il:

278

W. THIMM: Teoria degli anell{ di serie di potenze TEOREMA 26.

Sia ~ u n corpo perfetto di caratteristica p con infiniti elementi. Nell'anello detle serie di potenze ~ , ~ sia p u n ideale primo (p ~= ~ x ) . Esiste allora una ~-trasformazione di coordinate ( z ) , , - L(w), tale che l' ideale trasformato, per una opportuna scelta di l > 0 contiene elementi del tipo seguente :

(a) Per z~+~ un polinomio F(zk+~/(z)~) irriducibile in ~k[z~+a] d~ll' anello ~k[z~+j the ~ privilegiato sopra ~..~. (a) Per i ~ 2, 3,..., n - k un polinomio ¢ monoidale • in z~+~ delta forma :

9(5)

DC~)~z~+~

-

-

Gk+~Czk+l ; (z)k)

9.6. Sui teoremi 25 e 26 poggia la cosidetta rappresentazione monoidale di una varietk analitica, h questo proposito dimostriamo il seguente teorema, cfr. [12], pag. 58. TEOREMA 27. Sia ~ un corpo perfetto con infiniti elementi ; e s i a p u n ideale primo nell' anello delle serie di potenze ~,, (p :4: ~,,). Con le notazioni del teorema 25 (risp. 26) sia q l'ideale in ~)n con la seguente base: (a) nel caso di caratteristica O: F, Dzk+i - Gk+~,

i - - 2 , 3,..., n - - k ,

(b) nel caso di caratteristica p : F, Dz~+~

-

-

ak+~ ,

i--2,

3, n - - k .

Una serie f di 15,, appartiene a p allora e sottanto atlora the per una potenza D ~ di D vale: (a) net caso di varatleristica 0 :

9(6) (b) net co,so di earatteristiea p : 9(7)

D~. fP~Eq.

W. THIMM: Teoria degli anelli di ser~e di potenze

279

Basra considerare il easo p > O, perch~ il caso p----0 si o t t i e n e formalmente da quello, ponendo l - - O . (1) Poich~ q C P, da D ~ • fp~ e q, segue anche D=f~~E p. E poich~ peraltro D, come elemento di ~ , non appartiene a p, e p ~ primo, f appartiene a p. (2) P e r dimostrare il viceversa, basra riferirsi agli elementi di u n a base di p ; prendiamo quindi la base dei polinomi in ~k,,,-~. Sia f e t e - - - P N Allora fp appartlene a ~ k [ ~ + l , zk+2, ..., z~]._Da D z ~ ~~ G~+~ rood q segue ora the, per u n opportuno a, il polinomio D ~ f P ' m o d q b congruo ad un polinomio F dell'anello ~Sk[z~+~]. Siccome q ~ contenuto in P, r appartiene a p A ~ [ z k + ~ ] . Questo ideale b peraltro a n ideale principale e viene generato da F e q. Percib F e quindi anehe D~]~ ~ ~ un elemento di q. 9.7. Ci oecuperemo infine delle relazioni tra ideali primi diversi, allo scopo di dimostrare l'ugnaglianza del numero k con la dimensione di u n idcale primo n e l l ' a n e l l o ~ , , come si ~ affermato nel teorema 24. Questo n u m e r o k viene ealcolato per l~ideaie primo p come nella dimostrazione del teorema 20 dopo aver eseguito la ~ - t r a s f o r m a z i o n e di coordinate L, che, per il teorema 24~ ~ anche una p remessa per la costruzione della base di pollnomi in ~ k , , - k (cfr. teor. 24). Chiamiamo L • trasformazione di coordinate di O >>. II numero k, caleolato mediante L, sia indicato con k(p, L) per significare, ehe non b finora esclusa la sua dipendenza da L. P e r la dimensione di p adoperiamo la notazione ~(p). La nostra affermazione si esprime allora: 9(8)

k(p, L) -- p(p).

1. RISULTATO PARZIALE. Siano p e q ideali primi in ~,s (q :~= ~,s). Sia p una parte propria di q. Sia L una trasformazione di coordinate di p. Allora esiste una trasformazione di coordinate L' di q, tale t h e : - -

(l)

k(q, L') < k(p, L).

Sia f u n elemento di q non appartenente a p. Seeondo la 9.2. sussiste una congruenza : fm+

c~f,,-~ _{_ ..._jr o~_~f + o,, ~ 0

rood p,

el ~ ~ k (k -- k(p, L)) per i -- 1, 2, ..., m, c,,, =~ 0. Da f ~ q e p C q segue e,,, ~ q. D u n q u e q N ~ k i~ diverso dall'ideale hullo. I1 metodo seguente per la dimo. strazione del teorema 20 si pub applicare nei primi n - - k passi anche per q. Siccome tuttavia q N Dk :4= (0), per q seguirSt ancora almeno un (n - - k -]- 1)-too passo. Da ei5 segue (1).

W. THL~I~: Teoria degli a~elli eli serie d,~ potemzc

280

2. R~SULTATO PARZ~ALE. - P e r ogni trasformazione di coordinate L di p vale la relazione (2)

,a(p) ~ k(p, L).

Posto ~ -" ~(p), sia p C P~ C ... C P~ una catena crescente di ideali primi con ~ ~ 1 termini. P e r la (1) vale, con opportune trasformazioni di coordinate

LI, L~,..., L~: 0 ~ k(pe, Le) < k(p~_~, L~_J < .. < k(p~, L,) < k(p, L). U n a tale catena di ~ + 1 disuguaglianze tra interi porta come conseguenza la (2). P e r dimostrare l ' i n v e r s a della (2), costruiamo una catena creseente di ideali primi con k(0, L)-~- 1 termini. Sia L una trasformazione di :~oordinate di p e k - " k(p, L). Con le notazioni del teorema 24 sia a == (p, y~). Vale allora la ~'ela~ione : 3.

(3)

RISULT~.TO

PARZIALE.

-

a* -- a (5 ~ _ ~ y -- (0).

(a) Diamo u n a dimos~razione indirctta. siede una r:~ppreseutazione :

Sia h(y)~:_~e a*. Allora h pos-

h ' - - p + y~g con p e p e g ~ . P e r il teorema 24 ~ g ~ - g _ m o d p con g e ~ k , , , _ k . Da cib segue h = y ~ g m o d p e pereib anche m o d p , poich~ h - - y k g e ] ~ k , , _ k e p N~k,,~--k--" p. Quando h -- ykg ~ indipendente d a y , , , tralasciamo la seguente parte (b) della dimostraT, ione e proseguiamo con (c). (b) Costruiamo il risultante R di h - y ~ e p-~ rispetto ad y,, (cfr. teorema 24). Essendo p,, irriducibite, questo risultante pub annultarsi soltanto quando h - - y k [ 7 ~ divisibile per p ~ . U n a relazione h - - y k [ ~ = p , q con q ¢ ~ ) ~ , , - k porge pertanto una formula falsa quando si ponga y k - 0. Essendo p , e h - - y k g elementi di p, R appartiene a p N ~k,,--k--i con ~k,,--k--1 = ~Sk[yk+l, Y~+2, ..-, Ya--J. Nella rappresentazione d i / ~ mediante determinante di SYLVES~EI¢ si legge facilmente ehe _~ -- h " - - YkPl, dove m ~ il grade d i p , e p ~ e ~ k , n-~:-~. Esiste quindi un elemento h~ = h " in a*, che b =b0 ed 6 congruo rood p a d un polinomio y~t.~ con ~ e ~k,,~-k-1. (C) Poichb ora h ~ - - y k ~ l ~ indipendente d a y . , ripetiamo l'argomentazione (b) sostituendo p , con p,,_~. NeIlo stesso mode eliminiamo Y , - 2 , . . . , yk+~. Nell'ultimo passe troviamo una serie h,_k e a ~, ehe (~ @=0 ed b congrua mod ~) ad un elemento ykp,--k con t~,,-k e ~ k , Ora h,,_k(y)k--~--ykp,,--k(y)k dovrebbe

W. Tm.~i)i : Teoria degli a~,elli di .~erle di potenze

281

stare i n ~ ) ~ (5 ]~; ma questa intersezione (, (0), e h , _ k - y k P , - k b eerie =~=0, poieha h,,_~ non dipende da y~. Questa eontradizione dimostra il risultato parziale 3. 4. R I S U L T A T O PARZIALE. Tra le eomponenti primarie di a ee n'@ ahneno una, la cut intersezione con ~I¢-~ ~ l'ideale hullo. Sia a = Cl~ A ~12 (5 ... (5 q,. una rappresentazione di a mediante cemponenti primarie. Se ora fosse, per i - - 1 , 2, ..., r. qi:4= 0 un elemento di ~li (5 ~ - ~ , sarebbe q~. q2 ... q,. e a (5 ~ _ ~ in eontradizione con il risultato parziale 3. 5. RISULTATO

(4)

PARZIALE.

-

Vale la re]azione: k(O, L) ~ ~.

Sia q~ una componente primaria di a con q~ (5 ~ , _ ~ - - ( 0 ) . Essendo p~ l'ideale primo di q~, vale anehe 01 (5 ~ _ ~ (0), pereh~ per una potenza p ~ di p~ vale l)~:Cq~. D ' a l t r a parle p~ contiene l'ideale a quindi anche p. P e r questo i polinomi Pk+~, i----1, 2,..., n - - k , stanno in p~, e inoltre yk ~P~. Essendo p~ (5 ~ k ~ - - ( 0 ) segue ora : k(pl, L) - - k(p, L) - - 1 Applicando la stessa argomentazione a Pl etc., si trova una eatena ereseente di ideali p r i m i : P C P~ C P, C... C Pk(~,,L), tale ehe k(p,, L ) - k(p, L ) - - i . Questa eatena ha k(p, L)-{-1 termini. Da ei6 segue (4). Da (2) e (4) si ottiene l ' a f f e r m a z i o u e 9(8). 9.8. II risultato 9(8), dimostrato dapprima soltanto per gli ideali primi, vale per gli ideali arbitrari. TEOREMA 28. S i a ~ u n corpo con infinili elemenli, e sia a u n ideate nell'aneUo delle serie di potenze On (a =[=D.,). Dopo u n a D-lrasformazione d i coordinate a pos. segga u n a base di polinomi nell'anello ~k,,--k tale the a (5 ~ -- (0). Allora k p a r t alia dimensione di a, cfr. 4.3.

La base di polinomi esiste in forza dei teoremi 20 e 14. Essendo a (5 ~ ) k - (0), segue come nel risultato parziale 4 l'esistenza di almeno una eomponente di a, avente dimensione ~ k. ]~ d u n q u e p ~ k . Se ora fosse p > k, esisterebbe una eomponente primaria q di a con q (5 O k + l - - ( 0 ) - E per essere a C q vale la relazione a (5 ~ + 1 (0). Ma questa formula ~ falsa: t~ d u n q u e ~-----k. dnnalt di Matematica

36

282

W. T~IM,~: Teoria degli aneUi di ser~e di potenze 9.9. Dai risuttati parziali 1 e 5 segue il teorema: T~,o~

29.

(a) Sia p un ideale primo nell'anello delle serie di potenze ~ della dim, ensione ~ ~ 1~ A!lora esiste un ideale primo p~ in ~ . , che contiene p ed ha la dimensione ~ - I. (b) Siano p e p~ ideali p rimi in 15,, (P~:~=~ . ) . Da p C P~ p:~:p~ segue che la dimensi.one di p~ ~ minore della dimensione d i p , Questi teoremi verranno approfonditi nel seguito.

§ 10. - V a r i e t a

Algebroidi.

10.I. Dopo avere illustrato la struttura di un ideale primo nell'anell0 delle serie di potenze,~deve essere esaminato il medesimo probtema per~ideali generali. Come nel paragrafo precedente prendiamo come anello dei coeffi0ienti ~ un ;corpo. H problema si enuncia: Sia dat0 un ideale a neH'anello delle serie d i potenze ~ , . Si ealcolino gli ideali primari q~ in una rappresentazione: a ~ q~ N q2 N ... N q r . Eccezi0n fatta per alcuni semplici casi speciali, poco si pub dire in generale sulla soluzione di questo problema. Cerchiamo quindi di delimitate il problema. Pensando alle necessit~ della geometria algebrica, ~ immediato richiedere soltanto la determinazione delle c0mponenti isolate di ~a. La componente q~ si dice isolata se non esiste alcuna ~lj con j :~: i, in modo che per gli ideali primi p~ e Pi di q~, risp. qi, yalga la relazione: ]~iC]~. u n a componente non isolata si dice immersa. I1 calcolo delle e o m p o n e n t i isolate viene ricondotto al corrispondente problema aIgebrico per gli ideali di polinomi. Per la sua soluzione 1' algebra applica il metodo dell'eliminaz/one ; metodo che non fornisce in generale le componenti isolate primarie, ma soltanto i loro ideaii primi. Percib ~ opportuno circoscrivere ancor pifl il nostro compito della decomposizione e richiedere semplicemente il calcolo di quegli i d e a l i ' p r i m i I~ che appartengono alle componenti isolate q~ di a. A questa delimitazione del nostro problema si addice una particolare terminologia, precisamente la terminologia delle cvariet~ algebroidi>>. L'impiego ~ d e l l e variet~t algebroidi porta, in ultima analisi, t h e s o n o da esaminare so|tanto g|i ideali p r i m i d i c o m p o n e n t i isolate di un ~ideale di serie di potenze, Deflniremo dapprima questi concerti e, nel prossimo paragrafo, analizzeremo il problema della decomposizione. 10.2., S i a a un ideale dell' anel!o delle serie di potenze ~ , . S e a ~ ~,~, associamo ad a un insieme d~i~ ~ punti >>,che chiamiamo < e indiehiamo con M(a). I ~ p~nti ~>-di M(~t) saranno ideali primi di ~ . L'ideale primo p di ~ definir/t un punto di ~(a) allora e so!tanto allora t h e appartiene a p. La dimensione di ~J(a) sar~t uguale alla dimensione d i a.

W. THIM~I Teoria degli anelli di serie di potenze

283

I1 purtto p di M(a) si direr ~> di M(S) so M ( a ) = M(p). Ogni ideale primo possiede un punto generale. 10.3. Valgono i seguenti teoremi: (a) Da a C b segue M(b) C M(a). La dimostrazione segue subito delle definizioni. (b) S e a -- b n c, risulta M(a) -- M(b) U M(C). Da a C P segue [~. C C p . Poich~ p ~ un ideale primo, si ha b CO oppure CCO, e quindi i~ p ~ M ( b ) UM(C). Se ~ vieeversa t~eM(b) UM(¢), risulta p ~ M(b) o p e M(C). Nel primo case ~ b C P e quindi anche a C P ; nel secondo case ~ C ~ p e cost pure a e p . (e) ,Se a = (b, c), risulta M(a) = M(b) n M(c). Da a C p segue b C p e C C p , e quindi p~M([9) NM(¢). So viceversa p e M ( b ) nM(¢), risulta o~M(D) e o6M(¢), e quindi b C p e ¢ C p . Vale percib anche a C P. (d) Se q ~ u n ideale p r i m a r i o con l'ideale p r i m o p risulla M(q) -- M(O). Essendo q C P, si ha subito M(O) C M(q). D'altro canto da q C Pl segue anche p C PJ ; percib ~ M(q) C -71/(0). Anche un ideale primario possiede quindi un punto generale. (e) Se l' ideale a possiede le componenti p r i m a r i e isolate q~ c o n i corri. spondenti ideali p r i m i p~, i -- 1, 2, ..., r, vale la relazione : lO(t)

M(a) = M(O~) U M(O2) U ... U M(p~). La formula segue da (a), (b) e (d). (f) Se l' ideale a possiede la base ]'1, f~, ..., fa, vale la:

lO(2)

M(a) = M ( / y n .M(f~) n ... n M(f.).

Segue da (c). 10.4. Una varietal algebroide M(a) si dice riducibile, quando M(a) ~ l'unione di due varietk algebroidi, nessuna delle quali contiene l'altra. Se non esiste alcuna decomposizione di M(a) di questo tipo, la varietal M(S) si dice irriducibile. T~.OREMX 30. Sia

~

u n corpo. Per gli ideali a dell' anello delle serie di potenze ~ s

284

~V. THIMM: Teoria degli aneili di serie di potenze

a =~:~,, sussiste la proposizione: L a varietd algebroide M(a) ~ irridueibile allora e soltanto allora che essa possegga u n punto generale, cfr. 10.2.

(a) Sia M ( a ) : M ( b ) O 2 1 / ( ¢ ) - - M ( o ) , dove a, ~, ¢ sono ideali e p ~ un ideale primo. P e r 10.3. (b) si ha /t~(b (~ ¢ ) - - M ( p ) , onde I~ (5 ¢ C 0 e quindi [~. ¢ C P. Poich~ p i~ un ideale primo, o [~ o ¢ appartiene a O. Supponiamo t h e sia b C t~; risulta allora M(0)C M([~). Inoltre ~ 2t/(¢)C M(p), da cui segue M(¢) C M([~). Se M ( a ) - - M ( O ) , ogni deeomposizione ha cosi come conseguenza che una delle varietal parziali fa parle dell' altra. (b) Se nella 10(1) ~ r ~ 2 , poniamo [ ~ - - p l e ¢ - - p 2 ( h p 8 n . . . (Sp,.. ]~ allora M(a) -- M([~) W M(c). Da M([~) C M(¢) seguirebbe ¢ C 01 ; e per almeno un i )" 2 dovrebbe essere p~ C P~. Ma cib ~ escluso, trattandosi di componenti isolate. Viceversa, da M(¢) C M([~) si otterrebbe M(p~) C M(pl) per i ~ 2, e quindi Pl C p~; ma cib ~ impossibile per il medesimo motivo. Nel caso r ~ 2 la varieth M(a) ~ dunque riducibile. Nel caso r - - 1 M(a) ~ irriducibile, come ~ stato dimostrato in (a). In pari tempo abbiamo trovato il seguente teorema: TEOREMA 31. S i a ~ un, corpo. Lc~ variet~ algebroide di u n qualunque ideale nell' anello delle serie di polenze ~ ~ rappresentabile in modo unico come unione di variet& algebroidi irriducibili.

10.5. La serie f dell' anello delle serie di potenze ~,, si dir~ nulla nel punto p, se f appartiene a p. La serie f si direr nulla sulla varietal algebroide M(a), se f si annulla in tutti i punti di M(a). TEOREMA 32, (Teorema degli zeri di HILBERT). 2Vell'anello delle serie di potenze ~,, sia a un ideale ~:: ~,~ ed M(a) la sua varietd algebroide. Se la serie f di I~,* si annulla su M(a), esiste u n a potenza f: di f appartenente ad a.

S e a -- ql C~ fl~ n ... (h q~ ~ una rappresentazione di a mediante ideali primari, e p~ l'ideale primo di qi ( i - 1, 2, ..., r), la f si annulla in partico1are nei punti p~, eio~ f e p ~ per i - - 1 , 2,..., r. P e r le proprietk degli ideali primari esiste una potenza f:~ appartenente a qi; se a ~ il massimo dei cry, a2, ..., ~,. vale ta relazione f : e q ~ per i - ~ 1, 2, ..., r, e quindi f ~ e a .

§ 1!. - D e c o m p o s l z i o n e

degll

ideali

di serie

di potenze.

11.1. Sotto determinate ipotesi peI l'anello di serie di potenze a il calcolo delle componenti irriducibili della variet~ algebroide M(a) si pub conseguire con mezzi algebrici.

W. TnI~

285

: Teoria degli anelli di ser~e d~ potenze

TEORE~IA 33.

(a) Notazioni ed ipotesi. Sia ~ un corpo, e ~ + ~ l'anello delle serie di potonze ~[[zx, z~, ..., zt¢, w~, w~, ..., wi]], i ~ 1, ~k = ~kz ; s i a inoltre ~ , t l'anello dei polinomi ~ [ w x , rye, ...., wt]. In ~t~+t sia date un ideale a (=~=~+~) con la seguente proprietk: per i = 1, 2, ..., l, a contenga u n polinomio p~ ~ ~+~_a[w~], ehe sia privilegiato

sopra ~ + ~ _ ~ . P e r il teorema 14 a possiede una base (a~, as, ..., a,.)nell'anello ~ , ~ . Sis a l'ideale con la base (a~, a2, ..., a~) in ~ , ~ . Poich~ la base d i a 6 anche base per a, l'ideale esteso d i a in ~ + ~ coincide con a ' a - - - - ~ + ~ . ~. Sia ~ l'ideale (w~, w~, .... rye) in ~ , ~ . P e r il teorema 22 l'ideale ~ possiede una deeomposizione in ideali p r i m a r i :

11(1)

a

n

=

n

n

... n

con le seguenti proprietk: per i - " 1, 2,..., s vale la rela~,ione (q~, ~ ) = ] = ~ , ~ , e inoltre (¢, W)-'15k,~. Sia infine q~ (per i - i, 2, ..., s) 1' ideale esteso (b) Tesi.

(1) Gli ideali qi , i = 1, 2, ..., s, sono p r i m a r i ; inollre vale la relazioue : 11(2)

q~ n b~,~ = ~ , ,

i = 1, 2, ..., s.

(2) L' ideate a possiede u n a decomposizione i n ideali p r i m a r i : 11(3)

a = q,

n

q~

n ... n

q,

n

q'

n

q"

n ... n

¢,).

Ciascuna delle componenti aggiuntive q', q", ..., q(t) d i m m e r s a i n u n a delle componenti ql, qs, ..., q , , eio~ se l'ideale primo p(i) a.ppartiene all'i-

deale primario q(i), esiste un ideale primario q~ con l'ideale primo P4, tale che p~ C P(i). (a) I1 corollario al teorema 14 mostra t h e a contiene un polinomio p-~ ( i - " 1, 2, ..., l) dell'anello ~k[w ~, w~ .... , w~], il quale, come polinomio in w~ i~ privilegiato sopra ~k÷i-1. Da a C q~ segue mediante estensione in ~ + t : a C fh; l'ideale q~ contiene percib anche i polinomi p~. II teorema 21, applicato per R t - - ~ , ~ e R e - ~ + z porge allora la 11(2); e quindi questi polinomi appartengono anche a q~. Dal teorema 23 segue era ehe qa ~ un ideale primario dell' anello [Sk-~t. Gon cib resta dimostrata la prima affermazione. (b) Dalle 11(1), 8.2. (a) e 1.3. (v) segue: (1)

a = ~+l"

a C q~ N q~ N ... N q , .

286

W. THII~Ii~I: Teoria degli anelli di serie di potenze

Consideriamo gli ideali primari aggiuntivi q
(2) Facendo l'intersezione con C, segue dalla 1i(1) e da SiC ~ , ~ (5 Si la relazione:

(3)

q, n

n.... n

n q' n q"... n q<,> n

Oonfrontiamo era le formule 11(1) e (3), la seguente considerazione essendo valida per j = 1, 2, ..., t. Dalle 11(1) e (3) s e g u e : n q. n ... n q, n c c q. P e r la propriet~ fondamentale degli ideali primari, q(i) contiene allora una potenza di uno degli ideali q~, q~,..., q, o ¢. Eseludiamo d a p p r i m a la possibilitk Ce C ~(i) per ogni p. Accanto a W definiamo gli ideali 3----(z~, z2,..., zk) in ~ k + z , W = (w~, w2, ..., w,) in ~ : + t , e 3 - - ( z , , z2, ..., zk) in ~ : , z . Allora q'i) C (3, W) pereh~ (3, W) ~ l'ideale massimo di ~k+z (cfr. 3.5.), e di qui segue q(i) C (3, W). Se era per u n eerto p vale la relazione ¢.~ C q(J), se ne d e d u c e :

(ce, w) C

(q(i),

w) C (3, w).

Essendo (C, W)'-15k, Z esistono elementi c ~ ¢ e toGW, tali che 1 - - c - - ~ , e allora ~ (1 + ~))PeC~ e quindi 1 e(¢e, W). Dovrebbe cosi essere 1 ~(3, W), cib che ~ assurdo. Rimane quindi soltanto la possibilitk che q(i) eontenga u n a potenza eli u n ideale primario qt. Dalla terza formula in 1.3. (c) se~ue q~e C q(i), e di qui la relazione per il relative ideale p r i m o : pi C P ff), ehe a p p u n t o si voleva dimostrare. 11.2. Nelle ipotesi del teorema 33 si ottengono gli ideali primi delle componenti isolate delI'ideale delIe s e r i e di potenze Si mediante estensione degli ideali primi delle componenti isolate dell'ideale di polinomi 2. ]~ interessante ed importante ehe in questo ealeolo si pub essere partial da uua base arbitraria di Si in ~k,~. Un e a m b i a m e n t o in questa base eomporta soltanto dei e a m b i a m e n t i nelle componenti immerse di Si oppure nell'ideale C. La seelta pifi favorevole di q u e s t a base sarebbe evidentemente quella per cui --~)~,z n Si; in tal ease m a n e a nella 11(1) l'ideale C, come segue immediatamente dalla 11(3). Nei singoli easi eoncreti non si potr~ tuttavia trovare facilmente u n a base di ~k,Z n Si.

W. TnIM~: Teoria degli a~elli di serCe di potenze

287

Usan4o le notazioni del § 10 possiamo stabilire: Nelle ipotesi del teorema 33, la determinazione della varietk algebroide M(a) ~ rieondotta alla determinazione della variet~ algebriea M(a) apparten e n t e all'ideale di polinomi ~t. La deeomposizione di M(a) helle sue compo. nenti irridueibili si realizza con il metodo dell'eliminazione. Non pub qui essere nostro compito il presentare le diverse possibilitk t h e si p r e s e n t a n o ; pereib si r i m a n d a in partieolare al chiaro metodo di VA~ DER WAEI:tDEN in [20], pag. 116, i risultati pii~ importanti per noi sono: (1) Dal calcolo scaturiscono anzitutto le componenti irridueibili M(O), per cui ~ p A ~k -- (0). Le dimensioni (algebriehe) di queste componenti (sul corpo quoziente di ~k) sono percib ~ 0. (2) I1 calcolo porge inoltre un sistema di elementi b~, b2, ..., b~ di ~ k con la seguente proprietfi : Sia b l'ideale (a, b~, b2, ..., b~). Poieh~ [~ O ~ k =~=(0), la variet~ algebroide M(b) contiene soltanto componenti irriducibili MIO) con p A ]~k :4:0- Tra esse sono tutte le eomponenti irriducibili isolate di M(a) con questa proprieth. Oltre quelle 31(D) pub avere anche altre componenti irriducibili; le qaali appartengono allora anehe a M(a), essendo M(I~)CM(a) in quanto a C [~. 11.3. II metodo algebrico per il calcolo di M(a) ~ applicabile soltanto per ideali ehe contengono i polinomi dati nel teorema 33. Nel pifi importante caso particolare, quello in cui ~ ~ un corpo con infiniti elementi, si possono soddisfare queste ipotesi per a secondo it teorema 20 dopo una ~ - t r a s f o r m a zione di coordinate e allora anehe per b dopo l'eliminazione (efr. 11.2). In questo caso il metodo algebrico di eliminazione rende quindi possibile la determinazione di tutte le c o m p o n e n t i irridueibili della varieti~ algebroide.

§ 12. - L a

teoria

della

funzione

norma.

12.1. La teoria della funzione norma rende possibile a n intimo approfondimento nella conoseenza delle variet~ algebroidi. Definizione della funzione norma. R sia un dominio d'integritk noetheriano con m o d u l o ; ed R~ sia l'anello di polinomi RIwl, w2,..., wtt. Sia ora p u n ideale primo in -~z con le seguenti proprietk : (a)

0 n R = (0)

(b) P e r j - - 1 , 2,..., l, p contenga un polinomio pt nelle wl, w2, ..., wi, il quale, come polinomio in w i abbia il eoeffieiente di grado massimo uguale ad 1.

288

~V. TmM~I: T e o r i a d e g l i a n e l l i d i ser~e d i p o t e n z e

I n d i c h i a m o con co/ la classe resto di w i m o d p . indeterminate, poniamo : 12(1)

Essendo

u~, u ~ , . . . ,

u~

z - - u l w l ~- u2w2 -~ ... ~- uzwt

e

12(2)

~ "- u ~ l -~ u~o2 + ... + ut~ot.

i~ intero algebrieo sopra l' anello R [ u l , u~, ..., ul] e radice di un polinomio irriducibile : (I) =

¢(p) =

~(z, u l , u~, ..., at)

dell'anello R [ u l , u~, ..., a t , z], err. [4], pag. 131, [19], e [20], pag. 122. Come polinomio in z, (I) ha il eoefficiente del termine di grade massimo nguale ad 1. Chiameremo questo polinomio (I)(p) f u n z i o n e n o r m a dell' ideale p. 12.2. U n i t a m e n t e parliamo era di un metodo di ealeolo di (I), eft. [19]. Relazioni

tra risultante

e funzione

norma.

Sia 12(3)

5 , f2,..., f~

u n a base di t~. Aggiungiamo alla base i polinomi p l , j - - 1, 2, . . . , l, nel case ehe essi non siano gik presenti in essa. Si caleolerk il sistema risultante di KRONEC~:E~ (err. [4], pag. 45) rispetto a w l d i f l , f 2 , . . . , f~, P t e: 12(4)

z ~ u~w~ - - u~w2 - - . . . -

utw~.

Avendo P t , come polinomio in w t il coefficiente del termine di grade mas. simo uguale ad 1, si pub eseguire questa eliminazione, cfr. [4], nota a pi~ di pag. 45. Il risultato ~ a n sistema di polinomi dell'anello R[u~, u 2 , . . . ,

12(5)

gl, g~,..., g~.

Da qaesti polinomi e da p~_~ eliminiamo con lo stesso metodo wz-i eee. Dope l'eliminazione di wt, wt-~, ..., wl, si ottiene a n sistema di polinomi 12(6)

hi, h~,...,

ht

W. THIMM: Teoria degli anelli di serie di potenze

289

dell'anello R[u~, u2, ..., ut, z]. Poieh~ il sistema (~, co~, cos, ..., ¢o~) ~ uno zero di 12(3) e 12(4), esso annulla 12(5) ece. e a l l a fine anehe 12(6), e pereib tutti i polinomi h~ sono divisibili per (I)(p):

12(7)

h, = (¢(~)>. ~,,

v i ~ 1, i = 1, 2, ..., t.

essendo ~P(p) e ~ senza fattori comuni. A questa deduzione si pub obbiettare che uno dei sistemi risultonti g~, ..., hi si potrebbe annullare identicamente. Ma dalla propriet~ di questo sistema risultante seguirebbe, ehe p avrebbe un zero di grade di trascendenza 1 in un ampliamento algebrico' del corpo quoziente K di R. Tuttavia la dimensione algebrica di p sopra K ~ 0, perch~ p eontiene i polinomi Pt ( / " - 1, 2 .... , t). Poieh~ p ~ primo, i polinomi ¢p~, i - - 1 , 2, ..., t, posseggono al massimo divisori comuni appartenenti all'anello K[u~, u2, ..., ul]. 12.3. Alla funzione norma ~P(p) ~ eollegato il seguente ideale d e l l ' a n e l l o / ~ : L' ideale di a n n u l l a m e n t o della fungione n o r m a .

Introdueiamo in ffP(t~) per z l'espressione 12(1) e ordiniamo secondo prodotti U.; di u~, u2 .... , u t . Si ha allora : 12(8)

¢(u~w, + u~w~ + ... + u~w~, u l , u~, ..., u,) =

=

~, a~(w~, w ~ , . . . , wt)U~.

I coeffieienti a~ sono polinomi dell'anello Rt. L ' i d e a l e a di /~~ con la base a~, a~, ..., aN si chiamer~ (( l'ideale di a n n u l l a m e n t o della f u n z i o n e n o r m a ag(p) ~). 12.4. Dimostriamo alcune proprieti~ di R. Poieh~ ~ b uno zero d i ¢ , il sistema (co~, co2,..., cot) i~ uno zero di R. ~] quindi ~ - 0 mod p e cib significa t h e ~ C p. (b) a contiene per j - - 1, 2, ..., l, u n p o l i n o m i o q1 di w i con coefficienti i n R e coefficiente del termine di g r a d e m a s s i m o u g u a l e a d 1. In un ampliamento algebrieo opportunamente seelto (I) si decompone nel prodotto di fattori tineari ehe sono coniugati sopra it corpo quoziente di

l~[u~, u~,..., u,]: 12(9)

Annaii dz M a t e m a t ~ a

(I) -- H (z - - ulcer(~)- - u2co~(~)- - ... -- utw¢(~)).

37

290

W. THII~fM: Teoria degli anetli dl serie di potenze Dimostriamo 1' affermazione seguente :

Tutte le quantit& (oj(~), v dalle u~ , ~2 , ..., ut

1. 2, ..., m, ] -

1, 2, ..., l sono indipendenti

•

P e r j - - 1 le to~(~), v = I, 2, ..., m, sono zeri del polinomio pJro~) e pereib indipendenti dalle u~, u~, ..., u t . Supponiamo gi~ dimostrata l'indipendenza delle ¢oi(~), a)2(~),..., wi_~ • (~) ( i ~ 2) dalle u~ ,u2, ... , ut • La medesima indilJendenza delle toi(~) segue dal fatto, che ~oi(~) ~ uno zero del polinomio pj (wi, to~(v), (o2(~), ..., o)~_)~). P e r j - - l si ottiene la nostra affermazione, cfr. [20], pag. 120. )Tel easo inseparabile non ~ neeessario t h e i fattori lineari di (I) in 12(9) siano tutti distinti. Sostituendo qui z con 12(1), si rieonosee che tra i polinomi a~ vi sono anehe i polinomi: 12(10)

q j - ~ (roj- o~i(~)),

j---1,

2, ...,

l,

e questi hanno la propriet~ richiesta. Del resto qi i~ una potenza del polino. mio irridueibile con la radice toj perch~ le toi¢~) sono eoniugati sopra il eorpo quoziente di R. (e) Se q ~ u n ideale primo in R,, da ~t C ~ segue-p C-q. possiede quindi u n a sola eomponente isolata, e il sue ideale primo p. Questa propriet~ si pub anehe formulare al mode s e g u e n t e : Esiste a n intero m >__1, tale ehe

12(11)

p'~

C ~..

Se infatti a - g-~ N g2 N ... N g,. ~ la deeomposizione di a in ideali primari e p~ b l'ideale primo di g~, da (c) segue p C p i per i - - 1 , _ 2 , . . . , r. P e r le propriet~ degli ideali primari una potenza p"* appartiene a g~; e se m b il massimo dei n u m e r i ml, m,, ..., mr; vale la 12(11). L'affermazione (c) sara dimostrata pifl tardi, cfr. 12.8. Si osservi da ultimo che, natura!mente, la funzione norma (I)(~) r i m a n e univocamente determinata da p ; ebbene il risultato (c) m(~stra ehe anche viceversa la funzione n o r m a individua univocamente 1' ideale primo p. 12.5. L'utilit~ della funzione norma si manifesta in teoremi di specializzazione, S i a i un ideale primo nell'anello R ; e s i a i l'ideale esteso di i nell'anello di polinomi R ~ - R[wl, w2, ..., rot]. Indichiamo con R* l'anello delle classi resto R/i. I1 passaggio alle elassi resto rood i genera un omomorfismo di R su //*, che si estende all'anello dei polinomi sopra B sostituendo ai coeffieienti dei polinomi le loro classi resto rood ~. Cost l'anello -R~*'-/~*[rol, ro2,..., rot]

W. T H I ~ :

Teoria degli anelli di serie d~ potenze

291

proviene da Rt. Nelle indagini seguenti il risultato di questo omomorfismo verr~ contrassegnato con un asteriseo. 12.6. Premettiamo aleuni lemmi, per eui si veda [7], pag. 27. (a) Se q ~ un ideale primo di R~ con i C ~, allora q* ~ u n ideale primo di R~*. Se inoltre si suppoae q N R = i, risulla q* N R* - - (0). Da f*g*e~l* segue, per due qualunque rappresentanti f, g delle classi resto f* risp. g*, la relazione f . g e ( q , i ) - q. Sieeome q ~ un ideale primo, si ha f e q oppure g e q ; ael primo caso risulta f * e q * , nel seeondo g * e q * . q* 6 dunque primo. Nell'ipotesi q n R = i sia f* e I*n R*. Esistono allora degli elementi f e q , 6 ~ i e a e R, in modo ehe f - - a - } - b ~ un rappresentante di f*. E dunque a e (q, i ) n R - - ~ N R - i, da eui segue f * = O. (b) I n Rt* sia q* l'ideale primo con la base q~*, q~*,..., q~* ; e sia ~* (~ R* - - (0). Per i -- 1, 2, ..., :¢ svegliamo u n rappresentante q-~ di qi* in ~ . n'ideale q = (qt, q2, ... , q-~, ~ ~ allora primo in 1~ e vale la relazione q N R -- i. Da f g ~ q segue f*g*eq*. Essendo q* un ideale primo, risulta f * e q * o p p u r e g* e q*. Nel primo easo si ha f e (q, i) -" ~ e nel seeondo .q e (q, i) = ~t ; q risulta perei6 un ideale primo. Se h e q N R, si ha h * e q * ( ~ R * - - ( 0 ) . Tutti gli elementi di R che mediante l'omomorfismo vengono rappresentati nello 0, appartengono ad i pereib h e i ; e quindi ¢1 N R = i. (c) Siano p(~c) e q(w) polinomi dell'anello [ ~ - " R[x] con coeffieiente del termine di grado massimo uguale ad 1; e sia H il loro risultante. Allora H* il risullant~ di p*(x) e q*(x). Quesgo teorema segue, per es., dalla rappresentazione del risultante mediante il determinante di SYLVESTER. ll teorema vale anehe per pifi di due polinomi relativamente al sistema risultante di KRONECKER. 12.7. Segue il fondamentale teorema sulle funzioni norma, err. [19]. TEORm~. 34. Sia R u n dominio d' integrit~ noetheriano con modulo. Nell' anello di polinomi i~z -- R[w~, w2, ..., wt] s i a p u n ideale primo con le propriet~ (a) e (b) di 12.1. e con la funzione norma ¢~(p). Sia [ u n ideale primo di R e d R z - ~ Rt* l'omomorfismo descritto in 12.5. L'ideale primo p viene allora rap. presenlato suU'ideale primo p* di Rff ; e la funzione norma ~P(p) va nel polinomio ¢*(p, i).

(a) Sia ~ u n ideale primo di f~z tale che p C ~ e ~ n R -- i. Se q* l'immagine di q, risulta p* C fl* e q* n R* -- (0). L'ideale primo q* possiede una funzione norma (l)*(q*), e questa ~ u n divisore irriducibile di ~P*(p, i).

292

W. T H I ~

: Teoria degli anelli di serie dl potenze

(b) Se ffPl* ~ u n divisore irriducibile di ~9*(p, i), esiste u n ideale p r i m o di Rz per cut p C q e ~ (~ R --~ i, tale checp,* ~ la funzione norma dell' ira. magine q* di q. (a) Le affermazioni contenute in (a) seguono da 12.6. (a), eccettuata l ' u l t i m a affermazione. P e r dimostrare q u e s t ' u l t i m a consideriamo l'ideale a*, che ~ 1' immagine dell'ideale di annullamento ~ di q)(p), err. t2.3. Sia ~oi* la classe resto di w i rood q* nelt'anello delle classi resto Rz*/q* (per j -- 1, 2, ..., l). Dato t h e ~P*(q*) ~ il polinomio irriduaibile con lo zero ~* -- u~co~*~ u~co2* W ... -~u~o)~*, ~ sufficiente dimostrare ehe qb*(~),.i) si annulla per ~*. Ora eib si ottiene faeilmente dal collegamento di (I)*(0 i) con a* e d , l l a relazione a* C P* C q* t h e segue da 12.4. (a). (b) Per dimostrare le affermazioni contenute in (b) applichiamo il lemma 12.6. ( e ) a l l a proprieth risultante della funzione norma (efr. 12.2.) e l'omomorfismo R~ ~ ~z*. Si tratta anzitutto dell'eliminazione di wz da 12(4) e [~*, f~*, ..., f,.*, pz*, err. 12(3); il risultato ~ g~*, g,*, ..., g~*, cfr. 12(5). Da questi polinomi e da Pl*-~ si eliminer~ wz_l etc. Dopo aver eliminato w~, wl_~, ..., w~ si ottiene alia fine h~*, h2*, ..., ht*, err. 12(6); e questi polinomi hanno il divisore (I)*(l~, i) e percib anche (I)~*. Sia ora ~* uno zero di (I)~* in un ampliamento algebrico opportunamento scelto del corpo quoziente di R*[u~, u2, ..., u~]. P e r la propriet~a risultante del sistema h~*, h2*,..., ht* e dei precedenti sistemi risultanti possiamo calcolare a partite da ~*, le quantitk ~*, b~*,..., 0~*, ahe annullano questi sistemi. Come in 12.4. (b) si mostra, ahe le quantita ~t* sono indipendenti dalle u~ perch~ sono zeri dei polinomi Pi* ehe non eontengono a l c u n a delle u~. Da 12(4) e 12(.~) segue allora: (1) : ~ - - u ~ * -Jr- u~b~* ~ ... -{- u ~ * e (2) : I1 sistema ~* - - (~*, 0~*, ..., ~*) uno zero di f~*, f~*,.., f,.*, e quindi di p*. Sia ora q* la totalit~ di tutti i polinomi di /~* e h e s i annullano per b*; n a t u r a l m e n t e q* ~ un ideale primo ed ~ q * N R * - - ( 0 ) . Come ~ stato ora dimostrato, ~ anche P * C q * . Poieh~ allora q* eontiene il polinomio Pi*, per ] -- 1, 2, ..., l, e poieh~ ¢[* N R* - - (0), i~ definita la funzione n o r m a di q*. Essa ~ il polinomio irriducibile con lo zero ~* e coincide quindi con (I)~*. Definito ora q esattamente come in 12.6. (b), segue t h e ~I ~ un ideale primo ~i Rz, ed ~ qC~R-----i. Da P * C q * segue inoltre t~C ~. Con eib ~ dimostrata anehe l ' u l t i m a parte del teorema 34. 12.8. Unitamente si pub dimostrare t' affermazione 12.4. (c) sull'ideale di annullamento ~I della funzione norma (I)(t3). Sia q un ideale primo di R-~ per cut a C q ; posto i - - q N R, eonsideriamo, come in 12.5, l' omomorfismo Rl'-~Rz*. P e r 12.6. (a) q* ~ u n ideale primo, ed ~ q* N R* - - (0) ; di qui e da 12.4. (b) segue che ~ definita la funzione norma (I)*(q*). Se coi* (per ] - - t , 2,..., l) ~ la classe resto di w I rood q* nell'anello d e l l a classi resto Rz*/~l*, allora ~*(q*) ~ il polinomio irriducibile con lo zero ~* -- ultol* ~- u~(o2* ~- ...

W. T m ~ r :

Teoria degli anelli di serie di potenze

293

.,. + u~o~*. E siccome il sistema (¢o~*, o~*,..., ~o~*) ~ uno zero di q* ed a* appartiene a ~l*, a causa di a c c l , ~* ~ anche zero di @*(~ i), err. i2.7.; perci6 (I)*(p, i) 6 divisibile per (I)*(q*). L' affermazione l ) C ~l se~me~, ora dal teorema 34 (b) ore sia (I)1"-----(I)*(q*). 12.9. Trasportiamo ques~e definizioni e teoremi al caso, t h e a noi interessa, degli anelli di serie di potenze. TEOREMA 35. (1) S i a ~ u n corpo con infiniti delle serie di potenze ~,, p :4: ~ , , . ( y ) , , - L(x~),, p possegga u n a base di eft. teorema 24. Essendo p -- p ~ ~ , dell' ideale p r i m o p. Posto : 12(12)

elementi, e p u n ideale primo nell'anello Dopo la ~ - t r a s f o r m a z i o n e di coordinate polinomi neU'anello di polinomi ~ , n - ~ , ,_~ , esiste allora la funzione n o r m a ~9(p)

z - - uk+~y~+~ ~- u~+2y~+~ -4- ... + u , y , ,

@(p) risulta u n polinomio dell' anello ~k[u~+l, uk+z,..., u , , z].

(2) a s i a l'ideale di annullamento della funzione n o r m a ffp(p) (err. 12.3.), ed a il suo estensione in ~,, . Risulta allora a C P; e le variet?~ algebroidi M(a) di a ed M(p) d i p coincidono. Per u n a potenza pm (m ~ 1) vale la relazione p" ca. (3) S i a i u n ideale p r i m o dell'anello di serie di potenze ~ k , i :4: ~ k , e ~ * il dominio d'integrit~ delle classi resto ~k/i. Mediante l'omomorfismo ~k--*~)*, da ~ k , , - k nasce l'anello ~ , -*k -- ~*[Yk+l, Yk+2,..., Y.]. Inoltre p sia rappresen. tato su p* e ~P(p) su (I)*(p, i). (3a) 5ia q u n ideale primo di ~ , , tale che p C q e q (~ ~ k ~ i. Allora -- q A -~k,,,-~, ~ ideale primo di ~ , , _ k , e l'ideale esteso di q in ~,, coincide con q. Se q viene rappresentato sopra q*, risulta q* (5 ~ * -----(0) e p* C q*. L a funzione n o r m a c~*(q*) di q* ~ allora u n divisore irriducibile di ¢*(p, i). (3b) Sia ~PI* u n divisore irriducibile di ¢*(p, i). Esiste allora u n ideale primo q di ~ , per eui p C ~1 e q (5 ~ k -- i, tale che ~9~* ~ la funzione n o r m a dell'immagine q* di q = {1 (~ ~k, ~-k (1) La prima affermazione segue dal teorema 24 e da 12.1. (2) Sar~ dimostrato che M(a)--M(O), una volta t h e siano stabilite le due seguenti affermazioni: (2a) a CO, e (2b): Se q ~ an ideale primo di ~,, ed ~ a C q , ~ anche p C q . Da esse si ottiene, come in 12.4., anche l ' u l t i m a formula in (2). L ~affermazione (2a) segue da 12.4(a). P e r dimostrare la (2b) osserviamo" P e r la 1.3. (b) q - q (~ ~5~,,~-k ~ ideale primo di ~k,,,--k. Da C q segue a C ~ ; e pereib, per la 12.4 (e) risulta O C t . L ' i d e a l e primo contiene percib i polinomi p~+j, i - - 1 , 2, ..., n ~ k, cfr. teorema 24. P e r il

294

W. THIMM: Teoria degli anelli di serie di potenze

teorema 14 l'ideale primo q possiede una base in 15k,,~-~, e quindi l'estensione di q in ~,, coincide con q. L'affermazione (2b) segue ora per estensione da 3(a) ~ i~ ideate primo per la 1.3. (b). La dimostrazione che q = ~ , q , contenuta nella dimostrazione di (2b). Le altre affermazioni esposte in (3a) conseguono del teorema 34(a). Nel caso (3b) il medesimo teorema 34 fornisce un ideale primo ~1 in ~ k , , - k per cui p C q e Cl (5 [ ~ z - - i . Sia allora q l' ideale esteso di ~ in ~ , . P e r dimostrare l'uguaglianza q (5 ~ . , ~ _ k -- q applichiamo il teorema 23 (insieme con il eorollario 1). L'ipotesi (a) di questo teorema soddisfatta, in quanto, per essere O-C q, Cl contiene i polinomi p-k+], ] ---- 1, 2, ..., n - - k . Rimane da verificare l'ipotesi (b) del teorema 23. Dimostriamo anzitutto c h e : se In ~ l'ideale massimo (Yl, Y2, ..., Y,,) di ~ n , nl* -- (y~*, y~*, ..., Yn*) ~ un ideale primo di ~,~-k * • Infa~ti r i d e a l e 111 ~ (y:-, Y2, ..., y,~) di ~k,,~-~ ~ un ideale primo ed essendo i :~= ~ k , si ha anche i C m. Da 12.6. (a) segue allora quanto asserito per In*. Proveremo ora t h e ~ soddisfatta l' ipotesi (b) del teorema 23: L' ideale (~, Yk+l, yk+2, ..., y,) ~ diverso da ~k,,~--k • Da ~I C P segue che a appartiene all'ideale massimo (y~, y~, ..., y,) di [5,~. Anche ~ appartiene all' ideale di ~:,,~-k avente questa base ; 1' immagine ~t* appartiene pereib all'ideale primo 111"--(y~*, y2*, ..., y,~*) di ~5~_~. Sostituendo quindi in ~P*(p, i) ai coefficienti le elassi resto rood m*, si ottiene una potenza z m. P e r e h e m* ~ un ideale primo ~*_~/m* i~ un dominio d'inte. gritS. Quindi anehe ¢~* deve avere la medesima proprietk di ~P*(p, i), vale a dire i coef[icienti di ( I ) ~ * - eccettuato il coefficiente del termine di grado massimo che ~ 1 -- son0 ~ 0 mod In*. Indicando con b* l'ideale di annullamento di (I)*~ si ha b * C 11l*. Possiamo ora a p p l i c a r e a [~* e 111" il risnltato 12.4. (e), ottenendo ~t*C fit*- Da eib segue q C m e quindi (q, y~+~, y~+~, ..., Y,) C 111. Dunque ~ (q, y~+~, y~+~, ..., yn)=~: ~ , , , _ ~ . Dal teorema 23 segue q ~ ~ , , , _ ~ ----~1 e di qui q ~ ~ ~ i, inoltre ~l ~ un ideale primo. I1 teorema 35 resta con eib dimostrato.

§ 13. - A l c u n i

teoremt

di intersezione.

13.1. Come prima applicazione della teoria della funzione norma, dimostriamo alcuni teoremi di intersezione. TEOREM.£ 36.

Sia ~ u n corpo cor~ infirdti elementi. Supponiamo the l'ideale primo p nell'anello di serie di potenze ~ n possegga u n a base di polinomi nell'aneUo di polinomi ~ k , n - ~ , cfr. il teorema 24. Se i ( ~ = ~ ) ~ u n ideaie primo nell'aJlello

~7. THIMlVI: Teoria degli anelli di serie di potenze

295

delle serie di potenze ~ k e ~ il sue ideale esteso in ~ , , allora la variet~ alge. broide M(O, j) di (p, j) consiste di componenti irriducibili M(q~), X -- 1, 2, ..., r con la propriet~ q~. N ~ = i. L a dimensione di ogni ideale primo q~. coincide con la dimensione di i.

P e r il teorema 35 (3) i fattori irridncibili della funzione n o r m a (I)(t~) di t~ fissano detle componenti irriducibiti di M(O, j) con la propriet~ richiesta. R i m a n e ancora da dimostrare t h e M(p, j) non ne possiede altre. Sia q u n p u n t o di M(O, j) e q q ~ k -- n, ; sia inoltre q = q (3 ~k,,~-k. E s s e n d o ~ C q, per i teoremi 24 e 14 ¢[ possiede u n a base in ~k,,~--k; l'estensione di q in ~,~ coincide percib con q. Da (p, j ) C q segue i C w . Consideriamo uno accanto all'altro gli omomorfismi delle elassi resto ~ - - - ~ * ---- ~k/[ e ~ k - ~ * * -- ~k/w, e le loro estensioni negli anelli di polinomi. II seeondo si pub eseguire in due tempi. Poich/~ per il primo w va nell'ideale primo w* (efr. 12.6. (a)), 15"* isomorfo a ~*/w*. Se~ora le i m m a g i n i di (l)(p) sono i polinomi (I)*(p, i) risp. ¢**(p, w). allora (I)** nasee da qb* m e d i a n t e l'omomorfismo ~*--* ~**. Ora p e r il teorema 35 (I)* (I~, [) /~ il prodotto delle funzioni norma : (I)*(¢h*),), -- 1, 2, ..., r : (1)

(I)*(~), i ) -

II ¢*(qx*).

Applieando l ' o m o m o r f i s m o ~ * --* ~** ne v i e n e :

(2)

,v)=

w*).

I n d i c h i a m o con q** l ' i m m a g i n e di ~. La funzione n o r m a ~**(q**) per il teorema 35 ~ allora divisore di q)**(p, w) e divide percib uno dei fattori del prodotto a secondo m e m b r o della (2), sia p. es. ~P**(q~*, w*). E allora q~* C q* p e r il teorema 34, che noi applichiamo a ~ * - - ~ * * . Essendo i C w C q , segue q~ C q e per le estensioni in ~,~ ql C q, il t h e significa t h e M(ql) contiene il punto q. Tutti i punti di M(p, j) appartengono quindi alle M(qx), ) , ~ 1 , 2,..., r. 13.2. II teorema 36 ~ un approfondimento di uno risaltato in 9.7, appli. eato allo stato di cose di cola esso porge il risultato: Ogni componente primaria isolata dell'ideale q - - ( t 9 , yk) ha la dimensione k - 1. Come il teorema 36 prosegue nella direzione stabilita il: TEOREMA 37. Sia ~ u n corpo con infiniti elementi ; e sia P u n ideale primo di dimen. sione k ~ 1 nell'anello di serie di pot.enze ~ , . Sia inoltre f una serie irriduoi. bile di ~),i diversa da una unit&, di ~ , . Se f non appartiene (t ~ ogni compo. nente primaria isolata dell'ideale (p, f) ha la dimenaione k - 1.

296

W. T m ~ :

Teoria degti anelli di serie di potenze

(a) Dimostriamo dapprima un ease particolare di ponendo e h e f sia una forma tineare di x~, x2,..., ~ - t r a s f o r m a z i o n e di coordinate si pub ottenere che f = siderazioni riposano sopra un complemento del teorema

questo teorema, supx,~. Eseguendo una x~. Le seguenti con18.

LEPTA 1. Sia ~ un corpo con infiniti elementi; e sia F(~) una serie dell'an~ello ~ , , non divisibile per ~ . Allora F, mediante una ~ - t r a s f o r m a z i o n e di coordinate : 13(1)

i

=

2, 3, .... n,

si pub ricondurre ad una serie F* che ~ privilegiata rispetto ad y , . Sostituendo x ~ - - 0 in F si ottiene una serie F~(x~, xs, ..., xn) ehe, per la nostra ipotesi, non si a n n u l l a ; ed ~ F - - F 1 ~ x l F ~ con F ~ e ] ~ n . P e r il teorema 18 esiste una trasformazione di coordinate L1 delle indeterminate x2, xs,..., x , , tale che FI* divenga privilegiata rispetto ad Y , , ciob FI* contenga un addendo ~ y , ' con 0 : e ~ . Ampliando L1 con Y l - - x l , si ottiene una ~ - t r a s f o r m a z i o n e di coordinate de1 tipo 13(1). Inoltre ~ F* ---- FI* -[- yiF2*, ed anche in F* si presenta 1' addendo a y , / ; cioi~ F* ~ privilegiata rispetto ad y,~. (b) Poggiando su questo 1emma il teorema 20 si lascia cosl completare: Lmr~A 2. Sia ~ un corpo con infiniti elementi; e sin a un ideale primo nell'anello delle serie di potenze ~ n , a :4: ~ , • Se xl non ~ elemento di a, si pub scegliere la ~ - t r a s f o r m a z i o n e di coordinate t h e rieonduce ~t ad un ideale con una base di polinomi, in modo che essa sia del tipo 13(1). P e r dimostrare cib osserviamo dapprima t h e per un ideale primo p da p C(Xa) segue t h e p - - ( x l ) . Se infatti f~p risulta f = x ~ f ' con a > 0 dove f' non fa parte di (x~) e quindi n e p p u r e di p. Ma poich~ p ~ primo, ne segue ~ ~ p e percib p (~cl). P e r 4imostrare il lemma 2 seguiamo la dimostrazione de1 teorema 20. Si supponga c h e l a ~ - t r a s f o r m a z i o n e di coordinate L~ abbia la forma 13(1); a ('~ non contiene allora ~(r~. Questa indeterminata non appartiene percib all'ideale primo ~r~(r)~ a,'~. ~ e l caso quindi che questa intersezione non sia l ' i d e a l e (0), per 1' osservazione precedente si pub scegliere in essa l'elemento f(~("~)~ in modo che non sia divisibile per ~cr). (Si osservi, t h e a ~ ideale primo). In conseguenza, p e r it 1emma 1, si pub scegliere la ~ - t r a s f o r m a z i o n e di coordinate L'r+~ nella particolare forma 13(1); anche L~+~ allora ha la m ~ l ~ i m a forma. Le rimanenti considerazioni nella dimostrazione del teorema 20 rimangono invariate. --

W. THIMM: Teoria degli a~elli di ser~e di potenze

297

(c) Non appartenendo d u n q u e f - - ~ all' ideale primo p, si pub determinare u n a lb-trasformazione di coordinate 13(1) tale che p abbia u n a base di polinomi in ~ k , ~ - ~ ; essa m u t a f in Yx. A p e i - ~ (Yl) si pub applieare il teorema 36, essendo y x • ~ k . La variet~t algebroide di (p, y~) consiste di componenti irriducibili di dimensione k - 1. Con cib ~ dimostrato il teorema 37 nel caso particolare di una forma lineare f. (d) Rieondueiamo ora il caso generale al caso partieolare giSt dimostrato, mediante il seguente artifieio: Sia xn+~ u n a nuova indeterminata. Ogni elemento f dell'anello delle serie di potenze ~,~+~ -- ~[[~,z+~]] ~ univocamente rappresentabile nella forma f ---- fo ~ ~,,+1/1 con [a • ~,~ ed f~ • ~ , + ~ . Oonsideriamo in ~ , + ~ !' ideal•

p(~)

-

-

(p, ~,,+~). (1) p(1) ~ un ideal• primo di ~,,+1.

Se infatti f . g con re, g o e ~ e 0 r a deve essere f o e p oppure g e e

• p(~) con f, g • ~ n + x , si ha f -- fo ~- ~c,~+~.f~ e g ---- go ~ ~c,+~g~ f~, g~•15,,+~. Di qui segue re'go ~- mn+~hepO) con h e [ S , + ~ . f o ' g o e P ; e poich~ p b u n ideal• primo ne viene ehe o p. 5Tel primo ease ~ fep(~), nel seeondo g ep(~).

(2) Le dimensioni di 0 e p(~) coincidono. Avendo p una base di poIinomi nell' anello ~k,,,-~: -- ~:[y~+x, y~+2, ..., Y,~], P(~) ha una base di polinomi nell' anello ~k,,~+~-~ -" ~ [ y ~ + ~ , y~ ~2, ..., y~, Y,~+~] con y~+~ -- x,+~. I precedenti risultati si possono invertire nella seguente f o r m a : (3) Se q(~) ~ un ideale primo in ~ , + ~ , diverse dall'ideale principal• (x,+~), ed b x,,+~ e ~](~), allora q -- q(1) N ~ , e un ideal• primo di ~,~ avente la medesima dimension• di q(~). Se F~, F~, ..., F~ ~ una base di q(~) ed ~ F~--f~-~-x~+xFi con /~ e ~5,,, allora ]'1, f2,..., f~, ~c~+~ eostituiscono una base di q(1). E allora q - - ( f ~ , f2, .,., f~) e q(~)--(q, a~,~+~). Da 1.3. (b) e (2) seguono era le nostre affermazioni. (e) Sottoponiamo l'anello dell• serie di potenze ~n+~ alla trasformazione formalin•ate pseudoconforme : i " - 1 , 2, ..., n,

(1) ~.+~ = oo,,+, + f(xl, x2,..., x~).

P e r essa l ' i d e a l e primo p(~)- (p, ~,~+,) si m u t a in un ideale primo p* della medesima dimensione k, err. il teorema 9. Uostruiamo l'ideale (p*, z,, ,1). ~,+1 appartiene a p* se e soltanto se f e p . F a t t a astrazione da questo easo eceezionale, la varietst algebroide M(p*, z~+l) per la validitst del nostro teorema giSt dimostrata nel caso particolare di cui in (o), consiste di componenti irridaeibili M(qi*), i - " 1, 2,..., r, di dimensione k - - 1 . Eseguendo in senso Annali di Maternatica

$8

298

W. THIMI~I: Teoria degli a~eili di serie d~ potenze

inverse la trasformazione (1), da q¢* si ottenga l'ideale primo ( k - - l - - d i m e n s i o n a l e ) q~(~) (per i -- 1, 2, ..., r). Da (p*, z,,+~) C q~* segue : (p, x,,+~, x,+~ ~ f) C qi(1) e quindi (p, f ) C q~ ~-q((~)C~ ~),. 3Taturalmente nessun ideale q((~) pub coincidere con 1' ideale principale (~,,+~). Come ~) state dimostrato in (d), gli ideali q( sono primi e hanno la dimensione k - 1. Segue inoltre:

(2)

M(qj u M(q~) u ... u M(q,.)C .~(P, f).

Vieeversa sia q un punto~di M(p, f). Allora 6 (p, f ) C q e in ~ , + ~ :

(P, x.+~, i) C (q, x.+~) = q(~>. Di qui si ha a n c o r a :

(p, ~c,+~, :~,,+, + f) C q<~>. Dopo la trasformazione (1) cib significa t h e ; (P*, ~.+~) C q*. P e r quanto visto in (d) q(1), e pereib q*, ~ u n ideale p r i m o ; e allora q* un punto di u n a delle variet~ algebroidi M(q~*), sia ad es. di M(ql*). Da q~* C q* viene ora q~(~)C q(~) e inoltre per intersezione con ~,~ : ql C q, eio6 q appartiene ad M(q~). Da cib e da (2) segue infine l ' a f f e r m a z i o n e del teor e m a 37 :

.~(p, f) = M(qJ u M(q,) u ... u M(q,.). 13.3. Come complemento al teorema 37 stabiliamo un procedimento per la determinazione delle componenti irridueibili di M(p, /), f una non-unit~ di ~ n . Quando f non appartiene a p esiste, per il teorema 24, corollario 3, un polinomio irriducibile in f : 18(2) con eoefficienti in ~ k , appartenente a p. a non appartiene a p e si chiama l a n o r m a di f rispetto a p. Siceome f non ~ una unit~ di ~ , , , la norma non ~ u n a unit~ di ~ k , efr. 9.2. La varietk algebroide M(p, a) sia formata dalle eomponenti irriducibili, di dimensione k - - 1 , M(p~), i - - 1 , 2, ..., r. f po~rebbe stare in Pl, P~,..., P, e non in P,+I, Pe+~,..., Pr e allora 6: .~(p, f) = M(p~) u M(p,) U ... U .~(p,).

W. THIM~: Teoria degli anelll di serie di potenze

299

Per dimostrarlo, si osservi che da (p. a ) C (P, f) segue M(p, f ) C M(p, a). E siccome anche M(p, f) b l'unione di varietfi algebroidi irriducibili di dimensione k - 1, /~ vero quanto affermato. P e r d e t e r m i n a r e M(O, f), si consideri la n o r m a a di f rispetto a t) e si determini M(p, a). Dope cib M(O, f) consiste di quelle componenti di M(p, a) su cui si annulla f, cfr. [15], pag. 123. 13.4. Una ulteriore applicazione del teorema 37 ~ in relazione con una nuova caratterizzazione invariante delia dimensione di un ideale. TEORE~A 38. Sia ~ u n corpo con infinili elementi ; e sia a un ideale nell'anello delle serie di potenze ~ , , . L a dimensione k di a ~ caratlerizzata dalle due seguenli propriet~: (1) Esislono in ~,, k serie 1"1, fz,..., fk, the non sono unita di D,,, tali ohe l'ideale (a, fl, 1'2, ..., f~) ~ u n ideale primario dell'ideale massimo r e - - ( x 1 , x2,..., xm) di ~ , , . (2) Non esistono meno di k serie in ~,, con la medesima proprietY. Con la terminologia delle varietk algebroidi il teorema 38 si e n u n c i a come segue : La varieth algebroide M(a) ha la dimensione k, quando k ~ il pi~ piccolo n u m e r o tale ehe per k serie fl, f2, ..., f~ che non siano unittt, 1' intersezione • M(a) N M(f~) N M(fs) N ... N M(fk) coincide col punto m - - (x~, ~2,..., ~,). Enuneiato il teorema in q uesta forma, si riconosee che b sufficiente dimostrarlo per un ideale primo p. S i a p a k dimonsioni ed abbia una base di polinomi nell' anello ~ , n - k . Si ponga f~ - - y~, f2 -- Y2, ..., f~ -- yk. Dato che p contiene il polinomio pk~-j, ] " - 1 , 2, ..., n - k, delle potenze di yk÷~, y~+2,..., Y, giacciono in (p, y~, Y2, ..., Y~); percib questo ideale b u n ideale primario di nt. D'altra parte segue dal teorema 37 che 3/(p, f~, fs, .... /'~) per arbitrarie serie f~, f~, ..., f~ nel c a s o v ~ k - - 1 eontiene soltanto componenti irriducibili di dimensione ~ k - - v ~ 1.

§ 14. - L e f a l d e

dt

una

variet~t

algebrlca.

14.1. L'applicazione della teoria delle serie di potenze alla geometria algebrica si basa sopra i teoremi di estensione del § 8, cfr, [4], pag. 147, e sopra la teoria della funzione norma. Sia ~ un corpo. Nell'anello di polinomi ~ n * ' - ~ [ $ 1 , x2, ..., x.] sia a* u u ideale, il quale definisca u n a variet~t algebrica M*(a*). II nostro scopo ~ lo studio delle proprietor ]ocali di M*(a*), cio~ delle proprietor d i M * ( a * ) n e l -

300

"~V. THIMM: Teoria degli anelIi di scric di potcnze

t'intorno di un punto. Senza venir meno alla generatit~ si pub scegliere questo puuto come origine dello spazio i x~, 0e~, ..., x.,, !, poich~ ogni altro punic i x~, x~,..., w,o} si pub ricondurre ncl puuto 0 mediante la trasformazione : 14(l)

xi' : xi -- w,o,

i:

1, 2, ..., n.

lridic~,ndo con ,V~' V~deale (xl, x2 .... , x,,), a* + eontenuto in ,x*. P e r il teorema 22 a* ~ intersezione di ideali b* e C*, dove b* non ha alcuna componente primaria ~t* per cui (it*, ,X*)----~,** ed ~ inottre (¢*, ,x*) -----~3~*. Se ora a - 15,,.a* i~ l'ideale estensione di a* nell'anelio delle serie (formale) di potenze H3,,, risulta, per il teorema 22: 14(2)

a O ~ . * = b*.

14.2. Oonsideriamo pifi da vicino Fideale b*. Considerazioni geometriche suggeriseono di non prendere in esame quelle eomponenti di M*(a*) che non contengono il punto 0 ; esse non hanno interesse per le nostre 6onsiderazioni locati. P e r l'estensione b - - ~ , ~ , b* di b* in ~,, vale allora la relazione: 14(3).

b (3 ~ * = b*.

Sia M(b) la variet~t algebroide di D; pensiamo di decomporla in componenti irriducibili, cfr. 10.4: 14(4)

~ ( b ) = M(31) U M(3~) U ... U M(3~) ;

qui ~ 3t (per i - - 1 , 2,..., r) u n ideale primo di ~ n . Le variet~ algebroidi M(5~) si chiamano le falde della variet~ algebrica M*(a*) nel punto 0. 14.3. P e r scoprire propriet~ piit riposte delle falde di una varieth algebriea, ~ necessario avere di esse una migliore c onoscenza. Noi supponiamo ehe ]~ sia un eorpo con infiniti e i e m e n t i ; e per semplieit~t supponiamo pure che ~ sia algebrieamente chiuso.' Questa ipotesi si pub in realt~ evitare, pensando ~ come corpo ~ crescente >>, che d u r a n t e un ealcolo si pub ampliare algebricamente quante voite occorre, cfr. [20], pag. 105. Assumiamo inoltre un ideale primo p* di dimensione k, alla base delle nostre eonsiderazioni. Con queste ipotesi vale il teorema di normalizzazione, [4], pag. 134. Esiste una ~ - t r a s f o r m a z i o n e di coordinate 1415)

(y),, - - L(~)~

tale ohe p* eontenga un polinomio irriduoibile in Yk+i (per i = 1, 2, ..., n - - k) con ooefficienti in ~t~*--n3[Y~, Yz, ..., Yk] e coefficiente del termine di grado

W. T H ~ :

Teoria degli anelli di serie di potenze

301

m a s s i m o u g u a l e 1, ad m e n t r e risulti p* ~ ~ : * ~ (0). D o p e q u e s t a normalizzazione, sulla variet~t M*(O*) le q u a n t i t ~ y~+j sono a l g e b r i c h e intere sopra ] ~ * . Esiste allora la funzione n o r m a (cfr. 12.1) a ) ( p * ) - - ¢ ( ~ , u~+,, u~+~, ..., u , , (y)~,) ehe ~) il polinomio i r r i d u e i b i l e dell'anello ~b[y~, y2, ..., y~, u~:+~, u~+~, ..., u,~, z] a v e n t e lo zero : 14(6)

~ -" Uk+~k+~ + U ~ + ~ + ~ ~- ... -k U,,~,~,

dove ~ + i

indica la classe resto di y~+t rood p* nell' anello ~,,*/p*.

14.4. Se a p p l i c h i a m o il t e o r e m a 34 a l l ' i d e a l e p* con R - - ~ * , essendo i -- (Yl - - ?~1, y2 q !)s, ..., Yk - - ~ ) , e s u p p o n i a m o che ogni ideale p r i m o di ~ * di d i m e n s i o n e 0 [sopra il corpo a l g e b r i c a m e n t e chiuso ~ ) a b b i a la f o r m a ( Y l - ~ , y 2 - ?]2, ..., y n - .@,~), allora otteniamo i risultati seguenti : (a) Essendo (~/)~ u n p u n t o di M*(p*), 14(7)

z - - u~+~)k+~ - - u~+2~k+~ - - ... - - u,~,~

risulta divisore del polinomio : 14(8)

(I)(z, uk+~, uk+~, ..., u , , (!))k).

(b) Per u n arbitrario gruppo di valori (~/)~: il polinomio 14(8) si decom. pone nel prodotto d i fattori !ineari 14(7), in mode the ~k+~, ~)~+~, ..., ~ , sono indipendenti dalle uk+j e ffj)~ ~ u n p u n t o di M*(p*). I n t r o d u c e n d o in p a r t i e o l a r e in (I)(p*) i valori y l ottiene un prodotto di potenze di fattori l i n e a r i : 14(9)

O, Y2 "--O, ..., y k - " 0 si

z - - u k + l y ( ~ __ u~+~y~:+2(i>__ ... __ u,y(~).

I punti P ~ , - i(O)~, ~,(z) y(X) ... y(~,) ~ stanno su M*(O*). T r a questi fattori lineari c o m p a r e a n e h e z, pereh~ il p u n t o 0 a p p a r t i e n e ad M*(p*). 14.5. II s e g u e n t e t e o r e m a porge u a metodo p e r la d e t e r m i n a z i o n e falde di u n a varietk a l g e b r i e a per mezzo della funzione norma.

delle

TEORE~IA 39. S i a ~ u n ¢orpo algebricamente chiuso (vfr. 14.3.) ; e sia p* u n ideale p r i m o a k dimensioni nell'anello di polinomi ~ , * - - ~ [ x l , x2, ..., x~]. Il p u n t o 0 di coordinate w l - " O, ~c2 : O, ..., ~ , ~ - - 0 appartenga alla variet~ algebriva M*(O*) di p*. Dope la O - t r a s f o r m a z i o n e di coordinate 14(5), p* abbia u n a funzione

302

W. THI~t~: Teoria degli anelli di serie di potenze

norma (I)(p*)= ¢(z, u~+~, u~+~, ..., u~, (y)~), che ~ u n polinomio dell' anello ~[y~, y~, ..., y~, u~+x, u~+~, ..., u,,, z], cfr. 1~.3. [ndieando con l~: l'anello delle serie di potenze formale ~[IY~ , Y~ , ..., Y~]], q)(P*) in quanto polinomio dell' anello ~ [ u ~ + ~ , u~+2, ..., u , , z] sar~ in generale riducibite. S i a

14(10)

(I)(p*) = H (Ft~

la sua deeomposizione nei fattori irriducibili in questo anello. Per ~ = 1, 2, ..., m, ~ d u n polinomio in z con coefficiente del termine di grado massimo uguale ad,1, i cui ulteriori coefficienti appartengono all'anello ~ [ u ~ + ~ , u~+~,

(a) Ogni polinomio WI,. d la funzione n o r m a di u n ideale primo q~ def. i' anelto di polinomi ~ , ~ _ ~ = ~ [ y ~ + ~ , y~+~, ,.., yn]. (b) II fattore q~¢~.abbia la propriet~ seguente : Mediante la sostituzione yx = O, y~ -- O, ..., y , = 0

14(11)

il polinomio Wz si m u t a in u n a potenza di z. Allora l'ideale qz estensione di q~ nelt'anello delle serie di potenze 9 , e un ideale primo di i ~ , . Vale la relazione

14(12)

~[X -- 0,9. n ~)~:,n-.~.

(c) Siano ej~. (per ~ = V.~, ~t~, ..., ~h) quei fattori in 14(10) che, con la sostituzione 14(11) si riducono a potenze di z. Dato che, per quanto visto in (b), l'ideale p r i m o qx appartiene a lI;x, le variet~ algebroidi M(q~ ) sono le falde di M*(p*) nel p u n t o O; in altri termini: Indieando con p l'ideale esteso ~ , . p * di p* nelt'anello deUe serie di potenze ~,,, la variet~ algebroide M(p) ~ l'unione delle variet~ atgebroidi irriducibili M(qz), p e r ~ = its, ~ , . . . , ~n. (a) Sia ~* uno zero di W~ in u n ampliamento algebrico del corpo quoziente di Ok[u~+~, ..., u,~], o p p o r t u n a m e n t e scelto. Dalla propriet~ risultante della funzione n o r m a 12.2 segue, come nella dimostrazione del teorema 34, che (1) ~* = u k+~'Ok+~ * + U~:+~'~k+ * ~ + ... + u n'~ n* dove

le

quantit~

~+~

sono

indipendenti

dalle

uk+i,

e

il

sistema

~*--{ ~k+~,_~k+~,'", * • ~,,• } ~ uno zero di P% La tota|it~ di tutti i polinomi

delFanello ~ , , v - k , che si a n n u l l a n o in ~*, i~ u n ideale primo ehe indichiamo con ~ ; cib p o s t o si ha 14(13)

~ , , , - k • P* C ~ll~'

~V. THIMI~I: Tcoria degli a,nelli di serie di p o t e n z e

303

_W~. in quanto polinomio irriducibile con lo zero (1) i~ la funzione n o r m a di q+; con cib ~ dimostrato il punto (a). (b) Dimostriamo che q) soddisfa alle ipotesi del teorema 23. (1) Sotto le ipotesi (b) sopra W~., l'ideale di a n n u l l a m e n t o ~z di W). contiene per ogni i - " 1, 2, ..., n - k u n polinomio ~o~+j (Yk+it(Y)k) dell'anello ~ [ y ~ + j ] , cfr. 12.4. (b); e questo polinomio si riduce, dope la sostituzione 14(1t), ad una potenza di Yk+i e quindi ~ privilegiato sopra ~ . Poich~ ~). C q~., le Pk+i appartengono anche a ~). (2) Dall'ipotesi sopra W~ inoltre consegue che ax ~ contenuto nell'ideale (y~, y~, ..., y , ) di ~k,,L._k. Percib se chiamiamo W l'ideale (Yk+~, Yk+~, ..., y~)

di ~ , , ~ - k , abbiamo (82., W)=~=~k.~--k. Siccome per un intero m, fissato, vale ~t~mCa~. (cfr. 12.4. (e)), otteniamo (q~"~, W):4=~,,~-~ e pereib finalmente (1) e (2) mostrano, t h e l'ideale q). soddisfa alle ipotesi valide per ¢1 nel teorema 23. Da questo teorema consegue la parte (b). (c) Dalla 14(13) segue per 1' es~ensione in ~,~ t h e p C q~. D u n q u e qx a n punto della variet/~ algebroide M(p). Ora sin ~ un punto di 2~(p). I1 nostro scopo ~ di dimostrare che=9 b un punto di una delle variet/~ algebroidi irriducibili M(q0 per ; ~ - I~1, t~,..., ~ . Da p C ~ segue per interse~ione con ~k,~k : =

n

c

=

n

.

P e r le ipotesi fatte su p* (err. 14.3.) ed essendo O * C P si ha in eonseguen~a del t.eorema 14, che g ha u n a base in ~k.,~-k; l'estensione di ~ in ~,, coincide quindi con 0 :

(3)

=

0.

Sin a* l'ideale di a n n u l l a m e n t o d i ag(p*) nell'anelto ~n*, e sia a--~k,,~--k'a* la sun estensione in ~k,,,--k. Da a * c p* e p C ~ segue ~t C 0. Sostituiamo era nel prodotto 14(10) a z la somma Uk+lyk+l ~- U~+2yk+~ ~- ... -~- u ~ y , , e poi applichiamo all'ideale primo ~ ed al prodotto trasformato il seguente note teorema di algebra, cfr. [12], pag. 8 : Siano P ( v l , v~, ..., v~) e Q(v~, v~, ..., v~) d u e polinomi helle indeterminate v l , v~, ..., v~ con coeffieienti in u n dominic d ' i n t e g r i t h R. Se tutti i coefficienti del prodotto P . Q appartengono ad un ideale primo di R, allora tutti i eoefficienti di P o di Q devono essere contenuti in questo ideale primo. Questo teorema dimostra che ~ eontiene almeno uno degli ideali di a n n u l l a m e n t o dei fattori in 14(10). Sia WI~ uno di quei fattori, cio~, per

304

-~V. THISIM: Teoria degli a?~elli di serie di po$enzc

l'ideale di annullamento ~i~ di W~, si abbia: (4)

a~ C ~.

In forza della 12(11) per una potenza fissata di q~ vale la relazione: q ~ C a ~ e per la (4) anche q ~ C ~ . Siecome ~j ~ ideale primo, ne eonsegue:

he c ~.

(5)

Vogliamo ora dimostrare, ehe ~ ~ uno degli indiei ~ , ~ , ..., ~n. A tale scopo mostreremo, che sostituendo in lice 14(11), ~i~ si m u t a in una potenza d i z. L'ideale ~ si annnlla per y~ = 0, y ~ - - 0 , ..., y , - - O , e, per la (5) ¢iF gode della medesima proprietor. Introducendo in ~ i valori 14(11) si ottiener per 14.4 un prodotto ~ o di p0tenze di fattori lineari 14(9), fra i quali ~ anche z, per quanto or ora dimostrato: (6) ~ 0 = ~ d ~ i u k + ,

' ..., u . , (0)k)

~=0 ~

c~.)

.

.Iz.)

.,o,.)

Si ha ~q>=l. Dobbiamo dimostrare ehe il seeondo membro della (6) ~ una potenza di z. La dimostrazione verrk data per assurdo, supponendo ~ a ~ l .

Senza

limitare la generalit~t del teorema inoltre possiamo supporre che esista un indice j, tale che y~Z~i~=O per ogni r - - 1 , 2,..., s. ]nfatti, essendo i punti Pz, ={(O)k' YkT~' Yk+2'"'' Y,, ! tutti diversi dal punto O, si pub trovare una [~-trasformazione delle coordinate y~+~, y~+~, ..., Y-, tale t h e p. es. le k + i-coordinate di essi siano diversi da 0. Si osservi che u n a ~ - t r a s f o r m a zione delle n - k ultime coordinate non altera i risultati (a), (b), (e)del nostro teorema. I n forza della 12.4 (b), t'ideale di annullamento a e di ~ e eontiene u n polinomio q~+i di Y~+i con coefficienti in ~ , e con eoeffieiente del termine di grado massimo uguale ad 1. Questo polinomio qk+i ~ una potenza di un polinomio irriducibile Pk~i dell'anallo ~k[y~+t], cfr. 12.4. (b). Per y~ - - 0, Y2 -- 0, ..., y k - 0 il polinomio qk+i si m u t a in $

(7)

~/k+i~k+j ] (O)k) = y~+j ~° II ( Y k + j - ~k+i' ,,(~") ~ . ' err. (6).

Siecome q~+i ~ una potenza di p~+j, abbiamo per la medesima sostituzione : $

(8)

Pk÷i(Y~+/I (0)k) -- Y~-i II (Yk+i - - ~k+j~

XV. TIII.~.~I: Teoria degti a~elli di .~erie d~ pote~*ze

305

8

con ~o >~ 1 e ~ ~r >= 1. Appliehiamo ora il lemma di I{EI~ISEL (teorema 10) al

ho-

polinomio

P~+i (Yk+i [ (y)k). Questo

polinomio,

posto

g o - - Yk+it~° e

H ( Y k + i - Y~i) ~, soddisfa alle ipotesi del lemma di HE~TS:EL. Infatti go

e ho non_ hanno un divisore comune essendo ~' (~') -4Yk+] -1--O, per ogni r = 1, 2, .,., s. Pereib Pk+i ~ prodotto dei polinomi g(Yk+i I (Y)k) e h(y~+j I (y)k) di 15k[yk+i], di gradi ~ o ~ 1 e E ~ , ~ l rispet~ivamente. Questo risultato eontraddice il fatto ehe P~÷i sia irriducibile in ~k[Y~+j]. Cosi ~ dimostrata la nostra affermazione ; cio~ la funzione norma /I2 si muta, per la sostituzione 14(11) in una potenza di z, e quindi ~ ~ uno degli indici ~t~, ~t2.... , ~th. P e r quanto asserito in (b), e gi~t dimostrato, ed in forza delle (3) e (5), eonsegue, mediante estensione in ~ , , ehe ql~C 6. Allora ~ i~ un punto di M(qe), per eui I~ ~ uno degli indici ~ , ~2,..., ~t~. Ogni punto di M(p) appariiene quindi ad una M(qz) per ) . - ~t~, i~ .... , rt~. In eib eonsiste appunto l'affermazione (e). 14.6. Dal teorema 39 segue immediatamente il TEOREMA 40.

~O Yt

La dimensione di ogni falda di una variet~ algebrica irriducibile coincide la dimensione della varlet& stessa.

14.7, Come punto generale di una variet~t algebrica M*(p*) si intende un punto ~, t h e abbia la s e g u e n ~ proprietfi.: Se f* ~ un polinomio dell'anello ~,**, ed i~ f*(~)--0, allora f* appartiene a 0% TEOREMA 41.

Ogni falda della varieth algebrica irriducibile M*(O*) ~ punto generale di M*(O*). Supponiamo t h e p* sia normalizzato, secondo quanto esposto in 14.3 ed usiamo le notazioni delle 14.3. e 14.5. Sia M(5 ) una f a l d a di M*(O*). Senza venir meno alia generalit~t possiamo supporre ehe M(3 ) sia una falda passante per il punto 0, (err. 16.1.). Colle notazioni di 14.5, sia 3 - - q ~ . Sia f* un polinomio dell'anello ~,**, che si annulla su M($). Secondo la definizione 10.5, cib equivale alla relazione:

(1)

f* e ~

.

Da essa segue :

(2) AnnalJ di MaternatiCa

39

306

W. T H I ~ :

Teoria degli anel, ii di aerie di potenze

Per dimostrare che f * e p * , proeediamo per assurdo. Dalla normalizzazione di p* consegue che f* ~ algebrico intero sopra ~,~*/p* e quindi esiste an polinomio irriducibile di f * : F(f*) - - / * ~ ~- c~f *~-~ ~- ... Jr c~_lf* + c~ ,

con vz~[~k* per ) . - - 1 , 2, ..., m, il quale appartiene a p% Per l'ipotesi della nostra dimostrazione per asaurdo, abbiamo ~,, :4:0. Ora essendo P * C qx (err. 14.13.) e ~)~* C ~ k , la relazione F(f*) e p* pub essere considerata come una equazione F ( f ¢ ) e qx. Se passiamo in q~le~ta equazione alle classi resto rood ~ , per la (2) otteniamo cm ~qz. Questa relazione ~ incompatibile colle propriet~ di q~, contenata nei teoremi 39 e 40.

CAPITOLO II. SERIE DI POTENZE CONVERGENTI § 15. - L ' a n e l l o

delle

serie

di potenze

convergenti.

15.1. I1 seguente passaggio ad anelli di serie di potenze convergenti vuole chiarire quali nuo.vi aspetti acquista ]a nostra teoria, finora algebrica formale, in forza dell'ipotesi della convergenza. In questo capitolo l'anello dei coefficienti ~ sarlt il corpo dei numeri complessi. Tra le propriet~ di questo eorpo, quelle dalle quali dipende l'estensione della teoria finora svolta sono le seguenti: A. Propriet~ algebriohe.

1.) Il corpo dei numeri complessi ha caratteristica nulla. 2.) I1 eorpo dei humeri complessi ~ algebrieamente ehiuso. B. Pro~riet~ lopologivhe.

1.) I numeri eomplessi posseggono un valore assoluto con le note prol~iet&. 2.) L ' i n s i e m e dei numeri complessi ~ complete, nel sense che vale il criterio di convergenza di C~ua~Y. 15.2. Non ~ nostro compito sviluppare qui la teoria della eon~ergenza delle aerie infinite ; tale eompito spetta all'analisi. 1%i utilizziamo la segaente definizione di aerie di potenze convergente: La aerie di potenze 15(1)

f -"

CO

00

~

~, ... ~ a~,...~,~'~,2 ~ ... xM~, ,

/x=O i l ~ o

i~o

W. THIMM: Teoria degli anelli di ser~e di potenze con coefficienti eomplessi, si dice convergente, se esistono n + ~ > O, ¢~2> 0,..., ~,~ > 0 e C > 0 tati che si abbia 15(2)

I

...

307 1 numeri

,

per tutti J valori delle il, i2,..., in da 0 a ~ . 15.3. Se si tenta di applicare i risulta,ti della teoria formale alla teoria delle serie convergenti di potenze, si incontra subito la difficolt~ ehe il tee" rema fondamentale della prima teoria, il teorema 1, non vale piii nella seconda. Le dimostrazioni dei teoremi principali della teoria formale, eiob dei teoremi 2, 3, 4, 6, 7, 10, 11, devono percib essere rivedute. Come risulta palese dalla definizione di eonvergenza qui adottata, il metodo pifi opportune helle dimostrazioni ~ quello della maggiorazione. La sua efficacia proviene dalla semplice proprietK t h e d a l l ' a s s o l u t a convergenza di una serie infinita di numeri complessi segue la sua convergenza. Con i metodi noti della teoria delle serie infinite si dimostra t h e somme e prodotti di serie infinite convergenti sono convergenti. Ne s e g u e : TEOR~M~. 42.

Le serie convergenti di potenze dell' anello ~ , formano un anello. 15.4. Col metodo della maggiorazione si prova anche il seguente teorema, ehe costituisce il termine di passaggio all'ordine d ' i d e e analitico. TEORE~A 43.

Sin f una serie di potenze convergente dell'anello ~,~. Valgano le 15(1) e la 15(2). Sia ix1 °, x2°, .... x~ ° } un sistema di humeri complessi per il quale si abbia 15(3)

] xi ° L < ~i

(i - - 1, 2, ..., n).

Allora la serie infinita 15(4)

fo-- Z

~.... ~ ai~i.~...~(xlO)~l(x2o)i~... (x,~O)i~

il=O i.,2=0

i~i=o

risulta convergente. La possibilit~ di sostituire sistemi di valori nelle serie di potenze ~ la pifi importante estensione del metodo finora pnramente formale. Si rieordi t h e n e l l a teoria formale il solo sistema t h e si poteva sostituire e r a i l sistema null(L Ora inveee si possono ricercare l ' i n s i e m e degli zeri di u n a serie di potenze; questo nuovo ordine di questioni riehiede un nuovo ripe di terminologia e di notazioni, e precisamente quello della topologia e della teoria delle funzioni.

308

~V. Tz4Iaz~,r: Teo,ria degli oJ~elli di aerie di potenze

Gonsideriamo era le indeterminate w~, x s , . . . , ~,~ come variabili e parliamo del punto di coordinate x~, x2, ..., x , hello spazio complesso C,~ di dimenstone n. Dope di t h e possiamo utilizzare tutti i concerti della topologia.

!5.5. Mediante concerti topologici possiamo precisare la definizione 15.2. ; premettiamo talune notazioni: I1 eampo cilindrico 15(5)

] x~ [ < t~, t~ > O,

(i -- 1, 2, .... n)

sar~ denotato con 3(f))----5(~),~----3(P1, pz, ..., Pn); con 3(p),, sar/t indicate il sue involucre ehiuso 15(6)

Tx~ I -~ P~

(i -- 1, 2, ..., n).

L a aerie di potenze f data dalla 15~1) si dice convergente nel campo cilindrico 3(t~),, se per ogni 0 < as < t~, i ~-1, 2, ..., n, valgo.no limitazioni del tipo della 14(2), nella quale C pub dipendere dalle oh, %, ..., an. In questo ease ehiamiamo 3(•),, u n oilindro di convergenza di f. Sla f una aerie di potenze convergente, f possiede un campo di conver. gensa (assoluta), cfr. [15], pag. 38. L ' i n t o r n o di questo campo sia indicate con 1R(f). ~ chiaro che 1R(f) contiene un cilindro di convergenza 5(•)s. In 1R(f) ai pub eoncepire f come funzione delle n variabili complesse x l , x 2 , . . . , xM, definita nel mode s e g u e n t e : Se a:° ~ i x l °, x, °, ..., x,~° } 6 un punto di lR(f), allora il valore della funzione f nel punto x ° s i a il numero complesso fo in 15.4. La funzione f si dice olomorfa in 1R(f). Poich6 essa 6 definita per era solo nell' interne 1R(f) del sue campo di convergenza, si pone la questione di estendere eventaalmente la sua definizione a campi pifi ampi. Questo problema 6 connesso con queilo del proiungamento analitico, ma fa parte di un ordine di problemi di cut qui non ci occupiamo, in quanto not puntiamo esclusivamente a risultati validi in un interne - - del resto comunque piccolo - - di un punto di C,~. Limitiamo~ tie6 la nestra ricerca ai cosiddetti problemi locali. Si presenta qui di estremo interease l'iusieme degli zeri delle serie di potenze o degli id~ali di aerie di potenze. Uaiamo per tali insiemi il termine <
W. THIMM: Teoria degli a~lelli di serie di po~enze

309

15.6. TEOREI~IA 44. Sia f u n a serie di polenze convergente dell'aneUo ~,,, avente il cilindro di convergenza 3(~). S i a xo u n p u n t o di 3(~). Poniamo 15(7)

x~' = x~ - - xi °

(i - - 1, 2, ..., n)

si ottiene cosi u n a serie di potenze convergente f' dell'aneUo ~ ' ~ = ~[[xt', x2', ..., x',]], con u n eilindro di convergenza 3'(~') e che gode della propriet~ seguente : se u n p u n t o di 3(~) e se insieme con le 15(8)

~ ' = ~ - - xi °

(i = 1, 2, ..., n)

si ha ~' ~ 3'(~'), allora vale la relazione. 15(9)

f(~) = f'(~). C h i a m i a m o f' il prolungamento analitico di f nel p u n t o we.

L a d i m o s t r a z i o n e si ottiene s o s t i t u e n d o x~ -- x ( + x / n e l l a f(i -- 1, 2, ..., n) e o r d i n a n d o p o i f secondo le pot?nze delle x/. Tale o r d i n a m e n t o i~ c o n s e n t i t o d a l l ' a s s o l u t a e o n v e r g e n z e della serie (err. [i5], pag. 51). I1 concerto di p r o l u n g a m e n t o analitico si pub e s t e n d e r e agli ideali di serie di potenze. Sia a un ideale di serie e o n v e r g e n t i di potenze d e l l ' a n e l l o ~,~. P e r a esista u n a b a s e f~, f~, .... f . , i eui e l e m e n t i siano e o n v e r g e n t i in 3(i~). Sia ~o u n punto di 3(~) e fl', /2'...., f~' siano i p r o l u n g a m e n t i analitici di T~, f~, . . , f,, in x 0, L ' i d e a l e a' g e n e r a t e n e l l ' a n e l l o di serie di potenze ~,~' dagli elementi f~', f2', ..., fn' si dice p r o l u n g a m e n t o analitico dell'ideale a nel p u n t o we. 15.7. A p p l i c a n d o il t e o r e m a 44 si possono f o r m u l a r e con m a g g i o r generalit~t talUni risultati validi per le serie formali di potenze. Questa possibiliter d i p e n d e dal fatto ehe le serie e o n v e r g e n t i di potenze a m m e t t o n o un m a g g i o r n u m e r o di sostituzioni t h e le serie formali. P e r t r a s f o r m a z i o n e a n a l i t i c a i n t e n d i a m o u n a sostituzione ( x ) n - - T ( y ) m d a t a dalle f o r m u l e 15(10)

x~ -- g~(yl, y~, ..., y~,)

(v - - 1, 2, ..,, n),

nelle q u a l i le g~ sono serie di potenze convergenti. TEOREMA 45. Siaf u n a serie di pote~ze oonvergente deU'anello ~ , , . Sia (~),~ -- T(y),,~ u n a trasformazione analiti~a di equazioni 15(i0), tale che ii p u n t o yO appar. tenga all'interne del campo di convergenza di tutte le 8erie gl, g.~,..., g,z e

310

~V. THI~i~r: Teoria degli anelli di serie di potenze

the ~ o - T(yo) appartenga all'intorno del campo di oonvergenza di f. Allora f viene trasformata dalla T in una serie di potenze convergente dell'anello D[[y~ __ y[, y~ _ y.~, ..., y,, _ yo]]. La dimostrazione segue daI teorema di CAUClt¥ sull'ordinamento, applicabile alle serie assolutamente eonvergenti (eft. [15], pag. 51).

ehe

15.8. I1 teorema sulle funzioni implieite (Teorema 3) si pub enunciare ora al modo s e g u e n t e : TEOREMA 46.

NeU'anello O,+rn siano date le serie di potenze eonvergenli F~(a~, ~ , ..., a~,, y~, Y2, ..., Y,n) ( i - - J, 2,..., m), ohe si annullino net punto Im°, yo }, il quale appartenqa all'intorno del campo di convergenza di tutte le serie F~, i -- 1, 2, ..., n. It determinante funzionale ~(F~, F~, ..., F~) ~(y~, Y~, ..., y,,) sia diverso da zero in tale punto. Allora esistono m serie di potenze eonver. genti gl, g2,..., g,, dell'anello ~ [ [ ~ - xl °, x2 - - x 2 °, ..., x , --x,°]], tale ehe per i prolungamenti analitivi F~' delle F~ nel punto {a:°, yO} si abbia F ~ ' ( ~ I - - x~ °, x~ - - ~ o , . . . , w,, _ w o, g l ,

g ~ , ..., g , , ) = 0

(i - - 1, 2, . . . , m)"

Analogamente si generalizzano i teoremi 4 e 5. 15.9. II trasporto del teorema della base di RtiCKEI~T agli ideali di serie convergenti di potenze richiede un procedimento diverso da quello del § 4 ; infatti la dimostrazione di 4.1. non ~ pih valida. Secondo il procedimento di RtIOKERT si dimostra prima la validit~t d e l l a formula di WEIERSTRASS e del teorema di preparazione di WE~ERSTRASS nell'anello delle serie convergenti di potenze. TEOREMA 47.

Se si appli~ano a serie ~nvergenti di potenze le regole di caloolo ehe intervengono neU'applioazio~e della formula di Weierstrass ovvero del teorema di preparazioae di Weierstrass, si ottengono serie eonvergenti di poler~ze. P e r le sempliei dimostrazioni delia eonvergenza rinviamo a [1]. pag. 186.

15.10. Da questo toorema eonsegue il lemma di HENSEL per polinomi con eoefficienti eonvergenti nel modo seguente:

W. TH:M~:: Teo,ritt degli tt~el!i di serie di pote~,ze

311

Usiamo le notazioni del § 5, ma era F sia un polinomio con eoefficienti convergenti. Basta trattare il ease go(Y)= (Y--Yo) ~'. Dal lemma di HEI~SEL consegue una rappresentazione u n i v o e a :

(:)

F(y I (x)~) = G(y I (x)~). H(y I (x)~),

della quale finora sappiamo soltanto ehe i coefficienti di G e /-/ son6 serie di potenze formali. Tuttavia, sostituendo x~ -- 0, x.~ -- 0, ..., ~,, -- 0 in G, si ottiene (y - - yo)v e d H non si annulla per a~ - - 0, ~r2 - - 0, ..., a~k -- 0, y -- ~o. L a rappresentazione (1) coincide esattamente con quella ehe d~ il teorema di WE:ERS~rtASS, applicato ad F nel punto x~ - - 0 , a~2 -" 0, ..., ~ "- 0, y -- Yo. P e r il teorema 47, G e H devono essere detle serie di potenze eonvergenti in x~, ~v~, ..., vc~, y -- Yo. Percib i coefficienti di G e H in (1) sono convergenti. 15A1. Dope che ci siamo assicurati della validit'~ dei teoremi di WEIERS~RASS nel campo delle serie convergent] di potenze, si pub dimostrare il teorema della base per ideali di serie convergenti di potenze, seguendo lo stesso metodo che si utilizza per gli ideali di polinomi; cfr. [1], pag. 204 ovvero [5], pag. 142. T~,ORE~A 48.

L' anello delle serie vonvergenti di polenze ~ noetheriano. Conduciamo la dimostrazione per induzione eompleta rispetto ad n, numero delle variabili. P e r n - " 0 il teorema ~ vero, perehi~ ~ , essendo un corpo, ~ noetheriano. Si supponga il teorema dimostrato per gli ideali dell'anello delle serie convergenti di potenze in n - - 1 variabili. Sia a un ideale di ~,, e p un elemento di ~. Mediante la trasformazione di coordinate y - - L ( ~ ) sia p* ~p(L-~(y)) una serie privilegiata rispetto a Yn. L~ideale a sia trasformato dalla L nell'ideale a* di ~ , * y . Basra provare che a* b noetheriano. P e r la formula di Wt;IERSTRASS ogni elemento f* di ~ , * ammette -E * una rappresentazione del ripe f * - - h ' p * ~ f con h*GD,~* e f D~-~[Y~]Inoltre il grade del polinomio f in y~ ~ minore di r, se mediante la sostitu~ione y~ ---- 0, y~ --- 0 ..., Yn--~ ~ 0 la serie p* si riduce a ~ . y , " (~=l=0). Se applichiamo tale formula a tutti gli elementi di a, i eoefficien~i di y , " - z nei polinomi formano un ideale in D * - : . P e r l'ipotesi di induzione questo ideale ha u n a base finita y~, y~,..., ys. P e r ogni y~ scegliamo in a* un polinomio g~ contenente l ' a d d e n d o y~y."-~. 0gni elemento di a* ~ rappresentabile come somma di un elemento dell'ideale a ~ * - - ( p * , g~, g~,..., ga) e di un polinomio in y . di grade minore di r - - 1 . Ammettiamo era eli aver scelto gli elementi P*, gx, g~, .... gt nell'ideale a* in mode tale che ogni elemento f* di a* sia somma di un elemento dell'ideale lI~*--(lo*,g~, g~, , gt) e di un p01inomio in y , di grade minore di r - - i . Se t * deserive l'ideale a*, i coefficienti di y ,.-i-~

312

W. Tm~xM: Teoria degH anelli di serie di pote~ze

P e r 1' ipotesi di induzione in tali polinomi deserivono un ideale in ~,~_~. * tale ideale ammette u n a base finita "ft+~, ?t+~, ..., Yu; sia allora gt+i un polinomio in a* t h e contiene 1' addendo yt+iy_n"-~ ~. Ogni Memento di a* somma di un Memento dell'ideale $[*+~-- (p*, g~, g2, ..., gu) e di un polinomio in y,, di grado minore di r - - i - - 1. Poich6 per i - - r ~ l si ha 8r-i * : ~*, abbiamo costruito una base finita per It% 15.12. I risnltati di questo paragrafo si possono eosi r i a s s u m e r e : Tutte le pifi importanti operazioni di calcolo della teoria degli anelli di serie di potenze non fanno uscire dall'anello delle serie convergenti di potenze. Gli ulteriori teoremi sulle serie formali di potenze contenuti net paragrafi 6-12 sono ora conseguenza di questi risultati; essi valgono d u n q u e anche netl'ipotest che tutte le serie di potenze che intervengono siano convergenti. Se d u n q u e tutta la teoria degli ideali di serie formali di potenze si pub trasfet i r e al caso ora trattato, ~ tuttavia da tener presente che le ipotesi pitt strette che ora si ammettono portano a nuovi e n u n c i a t i ; ed ~ facile immaginare in quale direzione siano da ricercarsi tali nuove proprieth: saranno quelle t h e si riferiscono alle proprietk topologiche degli insiemi di zeri degli ideali di serie di potenze.

§ 16. - V & r i e t k

analitiche.

16.1. II c0neetto pii~ adatto allo studio degli ideali di serie di potenze eonvergenti mediante metodi geometrici ~ quelto di germe di insiemi. Sis R uno Spaz!o topoiogico e P un punto di R. Gli insiemi di punti, 1 ~ ed ~ 2 , di R, si dicono equivalenti in relazione a P quando esiste un intorno U(P) di P, tale c h e s i abbia

16(1)

~

f ~ U(P) = 1 ~ ~

U(P).

Lo elassi determinate da questa relazione di equivalenza si dicono germi di insiemi. Si defiuiscono pot, in m a n i e r a univoca, le unioni e le intersezioni di germi, come le elassi determinate d a l l ' u n i o n e e dall'intersezione di insiemi rappresentanti i germi considerati. 16.2. A not interessa u n a partieolare elasse di g e r m i di insiemi. Perverromo ad esaa dopo aver definito il concerto di varieth analitica. Sis C, lo spazio eomplesso d i dimensione n. Sia Pc un punto di C,,, di coordinate {xl °, x~°. ..., z , ° t . Con [5.(P0) indicheremo l'anello delle serie con. v e r g e a t i di potenze di a ~ l - a:~°, x ~ - w o, ..., x n - x n ° i s i a n o t'1, f~, ..., f,, funzioni di ~ n ( P o ) ; sia U(Po) un intorno di Pc, il quale giaecia nel campo di

~V. ,THIM~I: Teoria degli (luelli di eerie di potenze

313

convergenza di tutte le serie f~. Si chiama variet~ analitiva in U(Po) l'insieme degli zeri comuni d i f l , f2,..., f,., i qaali stanno in U(Po). Un germe di insiemi di C , , in u n punto P0, si dice analitico, se ammette come r a p p r e s e n t a n t e una varieth analitica. 16.3. TEOREMA 49.

Ogni ideale a dell'anello di eerie di potenze ~,,(Po) determina univocamente u n germe analitico ~¢E)(a) di Po come germe di insiemi degli zeri di a. Se f~, f2 .... , f,. b u n a base di a, esiste un intorno U(Po) di Po, nel quale tutte le serie f~ convergono. ] ]oro zeri comuni riempiono in U(Po) una variet~ analitica A(a), la quale definisce in t°o un germe eli insiemi tllb(a). P e r provare che ~ ( a ) b univocamente determinato da a, oecorre dimostrare t h e tl13(a) 6 indipendente dalla base di a. Sia infatti g~, gs,..., g~ u n ' a l t r a base di a, e tali serie siano eonvergenti nell'intorn0 VPo) di P , i loro zeri comuni in V(Po) costituiscono allora una varietSt analitica B(a). Ci basta ormai dimostrare t h e esiste un intorno W(Po) di Po, tale ehe si abbia:

(1)

A(a) r-, W(Po) = B(a) , ~ W(Po).

Poich~ le f~. e le g~ costituiseono due basi, valgono le relazioni (2)

fx = a~g~ T a~.202 + ... + ax.g,

(k - - 1, 2, ..., r)

(3)

g~ = b~lfl + b~j~ + ... + bl,~f~

(~ -- 1, 2, ..., s),

con a)i e be/ elementi di ~,(Po). Sia W(Po) un interne di Po, nel qnale convergono tutte le serie t h e compariscono helle relazioni scritte. Da ( 2 ) e (3) segue allora immediatamente la (1). Le precedenti considerazioni mostrano t h e in nessan case un ideale di serie di potenze pub determinare univocamente una varietk analitica, in quanto questa dipende non solo dall'ideale, ma anche dalla seelta di u n a base; l'ideale determina invece il germe analitico d'insiemi. Si noti ora che le proprieta degli ideali di serie di potenze, che sono quelle che presentano il maggior interesse, si ritrovano come proprietfi dei germi analitici e devono quindi caratterizzare ogni rappresentante del germe. Se d u n q u e si eercano proprietfi~ dei germi analitici d'insiemi, si pub studiare un qualsiasi rappresentante del g e r m e ; ed esso si pub scegliere in base a eriteri di opportunit$t; in questa seelta si ~ guidati dai teoremi di rappresentazione dei paragrafi 9e12. Annati di Matematica

4o

314

W. THIMI~I: Teoria degli (melli di ser~e di potel~ze 16.4. I1 teorema 49 ammette il seguente teorema inverso: TEOR~

50.

It germe analitico d'insiemi, 1~, di Po determina univocamente un ideale i(t~) nell'anello di serie di potenze ~,~(Po), eio~ l'ideale di tutte le serie di ~,(Po), the svaniscono su 1~.

(a) Si dice t h e una aerie di potenze felS.(Po), svanisce sulla variet~t analitiea A, t h e ~ definita nell'intorno U(Po) di Po, se U(Po) appartiene al camp0 di eonvergenza di f e se f si annulla in tutti i punti di A. (b) Si dice che la aerie di potenze f e ~.,(Po) svanisce sul germe analirico d'inaiemi ~ di -Po, se esiste un rappresentante di ~ , sul quale f svani. sea secondo la definizione (a). (0) L a totalitk delle serie di ~,(Po). t h e svaniscono su t~, forma u n ideale in ~a(Po), precisamente l'ideale i(flS). 16.5. La legge di associazione lqfl(a) e la i(115) soddisfanno alle seguenti relazioni

(1) Da a C b segue ~([~) C lcE)(a). (2) S e a

-" (b, c), allora lell~(a)-- BS(b) f-~ tq~(c).

Ca) Se a _ D ~ ¢, allora BD(a) -- t~5([~)~.j t~(¢). (4) Se cl ~ un ideale primario, associato all'ideale primo ~, allora =

(6) Da ~ 1 C ~

segue

i(Ll~,) C i(~1).

(7) Se LE) -- t ~ ~ 1~2, allora i(Li~) -" i(tq[~) f-~ i(~2). Tali rela~ioni ai dimostrano stabilendole per opportuni rappreaentanti dei germi considerati. Si consideri p. es. la (5): il germe ~ abbia un rappreaentante determinato dalle equazioni f ~ - - 0 ( i - - 1 , 2,..., r); allora, per 16.4, le aerie ft appartengono d i ( ~ ) , e da (1) segue BI~(i(B~))CBS. Come ideale di ~n(Po), l'ideale i ( ~ ) possiede una base finite g1 ( J - - i , 2, ..., s), e le aerie gi svaniscono sopra u n rappresentante A di ~ . D' altronde le equazioni gi = 0 (j -- 1, 2, . . . , s) definiscono un rappresentante B di ~ ( i ( ~ ) ) . Si h a A C B e peroib anche t ~ C ~ ( i ( ~ ) ) ; e da questa segue la (5). 16.6. U n germe analitico due germi analitici d'insiemi che L]~ sia parte di ~ o spezzamento di ~ , questo si

d'inaiemi ~ di Pc si dice riducibile se esistono ~, ~ 2 , di Pc, tali t h e ~ - - ~ 1 ~ ~ , senza ~ 2 sia parte di ~ 1 . Se non esiste un siffatto dice irriducibile, o, brevemente, ¢ germe primo )~

W. THI.~I~I: Teoria degli ~,ne~li di ~erie di poteaze di Po. U n a varieth a n a l i t i c a si dice irriducibile in P o s e di un g e r m e d ' i u s i e m i analitico ed irridueibile, di Po.

315

~ rappresentante

T~OR~MA 51. Un germs analitico d' insiemi [ff) di P~ ~ un germs primo s e e soltanto se il suo ideate i ( ~ ) ~ primo.

Mostreremo viceversa.

she la r i d u c i b i l i t a di [(/l~) segue dalla riducibilit~ di ill3, e

(a) I1 g e r m e ~ sia riducibile, e sia ~ = 1 ~ ~.j 1 ~ . &llora per 16.5. (7): i(fll3) - - i ( l ~ ) f-~ i(/l[3~). Da i(/ID~) C i(f151~) 0,, t~ - - 1, 2) s e g u i r e b b e per 16.5. (l) e (5), t~I~C fibs, e eib non ~ v e t o per ipotesi (), ~ I~). (b) i(/U~) non sia u n ideale primo, e sia l(flfl) ---- b f a £ u n a seomposizione tale she b non ~ c o n t e n u t o in ¢ e ¢ non ~ c o n t e n u t o in b. P e r 16.5. (5) e (3) si ha t ~ = t'l[~([~) ~.]/15(¢). P o n i a m o i(t~(b)) -" bl e i(/ll3(C)) - - ¢1 ; si ha allora per 16.5. (7) i ( l q b ) - ' b ~ f ~ ¢ l . Poieh~ b C b ~ e ¢ C C I , se fosse p. es. a n c h e [~ C ¢~ s a r e b b e : i(fll3) = [0~ = i(tl5(l~)) = b f-,, C ed inoltre b C i(l~(b)) C [0 quindi i ( f f 3 ) - b. Allora a v r e m m o b C 0 , she non t~ vero. A n a l o g a m e n t e si e s c l u d e she sia C l C b l . P e r 16.5. (6) se ne trae t h e fl5(I0) non sta in t'~3(C) e t h e ~ ( C ) non sta in l~(I0) e q u i n d i s h e ~ b ridueibile. 16.7. Si tratta di f o r m u l a r e e di WEIERS~RASS sullo spezzamento cibili' e, per q u a n t o gi~ sappiamo, spezzamento di un g e r m s analitieo

di d i m o s t r a r e il eosi detto secondo t e o r e m a di una varieti~ analitica in variet~ irriduquesto ~ s o s t a n z i a l m e n t e un t e o r e m a sulto di insiemi (cfr. [15], p. 131).

TEOREMA 52. Sia a un ideals dell'anello di serie di potenze ~,,(Po), M(a) la sua variet~ algebroide (cfr. ,~ 10) e /l~(a) il suo germs analitico d'insiemi. Sia

16(2)

M(a) = M(01) ,..., M(O~) ~

... ~

M(O,)

la rappresentazione di M(a) come insieme unions di variet~ irriducibili 2~(0;) ( i - I, 2, ..., r); inoltre i O~ sono ideali primi dell'anello ~,(Po), cio~ deterzai. nano esattamente le componenti isolate dell'ideale a. Sotto quests ipotesi la formula 16(3) /l]3(a) =/15(9~) ~/~(~}2) ~ ... ~.J ~(G~) fornisce la rappresentazione del germs analitico i'~(a) come unions dei gsrmi p r i m i I~YO~) (i = 1, 2 .... , r); questa unions ~ inaceessibile, cio$ nessuno dei germi p r i m i Itf~(Oi) ~ contenuto nell'unione dei rimanenti.

(a) Sia (1)

a = ¢11 f a q2 f-, ... f,~ q~ f-, q~+l f a q~+~ r-~ ... f a q~+,

W. T ~ :

316

Teoria degli anelli di serie di potenze

una rappresentazione di a come intersezione di ideali primo assoeiato a Cl~ sia O~ (i----i, 2, ..., r 2r-s). Le prime percib isolate, m e n t r e le seguenti sono immerse, eio~ per esiste un 0~¢i), con i ( j ) ~ , r , tale t h e ~}~(i)C(}~i. P e r 16.5. (2)

~l~(a) = ~ ( ~ } ~ ) ~

~11~(0~) ~

... ~

t11~(0~) ~ / 1 5 ( ~ 1 ~ + ~ )

primari. L ' i d e a l e r componenti sono ogni j - - 1 , 2, ..., s (3) e (4) abbiamo:

~ j ... ~

~11~(0~+~).

Da O~(j)C 0~+i segue, per la 16.5. (I), /~(Or+i)C l~(0~(i)) e da cib la 16(3). (b) Ooeorre era dimostrare ohe il germe analitico di un ideale primo irridueibile. P e r il T e o r e m a 51, tale affermazione 6 equivalente alla proposizione 16(4)

i ( t ~ ( 0 ) ) - 0, se 0 e u n ideale primo. La dimostrazione di quest'uitima sar~ data nel seguito, cfr. Teorema 57.

(~) Se prendiamo per dimos~rata la formula 16(4), possiamo p r o r a t e facilmente l'inaceoroiabilit~ della rappresentazione 16(3). kll' uopo basta dimostrare quanto segue: Sia O un ideale primo e l~(0 ) sia eontenuto nell'unione dei germi analitiei /Eh ed t~2; allora t~({}) appartiene a /l[), ovvero a iq[)2. Da ~ ( 6 ) C t ~ . J ~ 2 segue, per la 16.5. (6) e (7) e per la formula 16(4), ehe i(/~)~i(~)Ci(tlr~(6))= {;. Poieh6 0 6 un ideale primo, si ha [(/D~) C {} ovve,~o i(~2) C ~. Nel primo case dalla 16.5. (i) e (5) segue /!~((}) C~[~ e nel secondo, per la stessa ragione, l~((})C l q ~ . 16.8. Una consegnenza della definizione di germe analitico e del teorema 52 ~ il seguente teorema di decomposizione. TEOR:~A 53 (err. [16], p. 266). L a variet~ analitica A sia definita netl'intorno U(Po) di Po. Esiste allora un intorno V(Po)C U(Po) e u n numero firtito d~ varietdt analitiche A~, A~, .... A,. in V(Po), irridueibili in P~, tali vhe

16(5)

A f-~ V(Po) - - A~ ~j A~ ~ ... ~.j A~.

IJmltre non accade mai, in alcun intorno W(Po) di Po, ohe u n a delle varietdt artalitivhe A~ f.~ W(Po) sia contenuta nell'intersezione di W(Po) con l'unione delle altre AI (j =~:i). Se nell'intorno V'(Po) ~ data un'altra de¢omposiaione in varietdt analitiche irridudbile A~', A2', ..., A , , si ha anzilutto r - - s ; inoltre esiste un. intorno W(PQ) di Po, tale the per u n ' o p p o r t u n a scelta degli indivi si abbia :

16(6)

A~' r~ W(Po) ---- At r~ W(Po)

(i --- 1, 2, ..., r).

W. THI]%Ihl; Teoria degli a~elli di serie di potenze

317

Lo spezzamento di una varietal analitiea A, cost com'~ dato dai teoremi 52 e 53, si ehiama decomposizione locale di A nel punto Po. Gli ideali primi (}~ ( i - 1, 2 .... , r) sono detti ideali primi della decomposizione locale, e i germi primi ~q~(G~) si dieono germi primi delia deeomposizione locale in zoo. COMPLEME~TI AI TEOREblI 52 E 53.

La variet~ analitica A s i a definita dalle equazioni f~ = 0 (i = 1, 2, ..., s); sia a l' ideale (/'1, f2,..., f,) nell'anello di serie di potenze ~,(Po) e ~ - - ~ ( a ) il germe analitico d'insiemi di a. Ciascuna varid~ anatitica irriduvibile A~ della decomposizione locale di A ~ rappresentante esattamente di u n germe primo della decomposisione locale di t113 in Po. Inversamente ad ogni ideale primo della decomposizione locale di a in Pc corrisponde esattamente un germe primo della decomposizione locale di ~ in Po, e quest'ultimo ammette uno ed un solo rappresenlanle tra le varietd Ai della decomposizione locale di A ir~ Po. 16.9. Tra le importanti conseguenze dei teoremi di decomposizione notiamo in particolare il teorema degli zeri di HILBER~. TEOREMA 54 (Teorema degli zeri di HxLBER~). La variet~ analilica A sia definita in un intorno del punto Po dalle equazioni f~--O (j"-l, 2,...,s; f~,,(P.)); sia f una serie di potenze dell'anello ~,°(Po), la quale svanisca su A (cfr. 16.4). Allora esiste un' opportuna poten~a f~ di f, o ~ 1, la quale si pub porte nella forma 16(7) f~ a~fl + a2f~ -~- ... -~ a,fs , " -

nella quale le a~ sono elementi di 15,(/:'o). Poich~ f svanisce su A, essa ~ nulla anche sulle varietk analitiche irriducibili Aj ( j - - 1 , 2,..., r) dello spezzamento locale di A in Po, e quindi anche sui relativi germi primi. Se poniamo Gj "- i(~i), ne segue ehe f appar. tiene a 0i ( J - 1, 2, ..., r); f svanisce quindi, sulle variet~ algebroidi M(gi) e, per la 16(2), sulla varietk algebroide ~(a) dell'ideale a - (fl, f2, ..., f,). Ora l'affermazione segue dal teorema 32.

§ 17. - V a r i e t a

analitiche

monogene.

17.1. ~vIediante la rappresentazione di un ideale primo per mezzQ della funzione uorma, troveremo un criterio per la see]ta di un r a p p r e s e n t a n t e di un ideale primo~ it quale possegga proprietor particolarmente evidenti. L a costruzione in parola si basa sulla seguente proprietor dei polinomi privilegiati.

318

"W. T m . ~ :

Teorio degli (t~telli di serie di potenzc

Sia p ( w i z ) un polinomio d e l l ' a n e l l o ~)k[w], privitegiato sopra ~ k z ; i coefficienti di p siano convergenti nella regione cilindrica 3(P),,. P e r ogni > 0 esistono atlora n u m e r i $ i > 0 , i - - ' l , 2,..., k, con ~ < p i , tale che per ogni p u n t o z o di 3(~),, le radiei del polinomio p ( w l z o) giacciano tutte nel cer~hio I w I < ~. L ' a f f e r m a z i o n e segue dal fatto che p ( w I z ) diviene u n a potenza di ~v q u a n d o vi si sostituisca z ~ - - O , z ~ - - 0 ; . . . , zk ~ O, e dal t e o r e m a della eontinuiti~ delle radici di un polinomio come funzione dei suoi coefficienti. 17.2. Sin 0 un ideale p r i m o n e l l ' a n e l l o di serie di potenze ~ . dopo la 15-trasformazione di c o o r d i n a t e : 17(1)

~,,(0);

(y)~ = L(x)~,

l'ideale 0 p o s s e g g a u n a base polinomiale p~, p2, ...,pr nell'aneilo ~k,,~-k (cfr. T e o r e m a 24). Sia 0 = ~ f.~ ~ , , , - k e q)(~) sia la funzione n o r m a di ~. Nello spazio complesso di d i m e n s i o n e k si d e t e r m i n i la regione cilindrica

(!)

l y~l

~ ":

(i---- 1, 2, ..., k)

in m o d o tale ehe in essa c o n v e r g a n o tutti i coefficienti dei polinomi pi ( i - - 1 , 2 .... , r), insieme con la funzione norma. Se pof ~ 6 un arbitrario n u m e r o tale ehe 0 < ~ < ~, si p u b assoeiare ad esso un n u m e r o ~ - ~(~), con 0 < ~ < ~, in modo che p e r un a r b i t r a r i o p u n t o (y)k della regione cilindriea 3~(e) :

17(2)

I Y~ I < ~

(i - - 1, 2, ..., k)

tutti i sistemi di soluzioni delle e q u a z i o n i : i7(3)

P~ (yk+~, yk+~, ..., y~ ; (y)~)- 0

(i----1, 2, ..., r)

soddisfaceiano alle disuguaglianze : 17(4)

I Y~+I I < ~

(j -- 1, 2,..., n - - k).

Questa seelta di ~ ~ possibile in base a 17.1., pereh~ tra i polinomi Pi si trova un polinomio di y~+t (3"= 1, 2, .... n - - k ) , ehe ~ privilegiato sopra ~+i-t (err. Teorema 24). Mediante le 17(2), 17(4) si d e t e r m i n a Cosi u n a regione c i l i n d r i c a 3~ ; si p o n g a Ua = L-1(3~). L e 17(t), 17(3) definiseono in U~ una variet~ analitioa A(0), che c h i a m i a m o variet~ analitic~ monogena dell ' i d e a l e primo 0. Nelle considerazioni seguenti, per i p u n t i di A(0 ) u s e r e m o

~W. T H ~ . ~ :

Teori(t deffli et~elli eli seric di pote~ze

319

p e r lo pifi le c o o r d i n a t e i Y~, Y~,.,., Y - ! . P u b essere inoltre utile la s e g u e n t e defini~ione: se P { y ~ , y~,..., y , } /~ u n p u n i c di A(O), il p u n t o dello spa~io c o m p l e s s o di d i m e n s i o n e k, a v e n t e c o o r d i n a t e {y,, y~ .... , y~! si dir/~ proiezione di P. Poich/~ ~ pub essere scelto a r b i t r a r i a m e n t e piccolo, esistono variet~ a n a l i t i c h e m o n o g e n e di O piecole q u a n t o si vuole, cio~ t h e giacciono in un i n t o r n o d e l l ' o r i g i n e a r b i t r a r i a m e n t e prefissato. 17.3. P e r le variet~ analitiche m o n o g e n e si possono c a l e o l a r e m e d i a n t e la funzione n o r m a le decomposizioni locali (cfr. T e o r e m a 39). T ~ o ~ r ~ A 55. S i a (} u n ideale p r i m o nell' anello delle serie convergenti di polenze ~ , , il quale possegga u n a base polinomiale nell'anello ~ , ~ _ ~ (cfr. Teorema 24). S i a ~ -- 0 r~ ~ , , - ~ e @(~)-- ¢P(z, u~÷~, u~+~,..., u , ; (y)~) sia la funzione n o r m a di O. S i a A(9) u n a variet~ a n a l i t i c a monogena di 6 (cfr, 17.2.), deft. n i l a dalle effuazioni 17(l), (3) e datle disuguaglianze 17(2) e 17(4). S i a (yO)k -- t y o, y o, ..., y~O } u n sistema di k h u m e r i tall the :

[ Y~°t <

(i-

P

1, 2, ..,, k) (err. 17(2)).

Se sostituiamo (yO)k al posto di (Y)k nella @(0), la @(z, uk÷~, ut:+~, ..., u , ; (yO)~:) si spez~a in u n prodolto di fatlori lineari :

17(5)

z - - ~k-+-13k_~_ ~,(~)1 - - u~tz..F*2,.~J ~,(~) k~_ 2 - -

,..

- - u,y(~)

(a -~ l, 2,..., s),

nei quali le ~+~ ~,(~) , ~,(~) u (~) sono i n d i p e n d e n t i dalle uk+]. I p u n t i ~g_~ , ... , .., p~--tyo, y o,..., ykO, ~,,c~ , k ~ , ~'(~> ~ k + 2•. ' " , y(~)l ( a - - 1 , 2,... s) stanno su A(6) e sono i soli p u n t i di A(9) ehe ammeltono come proiezione (y°)k. Si indichi con ~ k ' l'anello delle serie convergenti di potenze di y~' -- y~ - - y o, Y2' ~ Y~ - - y O.... , Y~' -- yk - - y~o. Mediante prolungamento analilico di ~((}) nel p u n t o (yO)k si ottiene u n polinomio ¢P' dell'anello ~ ' [ u k ÷ ~ , uk+~, ..., u , , z], il quale in generale sar~ riducibile. S i a

la sua decomposizione in faltori irriducibili i n queMo anello ; il faltore gAe ( ~ t - - 1 , 2, ..., m) ~ u n polinomio in z con coefficienle del termine di grado m a s s i m o uguale ad 1 e avente gli a l t r i coefficienti nell' anello ~k'[Uk+l, Uk÷~,

(a) Ciascun polinomio ~]f~ ~ la ]unzione norma di un ideale p r i m o ~'e dell'anello Sk'[yk+l, yk+~, ..., y,] ---- [[~k,~--k •

320

W. T m ~ :

Teoria degli a~elli di ser~e di potenze

(b) Mediante la sostituzione 17(7)

y~' -- 0, y~' = 0, ..., y~' -- 0,

cias~uno dei polinomi ~ si riduee ad u n a potenza di uno solo dei fattori lineari 17(5). S i a dunque Wz uno dei fattor~ IF~ che, mediante la (17.7), danno luogo ad u n a potenza di (17.5). Poniamo

e indiehiamo con ~'~ t'anello di serie di potenze ~[[y~', y~', ..,, y,~']]. S i a q'x l'ideale esteso in ~,,' dell'ideale -qz', associato a Wz secondo (a); esso d u n ideale primo di ~,,' e vale la relazione ~ ' = qz' f-, ~'~, ~-~ •

17(8)

(c) S i a O' il prolungamento analitico dell' ideale ~} nel punto P~. Siano Wz ()~ = ~i, ~ , ..., p.~) quei fattori di 17(6) ehe con la sostituzione (17.7) si riduconv ~d un~, po~enza, del fattore lineare 17(5). Se ~ q)' l'ideate assoviato in base a (b) a tVz~ gIi ide~ii q'~, q ' ~ , . . . , q'~h sono gli ideali p r i m i della decomposizione ~ocale d i ~' nel punto P~; in altre parole: I germi analilici l~(qz') ( ~ - - ~ , ~t2.... , ~h) sono i germi p r i m i della decomposizione locale della variet~ analitica monogena A(9) nel punto P.~. La base di ~} in ~k,,,--k sia £ , I)~, ..., p~ (err. 17.2), i p r o l u n g a m e n t i analitici di questi polinomi nel punto (y0)~ siano p~', P2', ..., P~'; l'ideale generato da questi ultimi in ~'~,,~-k sia ~'. La dimostra~ione coincide ora con quella del teorema 39, purch~ si osservi t h e in corrispondenza del p r o l u n g a m e n t o analitico nel punto (yo)~ occorre sostituire 15k con ~k', ~k.,,--k con ~'~,~_~:, con (}', ~l~ con q~" e il punto 0 col punto P~. 17.4. Tra le conseguenze del Teorema 55 ~ notevole la seguente propriet~ dimensionale di A(~}). T~o~

56.

L'ide/ale primo 0 dell'anello ~ s abbia dimensione k e sia A(O) u n a varieta analitiea monogena di ~}. Allora ogni ideale primo di u n a decomposi~ione locale di A(6 ) in qualsivoglia punto di A(~}) ha dimensione k. Tale risultato h a un signifieato topoIogico. U n a varietk analitica m o n o g e n a A(~}) dell'ideale primo t} di dimensione k b, come insieme dello spazio ~omplesso C,~ di dimensione n, u n insieme 2k-dimensionale in Ogni suo punto.

W. THI~I~I: Teoria degli anelli di serie di potenze

321

17.5. Possiamo ora dare la dimostrazione della formula 16(4), che finora abbiamo lasciato in sospeso. TEORE~IA 57.

Un ideale primo dell'anello di serie di potenze determina un germe primo (cfr. 16(4)). P e r il teorema 51, tale asserzione segue dal risultato : Sia 0 un ideale primo dell'anelto di serie di potenze ~,~. Se la serie f di ~,~ non appartiene a 0, allora f non svanisce sul germe analitico ~ ( 0 ) (efr. 16.4). P e r dare u n a dimostrazione indiretta, ammettiamo che f non sia un elemento di 0 e tuttavia svanisca su ~ ( 0 ) . Cib significa, secondo 16.4, che esiste un rappresentante A di ~ ( 0 ) , sul quale si ha f - - 0 . L ' i d e a l e primo 0 possegga una base polinomiale nell'anello ~k,,~-~. Poich6 f non appartiene a 0, esiste, per 9.2, un polinomio g "- f'~ + el(y)kf" - 1 + ... + c,,_~(y)~f + cm(y)k

(1)

con coefficienti in ~ k e cm:4:0, il quale appartiene a 0. Scegliamo una varietk analitica monogena A(0 ) e assumiamo cosi piccolo il ~ che comparisce nella definizione di A(0), in modo t h e siano soddisfatte le seguenti condizioni : a) Le serie c~(y)k (v ~ 1, 2, ...~ m) siano convergenti nel dominio cilindrico 3~(~) (cfr, 17(2)). b) A(0) giaecia in A. v) La serie g e 0

svanisca su A(0).

Da tall condizioni e dalla formula (1) segue allora che cm(y)k--O su A(0). Possiamo tuttavia trovare un punto (yO)~--lyo, y2o, ..., ykO} in 3k(~), nel quale si abbia c,~(yo)~:4:0, P e r il teorema 55 esistono sopra A(0 ) certi punti Pa (a -- 1, 2, ..., s), t h e hanno (y0)~. come proiezione. I n tall punti si ha cm=~=O, in contradizione con quanto visto precedentemente. 17.6. I1 nostro prossimo eompito 6 uno studio pifi approfondito delle deeomposizioni locali; introduciamo a questo scopo un nuovo concetto. Sia A una varieti~ analitica. I1 punto P o - (.~o)~ di A si dice punto semplice di A, se A d e t e r m i n a in Po un germe analitico t~po del seguente tipo: Mediante una trasformazione pseudoconforme: 170)

z~ ~

g ~ ( x l , x~ , . . . , x . )

(v -- 1, 2, ..., n)

di un intorno di Po si possa fare in modo che tTJp0 sia rappresentato da " equazioni lineari 17(10) z k + l ~ O , g~+2 -" O, ... ~ z~--O. Annali di Matematica

41

322

W. THIMI~I: Teoria degli aneUi di serie di po~enze

A tale definizione ~ equivalente la seguente condizione: Mediante u n a ~ - t r a s f o r m a z i o n e di coordinate 17(11)

(y). = L(x - - xo),

si pub far si t h e tllbpo sia rappreseutato dalle equazioni 17(12)

(j--l,

2,..., n - - k ) ,

(j--1,

2,..., n ~ k ) .

nelle quali le "~+i sono serie dell' anello ~ k . Le equazioni 17(10) implicano infatti 17(13)

g~+~(x~, x~, ..., x,,) ---- 0

Poich{~ la 17(9) b pseudo eonforme, esiste un sistema di variabili x~, ~i, .... , x~,,_~ tale che il d e t e r m i n a n t e funzionale O(gk+,, gk+=, ..., g,)

non si annulli nel p u n t o (x0).. P e r il teorema 46 le equazioni 17(13) possono allora risolversi, in u n interne di Po, rispetto alle variabili x~t, ciob queste variabili sono serie eonvergenti di potenze delle r i m a n e n t i ; si ottiene cosi per /]~Po u n a rappresentazione 17(11), (12). Se viceversa ~ data u n a rappresentazione 17(11), (12) di [~po, facciamo seguire alla 17(11) la seguente trasformazione: (i -- 1, 2, ..., k)

Zi "-- y~

#k+~ : Y k + i - ~+i(Y)~

(j=l.

2,..., n - - k ) .

Questa corrispondenza b p s e u d o c o n f o r m e in Po, e t113Po ~ d e t e r m i n a t a dalle 17(10). 17.7. Lo studio dei punti semplici delle varietSt analitiche monogene si pub effettuare con profitto mediante la funzione norma. Usiamo le notazioni eli 17(2). S i a ~ u n ideale p r i m o dell'anello ~,, e A(~}) u n a variettt analitica m o n o g e n a di 0. Poich~ la funzione norma (1)(5}) ~ irriducibile, il sue discrim i n a n t e D rispetto a z non svanisee i d e n t i e a m e n t e ; esso ~ un polinomio h e l l e ~÷~,~u~÷2,..., u , con eoefficienti in ~ . Sviluppiamo D secondo i prodotti Us di potenze delle u k + j :

17(14)

D-- Y. d~(y)~U~.

W. THIMM: Teoria degli anelli di ser~e d~ potenze

323

Come funzioni razionali intere dei eoeffieienti di (I), le serie d~ convergono nel dominie cilindrico 5~(~) (cfr. 17(2)); quindi mediaate le equazioni 17(15)

d~(y)~ -" 0

(i ~ 1, 2 .... , m)

risulta definita in 3~(~) una varieth analitica A, che ehiamiamo ,~ variet~t di d i r a m a z i o n e , di A(q), nella proiezione eonsiderata. 17.8. TEORE~[A 58. Sia A(!}) una variet~ analitica monogena dell'ideate primo O, il quale goda delle propriet& dette i n 17.2. Sia h la variet~ di diramazione di A(O) ; sia (~)k un punto di 5k(i~)-- ~. Allora i p u n t i di A({}) che hanno (~)k come proiezione sono tutti distinti e sono semplici per A(~}). a) P e r il teorema 55 il polinomio (I)(~, u~+~, ..., u . ; (~)~) si spezza in un prodotto di fattori tineari 17(5); nel case attuale queste forme lineari sono tutte diverse; perch~ altrimenti il discriminante D(u~+~,..., u,~; (~)~) sarebbe hullo e quindi (~)~ renderebbe soddisfatte le 17(15) ed apparterrebbe ah. b) A partire da (~)~ determiniamo un sistema di valori t'a~÷~, u~+~,..., a,, ! tale che / ) - - D ( ~ , ~ , . . . , ~ , ~ + ~ , u.~+~,..., ~,~)=~=0. Sia era /~--(~),~ un punto di -4(0) ehe abbia per proiezione (.~)~. Si ha che - - u~+~yk+~ ~- u~+~yk+~ ~ ... + u~y,~

uno zero del polinomio ~P(z, iek+~, '~-ek+~,..., ~,~, (~)k)-Inoltre, essendo /5=~=0, la derivata ~¢/~z i~ diversa da zero nel punto I z, uk+l, uk+~, ..., u~, (Y)k}. P e r il teorema 46 esiste allora una serie di potenze gr delle u' -( i m l , 2,..., n - - k ) e delle yi'--Y~--?~i ( i - - 1 , 2,..., k), la quale 6 convergente ed 6 tale ehe z----W(0, 0, ..., 0) e ehe Lb(•, uk+l, uk+~, ..., u,,, (y)k)~ O. Dal teorema 55 segue che per particolari sistemi di valori (y')k de1 eampo di convergenza la diviene una forma lineare nelle uk+~, uk+~, ..., u,,. lge segue t h e anehe per valori (Y')k generiei la W a m m e t t e una rappresentazione ty "- u k + ~ k + ~ ( y ' ) k + u~+,'~k+~(y')~ + ... + u,'~(y"

')k ,

nella quale le ~:+i sono serie di potenze dell' anello ~ky'. La z - - W ~ la funzione norma di un ideale primo, il eui germe d'insiemi ha equazioni yk÷j -- ~k÷j(y')k

(i ---- 1, 2, ..., n - - k).

Tale g e r m e d'insiemi ~ per il teorema 55 c), un germe primo dello spezza. mento locale di A(6) in P e, per a), ~ l'unico. Qaindi /~ b punto sempliee di

-4(0).

324

W.

T i ~ :

Tcoria dcgli (t~t('tli di scrie di pote~t¢~ .

.

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17.9. I1 teorema 58 ci dh la possibilit~t di trovare punti sempliei di A(0: ; non ~ detto perb che si trovino cosi tutti i punti semplici di A(0), in quanto A(O) pub possedere anehe punti sempliei la proiezione dei quali appartiene a 5. Vale la proprieti~: Ogni p u n t o n o n semplice di A(O) ~ p u n t o di a c c u m u l a z i o n e di p u n t i sere. p l i c i di A(~}).

Tale asserzione segue dal teorema della continuith delle radiei di un polinomio come funzione dei suoi coefficienti, applicato alla funzione n o r m a (I), e dal fatto che in ogni interne di a n punto di 5 giaceiono punti di 3~(p) i quali non appartengono a A. Tale fatto segue dat eosi detto teorema di identit~ per le serie di potenze: Una serie di potenze, la quale 6 identicamente nulla in un interne di a n punto del sue campo di convergenza 6 identicamente nulla. 17.1~ Vogliamo era dare il procedimento del prolungamento analitico per i germi di insiemi delle variet~t analitiehe monogene A(O). Per quanto riguarda le notazioni si confrontino 17.2. e 17.7. Sia (yCl~)~ a n punto di 3k(f~)--h. I punti di A(~) che hanno (y(1% come proiezione siano Pz (), -- 1, 2,..., s); per il teorema 58 essi sono semplici, e le decomposizioni locali di A(O) constano ciascuna di un germe primo t'il~p~, ehe a m m e t t e una rappresentazione: (1)

Y~:+i - - "~o~) r k ÷ f(~,')k a

(j -- I, 2,

....

n -- k),

con Y l - - Y ~ - - Y i (~) ( i - - 1 , 2, .... k); ~ _ i ( j - - l , 2,..., n - - k ) ~ u n a serie di potenze dell'anello ~ y ' . Sin ok ' ' un dominie cilindrico dello spazio delle (y')k nel quale convergono tutte le serie ~(2)+1 ( j - 1, 2, ..., n - k; ) , - - 1 , 2, ..., s). La trasformazioue (2) y~ = y?l' + y~' (i = 1, 2, ..., k) m u t a 3k' h e l l ' i n t e r n e ~(~) del punto (y(t% dello spazio delle (y)~. Seegliendo 5k' abbastan~a piccolo, si pub ottenere t h e ~c1) giaccia in 3 k ( y ) - A. Le equazioni (1), (2) e la proiezione ~(~) determinano a n r a p p r e s e n t a n t e Ap z del germe primo /i~z,z. P e r it seguito ei sarh utile ehiamare il eampo ~(~) ~(eampo associate ~ al punto (y~%. Sia (yC~))k u n altro punto eli 3~(~)~ h. I punti di A(!}) ehe hanno ~ye-))~ come proiezione siano Q~ ( ~ - - 1 , 2, ..., s). I1 germe analitico di A(~}) in Q~ sin ~Q~ ed abbia la rappresentazione

(3)

( j - - 1, 2 , . . ,

n - - k),

con

(4)

y~ -- y?~ + y('

(i - - 1, 2~ ..., k).

Teoria degli (n~elli di serie di potenze

W. T n ~ :

325

Sia ~ ( ~ ) un campo associate a (y'~))~ e A% la varietfi analitica definita dalle equazioni (3) e (4) e dalla proiezione ~ ) . Supponiamo era che ~(~) e ~ ) abbiano il punto (interne) (y(~))~ in comune. Anch'esso ~ proiezione di punti (effettivamente) semplici R~ ( v - - 1 , 2, ..., s) di A(6 ). Sin t~R~ il germs analitico di A(~) in R~, e la sua rappresentazione sin : (j--l,

Y~+i = X~+iiY )~

(5)

2,..., n - - k ) ,

con

(6)

y~ = y?~) + y/"

(i = 1, 2, ..., k).

II punto R~ giace su una ed una sola dells Apx e su una ed una solo dells AQ . i meno della numerazione dei punti Pz, Q~, R~, possiamo sempre ottehere che per ogni )~--1, 2,..., s il punto Rz giaccia su A~). e su AQ). Ora accade t h e Ap). d e t e r m i n a in R; un germe analitico che coincide con flSR~, e la cui rappresentazione si pub ottenere prolungando analiticamente le serie ?~) ~" ~1)~ y~(~) y ~ ) t ; denotiamo tale prolunk-+-] nel punto { Y~' - - Y~(~),Y~) -- ,y2 gamento anatitico con ~o.) {R~t" esso ~ una serie di potenze helle variabili i Y~"'~ Y')/"~...~ y~c'"!. Da| teorema di identit~ per le 8erie di potenze segue, per ogni ~ = 1, 2, ..., s : .*.

T k + j

~

-

-

,

,

k+i

•

'

~+i

( j = 1, 2,..., n - - k ) .

i n a l o g a m e n t e AQ). d e t e r m i n a in R). a n germe analitico che coincide con I~SRx e che si ottiene da (3). mediante prolungamento analitico delle serie • (k~j nel punto i y(3) _ y(~), y2(~)_ y2(~),..., y~(~,__yk~2) }. Sorgono cosi le W(~ i {R).} e si ha, per ogni k - 1, 2,..., s):

(8)

~.k+j

( j - - 1 , 2,..., n - - k ) .

Mediante le relazioni (7) e (8) le varieth analitiche Ap~ e AQz , e quindi anche i germi primi flSpz e I~QT, vengono saldute tra lore; come nella teoria dells funzioni, esprimeremo tale fatto dicendo t h e ~ ) e ~ % . si ottengono l'uno dull'nitro mediante prolungamento analitico. Tale relazione si pub gene. ralizzare alia maniera seguente, she ~ valida del resto anehe nella teoria delle funzioni : Siano P e Q punti sempliei di A(O), coi germi primi ~ p , tT)~ rispettivamente. Esista una successione finita di punti semplici 1'1, -P~,..., Ph di A(9), tale t h e P ~ - - P P h ' - Q e che il germe primo l~ei di A(6 ) in P~ sin prolungamento anatitico del germs primo t~p~_, di A(9) in P~_~. P e r distinguere quest'ultimo ripe di prolungamento analitico da quello pifi sopra introdotto (15.6), si chiama quello (
326

~V. THi~i~z: Teoria degli anelli di serie di potenze

17.11. La potenza del procedimento del prolungamento analitico si osserva in particolare mode quando si prendano le mosse dalle curve tracciate in 3k(P)--5. Sia 1~ una di esse e siano a e ~ i suoi estremi. Sia P u n punto di A(9) t h e abbia per proiezione :c e ~ p il germe primo di A(~}) in P. Definiamo il prolungamento analitico di flDp lungo la eurva 1~. Ad ogni punto di F associamo un campo secondo il n. 17.10. ; per il teorema di ricoprimento di I-t~I~]~-BOlCEL esiste un numero finito di punti (Y~)k ( i - 1, 2, ..., h) tall che i campi ad essi associati ricoprano interamente 1~. Possiamo supporre anche t h e sia (yC~)k--a e (y~h~)~= ~. Come in 17.10. ci si persuade facilmente ehe per ogni i esiste in A(0 ) un punto P~ che ha per proiezione (yC~))~:in modo tale ehe 1 ° ~ - P e t h e il germe primo ~ p ~ sia prolungamento analitico del germe primo ~p~_~ ( i - - 2 , . . . , h). Si dice allora che I][~:,h ~ prolungamento analitico di 1 ~ lungo la carva I ~. Occorre dimos~rare che tale procedimento ~ indipendente dalla scelta dei punti intermedi su F. Come nell'usuale teoria delle funzioni, la dimostrazione segue facilmente dall'univoeit~t del prolungamento analitico diretto. 17.12. Ci poniamo ora il problema di d e t e r m i n a r e quali sono i germi analitici di A(9) t h e si possono conseguire come prolungamenti anatitici a partire da un assegnato germe primo di A(!}). All'uopo i~ importante s a p e r e t h e 3 k ( ~ ) - h risulta connesso per mezzo di curve, come risulta dal seguente teorema : T~OBEMA 59. L a serie di potenze f(w)~ sia convergente nel campo cilindrico 3. Se si denota ~on A la variet~ analitica f - - 0 in 3, altora 3 - A risulta ~ n n e s s o mediante curve.

I1 eampo cilindrico 5 ~ convesso, vale a dire t h e se due pu~ti appartengono ad esso, vi appartiene anche il segmento t h e li congiunge. Siano ora P ~ - (xc~),, e P 2 - ($c2~)~ due punti di 5 - A. Sostituendo in f le espressioni (1)

x~ = w~?' + t(x~(~ - - x~~1')

(i = 1, 2, ..., n).

si ottiene una funzione f*(t) con f * ( O ) . O e f*(1)#:O, b a funzione f*(t), in conseguenza del Teorema 45, ~ in ogni caso olomorfa in tutti quei punti del piano della t, t h e mediante la formula (1) determinano punti di 5, in partieolare quindi anche nei punti del segmento congiungente i punti t - - 0 e t - - 1 . Per i teoremi della teoria delle funzioni tale segmento possiede perci5 nel piano della t un intorno V p. es. persino un rettangolo, nell' invotuero ehiuso IY del quale la f*(t) ~ ancora olomorfa. Essa vi pub avere percib solo u n numero finito di zeri. e si pub trovare facilmente in V una curva congiungente i punti t ~ 0 e t - - 1 , la quale non incontra alcuno degli zeri di

W. T m ~ :

Teoria dcgli ~w, lli di serie di potenze

327

[*t) e t h e viene m u t a t a dalle (1) in u n a curva F di 5; [' giace allora in - - A e c o n g i u n g e P~ e P~.

17.13. Scegliamo il punto a in 3~(P)- h. I p u n t i di A(O) t h e h a n n o ~¢ come proiezione siano Px (~ = 1, 2, ..., s). Sia fll)p~, il germe primo di A(O) in P z . Sia ~ u n altro p u n t o di 3~(P)- 5, siano QI~ ([~ - 1, 2, ..., s) i p u n t i di A(0 ) ehe h a n n o ~ come proiezione e /lib% i germi primi in essi definiti da A(0). L u n g o u n a curva r tracciata in 3 ~ ( P ) - A, che congiunge ~¢ e ~, ogni germe primo tlIbpz d/t, prolungato analiticamente, uno dei germi primi t1[b¢~, e vice. v e r s a ; la curva F stabilisce quindi u n a corrispondenza biunivoca ira gli /lIbpz e gli /E)¢~. La pitt importante questione che si pone /~ la s e g u e n t e : Si pub scegliere F in modo tale che un prefissato t~p). si muti in un prefissato /libel? Come segue dal teorema 59, basra ridursi al caso in cui sia - - ~ , nel qual easo il problema si riduce a quello di d e t e r m i n a r e se esiste, per due prefissati valori ), e ),', una curva chiusa uscente da ~ e tracciata in 3~(P) - - A, lungo la quale tllbp~ risulti come p r o l u n g a m e n t o analitico di/E)p~,. Mediante o p p o r t u n a numerazione dei punti P). si pub ottenere che i germi primi /][bp~, t'~p,,..., /]lbp~ siano analiticamente legati nel modo detto, mentre nessuno dei germi primi /]Spz con ), > h si pub ottenere come pro. l u n g a m e n t o analitico dei precedenti. La rappresentazione di ~ P x mediante serie di potenze sia (1)

Yk+i = ~¢x~ T~+i

(3" -- 1, 2,,

,.,

, n - - k).

F o r m i a m o i l seguente p o ] i n o m i o ne!!e ~, uk+~, uk+~, ..., u , : h

I coefficienti di W sono olomorfi nelle {y~, y~, ..., yk} in un intorno di =, li possiamo inoltre prolungare analiticamente lungo un c a m m i n o arbitrario in 5 k ( P ) - A, perchb tale p r o l u n g a m e n t o analitico ~ possibile per i sistemi (I). Tale p r o l u n g a m e n t o ~ p u r e univoco in 5 k ( P ) - 5, gi/t indipendente dal cammino scelto, perch~ il polinomio • si muta in s~ in ogni p r o l u n g a m e n t o analitico effettuato lungo un c a m m i n o chiuso di 3krp)--5. P e r poter trarre la conclusione finale h - s ci occorrono due teoremi delle funzioni di pifi variabili complesse, le dimostrazioni dei quali non riportiamo qui. I.

TEOREMA

DI

RIE~ANN

SULLE

SINGOLARIT~k

RIMOVIBILI.

-

(Cfr. [15],

pag. 186). L a funzione f(yl, y~, ..., yk) sin olomorfa nell'intorno U del punto yO con

W. T H I . ~ :

328

Teoria degli anelli di serie di pote~zc

eccezione eventualmente di punti giacenti sopra una varieta a~alitica ~ di U di una dimensione < k ; inoltre il valore assoluto di f sia limitato in U - ~. Allora si pub completare la definizione di f net punti di ~ in modo tale Che essa risulti olomorfa in yO; in altre parole, i p u n t i di ~ si presentano come singolarit(~ rimovibili. II. TEOREI~IA DELLE SERIE DI CAUCHY-TAYLOR.

-

(Cfr. [15], pag., 49).

L a funzione f(y~, y~, .... , y~:) sia olomorfa nel campo eitindrico 5. Allora f possiede una rappresentazione come serie di potenze dell'anello ~kY, convergente in 3. Poieh~ per t u t t i i punti di A(0 ) valgono le disuguaglianze 17(4), si ha in 3~,(P) - -

A :

(2)

I ~)

I~

(j--l,

2 .... n - - k ; ~ - - l ,

2,

s).

I1 teorema di RIEMAI~N ~ applicabile ai coefficienti di (I), t h e sono olomorfi in 5~(~)-- h e per la (2) anehe limitati. Questi coeffioienti sono d u n q u e olomorfi in 5k e per il teorema di CAUCttY-TAYLOR risultano allora serie di potenze dell'anello ~ky, convergenti in 5k(~). Se fosse h < s. il polinomio qr sarebbe un di~isore proprio della funzione norma (P(~) nell'anello ~ [ u k + ~ , U~+x, ..., u , , z]; ma un tal divisore non esiste per l'irridueibi!ith di ~(0); si ha quindi h - s. I risultati visti si possono cosi r i a s s u m e r e :

Tutti i germi p r i m i di A(O) net suoi p u n t i semplici si possono ricondurre l' uno all'altro mediante prolungamento analitico. Ne segue in particolare: TEORE~A 60.

Sia 0 un ideale primo dell'aneUo di serie di potenze ~,, e A(O) una variet~ analitica monogena di O. L'insieme dei punti semplici di A(0) ~ connesso mediante curve. 17.14. P e r estendere i risultati del n. 17.13. ai germi primi net punti non sempIiei, occorre u n ' e s t e n s i o n e a tali germi del concerto di prolungamento analitico. Sia l ~ p un germe primo del punto P e t~Q un germe primo del punto Q. Sia Ap una varietk analitica monogena, rappresentaDte di ~ e , e AQ una variet~ monogena di ~ Q . Esista un punto R, giacente su A p e su AQ, e punto sempliee per entrambe. Se il germe primo di Ap in R coincide col germe primo di AQ in R, diciamo che /if)p e /]bq sono prolungamento analitieo l ' u n o d e l l ' a l t r o ; come prolungamento analitico viene eonsiderata anche l'operazione che si ottiene ripetendo un numero finito di volte il procedimento precedente. ]~ facile vbrificare t h e la definiziene data in 17.10. ~ un caso particolare della presente.

W. T m ~ :

Teoria degli a~elli di serie di potenze

329

Da tale definizione e dal risultato di 17.13. segue: T~Om~MA 61. Sia 0 un ideale primo dell'anello di serie di poten~e ~,~ e A(O) u~a variet~ analitica monogena di 9 (cfr. 17.2). Due qualsiansi germi p r i m i di deoompo. sizioni locali di A(9) si ottengono l'uno dall'altro mediante prolungamento analitieo. I1 teorema 61 ehiarisee la ragione del termine (< monogeno )> t h e abbiamo riservato alle varieth del tipo di A(6), in quando prendendo le mosse da an qualsiasi germe primo si pub generare tutta la A(6) mediante prolungamento analitico. 17.15. Con la monogeneitk 6 eollegata un'altra propriet~ dei germi primi delle decomposizioni loeali di A(0), tie6 il earattere di punti ¢ generali )) ehe essi hanno, nel sense ehe segue (cfr. 14.7.): TEOREMA 62. Sia 0 "un ideale primo dell'anello di serie di polenze ~,, e A(~}) una variet~ analitica monogena (eft. 17.2). Sia f(xl, x~, ..., x , ) una serie di ~ , , , il cui campo di eonvergenza contiene il campo Uo nel quale ~ definita A(O) (eft. 17.2) ; la funzione f svanisca sopra un germe primo di una deeomposizione locale in un punto qualsiasi di A(O). Allora f svanisoe identicamente sopra A(0); dal teorema 57 segue inoltre the f a ppartiene a 0. Sia l ~ p il germe primo di A(~), sul quale svanisee la f. Esiste allora una varietk analitiea monogena Ap, rappresentante di l ~ p , sulla quale f - - 0 . Sia lql~Q il germe primo della deeomposizione locale di Ap in un punto sempliee Q di Ap. Se seegliamo Ap cost piecola t h e si abbia A p C A(O), per il teorema 55 risulta ehe lq~Q 6 anelie il germe primo di A(~) in Q; esso sia rappresentato dalle serie di potenze: (1)

yk+j -- ¢P~+j(y)k

0" ---- 1, 2, ..., n - - k).

Poieh6 [ svanisce su Ap, sostituendo tali serie in f si h a :

f(~, y~, ..., yk, ~k+~, ~ + 2 , ..., ~,) "-~ O.

(2)

Nel prolungamento analitieo del sistema (1) in 5k(P)--A la relazione (2) rimane valida e dal teorema 61 segue la tesi. 17.16. II teorema 62 ammette la seguente generalizzazione. T~,ORE~X 63, (err. [8], § 2, IV. Sia A una variet~ analitica definita nell'intorno U del punto O, la quale determini in 0 un germe analitico l~. Annali di Matematica

42

330

W. THz.~x~: Teorla degli a'nelli di .~er~e d,i potenze

Sia ~ un germe primo del punto 0 e Ao una variel~ analitica monogena di (~, appartenente ad U. Sia dato su A e su Ao un punto P con la seguenle propriet& : Un germe primo della decomposi~ione locale di Ao in P giaccia sopra u n germe primo della decomposi~ione locale di A in 1=). Allora (~ appartiene ad iE),

Le equazioni di A in U siano

5--0,

f~e~,~,

(i=1,

2,..., s).

Dal teorema 62 segue t h e le fun~ioni fi svanisoono su Ao ed appartengono all' ideale primo di (~. Ne segue la tesi.

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