Invent. math. 86, 1-17 (1986)

Iyl veYl tiones

mathematicae 9 Springer-Verlag 1986

Th6orie des genres analytique des fonctions L p-adiques des corps totalement r6eis GeorgesGras Universit6 de Franche-Comt6 et CNRS, Facult6 des Sciences, Math6matiques-UA 040741, F-25030 Besan~on Cedex

w0. Introduction Le r6sultat d6montr6 dans cet article est un r6sultat de p-divisibilit6 des valeurs des fonctions L p-adiques, dans le cadre suivant: (0.1) HypothOses et position du probl~me. Soit k un corps de nombres totalement r6el de degr6 d, v6rifiant la conjecture de Leopoldt pour le nombre premier p. Soit X un caract6re de Gal(kab/k) fl valeurs dans I17;, pair et d'ordre fini; on peut d6composer Z de fa~on unique sous la forme )~=q~0, off ~0 (resp. 0) est d'ordre 6tranger ~t p (resp. d'ordre puissance de p). On d6signe par Lv(X) la fonction L p-adique de k relative au caract+re X; on se propose d'6tudier l'influence de ~ sur la valuation p-adique des valeurs Lp(Z, s), seZp.

Enonc6 du r6sultat principal

(0.2) Notations. On d6signe par m l'id6al maximal du corps local engendr6 sur Qv par les valeurs de X, et par v., la valuation d'id6al m correspondante d'image Z. On d6signe par Fo (resp. F) le sous-corps de k"b fixe par Ker~o (resp. Kerx). On pose alors D = ~ p d~, off pdr est l'indice de d6composition de l dans F/Fo, 1 parcourant l'ensemble des id6aux premiers de k, 6trangers ~, p, divisant te conducteur de X, et totalement d6compos6s dans Folk. (0.3) Th6or6me. On suppose X distinct du caractOre unit6 et on pose e = 0 si q~ 4:1, e = 1 sinon. Alors on a les r6sultats suivants: (i) vm(2-dLp()~,s))>__D-~, pour tout S~Zp; (ii) dans (i), on a ou bien ~galit6 pour tout s~Zv, ou bien in6galit~ stricte pour tout sEZv.

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G. Gras

Lorsque ~o=1 (i.e. e = l ) , les termes de l'alternative (ii) ci-dessus sont caract6ris6s par un invariant num6rique 6~{0, 1} dont le calcul ne fait intervenir que les propri~t6s 616mentaires des Frobenius, au-dessus de k, des id6aux premiers 1 (cf. (5.13) et th6or6me (5.14), puis (5.15)). Nous avions conjectur6 ces divisibilit6s dans [G, w apr6s les avoir d~montr6es en s = 0 et 1, pour k = ~ (it ceci pr6s que, dans le cas ~p=l, l'existence et la caract6risation de 6 restaient en suspens); ces divisibilit6s particuli6res r6sultaient de la confrontation des formules analytiques classiques (p-adiques) avec la th6orie du corps de classes, via le th6or6me principal sur les corps ab61iens de Mazur et Wiles [M-W]. Dans cette d6marche, l'aspect corps de classes reposait sur des principes de th6orie des genres (alg6brique) appliqu6s soit A des p-groupes de classes relatives convenables (cas s = 0), soit/~ des p-groupes de torsion de groupes de Galois de p-extensions ab61iennes pramifi6es maximales convenables (cas s = 1). Un tel point de vue ne semblait pas g6n6ralisable, et restait de toutes fa~ons limit6 /~ des valeurs particuli6res de s~2gp. Cependant il sugg6rait l'existence d'une propri6t6 de divisibilit~ gdn6rale, susceptible d'atre obtenue de faqon analytique; c'est elle que nous 6tablissons ici et que nous avons appel6e, par analogie, th6orie des genres analytique. De faqon plus pr6cise, la divisibilit6 obtenue pour 2-dLp(Z,s) r~sulte, par int6gration, d'une description particuli6re de la pseudo-mesure p-adique correspondante, et dont l'existence constitue le thdor~me de Deligne-Ribet d6montr6 dans [D-R]. La description en question (issue du th6or6me (4.11) sur l'id6al des mesures <~eul6riennes>)) est li6e essentiellement /t la possibilit6 de <>, dans Gal(k"b/k), les groupes d'inertie (pour une extension ab61ienne donnde de k) des places de k ne divisant pas p. Cette propri6t6, triviale dans le cas k = Q, repose dans le cas g6n6ral sur la conjecture de Leopoldt (cf. Lemme (2.2)). De marne, pour ~o= 1, le calcul de 6 r6sulte de la comparaison des deux th6or~mes de structure concernant ces pseudo-mesures (celui, g6n6ral, de Serre [S, (1.15)], et le th6or~me (4.11)). Except6 la conjecture de Leopoldt, le thdor6me (0.3) est ind6pendant de toute hypoth~se et n'utilise pas [M-W]; il s'applique ~ toute formule analytique p-adique, faisant intervenir des valeurs de fonctions Lp, en donnant des pdivisibilit6s pour les invariants ainsi exprim6s (ordres de groupes de classes relatives, de groupes de torsion en p-ramification ab61ienne, de noyaux mod6r6s du K2...), et issue par exemple de [M-W].

w 1. G6n6ralit6s sur les fonctions Lp R~sumons l'essentiel de ce qui concerne les pseudo-mesures de Deligne-Ribet, en adoptant la plupart des d~finitions et r~sultats donn6s par Serre dans [S]. (1.1) Ensembles de places de k et groupes de Galois. On appelle successivement: S o l'ensemble des id~aux premiers de k divisant le conducteur de Z (i.e. ramifies dans F/k) et ne divisant pas p,

Fonctions L p-adiques des corps r6els

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Z le sous-ensemble de S O form6 de ceux divisant le conducteur de ~b et ne divisant pas celui de (o (i.e. ramifi6s dans F/Fo et non ramifi6s dans Fo/k ) (cf. (0.2)), Sp l'ensemble des id6aux premiers de k divisant p, S~ l'ensemble des d places ~t l'infini de k,

S = S p ~ S ~ w S o. On appelle k s l'extension ab61ienne S-ramifi6e (i.e. non ramifi6e en dehors de S) maximale de k dans k ab, Gs le groupe de Galois de ks~k, k~ la Zp-extension cyclotomique de k. Pour tout groupe ab61ien profini G on ddsigne par Gp le p-sous-groupe de Sylow de G. En vertu de (0.1) on a

Gs=AsQF,

(1.2)

off

As=Gal(ks/koo),lAs, v[< oo, F~-~p.

(1.3) Mesures et pseudo-mesures p-adiques. L'alg6bre des Zp-mesures sur G s est de la forme

Aas = A A=[[T], off AA= est l'algbbre des Zp-mesures sur A s e t T = 1 - 7, off 7 est un g6n6rateur topologique de F (cf. (1.2)). Le Aa=-module des pseudo-Zv-mesures sur G s est, compte tenu de la finitude de As, ;, de la forme

]I~==TJp~A=T I| Off ~A= est la mesure de Haar sur A s (cf. IS, (1.15)]). (1.4)

Les caractOres ( ) et co. Consid6rons dans G s le sous-groupe dense form6

des symboles d'Artin ( k ~ / k ) d e s id6aux a de k 6trangers fl S; puisque S contient Svw Soo, on peut d6finir par continuit6 une norme absolue sur G s,

N: Gs~Tl*, en posant

N(~)=Nct

(norme absolue usuelle). Par ailleurs on a la

d6composition canonique habituelle Z p* - tor(Z*)O(1 + qZ~), ofl q = p si p ~ 2 , q = 4 sinon. Par composition de N avec les deux projections issues de la d6composition ci-dessus, on obtient les caract6res suivants:

( ) : G s ~ l +qZv, a~: Gs~tor(TZ* ). I1 est clair que K e r ( ) = A s e t que I m ( ) = 1 + q [ k n Q oo: II~]Zp.

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G. Gras

Fonctions Lp. D'apr& [D-R], il existe une unique pseudo-mesure de la forme (1.5)

As=CsO~AsT-l+A's,CseZ p,

A's~AGs (cf. (1.3)),

telle que l'on ait l'6galit6 suivante (dans ff~p):

L()~o~-",l-n)=(Z()",As),

pour tout n > l ,

off L e s t le prolongement m6romorphe sur C de la fonction L de k correspondante, et off ( , ) est l'op6ration d'int6gration d'un caract6re par rapport h une pseudo-mesure [S, (1.11)]. On appelle fonction L p-adique de k associ6e au caract6re Z la fonction Lv(Z) dont les valeurs sont donn6es par l'int6grale

Lv( z, s)= (Z()~-s, As),

(1.6)

s~Zp.

Restriction des pseudo-mesures. Comme la restriction de Z( )~-~ /t A s est un caract~re d'ordre fini, on peut, pour le calcul de l'int6grale (1.6), remplacer (par projection) AA~ par une alg~bre de la forme AA=7Zp[A], ofa A est un quotient fini convenabte de As; il revient au m~me de se donner un sous-corps L de k s, contenant k~o et F (cf. (0.2)), et de degr6 fini sur k~. Soit L un tel sous-corps de ks; alors la projection

A s--*A = Gal (L/k oo) induit l'application

AAs---~AA=Zp[A], d'ofi l'application

A~s~A L= AA~T], et finalement l'application suivante que nous appelons par commodit6 restriction de A~s ~t L: (1.7)

ress, L: A ~ s ~ A L = Z p ~ A T - 1OAL,

c~A= ~ a. a~A

On pose, ~ partir de la pseudo-mesure 2 s d~finie en (1.5), (1.8)

2s, L= ress,L(2S).

I1 r&ulte du choix de L que l'on a, d'apr6s (1.6), (1.9)

Lv()~,s)=()~()l-S,2s, L),

pour tout s~Zp.

Le but du w suivant est de prgciser le choix de L, choix qui sera dgterminant pour la m&hode d6velopp6e dans le w4.

w2. D6ploiement des groupes d'inertie (2.1) Notations. Soit ksp l'extension ab61ienne Sv-ramifi6e maximale de k dans k"b (le corps ksp est donc une extension totalement r6elle de degr6 fini sur koo); on d6signe par Asp le groupe Gal(ksp/koo) (cf. (1.1)).

Fonctions L p-adiques des corps r6els

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(2.2) Lemme. Soit S u n ensemble fini de places de k contenant Sp (S ne contenant pas nOcessairement S~). Alors on a Gal(ks/ks~)p ~- [-[ p,, oft pq est le q~S- Sp

p-groupe des racines de l'unitk du complktk de k e n q. II en rdsulte alors les propridtds suivantes : (i) Dans cet isomorphisme, I~q correspond, pour

tout

q ~ S - S p , au p-groupe

d'inertie de q dans ks/k , lequel est donc d'ordre dgal d la p-partie de 1-~1 (en posant N q = - 1 si q~So~). Nq (ii) (cf. [J, Th. 6].) Soit F une extension abdlienne de degrd fini de k dans ks; alors il existe une unique extension abdlienne minimale L de k contenant F et ks, (appelde dans [J] le corps des p-genres de F) et ayant les propriOtOs suivantes: (ct) L/F est Sp-ramifide, (fl) Gal(L/ks,)p= @ Hq, oi~ H a est le p-groupe d'inertie de q dans L/k. q~S- Sp

Ce lemme peut se d6duire de la formule explicite de [As,p] donn~e sans d6monstration dans IS, (2.8), (2.9)], comme g6n6ralisation du cas S = Sp effectu6 par Coates dans [C, Lemma 8, App. 1]; cependant la connaissance de IAs.p[ n'est pas n6cessaire comme le montre le raisonnement direct suivant: Soit Us, le produit, pour peSp, des groupes d'unit6s locales principales en p, et soit I~s_s, = I-I #q. Soit E un sous-groupe, d'indice fini 6tranger ~t p, du q~S- Sp

groupe des unit6s (globales) de k, choisi de telle sorte que les injections diagonales canoniques E ~ U s . et E~Us~ X#s_s, soient d6finies; on d~signe par adhs,(E ) (resp. adhs(E)) l'adh~rence de l'image de E dans Us, (resp. dans Us, x #s- s~). Par le corps de classe, Gal(ks/ks~)v s'interpr6te comme le noyau de la surjection canonique Us, x gs - sJadhs(E) ~ Usp/adhsp(E), /t savoir adhs,(E ) x Ps_sp/adhs(E ) qui est aussi 6gal/l adh s( E) #s- s Jadh s(E) ~- # s- s,/adh s( E) n # s- s, (en 6crivant, par abus,/~s- s~ pour { 1} x #s- s,). Or on ale diagramme commutatif de Zp-modules suivant: Zp|

E

is_ ~ adhs(E )~_Us Xps_s ~

adhs,(E) -

Us,

constitu6 des applications <> is, isp et de la projection canonique j. La conjecture de Leopoldt 6quivaut /l l'injectivit6 de isp; ainsi j e s t aussi injective, et a d h s ( E ) n # s _ s = {1}. D'ofl Gat(ks/ks,)p~_Ps_s . Ceci entraine facilement les deux autres points du lemme.

6

G. Gras

(2.3) Remarque. Si k = Q , le corps des p-genres de F se d6crit tr6s simplement: en effet, supposons que oo~S; le corps ~ s est le compos6 direct sur ~ des corps Q~p.~, ~u,o~, l~S-{p, Go}. V6rifions que L e s t l'intersection des corps d'inertie, dans Qs/F, des q ~ S - { p } : ces corps sont les compos6s F~s_~q~, ce qui fait que L/F est Sv-ramifi6e et que

Gal(L/~tp~)p=

@ Gal(L/Lnff~s-~q~)p;

q~S- {p}

ceci caract6rise le corps des p-genres de F. Nous allons utiliser le lemme (2.2) pour les corps F et L suivants: (2.4) Notations. On d6signe par F l'extension cyclique de k dans k s fixe par Ker X (cf. 0.2)), et par L le corps des p-genres de F (il est donc totalement r6el). Conform6ment aux notations de la fin du w1, on a

A=Gal(L/ko~),

AL=TZpOtAT-I@AL, Off

AL=Zv[A]I[T]] et ~A= ~ a. aEA

w3. Probl~me de la 2-divisibilit6 Le choix de L &ant celui fait en (2.4), on a l e r6sultat suivant ~t partir de la d6finition de la restriction de A6~ ~tL (cf. (1.7), (1.8)), et de celle de 2 s (cf. (1.5)): (3.1) Lemme. On a 2S,L=2a2L, 2L~fl L. Ce r6sultat est mentionn6 dans [R, w et r6sulte des propri6t& g6n6rales, d6montr6es dans [D-R], sur les questions de parit6, ~t savoir que si cq, pour q~Soo, est l'616ment d'ordre 2 de Gs engendrant le groupe d'inertie de q dans ks~k, alors la pseudo-mesure 2 s est telle que (3.2)

Cq2s=2s,

pour tout q~Soo.

On retrouve aussi (3.1) (pour p = 2) en introduisant le corps des 2-genres M de F(]/-s le lemme (2.2) montre alors que

Gal(M/L) = @ (cq,M) ~_(Z/2Z) d, qES~

et (3.2) permet d'6crire is, M sous la forme 1-I (1 +cq.~)2~. M, d'ofi le r6sultat par q~Soo

restriction ~t L, puisque Cq,L= 1 pour tout q~S~. Ceci d6finit la pseudo-mesure 2 L qui est de la forme (3.3)

2L=CLOCAT-I+2'L, CL6Z p, OtA= ~ a,

2'L~AL (cf. (2.4)).

creA

En utilisant (2.2), (i), ~ partir de (1.5), (1.8) et (3.1), on obtient

cL=cslGal(L/ks,)1-11-I IESo

1--~

,

so=s-(spus~),

Fonctions L p-adiques des corps r+els

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au produit pr6s par une unit6 p-adique (rappelons qu'il est conjectur6 dans [C] que cs est une unit6 p-adique). Nous convenons de ne consid6rer d6sormais que les nombres 2-dLpO~,s), nombres pour lesquels on a la formule (cf. (1.9)):

2-dLp()~,s) = (Z( )I-S,•L),

(3.4)

pour tout seZp;

nous dirons que 2 Lest la pseudo-mesure de Deligne-Ribet associ6e/t L. (3.5) Remarque. I1 est en effet naturel de considbrer 2-dLp(X) comme la fonction L p-adique primitive associ6e ~ Z (Zp()O n'6tant pas primitive eu 6gard /t S~), chaque facteur 2 s'interpr6tant dans (3.1) comme facteur eul6rien de la forme

[ks/k' dufaitque ~ --)=cq

1 (~)),q~S~,enconvenant

puisque L est r6el), et en posant N q = -

(donc ( ~ ) = 1

1 (puisque d'apr~s (1.4) on doit avoir

Ncq = - 1). w4. Th6orie des genres analytique Les corps F et L sont ceux d6finis en (2.4), ~t partir du lemme (2.2); on a donc (4.1)

Gal(L/ksp)p= ~ HI,

So=S-(SpuSo~ ),

I~So

ot~ H l e s t le p-groupe d'inertie de 1 dans L/k; c'est un groupe cyclique d'ordre 6gal/l la p-partie de l'indice de ramification de 1 dans F/k. On s'int6resse d6sormais/l l'influence du caract6re ~9 (cf. 0.1)), via celle de 2; (cf. (1.1)). On v6rifiera, a posteriori, que cette influence ne se fait que par le sous-ensemble S' form6 des 1 totalement d6compos6s dans Fo/k (cf. (0.2)). (4.2)

Notations. On appelle K le sous-corps de L fixe par H = Q H 6 pour leZ

chaque I t S on d6signe par ht un g6n6rateur de H~ (cf. (4.1)). Le corps K contient ksp; les 616ments de 2; sont non ramifi6s dans K/k. (4.3) Dkcompositions de H. Pour toute partie J de 2;, on d6finit successivement:

nj l~J

Ls, le sous-corps de L fixe par H~_ s (L s est l'extension S, uJ-ramifi6e maximale de K dans L), A~ = Gal(Ls/k~) = A/H~_ s

(ofa A = Gal(L/ko~)).

On a toujours H=Hj@Hz_ s e t L e s t le compos6 direct sur K de L s e t L~_j; on a L=L~, K=L~.

Restriction des pseudo-mesures. Pour toute partie J de 2;, introduisons l'application de restriction de AL /t Lj: (4.4)

resL,La: ~IL'-'~ ~ILj

;

8

G. Gras

ici, pour J4=1;, la restriction ~ L s de la pseudo-mesure 2 L de Deligne-Ribet n'est pas 6gale /t 2Lj (au sens d6fini en (3.3)); il apparait des facteurs eul6riens par le fait que les id6aux premiers de I ~ - J ne sont pas ramifi6s dans Ls/k. Relativement/t la d6finition (1.7), on a donc resL,L~oress,L=ressj,L~oreSs,s~,

Sj=(S-X)~J,

off reSs,s~ est la restriction de/IGs ~ ksj. Pour toute pseudo-mesure VLeA L posons (4.5)

VL,Lj= reSL,L~(VL);

lorsque vL e s t la pseudo-mesure 2 L de Deligne-Ribet (3.3) on a l e suivant: (4.6)

r6sultat

Lemme. Pour toute partie J de S on a

( 1( )t *

2L,Lj=2LJI~j 1 - - ~

D'apr6s IS, (3.11)] et d'apr6s l'unicit6 des pseudo-mesures consid6r6es, on v6rifie que l'image de 2 s (cf. (1.5)) par reSs,s~ est l~s-J 1

1

car pr6cis~ment 2 ; - J = S - S j . D'ofi le r6sultat par des restrictions ~videntes et apr~s suppression des 2d/t interpreter ici comme facteurs eul6riens relatifs aux places ~ l'infini (cf. (3.5)). On est donc amen~ ~ ~tudier les pseudo-mesures qui ont la propri6t~ (4.6) pr6c~dente:

Pseudo-mesures et mesures eulOriennes (4.7) Ddfinitions. (i) Nous disons que )~Lefl L est une pseudo-mesure eul6rienne dans L / K si l'on a, pour toute partie J de Z,

(ii) De m~me, 2LeA L est dite une mesure eul6rienne dans L/K si les relations ci-dessus ont lieu, lorsqu'on remplace -ALj par ALj, pour tout J~_S (cf. (4.2), (4.3), (4.5)). Remarque. La coh6rence de ces d6finitions (i.e. le fait qu'une mesure, eul6rienne en tant que pseudo~ le soit en tant que mesure) r6sulte du (ii) du lemme suivant: 1

(4.8) Lemme. (i) Tout facteur euldrien de la forme 1 - ~ - ~ z , zeGal(Ls/k), leZ, est non diviseur de 0 dans ALj (J ~_Z).

Fonctions L p-adiques des corps r6els

9

(ii) Si 2 L t T A L est une mesure eul&ienne dans L / K , alors T - 1 ~ L est encore une mesure eul&ienne dans L / K . Posons r=TUa, ueZp, a t A j ; si ae= 1, e > 1, il devient suffisant de v6rifier la propri6t6 pour 1 -

7u ; or c'est une s6rie de ZpI[T] dont le terme constant

est non nul; d'ofi (i). Ecrivons

l~-J (

1 (Lj/k~

pour tout J~_Z; alors le terme constant de 2L.L~, comme s6rie en T, est 0; or celui des facteurs eul6riens est non diviseur de 0 duns AL~ (faire u = 0 duns (i)), donc 2 L t T A L ~ , pour tout J ~ Z ; d'ofi (ii). En particulier, si 2LeA L e s t une pseudo-mesure eul6rienne duns L / K , T2LeTA L devient une mesure eul6rienne (duns (4.7), (i), on a TflL~ c_ AL~), doric 2 L = T-~(T2L) est une mesure eul6rienne dans L/K. (4.9) mesure

Corollaire. Duns l'~criture (4.7),(i), de 2L.L~, il existe une unique pseudo2Lj~ffILj telle que l~z-J 1

1

en outre 2L~ est eul~rienne duns L J K , et on a, pour tout j'c_ j , 1

On a un ~nonc~ analogue en termes de mesures eul~riennes. Th~or~me de structure de l'id~al des mesures eul&iennes.

(4.10) Dffinitions. (i) Pour tout I t S , on fait choix d'un prolongement ~t L de l'automorphisme de Frobenius de I (d6fini sur le corps d'inertie de 1 dans L/k); on d6signe, par abus, par ( ~ - ~ ) u n

tel prolongement, d~fini modulo H l (cf.

(4.2)). (ii) Pour tout I t S , on pose alors eLL=e,= 1 - - ~

et

XI,L=X,= 1 - h 1 (cf. (4.2)),

et pour toute partie J de Z, on pose nJ,L=n

=

[I le,~ -- J

En ce qui conc

rne

IEJ

sa restriction ~ un sous-corps L s est le Frobenius

sinon c'est un prolongement ~t L~, not6 aussi

r

du

10

G. G r a s

Frobenius de 1 correspondant, et la restriction de et ~t L s est gI,Lj=I ; enfin la restriction X~,Lj de x~ /t Lj est nulle d~s que l~J. On en

NI

d~duit facilement que les mesures R6ciproquement, on peut 6noncer:

tlj

sont

eul6riennes

dans

L/K.

Th6or~me. Pour tout systOme de prolongements des Frobenius, l'iddal de A~. des mesures eul~riennes dans L/K (cf. (4.7), (ii)) est l'idd.al engendrO par les tlj,

(4.11)

J ___S (cf. (4.10)). (4.12)

Remarques. (i) On a donc, pour toute mesure 2L, eul6rienne dans L/K, ~'L: Z OSqj,

OjGAL, pour tout J ~ Z .

J~[

Toute pseudo-mesure eul6rienne (cf. (4.7), (i)) peut s'6crire de faqon analogue, mais avec des 616ments OjeT-1AL, qui ne sont ni des mesures ni des pseudo-mesures. (ii) Les Oj d6pendent du syst6me de prolongements utilis6 et ne sont pas uniques. (iii) La restriction 00, K de 00 h K est 6gale ~ 2 K (cf. (4.9)).

Notations. On d~signe par A la 7.p-alg6bre Zp[[T]] et on identifie A L ~ A[A]) (cf. (2.4)). (4.13) Lemme. Uhomomorphisme de A-modules, qui fi vLeA[A] associe (VL,Lj)J=~e I-I AlAs] (cf. (4.3), (4.5)), a pour noyau (I-IxOA[A] (cf. (4.10), (ii)). x jc~r

le_y

Faisons choix d'un syst6me U de prolongements dans A des 616ments de

Gal(K/ko~); alors U est une base de A[A] consid6r6 comme A[H]-module, et tout vLeA[A ] s'6crit de faqon unique VL= ~ UV[, u~U

(4.14)

v~EA[H].

On a alors VL,L~= ~" ULV~L,Z~, V~L,LeA[Gal(Ls/K)] qui s'identifie canonique-

uEU

ment ~ A[Hs]; l'6criture pr6c6dente &ant toujours unique sur les uL~, la nullit6 de VL.L~ 6quivaut h celle des V~,z~ (consid6r6s comme 616ments de A[Hj]) pour tout ueU. Comme H = O H ~ , on a l'isomorphisme de A-modules

A[H] ~-(~AEH,] = ~)A [x,]. Donc une A-base de A[H] est constitu6e des I-[x~q, 0
Fonctions L p-adiques des corps r6els

11

J cX, ne peut avoir de composantes non nulles que sur les 616ments de la forme [Ix"(, n~>0 pour tout I t S ; d'ofl le r6sultat. (4.15) D~monstration du th~orOme (4.11). Consid6rons maintenant une mesure eul6rienne 2L; on rappelle (cf. (4.9)) que pour tout J ~ Z, 2Lj~ALj est donn6e de fagon unique via la restriction de 2 L /t Lj (2K correspond /t J = 0 ) . Fixons un syst~me de prolongements ( ~ )

des Frobenius des I~S. On construit alors les

coefficients 0s par induction sur IJl: (i) J = 0 . Dans ce cas on appelle 00 un rel6vement arbitraire de 2 r dans A[A]; on a 2K=00,~. (ii) Supposons que pour tousles Jc_S tels que IJl
2L,,,= E O./,l,J, 1-I el,L~,,I~[xt,LJ,, j~--d"

l~J'- j

IEj

pour tout J ' ~ X telle que IJ'[
VLj= E Oj,LJ [I ~LLJI--IXLLj; jcJ

leJ-j

lej

la sommation excluant j= J, les parties j ont encore strietement moins de n 616ments et les coefficients 6crits existent; on a vLjA[Aj]. Soit J'cJ; calculons ~ partir de l'expression (4.17) la restriction VL~,L~,de vL~ ~t Lj.: les Oj,L~ donnent Oj,L~, par d6finition, les I?lxLL~ donnent 0 d~s que j~:J', ainsi la lej

sommation obtenue porte-t-elle sur les j___J'; on obtient donc: j~J' = ~'Lj,

IeJ'- j

Iej

I e J - J"

I ~ El,L/, leJ J"

d'apr6s (4.16), l'hypoth6se de r6currence (ii) &ant valable puisque IJ'l < n. On a donc, d'apr~s (4.9), et pour tout J ' ~ J, l'6galit6 ~Lj,L,t, ~- ~L~r,L,r,"

Le lemme (4.13) appliqu6 dans LffK "5.la mesure 2L - v L j conduit

2La= VLj+ Oj,LJ1~ XI,La' OJ,L~eA[As], IeJ

ce qui permet de d6finir le coefficient OseA[A ] comme relavement arbitraire de OS,L~. On obtient bien l'analogue de (4.16) pour toutes les parties J h n 616ments au plus, et la propri&6 (ii) au niveau n. Ceci ach6ve la d6monstration du th6or6me (4.11).

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G. Gras

Le th6or6me (0.3) que nous avons en vue provient naturellement de l'int6gration de Z ( ) l - s par rapport ~t la pseudo-mesure 2 L de Deligne-Ribet 6crite sous la forme issue du th6or~me (4.11).

w5. D~monstration du th~or~me (0.3) (5.1) Notations. On appelle Z' le sous-ensemble de Z form6 des I totalement d6compos6s dans Fo (cf. (0.2)). On d6signe par pat (resp. pfl) l'indice de d6composition (resp. le degr6 r6siduel) de IES dans F/Fo.

Integration par rapport d et. D'apr+s (4.10) et (1.4), on a

(5.2)

( Z ( ) l - s , ~ , ) = 1- (NI)I-~ ( ~ ) NI Z

,

qui est dans m (cf. (0.2)) si et seulement si leZ' (en effet, on a d6j/t N I - 1 m o d p car l'indice de ramification de 1 dans F/k est divisible par p, et l'assertion

~quivaut alors ~ q) ( ~ ) = l

(

vm 1 (5.3)

) ; si l~Z', comme vm(p) > pdt+f t (cf. (5.1)), on a

NI

)~

>pa~,

pour tout s~Tlv.

Integration par rapport d x,. On a, pour tout 16X, ( ) ; ( ) 1 - s XI) =

1 - x(hl),

dont la valuation est 6gale/l pal+f t, pour tout seZv (cf. (5.1)). (5.4)

Lemme. Lorsque le degrO rOsiduel de IsZ,' clans F/Fo est Ogal d 1 (i.e. f~

=0), on pent choisir le prolongement (_L~)(cf. (4.10))de telle sorte que l NI x

1

=I-(NI-~,

1

auquel cas (cf. (5.2)) ()~()l-s, e t ) = l - ~ e q Z

p,

pour tout ss7~ v. Soit L' le corps d'inertie de 1 dans L/k; celui de l dans F/k est donc E n F . Si le degr~ r~siduel de 1 dans

F/k (donc dans L' nF/k)est ~gal /t 1, ( ~ )

fixe

une extension de E c~F dans L', et l'on peut prolonger ce Frobenius en

eGal(L/F). Si p + 2, on a NI = (N1) car l'indice de ramification de I dans if~k\

F/k est divisible par p; si p = 2, on pent modifier { - ~ } modulo I-II=Gal(L/L' ) \ L / /L/k\ Nl (cf. (4.1)) de telle sorte que Z k - i - J = ( - ~ e { - 1, + 1}. Wofi le lemme. (5.5) Remarque. Si au contraire le degr6 r~siduel de Is1;' est divisible par p (i.e. f~>0), alors v,,((Z( )l-s, et))=pat, pour tout SeZp et tout choix du prolon-

Fonctions L p-adiques des corps r6els

13

/L/k\ gement ~ - ) . Enfin, d'apr6s (5.2), si I~27, l'int6grale pr6c6dente est une unit6 p-adique dans tousles cas. (5.6) Notations. On pose D=~,p d~, l parcourant 27. On appelle Jo l'ensemble 1

des Ie2;' tels que f~=0 (cf. (5.1)).

Divisibilitds gdndrales. On rappelle que l'on a pos6 e = 0 si q~4:1, ~= 1 sinon, et que l'on suppose X4=1. (5.7) Lemme. On a vm(2-dLp(x,s))>=D-e, pour tout se7Zp. On peut trouver asGal(L/k) tel que v~,(1-Z(a))=e; on sait que ( 1 - a ) 2 L =2~ est une mesure eul6rienne dans L/K, et d'apr6s le th6or6me (4.11), on a, pour un choix arbitraire des prolongements des Frobenius,

O'seA L, J~_2

ce qui conduit, par intdgration, (5.8)

(1 -- ( a ) 1-* X(a))2- aLp(z, s)


ll (1

J~2"

I~,~

NI

J

Z

1~ (1 - x(h0). 16J

D'apr6s (5.2), (5.3), la valuation Dj du terme d'indice J dans (5.8) v6rifie l'in6galit6 (ind6pendante de s~Zp):

Os>

(5.9)

Z

eel+ Zpd,+Sl;

I~(,~ -- J ) n ~ "

|EJ

or par d6finition de D (cf. (5.6)), on a Ds>D pour tout J, ce qui implique, puisque v.,(1- ( a ) 1-sZ(a))= e pour tout SeZp, vm(2-dLp(Z, s))> D--e, pour tout

seZp. On a ainsi 6tabli (5.7), c'est-/t-dire le point (i) du th6or6me (0.3). De fagon plus pr6cise (pour 6tablir la canonicit6 de ces divisibilit6s et pour d6montrer le point (ii) du th6or6me (0.3)) utilisons le lemme (5.4): Faisons choix des (-L~), 1e27, comme il est dit dans l'6nonc~ de ce lemme, et consid6rons ~ nouveau (5.8), (5.9): (i) Si

+

~

J~27,

on

peut

6crire,

g

partir

de

(5.9) et

(5.6), Ds~D

pdI+fI>D.

IEJn(Z-,V)

(ii) Si Jc_27, J#Jo (cf. (5.6)), alors deux cas se pr6sentent: (ii 0 il existe leJ, lCJo; on a donc fl>0, auquel cas vm(1-x(hO)>p dx, d'apr6s

(5.3);

(ii2) il existe l e J o, lCJ, auquel cas on a ( Z ( ) I - ~ , el) _=0rood q, d'apr~s (5.4); or si qJ est d'ordre p', r > l , on a vm(p)=p'-l(p-1), donc v,,(q)>2p "-1 quel que soit p, et comme d~pd~ dans tous les cas.

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G. Gras

Ainsi on a e n c o r e Dj>D; C o i l Dj>D, pour tout J ~ , JW-Jo. (iii) Si J = J o, les points (5.2), (5.3) et (5.5), impliquent

Djo=D

+ v.~((z( )1_8, 0~o)). On a donc, en revenant ~ (5.8), vm(2-dLr(x,s))=D-e si et seulement si Djo --D, donc si et seulement si vm((Z()l-~,0~o))=0 (situation ind6pendante de s~Zp), donc par exemple si et seulement si v~(~o(0~o))=0. Par cons6quent on a vm(2-dLp(z,s))>D-e, pour tout s~Ip, si et seulement si q~(O'jo)Em. D'ofi le point (ii) du th6or6me (0.3). Un cas particulier int6ressant est celui off Jo=O (f~>0 pour tout 1~:'), car 0~ est, d'apr~s (4.12), (iii), un prolongement de (1-~K)2 K dans AL; or, pour ~o 1, vm(r 6quivaut ~ V~(2-dLp(q~, 1))=0; d'ofi le r6sultat suivant: (5.10) Proposition. Si q~* l et si pour tout l~S' on a f~>0, alors les conditions suivantes sont ~quivalentes : (i) vm(2-dLp(~p,s))=O, pour au moins un s~Zp (donc en fait pour tout S~Zp) , (ii) vm(2-dLp(~, s)) = D, pour tout s~Zp. Pour ~0= 1, voir la proposition (5.19). Remarque. La relation (5.8) conduit, sous l'hypoth6se de la proposition (5.10) (r 1 et f l > 0 pour tout l~U), ~ la congruence ( s ~ v ) , 2-dLp()~, s) = 2-~Lp(q), s)l-[ (Z()~ -~, e~) mod m ~+ ~,

qui renforce (5.10). Comme nous l'avons annonc6 dans l'introduction, lorsque ~o--1, on peut d~cider de l'alternative (ii) du th6or~me (0.3) au moyen d'un invariant num6rique dont l'existence va r6sulter de la confrontation des deux th6or~mes de structure concernant les pseudo-mesures (/~ savoir IS, (1.15)] et (4.11) (cf. (4.12), (i))). Etude du cas ~o= 1. Par hypothhse on a ici Z=~O, S o = E = 2 7 et K=ks~ (cf. (0.1), (1.1), puis (2.1), (4.2), (4.1)). On suppose en outre Z~=I. En appliquant le thhor6me (4.11) a la mesure eul6rienne 7"2L, on peut 6crire 2L= ~ OSqS, Off (5.11)

O~=o~jT-l +O'j,

~j~Zp[A],

O'.tEA L.

, > Comme v,,((;(( )1-8, ~ Osrls))=D, il reste fi +tudier l'int6grale de X( )1-8 par

j_c~

rapport /~ ~ e j T - l q s ;

l'int~grale par rapport ~ T -1 pouvant ne pas atre

j c~

d6finie, nous supposons que dans (1.2), (1.3), le g6n~rateur topologique ? de F a ~t~ choisi de telle sorte que sa restriction ?v/~ F engendre Gal(F/k); de faqon

Fonctions L p-adiques des corps r6els

15

6quivalente, (5.12)

( Z < ) l - s , T) = 1 -(7)1-sX(3:)

engendre m pour tout seT.p.

Comme auparavant, on choisit les ( ~ ( ~ ) c o m m e indiqu6 dans le lemme (5.4); on obtient cette fois, par un raisonnement analogue:

2-aLp(g,s)-(Z()l--S,~sor-lqso) m o d m ~

(cf. (5.6));

comme v m ( ( z ( ) l - s , T - l t l s o ) = D - 1 pour tout s~Zp, l'alternative (ii) du th6or6me (0.3) ne d6pend que de l'inversibilit6 ou non de Z(C~jo), ce qui conduit /~ poser la d6finition suivante: (5.13)

Dkfinition. Sous r6serve que les ( ~ ) v 6 r i f i e n t

les conditions du lemme

(5.4) et que 3: v6rifie la condition (5.12), on pose 6 = 0 (resp. 6 = 1 ) si Z(c~so) est (resp. n'est pas) une unit6 p-adique (cf. (5.6) et (5.11)). Remarque. Malgr6 la non unicit6 des 0 s, donc des as, l'existence de 6 r6sulte de la forme m6me du r6sultat que l'on obtient, et qui est le suivant: (5.14) Th6or~me. On suppose X+-I d'ordre puissance de p. Alors, on a v,,(2 a L v ( z , s ) ) = D - 1 pour tout S~Zp, si et seulement si 6 = 0 (voir successivement (0.2) et (5.13)). (5.15) Calcul pratique de ~. On remarque que les a s v6rifient la relation suivante, qui rbsulte de l'expression du terme polaire de '~L via le th6or6me (4.11) (cf. (3.3) et (5.11)): (5.16)

CL~A = ~ ~stls(O), jc2

off t/s(0 ) d6signe le terme constant de la s6rie rb~A L (cf. (4.10)); ce terme constant est donn6 par (5.17)

qs(0)= H

(1 1) -N-ial

[Ix,,

si

=atyt,

areA,

3:,eF.

Le calcul pratique de fi devient alors possible si l'inversibilit6 (ou non) des Z(~s) est indOpendante du syst6me de coefficients ~s satisfaisant ~t (5.16); ceci est vrai et on peut le v6rifier directement, cependant, le raisonnement suivant, sugg6r6 par le Rapporteur, conduit au r6sultat de faqon plus int6ressante: (5.18) Lemme. Soient Ixs6Zp[A], J c_ S,, des coefficients arbitraires satisfaisant d (5.16). Alors, il existe des coefficients 0 s de la forme Os=~sT -1 +O's, O's~AL, tels que •L = E OstlJ" dc~

En effet, (5.16) signifie que l'on a 2L=T2L-- ~ C~srlseTAL;

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G. Gras

or ;t~ est une mesure eul6rienne dans L/K, et par cons6quent, d'apr~s (4.8), (ii), T-x2~ est une mesure eul6rienne dans L/K; d'ofi le r6sultat, d'apr6s (4.11), en 6crivant que cette mesure est de la forme ~ 0}r/s. II n'est alors pas difficile de trouver en pratique des coefficients satisfaisant /t (5.16): il suffit de les construire par induction sur IJ[ et selon un proc6d6 analogue h celui utilis6 pour la d6monstration de (4.11) (cf. (4.15)). Illustrons le calcul de 6 sur un exemple montrant que cet invariant d6pend bien du caract+re )~ et pas uniquement de l'ensemble 2;: (i) Suit F = Q ( ] / i 5 ) (ce qui caract6rise )0, p = 2 . Ici L=(~o(]/~,l/~) (cf. (2.3)). Suit 70 un g6n6rateur topologique de F fixant ~(1/~,1/5); un prolongement du Frobenius de 3 (resp. 5) est yoh5 modulo F 2 (resp. ~/oh3 modulo F2), car 3 (resp. 5) est inerte dans t ~ o / ~ et ~(1/~)/~ (resp. ~o~/1~ et I~(l/~)/~ ). Posons, par exemple, y=7oh5 (pour avoir Z ( 7 ) - - 1); on peut alors prendre les prolongements suivants des Frobenius (modulo F2): =y (~-)

=yh3

pour avoir Z

(3)

(pour avoir Z (L--~-) = 1) ;

d'oth 0"3=1 ,

0"5 = h 3 .

On a ici Jo=2~; on doit donc calculer ~z (cf. (5.6), (5.13)). La relation (5.16) peut s'6crire ici (avec A = ( h 3 ) O ( h s ) ~ _ ( Z / 2 Z ) 2, CL--2): 2 % = % ( 1 - - - 11) (3 _~h3)1 +~(s)(1-~)(1-hs)+~x~3~(1- 89 En ~ appliquant le principe de calcul 6voqu6 plus haut, on obtient: ~ = 15,

~3~= - 5 ,

~5~= - 6 ,

c~s= 2.

On est donc dans le cas off 2-1L2(;~, s)~412(6 = 1, D = 2), pour tout s~Z 2. (ii) Consid6rons maintenant F = Q ( ] / ~ ) , p = 2 . On a toujours L =Q| et seul le caract6re ;( a 6t6 modifi6 (par multiplication par le caract&e d'ordre 2 de t~| Le choix de V n'est plus le m6me (y=7oh3h5 par exemple); fluff les prolongements m o d u l o F 2 des Frobenius: ( L / - ~ / = y et (-L/~/=Th 5, suit o"3 =1 et trs=h 5. Par un calcul analogue, on trouve alors ~ = 15,

~ta~= - 5 ,

Ctts~= - 9 ,

~s=3.

Donc dans ce cas on a 6 = 0 , c'est-~-dire que l'on a 2-1L2(z,s)~2Z 2 - 4 Z 2 pour tout seZ2. Terminons maintenant par ranalogue de la proposition (5.10) pour ~o= 1 : (5.19) Proposition. Si ~0=1, Z4:1, et si pour tout I~X on a fl>0, alors les conditions suivantes sont ~quivalentes :

Fonctions L p-adiques des corps r6els

17

(i) v~(cs,laspl)=O (S'=Sp~So~), (ii) v,,(2-dLp(z, s)) = D-- 1, pour tout s~Zp. Le calcul de fi est ici tr6s simple puisqu'il d6pend de Z(C~) (on a Jo = ~ par hypoth6se); on a (cf. (4.12), (iii), (5.11)):

I1 est alors clair que Z(~0) est inversible si et seulement si Cs,lAspl l'est w S~) puisque cxc~. 1 est inversible et que AO = Gal(ksJk~)= Asp.

(S'=Sp

Remarque. Pour k = Q , ~o=1, z ~ l , l'hypoth6se de la proposition (5.19) (f~>0 pour tout l~Z) suppose F n ~ ~ Q . Lorsqu'elle est v6rifi6e, v , , ( 2 - 1 L p ( z , s ) ) = D - 1 pour tout ssZp. Conclusion (i) Le th6or~me (0.3) est donc pr6cis6 par le th6or6me (5.14) et les propositions (5.10) et (5.19). (ii) D a n s le cas ~0---1, l'int6r6t de l'invariant fi est de m o n t r e r qu'il y a deux situations bien distinctes: ou bien fi = 0 , auquel cas vm(2-aLp(Z, s ) ) = D - 1, pour tout SSZp (en particulier la fonction Lp(z) n'a pas de z6ro dans Zp), ou bien fi = 1, auquel cas les valeurs de Lp(Z) ont des p-divisibilit6s plus grandes. (iii) Le r6sultat obtenu est optimal, du point de vue th6orie des genres, sauf peut-&re si des places de k au-dessus de p se d6composent totalement dans le sous-corps de k ab fixe par Ker(o~-lq~) (resp. Ker(q~)) si p ~ : 2 (resp. p = 2 ) ; dans ce cas, et pour k = Q uniquement, nous avons obtenu un r6sultat, en utilisant les techniques d6velopp6es ici complet (fi paraitre).

Remerciements.Je remercie le Rapporteur pour ses commentaires et suggestions qui m'ont 6t6 tr6s utiles.

R~f~rences [C]

Coates, J.: p-adic L-functions and lwasawa's theory. Frtihlich, A. (Ed.): Algebraic number fields. New York: Academic Press 1977, p. 269-353 [D-R] Deligne, P., Ribet, K.A. : Values of abelian L-functions at negative integers. Invent. Math. 59, 227-286 (1980) [G] Gras, G.: Canonical divisibilities of values of p-adic L-functions. In: Armitage, J.V. (Ed.) Journ6es Arithm6tiques d'Exeter (1980), University Press, 1982, p. 291-299 [J] Jaulent, J.-F.: S-classes infinit6simales d'un corps de nombres alg6briques. Ann. Sci. Inst. Fourier 34, 1-27 (1984) [M-W] Mazur, B., Wiles, A.: Class fields of abelian extensions of ~. Invent. Math. 76, 179-330 (1984) [R] Ribet, K.A.: Report on p-adic L-functions over totally real fields. Journ6es Arithm6tiques de Luminy, 1978, Soc. Math. Fr., Ast6risque, 61, p. 177-192 (1979) [S] Serre,J-P.: Sur le r6sidu de la fonction z~ta p-adique d'un corps de nombres, C.R. Acad. Sci. Paris 287, S6rie A, p. 183-188 (1978) Oblatum 5-VIII-1985 & 25-IX-1985