Resultate der Mathematik (3) 129-154
Birkhauser Verlag, Basel
Thomsensche Minimalflachen - analytisch und anschaulich WOLDEMAR BARTHEL, REINHARD VOLKMER und IMME HAUBITZ
Einleitung In seiner Arbeit iiber paraboloidische FHichen, die - wie spater L. Berwald [1] S. 64 und 73 feststellte - mit den Affinminimalflachen identisch sind, hat P. Franck [5] S. 50-51 bereits die Frage nach den Minimalflachen dieser F1achenklasse aufgeworfen. G. Thomsen [16] gelang es dann mittels eines Ansatzes von W. Blaschke, die gesuchten FHichen zu bestimmen, wobei er sich auf geometrische und analytische Uberlegungen stiitzte. Dieser Losungsweg wurde auch in Blaschkes "Affine Differentialgeometrie" [3] §71 S. 187-190 aufgenommen. Kennzeichnungen der Affinminimalflachen, die zugleich Minimalflachen sind, untersuchte W. Siiss [15] im Rahmen der relativen F1achentheorie. Neuere Arbeiten iiber die Thomsenschen MinimalJliichen unterscheiden sich in der Trennung der Methoden. So liefert E. Glassner in [6] S. 36-40 bzw. in [7] S. 210-212 einen rein analytischen Beweis in dem Sinn, daB er zunachst die beiden Grundformen I und II fiir die gesuchten Flachen bestimmt und sich dann auf den Bonnetschen Fundamentalsatz beruft, da die zugehorigen F1achen bekannt sind. Dagegen gibt H. Schaal [12] eine rein geometrische Herleitung der Thomsenflachen. AuBerdem klart er in [13] fiir eine einparametrige Schar von Thomsenflachen einerseits den Grenziibergang zur Enneperjliiche, den Blaschke in [3] §71 S. 190 angedeutet hatte, andererseits erhiilt er fiir den anderen Randpunkt des Scharparameterintervalls als GrenzJliiche die Ebene. In diesen beiden Arbeiten [12] und [13] findet man ausfiihrliche und kritisch kommentierte Hinweise auf die bisherige Literatur. SchlieBIich untersucht Schaal in [14] kinematische Erzeugungen der Thomsenflachen. Literaturhinweise und Darstellungen hiermit zusammenhangender Fragen gibt J. C. C. Nitsche [11] auf S. 702 und in §§743, 88-93, 172-175. In der vorliegenden Arbeit werden zunachst die Thomsenflachen rein analytisch aus den beiden Grundformen durch explizite Integration der Ableitungsgleichungen hergeleitet (Satz 4 und 5), was in [6] bzw. [7] nicht gelingt(l).
1
Vgl. [6] S. 39 bzw. [7] S. 211 und [12] S. 208 FuBnote 1. 129
\30
WOLDEMAR BARTHEL, REINHARD VOLKMER UND IMME HAUBITZ
Plastik der Enneperschen Minimalftache vor dem Mathematischen Institut der Universitat Wiirzburg
Wahrend bisher immer nur eine Teilsehar auf tritt, deren Spiegelbild gar nieht oder nur am Rande betrachtet wird,(2) ergeben sich hier aIle Thomsenfiachen. Dazu mussen vorher die Grundformen vollstandig bestimmt werden (Satz 1 und 3). Hierbei wird fur die Kennzeiehnung der Affinminimalfiachen (Satz 2) ein kurzer Beweis mittels Formeln gegeben, welche die affinen Grundgro8en einer Flache durch ihre metrischen GrundgroBen ausdriicken , Die bei dem benutzten Integrationsverfahren gewonnenen zwei Teilseharen von Thomsenfiachen, von denen jede Teilschar zum Spiegelbild der anderen kongruent ist (Satz 6), lassen sich nun stetig zu einem einparametrigen Zyklus von Minimalfliichen zusammenfugen, wenn die Ebene als "uneigentliche" Thomsenfiaehe hinzugenommen wird. Dieser bis auf Ahnlichkeiten eindeutige und dureh einen Winkelparameter beschriebene Zyklus geht von der Ebene aus und durchlauft dann aIle Thomsenfiaehen uber die Rechtswendelfliiche, die Enneperfliiche und die Linkswendelfliiche zuriiek zur Ausgangsebene (Satz 7),
2
Zuerst in [12] S. 212 und [13] S. 320 FuBnote 1, dann in [7] S. 212.
Thomsensche Minimalflachen - analytisch und anschaulich
131
Der Zyklus der Thomsenfliichen wird schlieBlich durch eine Folge von Computer-Stereobildern veranschaulicht, die nach einem in [9] entwickelten Verfahren von Herrn Helmut Pabel mit einem modifizierten Programm auf der Rechenanlage TR 440 des Rechenzentrums der Universitat Wiirzburg hergestellt wurden. Die einzelnen Bildpaare sind zur direkten Betrachtung ohne optische Hilfsmittel gedacht. Man sollte sie aus einem Abstand von 60 cm senkrecht zur Bildebene ansehen, indem man einen Punkt in 30 cm Entfernung fixiert. Dort erscheint dann, zunachst vielleicht unscharf, ein verkleinertes Raumbild der entsprechenden Flache. Weil die unter den Thomsenftachen enthaltene Enneperftache ebene Kriimmungslinien hat, lassen sich Modelle ihres Kriimmungsliniennetzes im Prinzip recht einfach anfertigen. Auf der Grundlage von Computerzeichnungen der Kriimmungslinien konstruierte so der Bildhauer Olaf Taeuberhahn die 5 m hohe Plastik der Enneperschen Minimalfiiiche in AluminiumguB, die seit 1975 vor dem Neubau des Mathematischen Instituts der Universitat WiiTzburg steht - ein Schritt zu kiinstlerischer Gestaltung mit differentialgeometrischen FormenY)
§ 1. Bestimmung der Grundformen aller Minimalftiichen des E 3 , die zugleich
Affinminimalfliichen sind Fiir eine orientierte C"-Flache (4) (u") ~r(u") des E3 sind die Koeffizienten der positiv definiten ersten Grundform
und die Koeffizienten der zweiteri Grundform
Wie iiblich benutzen wir GpCT und die dazu inverse Matrix GP" zum Herunter- und Heraufziehen griechischer Indizes. 3 Seither hat Olaf Taeuberhahn eine Fiille von Minimalfliichen-Skulpturen in Beton oder Bronze nach technisch standig verbesserten Verfahren hergestellt, die auf dem "Seifeohautprinzip" beruhen. 4 Griechische Iodizes durchlaufen die Zahlen 1,2. Uber doppelt auftreteode, oben und unten stehende griechische Iodizes wird oach der Einsteinschen Summationskonvention summiert. Partielle Ableitungeo nach uP bezeichneo wir mit ap ' ferner werden die Abkiirzuogeo rp:= apr, rpu:= a"rp usw. verwendet.
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WaLDEMAR BARTHEL,· REINHARD VOLKMER UNO IMME HAUBITZ
Bei Minimalftiichen gilt definitionsgemiiB fur die mittlere Krummung
und daher fUr die GauBsche Krummung
In der affinen FHichentheorie wird fur FHichenpunkte generell K(UOl) 1= 0 vorausgesetzt. Fur Minimalflachen, die Flachen im Sinne der affinen Flachentheorie sind, ist also K <0. Auf ihnen existiert daher ein Netz von Asymptotenlinien, die wir als Parameterlinien wahlen, so daB Bll = B22 = 0 gilt. Wegen K = - Bi2/ G < 0 folgt dann aus
weiter G 12 = O. Auf Minimalftachen mit nullstellenfreiem K liefem die Asymptotenlinien also ein orthogonales Parametemetz: Bll
=B22 =O und
(1)
G 12 =O.
Aus den Gleichungen von Mainardi-Codazzi
mit den Christoffelsymbolen wegen (1) weiter 0= a1 B
12 + B 12
0= a2 B
12 +
d.h.
also
r 122 B 12 r 2 1 1 -
= a1 B
avG(Tp + apGV(T) erhiilt man
(a 1 log G 22 -a 1 log G ll ) B 12 r2 2 2 = a2 B 12 +!B 12 (a 2 10g G ll - a2 10g G 22 ),
B 12
r 1\
r/ (T := !GOIV (a(TGpv 12 +!B 12
Thomsensche Minimalflachen - analytisch und anschaulich
133
Daraus folgt
so daB die orientierungstreue Skalentransformation (2)
G1'l' = Gll . (u~,? = GllN = 1 . G 2 '2' G 22 • (u~,? G 22 # und
liefert. Auf MinimalfHichen mit nullstellenfreiem Klassen sich Hings der Asymptotenlinien also isotherme Parameter mit (3)
einfuhren. Fur die orientierungstreue Parametertransformation (u\ u 2 ) ~ (u l ', u 2'):= (u 2 , -u l ) ist B I '2' = -B I2 , so daB man zusatzlich B12 = 1 oder B12 =-1 erreichen kann. Damit hat man nach (1) und (3) zusammenfassend den SATZ 1. Auf Minimalflachen, die Flachen im Sinne der affmen Flachentheorie sind, gibt es "normierte isotherme Asymptotenlinienparameter", so daf3 fur ihre Grundformen
G 12 =0,
(4)
= 1,
(5)
und BI2
gilt.(5)
5
Vgl. [2] §65-66, [3] §71 S. 188 Gl. (83), [4] S. 337 und [6] S. 26 Satz 5 bzw. [7] S. 207 Satz 7.
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WOLDEMAR BARTHEL. REINHARD VOLKMER UND IMME HAUBITZ
Mit diesem Satz erhalten wir zunachst(6) fUr die metrischen Zusammenhangskoeffizienten r/ 1 = r/ 2 = a1 log A, r/ 1 =r/ 2 =a 2 IogA,
r212 = -a1 log A r/ 1 =-a2 IogA
}
(6)
und die Komponente des Kriimmungstensors
Dann folgt aus dem Theorema egregium
fiir A die Bedingung(7) A-2 = a1 a1 log A+ a2 a2 log A, d.h. A(Al1 + Azz)- Ai- A~-1 = 0,
(7)
wobei Ap: = apA und Apu: = aaAp gesetzt wurde. FUr Minimalfiachen, die zugleich Affinminimalfiachen sind, gilt nach [3] S. 188 Gl. (83) und S. 189 Gl. (90) die zusatzliche Bedingung
die sich auch aus Ergebnissen von R. Grambow [8] herleiten laBt, die in [3] §64 wiedergegeben sind. Danach lassen sich die affinen GrundgroBen einer Flache durch ihre metrischen GrundgroBen ausdriicken. Hier geniigen die Beziehungen fiir die erste affine Grundform(8)
und fur die mittlere Affinkrummung(9)
Vgl. Vgl. 8 Vgl. 9 Vgl. 6
7
auch [10] S. 115 GIn. (12.11) und (12.12). [2] §35 S. 67 Gl. (19) und §211 S. 387 sowie [16] S. 71 Gl. (1). [3] §64 S. 165 Gl. (183). [3] §64 S. 166 Gl. (187).
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Thomsensche Minimalfliichen - analytisch und anschaulich
mit Vu:= au log IKI-l!4, WU:= gUPVp und den Christoffelsymbolen 'YpUT bezuglich gpO". In unserem Fall von FHichen mit den Eigenschaften (4) und (5) erhalten wir wegen K = - A-4 fiir die erste affine Grundform g : = det gpO" = - A? < 0 und fiir deren inverse Matrix gPT
Dann folgt fiir die Spur der affinen Christoffelsymbole
und damit fUr die mittlere Affinkriimmung h=-.!(Va gUp+gUpauVp +2g UP VuV) 2 per p
= -A -1(-a1log A . a2 log A +a2 a1log A +2 a1log A . a2 log A)
(8)
Zusammenfassend hat man nach (7) und (8) den SATZ 2. Fur Minimalfiiichen, die nach Satz 1 auf normierte isotherme Asymptotenlinienparameter bezogen sind, gilt (7)
Wenn diese Minimalfiachen zugleich Affinminimalfiachen sind, gilt zusatzlich A12 = o.
(9)
Nach der Umbenennung u := u 1 , v:= u 2 folgt aus (9) A(u, v)= U(u)+ V(v»O.
Einsetzen in (7) liefert dann (10)
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WaLDEMAR BARTHEL, REINHARD VOLKMER UNO IMME HAUBITZ
Durch partielle Differentiation nach u bzw. v erhiilt man V"'(V + V) - (V" - V") V' = 0
und
V"'(V + V) - (V" - V")V' = 0,
daraus
a V"-V" =0 au V+V
a V"-V" und =0 av V+ V '
also V"-V" = const. V+ V
(11)
Diese partielle Differentialgleichung kann jetzt separiert werden in die gew6hnlichen Differentialgleichungen V"-const· V= k
und
V"+const· V= k,
(12)
deren Integration eine Fallunterscheidung erfordert:(1O) (i) Fur const = 0 folgt wegen (10) zuniichst k > 0, bei geeigneter Wahl des Nullpunktes der Parameterskalen, die nach (2) noch m6glich ist, V'(u)
= ku und V'(v) = kv
und damit nach (10)
1 1 A(u, v) = V(u) + V(v) = 2k (V,2(U) + V,2(V) + 1) = 2k «kU)2+ (kV)2+ 1) > O. (13)
(ii) Fur const = -a 2 < 0 mit a> 0 sind die L6sungen von (12)
k V(u) = Al cos a(u - uo) +2 und a
k V(v) = A2 ch av+ A3 sh av- 2 ·
a
10 Man kann entweder das Vorzeichen von B12 oder das von const einschranken. Wir haben hier in Satz 1 die erste Moglichkeit gewahlt. Die zweite Moglichkeit ware zunachst bequemer, da man mit weniger Fallunterscheidungen in Satz 5 eine Thomsensche Teilschar und ihr Spiegelbild erhalten wiirde. Aber diese beiden Teilscharen lassen sich nicht sofort stetig zum Zyklus der Thomsenftachen zusammenfiigen.
Thomsensche Minimalfliichen - analytisch und anschaulich
Einsetzen in (10) ergibt a2(-Ai+A~-A~)-1=0, mit A 1 =:Aja A~ - A~ = (1 + A 2)ja 2 > O. Dann existiert aber ein Parameterwert Vo mit
137
also
V(v)=sigA 2 · !~(ch av· ch avo-sh av· sh avo)- k2
a
a
1 k oJl + A 2 ch a(v - vo) - - . a a2
= sig A2 . -
Wegen ,\ > 0 ist sig A2 = 1 und damit wiederum bei geeigneter Wahl des Nullpunktes der Parameterskalen 1 1 '\(u, v) =- (A cos au +oJl + A2 ch av)~- (oJl + A2_IA\»0. a
a
(14)
(iii) Fur const = a 2 > 0 mit a> 0 erhalt man die Losungen von (12) und (10) aus dem vorigen Fall durch Vertauschen von u mit v und U mit V. Zusammenfassend hat man also nach (13) und (14) den SATZ 3. Fur Minimalflachen, die zugleich Affinminimalfliichen und nach Satz 1 auf normierte isotherme Asymptotenlinienparameter bezogen sind, gilt 1 '\(u, v) = 2k «kU)2+(kv?+ 1)
mit k >0
(15)
oder
1 '\(u, v) =- (A cos au +oJl + A2 ch av)
a
mit a >0
(16)
mit a>O.
(17)
oder
1 '\(u, v) =- (oj 1 + A2 ch au + A cos av) a
Damit sind die Grundformen aller Thomsenschen Minimalftachen, d.h. aller Fliichen, die zugleich euklidische und affine Minimalfliichen sind, nach Satz 1 bestimmt.
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WOLDEMAR BARTHEL, REINHARD VOLKMER UND IMME HAUBITZ
§2. Integration der AbleitungsgIeichungen fur die Thomsenschen Minimalflachen
Das System der Ableitungsgleichungen der Begleitbasis einer Flache
III x r21
II> 12,
W :=
II X 121
= T/(TI'I" + BpuW W(T = -B(T'I"r'l" lpu
hat nun mittels der in Satz 1 und 3 angegebenen Grundformen und mittels (6) die Gestalt Ill=
A- lAlrl-A-lA2r2
r12=
A-lA2rl+A - IAlr2+W
r22 = -A -1 Alr l + A-1 Azrz WI = -A -zrz
(18)
Wz = -A -zrl'
(19)
Es ist vollstiindig integrierbar, da bei der Herleitung von A die Integrabilitatsbedingungen in den Gleichungen (3) und (7) bereits erfullt wurden. Fur das spharische Bild der Flache erhiilt man daraus das vollstandig integrierbare Differentialgleichungssystem(ll) Wll =2A-3AlrZ-A-zr12 = 2A -3AlIZ- A- 2(A -lAzrl + A-lAlrz+W) = -A -IA 1 W1 + A-I AzW z - A- zW
(20)
WlZ = -A -1 AZW I - A-I A1 WZ
(21)
Wzz = A- I A1 Wl - A-I AzW z - A- zW.
(22)
Zunachst folgt aus (21) wegen (9) (23)
und daher AW(u, v) =U(u)+?8(v),
11
(24)
Vgl. [16] S, 71 Gl. (2) und [3] §71 S, 188 Gl. (87). Bei Thomsen und Blaschke wird aber keine
direkte Integration dieses G1eichungssystems durchgefiihrt.
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Thomsensche Minirnalfliichen - analytisch und anschaulich
wobei in der FHichentheorie nur solche Vektorfelder U und die
)8
interessieren, fur
V U(u)+)8(v)fO (u.v)
ist. Dann folgt aus (20) wegen (7) A(A9l)ll = AA ll 9l+2AA l 9l 1+ A29l 11
= AAll9l + 2AA I 9l 1- AA l 9l 1+ AA 29l 2- 9l = (AA ll - Ai - A~ -1m + Al (A9l)1 + AiA9lh = -A22A9l + Al (A9l)1 + A2(A9lh
(25)
und durch partielle Differentiation nach u wegen (9), (23) und (11) A(A9l)lll = -A 1(A9l)1l - A22 (A9l)1 + All (A9l)1 + A1(A9l)1l = (A ll -A 22 )(A9l)1 =const· A(A9l)l' Entsprechend folgt aus (22) A(A9lb = -A ll A9l + A1(A9l)1 + AiA91h
(26)
A(A9l)222 = (A22 - All)(A9l)2 = -const . A(A9lh, also nach (24) insgesamt
UIII-const·U'=O
und
58 111 +const·58'=O .
(27)
Wie bei der Bestimmung von A ist nun eine Fallunterscheidung erforderlich: (i) FUr const = 0 gilt UIII = 0 und )8111 = 0, also
mit vektoriellen Integrationskonstanten 2!, 58, [, 'Il, @:. Einsetzen in (25) und (26) ergibt weiter 1 2k «kU)2+(kv)2+ 1)2! = _k(2!~U2+58u + [~V2+'Ilv +@:)
+ ku(2!u +58)+ kv([v +'Il) =2!~kU2+ [~kV2_k@:
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WOLDEMAR BARTHEL, REINHARD VOLKMER UND IMME HAUBITZ
und
also nach Koeffizientenvergleich flir Polynome in u, v beide Male
d.h. (28)
Die Normierung
~2 =
1 liefert ferner
1
1
4P«ku)2+(kvf+ 1)2 =~e 4k4 «kuf+(kv)2-1)2+5,82u2+;~Yv2+2~uv 1
+ 221m -2k2 (Fu 3 + k 2uV 2-
u)
+ 221:!l ~ (k 2u 2V + k 2v 3 2k2
v)
und wieder nach Koeffizientenvergleich fur ein Polynom in u, v
5,82 =:!l2 = 1, d.h. (29)
mit einer Orthonormalbasis (el> e2, e3) des E 3 , die wegen
0> K det (~, t 1 , t 2 ) = det (~, ~l' ~2) =
A-3 det (A~, (A~)l' (A~h)
vOl = -A -3
u
1
A-k
1
0
ku
kv
det (el' e2' e3)
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Thomsensche Minimalflachen - analytisch und anschaulich
positiv orientiert ist. (ii) Fur const = -a 2 < 0 mit a> 0 folgt aus (27) zunachst U'(u) =~ sin au +~ cos au,
~'(v) = (£
sh av +~ ch av
und damit A91(u, v) =U(u)+~(v) =1:. (-~ cos au +~ sin au + (£ ch av +~ sh av) +~ a
wieder mit vektoriellen Integrationskonstanten ~, ~, (£, ergibt (unter Weglassen der Argumente au bzw. av)
~, ~.
Einsetzen in (25)
1:.a (A cos+y'1 + A ch)(~ cos-~ sin) a 2
= -ay'1 + A 2 ch· 1:. (-~ cos+~ sin + (£ a
ch+~ sh+ a~)
-A sin· (~sin+~ cos)+y'1 + A 2 sh· «(£ sh +~ ch) also (30) Einsetzen in (26) liefert entsprechend A~+J1+A2(£-aA cos au· ~=O.
(31)
Aus (30) und (31) erhiilt man wegen Acosau+y'1+A 2 chav=aA(u,v»0 weiter a:.
~=O
und
({"' __ _
~
A Of, <-t y'1+A 2
d.h. A91(u, v) = ~
( -~(cos au +
k
ch av) +~ sin au +~ sh av).
(32)
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WOLDEMAR BARTHEL, REINHARD VOLKMER UNO IMME HAUBITZ
Die Normierung 91 2 = 1 liefert ferner
a 2A2=(A cos+v'1+A 2 chf = 2f2 (cos + h
1+A2
Ch)2 +)82 sin2+~2 sh2+ 2~ sin' sh
-22!)8sin' (cos + hCh)-22!~Sh' (cos + h C h ) . 1+A2 1+A2
(33)
Fiir dit: speziellen Parameterwerte (u, v) = (0,0) ergibt sich
und damit fiir (u, v) = (±1T'/2a, 0)
Mit diesen Ergebnissen erhalt man aus (33)
(~2 -1) Sh2 + 2~ sin' sh -
22!)8 sin' cos -
22!~ sh . (cos + h
1+A2
Ch) = O.
(u, v) = (1T'/4a, 0) liefert nun 2!)8 = O. Dann folgt zunachst fur v -:f 0 und wegen der Stetigkeit auch fUr v = 0
C~Y-1) Sh+2)8~sin-22!~(cos+ hCh)=O 1+A2 sowie fUr die speziellen Parameterwerte (u, v) = (0, 0) und (u, v) = (1T'/2a, 0) weiter 2!~=0,
Zusammen ergibt sich fur (32) also (34)
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Thomsensche Minimalflachen - analytisch und anschaulich
mit einer Orthonormalbasis (e l , e2, e3) des E 3 , die wieder wegen O>det (W, Wi> W2 ) = A-3 det (AW, (AW)i> (AW)z)
o cos -.J1+A 2 sin = -A -3 a -:l(A cos+v'l + A 2 ch) det (e l , e2, e3) = - A-2 det (e l , e2, e3) positiv orientiert ist. (iii) Fur const= a 2 >O mit a >0 erhlilt man die Losungen von (27) und (25), (26) aus dem vorigen Fall durch Vertauschen von u mit. v und U mit
m.
Dies
impliziert ein Vertauschen von el mit e2, weil dann (el, e2, e3) wieder positiv orientiert ist. Zusammenfassend erhalten wir also nach (28), (29) und (32), (34) den
SATZ 4. Fur das sphlirische Bild der Thomsenschen Minimalflachen, die nach Satz 1 auf nonnierte isotherme Asymptotenlinienparameter bezogen sind, gilt AW(U, v) = -(vel + ue2 + 21k «kuf+(kvf-1)e3)
(35)
oder
oder
AW(U, v) =
-1.a (sin av . el +sh au . e2 -
(A ch au +"'1 + A 2 cos av)e3)'
(37)
Dabei ist A jeweils die Funktion von (15), (16), (17) in Satz 3 und (el, e2, e3) eine beliebige positiv orientierte Orthononnalbasis.
144
WOLDEMAR BARTHEL. REINHARD VOLKMER UNO JMME HAUBITZ
Aus den spharischen Bildern gewinnt man die FHichen selbst durch Integration der beiden Weingartenschen Ableitungsgleichungen(12) (19), (18), namlich rl=-A2~2=-A(A~}z+A2(A~) }
(38)
r2 = -A 2~1 = -A(A~)l + Al(A~). (i) Aus (35) und (15) ergibt sich
1
r 1 (u, v) = 2k «kU)2+(kvf+ 1)(el
+ kve3)
-kv(vel + ue2 + 21k «ku)2+(kv)2-1)e3) =
r2(u,
k1 (~«kU)2_(kv)2+ l)e
l -
k 2uvC2 + kve3),
(39)
v)'=~(_k2UVCI +~(_(kU)2+(kv)2+ l)c2+ kUC3)'
(40)
Zunachst foIgt aus (39) durch Integration nach u
(41)
mit einer Vektorfunktion v ~l) (v). Daraus erhlilt man durch Differentiation nach v
und nach Vergleich mit (40) (42)
(ii) Mittels (38) ergibt sich aus (36) und (16) rI(U, v)
=!:.a (A cos au +)1 + A2 ch av)(ch av . l'I- Ash av . e
3)
12Vgl. [16] S. 71 Gl. (4) und [3] §71 S.189-190. Schaal [12] S. 211 benutzt hierzu die Formeln von Lelieuvre.
Thomsensche Minimalfliichen - analytisch und anschaulich
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1 . --.J1 + A 2 sh av . (sh av . e1 +sm au· e2 a
- (.J 1 + A 2 cos au + A ch av)e 3 )
+ cos au . sh av . e3 ),
(43)
t2(U, v) =.!. (A sin au· sh av . e1 +(A +J1 + A2 cos au· ch av)e 2 a +sin au· ch av . e3).
(44)
Zuniichst folgt aus (43) durch Integration nach u t(u, v) = \ «J1 + A 2au + A sin au· ch av)el a
+.J1 + A 2 cos au . sh av . e2 + sin au . sh av . e3) + 3( v) mit einer Vektorfunktion v tion nach v
~
(45)
3(v). Daraus erhiilt man wieder durch Differentia-
t2(U, v) =.!. (A sin au· sh av . el +J1 + A2 cos au· ch av . e2 a +sin au· ch av· e3 )+3'(v) und nach Vergleich mit (44) (46)
(iii) Fur (37) und (17) gewinnt man das Ergebnis aus dem vorigen Fall dutch Vertauschen von u mit v und el mit e2. Zusammenfassend erhalten wir also nach (41), (42) und (45), (46) den SATZ 5. Aile Fliichen, die zugleich euklidische und affine Minimalfliichen sind, sind - nach Satz 1 auf normierte isotherme Asymptotenlinienparameter bezogen - die Ennepersche Minimalfliiche
1 (u, v) ~ t(u, v) = to + 2k2 «ku - ku(kv? +~(ku?)el
+ (kv - (kU)2kv +~(kv ?)e2 + 2kukve3 )
(47)
146
WOLDEMAR BARTHEL, REINHARD VOLKMER UND IMME HAUBITZ
mit k > 0 sowie die ubrigen Thomsenschen Minimalfllichen
1 ~ . (u, v) I--')t(u, v) =t o + 2 ((vI + A 2au + A sm au' ch av)e1 a
+(Aav+.Jl+A2cosau·shav)e2+sin au 'shav ·e 3 )
(48)
und (u, v) I--') t(u, v) = to + \ ((Aau +)1 + A 2 sh au . cos av)e1 a +(.Jl + A 2av + A ch au' sin av)e2 +sh au' sin av . e3 )
(49)
mit a> 0, wobei (e1> e2, e3) eine beliebige positiv orientierte Orthonormalbasis ist. Die erste Teilschar (48) enthiilt fur A = 0 die rechtsdrehende Wendelflliche in der Form
und die zweite Teilschar (49) entsprechend die linksdrehende Wendelflliche
1
.
(u, v) I--') to +2 (sh au. . cos av . e1 + ave 2 + sh au . sm av . e3)'
a
Die orthogonalen Geraden durch to mit den Richtungen e1 bzw. e2 sind als Asymptotenlinien v = 0 bzw. u = 0 allen Thomsenschen Minimalfliichen (47), (48) und (49) gemeinsam.
Die Darstellungen dieses Satzes enthalten alle Thomsenschen Minimalfllichen. Dazu gehoren natiirlich auch die entgegengesetzt orientierten Fllichen; so erhlilt man etwa die mittels der Parametertransformation (u, v) I--') (ii, v) : = ( - u, v) umorientierten Fllichen durch die Wahl der speziellen Basis (-e 1, e2, -e3). §3. Der ZykJus der Tbomsenschen Minimalftiichen
Mittels der orientierungstreuen Parametertransformation (u, v) I--') (ii, v) : = (v, - u) und der Drehung urn die e3 - Achse durch to mit dem Winkel 7T/2, d.h. (e1, e2, e3) I--') (e2, -e1> e3), erhlilt man aus der Enneperflliche (47)
1 (ii, v) I--')f(ii, v) =to- 2k2 ((kii - kii(kv)2+t(kii)3)e 1 + (kv - (kiifkv + ~(kv?)e2 + 2kiikve3),
x
C -
y
1.000
z
z
y
CO.667
(RECHTSDREHENDl
x
C - 0 . 333
y
(RECHTSDREHENDJ
147
148
WOLDEMAR BARTHEL, REINHARD VOLKMER UND IMME HAUBITZ
also ihr Spiegelbild am Punkt to, sowie aus der Teilschar (48) (u, v)
~ r(u, v) == to - -a; «Aau + J1 + A 2 sh au . cos aV)t'l + (v'1 + A 2 av + A ch au . sin aii)t'2 + sh au . sin aii . t'3),
also das Spiegelbild der Teilschar (49) am Punkt to, und entsprechend aus der Teilschar (49) das Spiegelbild der Teilschar (48) am Punkt to . Zusammenfassend hat man den SATZ 6. Die Enneperfliiche (47) ist zu ihrem Spiegelbild an to kongruent, wiihrend die Thomsenfliichen der Teilschar (48) bzw. (49) jeweils fur gleichen Scharparameter zum Spiegelbild der Thomsenfliichen der Teilschar (49) bzw. (48) an to kongruent sind. Die Thomsenfllichen bilden bis auf (eigentliche) A.hnlichkeiten eine einparametrige Schar. Wenn man den A.hnlichkeitsfaktor der Teilschar (48) bzw. (49) an den Scharparameter A durch
k
a==-=== J1+A 2
koppelt, konvergieren diese Teilscharen von Thomsenfllichen fur A - -ex: gegen die Enneperflliche (47). Dagegen herrscht fur A - +ex: Divergenz. Nach Schaal [13] erhlilt man fur beide Grenzuberglinge Konvergenz, wenn man in geeigneter Weise Skalentransformationen durchfuhrt und dann den A.hnlichkeitsfaktor an den Scharparameter koppelt. Dazu fuhrt man zweckmliBig einen neuen Scharparameter c durch -1
A J1+A 2
<1
ein, fiir den also
1
.J1+A2== ~ 1- c 2
und
C
A== ~ 1-c 2
gilt. Wlihlt man nun die Skalentransformationen
av == .J1- c 2 fj
z
z
x
y
co.ooo
(RECHTSDREHEND J
z
--0.333
z
x
x
y
C
x
y
(RECHTSDREHENDJ
z
x
C
- 0.667
y
(RECHTSDREHENDl
149
x
150
WOLDEMAR BARTHEL, REINHARD VOLKMER UNO IMME HAUBITZ
und koppelt man den Ahnlichkeitsfaktor durch 1 1 1 a 2 2k2 1 +c an den Scharparameter c, so erhalt man fiir die Teilschar (48) die folgenden Grenziibergange:
b
sin ..11- c 2u . ch .J1-c 2i))l'1 r(u, i)-ro =~ ((u + a2 1- c 2
+ ( ci) + ~ cos.JI""="?u . sh ..11- c 2i))l'2 + sin ..11- c 2u . sh ..11- c 2i) . l'3 )
=
:2 ((u+ c( u- ;! + ( ci) + ( 1 -
;!
(1- C 2 )U 3 + 0(1- C 2 »)
x ( 1+ (1- c 2)u2 + 0(1 - c 2))
X ( i) + + (1- c 2 )(u + 0(1- c2 »(i) + 0(1- C 2
;!
(1- C 2)i)2 + 0(1- c 2») )l'1
;!
(1- C 2)i)3 + 0(1- c 2») )l'2
»e3)
1 «(1 + c)u +~c(l- c2)ui)2-~c(1- C 2)U 3+ 0(1- C 2»l'1 a + «1 + c)i) -~(1- C 2)U 2i) +~(1- C2)i)3 + 0(1- C2»l'2
= 2
+ (1- c 2)(ui) + 0(1- C 2»l'3)
+
»)
2 1(1 -c ) V-3 + (1 -c ) 0(1- z1(1 -c ) U-2 V+6 ( v1-cc2 l'2
+ (1- c)(ui) + 0(1- C 2»l'3)
~ 2~2 «u - ui)2+~U3)l'1 + (i) -
u 2i) +~i)3)e2 +2Ui)e3),
z
x
C
y
-1.000
x
C
-0.667
(LINKSDREHENDJ
z
z
y
C
-0.333
(LINKSDREHENO)
151
152
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also die Enneperfliiche (47), bzw.
also die Ebene, die von den gemeinsamen geraden Asymptotenlinien aufgespannt wird. Entsprechend konvergiert die Teilschar (49) jeweils gegen dieselben Fliichen. Beide Teilscharen von ThomsenfHichen schlie Ben sich also iiber diese GrenzfUichen stetig zu einem einparametrigen Zyklus zusammen. Dies wird durch Einfiihren eines einheitlichen Winkelparameters ausgedriickt in dem SATZ 7. Bis auf Ahnlichkeiten bilden die Fliichen _ v_) ~ t (_u, V_) = to +-k 1 1 (( u_ +-.cos 'Y . SIll . (_. ) h (_. )) ( u, U SIll 'Y . c V SIll 'Y l'l 2 2 1 + cos 'Y SIll 'Y + (COS 'Y . ii +_._1_. cos (u sin 'Y) . sh (ii sin 'Y))l'2 SIll 'Y
+ sin (u sin 'Y) . sh (ii sin 'Y )l'3 )
(u, ii) ~
t(u, ii) = to
+~
1 ((cos 'Y' u +.. _1_ . sh (u sin 'Y) . cos (ii sin 'Y))l'l 2k 1 + cos 'Y SIll 'Y
COS 'Y . (_. )) + ( ii +-.. ch (_. u SIll 'Y ) . SIll V SIll 'Y l'2
SIll 'Y
+sh (u sin 1') . sin (ii sin 'Y)l'3)
fur 7T:5 'Y :5 27T, wobei fur 'Y = 0, 7T, 27T die zwei (oben bestimmten) Grenzfliichen zu verstehen sind, einen einparametrigen Zyklus von MinimalfUichen - nach Satz 1 fur 0 < 'Y < 27T auf normierte isotherme Asymptotenlinienparameter bezogen. Dabei geht man fur 'Y = 0 von jener Ebene aus, die von ihren gemeinsamen geraden Asymptotenlinien aufgespannt wird. Fur 0 < 'Y < 27T erhiilt man aile ThomsenfUichen, insbesondere fur 'Y = 7T/2 die rechtsdrehende Wendelfliiche, fur 'Y = 7T die Enneperfliiche und fur 'Y = 37T/2 die linksdrehende Wendelfliiche. Schlief3lich kommt man fur 'Y = 27T zur Ausgangsebene zuruck. Zum Betrachten der abgedruckten Computer-Stereobilder fiir verschiedene Stadien in diesem Zyklus der Thomsenftachen beachte man die in der Einleitung
z
z
x
CO.OOO
(L I NKSOREHENO I
x
CO.333
(LI NKSDREHEND J
z
x
CO. GG7
y
(LI NKSDREHENOI
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WOLDEMAR BARTHEL, REINHARD VOLKMER UND IMME HAUBITZ
154
gegebene Anweisung.(13) Die Bilder beziehen sich auf das Parameterquadrat {( u, v) 2::; U ::; 2, -2::; v ::; 2} und schreiten in Drittelschritten des Scharparameters c = cos 'Y fort. Sie sind aile im gleichen Maf3stab gezeichnet, so daB auch das Wachsen des Parameternetzes beim Ubergang von der Ebene zur EnneperfHiche und dessen Schrumpfen bei der Riickkehr zur Ebene - die man zugleich als Parameterebene ansehen kann - deutlich wird.
1-
LlTERATUR [1] L. BERWALD, Uber affine Geometrie XXVII. Liesche F 2 , Affinnormale und mittlere Affinkrnmmung. Math. Z. 8, 63-78 (1920). [2] L. BIANCHI, Vorlesungen iiber Differentialgeometrie. Deutsch von M. Lukat. 2. Aufl., Teubner, Leipzig und Berlin (1910). [3] W. BLASCHKE, Vorlesungen iiber Differentialgeometrie II, Affine Differentialgeometrie. Bearb. von K. Reidemeister. Springer, Berlin (1923). [4] W. BLASCHKE und K. LEICHlWEISS, Elementare Differentialgeometrie. Springer, BerlinHeidelberg-New York (1973). [5] P. FRANCK, Uber paraboloidische Fliichen. Jber. Deutsch. Math.-Verein. 23, 49-53 (1914). [6] E. GLASSNER, Uber die Minimalfliichen der zweiten Fundamentalform. Dissertation Stuttgart (1972). [7] E. GLAsSNER, Uber die Minimalfliichen der zweiten Fundamentalform. Monatshefte Math. 78, 193-214 (1974). (Zusammenfassung von [6]). [8] R.GRAMBOW, Ableitung der Affininvarianten einer krummen Fliiche aus den Bewegungsinvarianten. Dissertation Hamburg (1922). [9] 1. HAUBITZ, Programme zum Zeichnen von allgemeinen Fliichenstiicken. Computing 18,295-315 (1977). [10] D. LAUGWITZ, Differentialgeometrie. Teubner, Stuttgart (1960). [11] J. C. C. NITSCHE, Vorlesungen iiber Minimalfliichen. Springer, Berlin-Heidelberg-New York (1975). [12] H. SCHAAL, Die Affinminimalfliichen von G. Thomsen. Arch. Math. 24, 208-217 (1973). [13] H. SCHAAL, Die Ennepersche Minimalfliiche als Grenzfall der Minimalfliiche von G. Thomsen. Arch. Math. 24, 320-322 (1973). [14] H. SCHAAL, Neue Erzeugungen der Minimalfliichen von G. Thomsen. Monatshefte Math. 77, 433-461 (1973). [15] W. SDss, Uber Affinminimalfliichen, die gleichzeitig Minimalfliichen sind. Math. Z. 42, 697-699 (1937). [16] G. THOMSEN, Uber affine Geometrie XXXIX. Uber Affinminimalfliichen, die gleichzeitig Minimalfliichen sind. Abh. Math. Sem. Hamburg. Univ. 2, 71-73 (1923). Mathematisches Institut der Universitiit Wiirzburg Am Hubland D-8700 Wiirzburg
Eingegangen am 21. Juli 1979 13 Diese Methode der Stereobetrachtung ohne optische Hilfsmittel erfordert vom Beschauer zwar aktive Mitarbeit; wenn man aber nach einigem Uben das "Aha"-Erlebnis einmal hatte und das Stereobild immer miiheloser sieht, ist die dritte Dimension fiir die Anschauung viel umfassender erschlossen.
