Probab. Th. Rel. Fields 88, 137-166 (1991)
Probability Theory~nldatedFields 9 Springer-Verlag 1991
Transformation de Fourier et temps d'occupation browniens C. Donati-Martin Universit~ de Provence, U R A 225, 3, place Victor Hugo, F-13331 Marseille Cedex 3, France
Received October 2, 1989; in revised form October 4, 1990
Summary. In this paper, we study oscillatory stochastic integrals of the form o9
F(2)= ~ exp(i2Bs)g(s)ds where 2 is a non zero parameter and g a square inteo grable function. We study integrability properties of F(2) and its behavior as a function of 2, using stochastic calculus techniques martingale theory, representation of It6 for a random variable of the Wiener space, lemma of GarsiaRodemich-Rumsey .... We also obtain limit theorems in law related to the variables F(2) based upon an asymptotic version of a theorem of Knight on orthogonal continuous martingales. We consider the random measure, image by the Brownian motion of the unbounded measure 1L0' ~oj(s)g(s)ds; we prove the existence and the continuity of an occupation time density. Finally, under a stronger integrability condition on g, we show the existence of a density for the law of F(2), using Malliavin's calculus.
1. Introduction Dans l'article [D] consacr6 fi l'&ude de diff6rents mod61es statiques d6crivant une corde lanc6e au hasard sur un plan horizontal et inspir6 des travaux de /
[Ki],
Kingman
nous
nous
sommes
int~ress6e
\
t
= ~ exp(i2Bs)g(s)ds, t > 0 } off 2e]R*,
(Bt, t>O)
aux
processus
{/7,(2) \
est un mouvement brownien
l
0
r6el issu de 0 et g une fonction d6terministe. Lorsque g est une fonction de carr6 int~grable sur IR +, le processus/7,(2) converge p.s. et dans L2(p) lorsque t tend vers + o0 et il nous a sembl6 int6ressant de poursuivre l'6tude des variables F(2, g)= ~exp(i2Bs) g(s) ds. 0
Dans le paragraphe 2, nous nous int6ressons it l'existence et aux propri6t~s d'int6grabilit& de F(2, g) pour g e L ~ ( ~ + ) ; en particulier, on montre l'existence
138
C. Donati-Martin
de moments exponentiels pour la variable IF(2, g)jZ. Le troisi6me paragraphe est consacr6 /t l'6tude d'une version continue du processus (F(2, g); 2>0). La repr6sentation sous forme d'int6grale stochastique de F(2, g) nous permet d'obtenir des contr61es assez fins des moments des variables [F()~, g ) - F ( # , g)l. Le lemma de Garsia-Rodemich-Rumsey donne alors un module de continuit6 de F0~, g) pour g v6rifiant une condition d'int6grabilit6 suppl6mentaire. Les quatri6me et anqui6me parties sont consacr6es ~t des 6tudes asymptotiques: d'une part, on 6tudie le comportement de F(2, g) au voisinage de 0 et or; d'autre part, on s'int6resse/t la convergence de a-1 (h)(F(2 + h, g ) - F ( Z , g)) quand h tend vers 0, off a est un module de continuit6 fi pr6ciser. Ces deux parties se rapprochent des 6tudes de th6or6mes limites de fonctionnelles additives du mouvement brownien (voir par exemple Papanicolaou-Stroock-Varadhan [P-S-V], Kasahara-Kotani [K-K] qui 6tudient des th6or6mes limites pour des proeessus). Notre d~marche est la suivante: on se ram6ne ~t l'6tude de la convergence en loi d'une famille de martingales et on applique le th6or6me de Knight [Kn] sur les martingales continues orthogonales sous une version asymptotique (voir Le Gall-Yor [L-Y] ou Pitman-Yor [P-Y] par exemple). Dans un sixi6me paraoo
graphe, nous 6tudions la mesure al6atoire f ~
~ f(B~) g(s) d set plus particuli6reo ment l'existence et la continuit6 des temps locaux. Enfin, nous nous int6ressons ~t l'existence d'une densit6 de probabilit6 de la loi de F(2, g), en utilisant le calcul de Malliavin.
Notations. Dans tout ce travail, (B,, t > 0) d6signe un mouvement brownien r6el issu de 0, ( ~ , t > 0 ) la filtration engendr6e par (B, t > 0 ) et g une fonction de cart6 int6grable. Pour tout keN*, on note oo
F(2, g)-- ~ exp(i2B,) g(s)ds 0
et Gz,* l'application d6finie par: Gz,g(s)= ~ d u g(u) exp -
(u-s) ;
s
enfin, (/~; x s N . t~lR +) d6signe la famille des temps locaux de B.
2. Existence de la variable F(~) et propri~t~s d'int~grabilit~ L'existence de F(2, g) repose sur une estimation de Gz,g; nous commengons par 6tablir un lemme de convolution dans un contexte g6n6ral. Lemme 2.1. Soit qoeLl(lR, dx) nulle sur IR +, geLP(~, dx), p>=l, et n fonction croissante, positive sur ~ ; on a alors:
(1)
S ~(x)I,p, gl~(x)dx_< I/,pLl~ ~ ~(x)]gl~(,O dx. R
R
Transformationde fourier
139
En particulier,
(~ 7"(,(X)[G2,g[P(x)dx)l/P~ (S g(x) IglP(x)dx) lip. R R
(2)
DOmonstration. I1 suffit de d6montrer le lemme pour rp et g positives. Soit
\P ~.
q
~z1/p(x) (o * g (x) r (x) d x = ~ zcl/V(x + y) q) (x) g (y) r (x + y) d x d y
R2
<_~ ~ 7zl/p(y) q~(X) g ( y ) r(x + y ) d x d y jR2
-~ ~ (p(X)( ~ 7zX/p(y) g(y) r(x + y) d y ) dx
--
d x ) 1/p.
N
Pour obtenir (2),il suffit d'appliquer (1) fi q~(x)=exp (@ x)1,~
[]
c~
Th6or~me 2.1. i) Soit g ~ L20R +), F(2, g)= ~ exp (i 2 B~) g(s)d s dkfinit une variable 0
de ~ J g ( 9 et il existe une constante universelle C telle que:
oo
(3)
IIr(2, g)llg
_-< lit(2, g)[l~eoo<
~ gE(s)as. 0
ii) F(2, g) admet la reprksentation: (4)
F(2, g) = Gz,g(0)+ i 2 ~ exp(i 2B~) Gz,g(s) dB~. 0
iii) F(2, g lEo,t1)converge dans N//g(9 et p.s. vers F(2, g). iv) E(expe[F 0,
g)12)
GZ,g(s)d
.
0
Ddmonstration. Soit geL20R+)c~LI(N+), F(2, g) d6finit une variable de L ~176
D6signons par Zt(2, g) la martingale born~e E(F(2, g)/~-).
(5)
Zt(2, g)= i exp(i2B~) g(s) ds +exp(i2B,) Gz,g(t) 0
= G~,g(0) + i 2 i exp (i 2 Bs) G~,g(s)d Bs. 0
I40
C. Donati-Martin
Si Mr(2, g)= Re(Zt(2, g)) et N(,~, g)= Im(Z~(2, g)),
(M(2, g), M(2, g))t+ (N(2, g), N(2, g))t
(6)
=2z i GZ,g(u) du<=-~-f Ilgll~
0
d'apr6s le lemme 2.1. Par cons6quent, F(2, g) est dans N~(9 (et plus pr6cis6ment dans ~oo) et (7)
IIF(2, g ) l l ~ < IIF(2, g)[12e=-<_~ ;g2(s) ds.
0
Les r6sultats pr6c6dents s'&endent par densit6 fi geL 2(~+): F(2, g) est une variable de ~ v6rifiant (7). La formule (5) est vraie pour g E L 2 (JR+), d'ofi la repr6sentation (4). IIF(2, g)--F02, g 1 fo,q)[l~o 2 < )@2 ~gZ(s)ds ~-+~o ,0.
t
IZt (2, g)-- F(2, g l to,q)[ =
t
Or, la martingale Zt(2, g) converge p.s. vers F02, g) d'ofi iii). L'in6galit~ de Bernstein (voir Freedman [-Fr] par exemple), P([Mo~[>x,(M)
-
,
pour toute martingale continue M, entraine: E(exp~lM~]2)<~
d6sque
~<
1 2 II(M)~I/~"
En particulier, d'apr6s (6), E(exp~ IM~(2, g)12)< oQ et E(exp~ [N~02, g)12)< oo
(
d6squec~-<_c%= 22 2
;
0
)-1
G~.~(u)du
.
/
Or, IF(2, g)--E(F02, g))12= t Moo()2,g)12+ tNoo02, g)l 2, donc E(expc~lF(2, g)12)<~
d6sque
~z<~9-. []
3. Existence d'une version continue de (F(2); ~ > 0) Pour simplifier les notations, nous noterons d6sormais F(2) (resp. Gz)/t la place de F(2, g) (resp. Gx,g), g 6tant fix6 darts LZ(IR+). Remarquons tout d'abord que si geLi(lR+), (F(2), 2>0) admet une version continue par th~or6me de conver-
Transformation de fourier
141
gence domin6e. De plus, sous 1'hypothhse d'inthgrabilit6
SLfu Ig(u)l d u < 0%
2--* F(2) est de classe C1; on a alors
0
oo
F' (2) = i S g (s) B~ exp (i 2 Bs) d s. 0 Dans le cadre ghnhral d'une fonction g de carr6 int6grable, l'&ude de la continuit6 repose sur le lemme de Garsia-Rodemich-Rumsey fiG], [G-R-R], IS-V]) que nous commenqons par rappeler. Lemme 3.1. Soient f: [A, B~-~N2 mesurable; p et tp deux fonctions continues strictement croissantes sur ~ + , nulles en 0 et lim O(t) = oe. On suppose: t-* oO
[If(x)-f(y)[~ ~
,
.
alors, pour presque tous x, y e [A, B],
If(x)--f(y)l<=SSlox-Yilis
(9)
'(~)
dp(u).
Notre but est d'appliquer ce lemme /t la fonction al6atoire f = F, nous allons &udier les moments des variables IF(2)--F(#)I. 1) Etude des moments de lF(2)-F001
Pour 2 et # non nuls, F(2)--F(r est la variable terminale de la martingale Gx (0) - Gu (0) + i (Mr (2, #) + i N~(2, #)) off, t
Mt (2,/~) = S (2 a4 (s) cos (2 Bs) - # Gu (s) cos (# B~)) d B s 0 t
N t (2, #) = S (2 Ga (s) sin (2 Bs)-- # Gu (s) sin (# Bs)) d B~. o Remarquons tout d'abord, en relation avec (4), que 2 ~ G~(0) est d6rivable sur IR*, de d6riv6e born6e par ~/2 irglr222. Par cons6quent, pour tous 0 < e < 2 < # , il existe une constante C~ telle que: (10)
[ Gz(O)- G.(O) I < C~ 12-/~l. (M(2, p), M(2, #))co + (N(2, #), N(2,/2))~ sin 2
= ~ (2G~(s)-#Gu(s))2ds+42# 0
B
G~(s) Gu(s)ds
0
= I (2Gx(s)--I~Gu(s)) 2 d s + 4 2 2 I sin2 0
Bs G~(s)ds
0
- 4 [. (2G~(s)-l~G,(s))sin 2 0
B
2G~(s)ds
142
C. Donati-Martin
est major6 par
3 ~(2G~o(s)--#G.(s))2ds+622~ sina(2--~ff-B,)G2(s)ds.
(11)
0
0
Or, d'apr6s le lemme 2.1, avec 9~ (x)= 2 exp o9
O.Gz(s)--pGu(s))2d s =
x 1{~< o},
IIg* (~ox-~o.)11~ ~ Ilgll22 II~o,-~o.tl~;
0
or, p o u r 0 < 2 < # ,
f 2exp(-2-~2x)-#exp(-22-x)dX<~o !Texp(-~x)[1-t2x'dtdx = ~-
~exp
-
]l-xldx
0 ~--C--
#2
'
d'ofl: at)
(2 Gx (s) - # G, (s)) 2 d s < C (g) ,~- 2 # - e (2 - #)2.
(12) 0
x=o(a(x))
N o t r e but est d'exhiber un module de continuit6 a(x) (v6rifiant ou x = 0 (a (x)) au voisinage de 0) et une constante a tels que p o u r 0 < 2 h < e < fl, (13)
E [ exp a 2 ( 2~_ # ) ((M(2, #), M(2,/~))oo
sup 0
+
(14)
sup
E exp a 2 ( 2 _ # )
O
22fsin2(2~-~-g-gB~)G~(s)ds)
N o t o n s z = 2 - #, E (exp
a
2
__
\~ (T)
E exp a2(z )
2 z
;t z f.y G~(s) d
~.)
4
xE
exp
\ a ~2 T2 a(~) S n~ ~(~) d ~). ~2(T) 4 o
oj" B 2 G 2(s) d s = E ~ e x p ~
o
T r a n s f o r m a t i o n de fourier
143 ,~2 ,~2 6(r)
/1
off v est une probabilit6 sur R + et r(z)= az~.c)_ - - 2
~ sG~(s)ds. 0
D'apr6s l'in6galit6 de Jensen, E~exp ~ -
o~
dr(s) < o;E e x p ~ - \ V ~ ]
]dv(s)
=E(exp~-BZx)=(1--r) -1/2 si r < l . On cherche a et 6 tels que la fonction
G2(~) ~2 ~ sa~(s)ds+ 0
G~(s)d ~ (O
soit born6e au voisinage de z = 0 . Minimisant en 3, on obtient 6(z)= 1~-. On prendra alors a2(~) = 7 (l-f) off ~ est d6finie par: x
(15)
7(x) =
oo
SsG~(s)ds+
~ G2(s)ds.
O
x
D'apr6s le lemme 2.1, on peut prendre (16)
y(x)=
li sg2(s)ds+
g2(s)ds=
inf 1,
gZ(s)ds.
x
On notera que 7 est d6croissante et lim 7 (x)---0. x~oo
6tant d6fini par (16), il existe alors a v6rifiant (13). Soit M une martingale continue, nulle en 0, on a, si
b=89 z,
E (exp a MOo) = E (exp (a Moo -- b (M, M ) ~) exp b (M, M ) Oo) = {E(exp (p a Moo -- p b (M, M ) Oo))}1/p {E (exp b q (M, M)Oo)} 1/q __<{E(exp b q (M, M)~)} ~/q d'ofl:
(17)
(
1 q2 a2(M,M)oo) 1/q.
E(expa IM~o r)_-<2E exp ~
Grace/t (10), (13) et (17), nous avons donc prouv6:
C. Donati-Martin
144
Proposition 3.1. Soit ~ ddfini par (16) et a(h)=7(h-2), alors, il existe a > 0 tel que pour 0<2h
sup
E (exp a F(2)-- F(#)
2) Application du lemme de Garsia-Rodemich-Rumsey
Th60r6me 3.1. Soit c~= {g~L2(IR+), 3 e>0, ~ g2(s)(logs)2+~ds< o~}. Si gsc~, 0
(F(2), 2 > O) admet une version continue. De plus, il existe une variable t1 strictement positive p.s. teIle que :
pour 12-#]
?(x)= ! inf (1, s ) g2(s) as. Remarque. Si o" est ~i variation r6guli6re, (19) s'6crit encore:
IF(2)- r(#)t =
(20)
Ddmonstration. Appliquons le lemme 3.1 ~i 0 (x) = e ~ - 1, p (x) = C a (x) et f = E
V6rifions qu' avec ce choix de t) et p, U d6fini par (8) est fini p.s. pour une constante C convenablement choisie. On peut remplacer U par ~ off: (21)
[Ir(,~)- r(#)l'~, ]'(iZ-ul=
U=IIE,,v120 ~- ~
pour O<2h <_u<_v. D'apr6s la proposition 3.1, E(U)< oo d6s que C > 1a, ce que nous supposerons par la suite. Le lemme 3.1 nous permet d'obtenir le module de continuit6 suivant: IF(Z)- F(#)I =
Transformation de fourier
145
II reste/! v6rifier que pour geCg, l'int6grale ~ -log(s) d o(s) est convergente. 0
~-log(s)d~(s)=~o la(u)du=l0
--
U
1
(x)dx.
X
On peut supposer g nulle sur [0, 1]. Soit r une fonction positive, ;1]/~(x)dx 1
<
x~d
x
; 1
X
1
=
X
(
~dx
! g2(s) ss;~r(x) dx+, f 1--r(x)dxx
)}as .
En prenant r(x)=log 1 +~(x), on a:
s ~ r(x) dx+
r(x) dx
s
1
=s
1
~1~ 2+e
log1 +~(X) d x +
f l-- logl+~(x) dx
logZ+~(s)+s(llog,+~(s)+(l+O;~log.(x)dx)
- - 1 log 2 +~(s) s~ 2+e donc ~ _1 ]/-y(x)dx
X
Rficiproquement, une condition ns
pour que ~ 1 ] / ~ x ) dx < co est: 1
co
gZ(s)(log s)2 d s < ~ ; 0
ene~t, co.
[
S\I/2
~/~(x)=,l~ll2_<_lsup ! m f / 1 , x)
g(s)q(s)ds
et ; 1
(x)dx>
sup IIqlP ~ < 1
= sup
~ ~ 1
g(s)q(s)dsdx
inf 1,
1
S dsg(s)q(s) --inf
Nqll 2--<1 1
1
1,
dx
x
co
= sup
I dsg(s) q(s)(logs+89
I]q]12---< 1 1
La formule (20) est un r6sultat classique sur les fonctions fi variation r6guli6re (voir Feller [Fe], p. 268 par exemple). []
146
C. Donati-Martin ls> 1 Consid6rons le cas des fonctions puissance g = ( s ) = - S~
7 d6fini par (16) est de la forme: 1 ~)(X) ~ C x- + ca)
X2a_ 1
log x y(x) ~ C - x-+oo
si
si
~<1,
~=1.
X
Si e > 1, on peut prendre a(h)=lh[. Le th~or6me 3.1 entra~ne alors le oo 1 Corollaire 3.1. Notons F~(2)= ~ exp(i 2Bs) ~-~ d s, alors 1
off a=2c~-1,
b=l
si
89
a=l,
b=:
si
~=1,
a=l,
b=l
si
~>1.
3
Z
4. Etude asymptotique de F(~) au voisinage de 0 et de A ) Etude en 0
Th6or6me 4.1. Soit q une fonction positive sur 10, oo[ avec lim2q(2)=0 (*). Si 3.-+0
pour
tout
c>0,
s~2-2q(2)~exp s
)
(s--y) g(2-Zy) d y
converge
dans
L2(N+,ds) vers une limite not& f~ quand 2 tend vers O, alors: {qOO[F(c2) --E(F(c2))], B,, c>0, t->0} converge en loi (au sens des marginales de rang fini en c) vers: ic ~ exp(icB;)f~(s)dB'~, B,, c>0, t > 0 0
off B et B' sont deux mouvements browniens inddpendants.
Transformation de fourier
147
Ddmonstration. Notons B (a) le mouvement brownien d6fini par: B~)= 2Bt/a~. F(c2)=
~2
oo
~ exp(icB(~a)) g(s/22) ds 0
et
F(c 4) -- E (F(c 4)) = i c ; exp (i c B~~)) K~x)(s) d B~~) 0
off: K~X)(s)= ~2 ~ e x p ( @ ( s - y ) ) g ( 2 - 2 y ) d y .
c > 0 } a m4me loi que {ic S exp(icB,)K~X)(s)dB~,c>O}, et 0
pour
c > 0,
q(2) ; exp(i cB~) K~X)(s)dBs
converge
dans
L2
vers
0 CO
exp (i c B~)f~ (s) d B~. o
Soient ca, c2 .... , c, > 0, (p continue bornhe sur IE" et FeL2(j~CO). Notons Xz (c) = q (2)(r(c 2) - E (F(c 2))) O9
Xo(c)=ic ~ exp(icBs)f~(s) dBs. 0
Nous devons prouver (23)
E(~o(X~(c 0 ..... Xa(c,))F) 4-0 ' E(q)(Xo(cl), ..., Xo(c,)))E(F).
On peut se limiter /t prouver ce r6sultat pour FeL~(~). Ecrivons g=gl+g2 off gl = g lt0,~] et g2 =gllt, CO[ lim q(2)(r(c 2, g O - E(r(c ~, gO))= 0 2~0
d'apr6s l'hypoth6se (,). I1 suffit donc de prouver (23) en remplagant Xz par le variable ~ z associ6e gt g2" Or, exp(--i c 2Bt)Xa(c) est ind~pendante de ~ e t a marne loi que o9
CO
148
C. Donati-Martin
qui converge dans Lz vers i c ; exp (i c B~)f~ (s) d B~ 0
d'ofl (23). [] Le lemme suivant nous donne une condition 6quivalente fi l'hypoth6se du th6or6me. Lemme 4.1. Notons F~ la fonction 2 -2
q(J~) ~ exp(s--y)
g(2 -2 y ) d y ; F~ converge
s
dans LZ(]R+) si et seulement si la fonction "C--~q(.,~)~(,~2"C) converge dans L2/~:~' 1 d+v~2] ~ (off ~, dksigne la transformde de Fourier de g). D~monstration. F, (s) = 2 - 2 q (2) ~o9 g, (s) off ~o(x) = lx < o exp (x) et gx (x) = g (2 - 2 x).
F~ (~) = 2- ~ q (2) r (~) ~, (~) = q (2) r (~) ~ (,~ ~). Or, [(p('[7)]2 -
1 lq-z
2
d'ofllelemme.
[] ls> 1 1 s~ , 2 <~<1, nous
Dans le cas particulier des fonctions puissance g(s)= obtenons le comportement asymptotique suivant:
Proposition 4.1.
a)
(24 t
C(c~)-F~(r(c2))
~= 1 co
(d) , ic ~ exp(icBs)fc(s)dB~
~,~0
0
c(; )d,
off fc(s)= ~ exp
(s--y)
Y
s
OUencore: I
(25)
F(cX)-log
~ exp(icBs)- 1 ) - - + 0
S
exp(icB~) ds 1
S
b) c~
22o_~)(F(c2)_E(F(c2)))
(d) ~ic ;exp(icB~)f~(s)dBs
2~0
0
off fc(s)=
exp
(s-y)
y~ ,
s OU e n c o r e ; oo
(27)
22(1 -~) F(c 2) ~
).~0
~ exp(i cBs) d s 0
~-
'
Transformation de fourier
Ddmonstration. a)
149
pour ~ = 1, q(2) = 1.
( u)0 u
p---'
co
(24) peut donc s'ecrire 1
F(cs176
(28)
+ !~ co
1
~o(exp(@u)-l) duu
[ C2
d"+ic~o;e~p~ic"~'~d"~
\
Or, 1
(exp (i c Bs)-- 1) d s + ~ exp (i c B~) d s S
0
=
i(
--exp
S
1
( @ )u
--1 ) dUu+
u ~ exp ( C- ~2-u ) du
1
co
+ i c ~ exp(icB~) go(s) dB~+ic I exp(icB~) hc(s) dBs 0
0
off:
(s.y)
go(s)= ~ exp
Y
s
s
=
Y
C'est exactement le membre de droite de (28). b) q(2)=2 z(1-') et /
c2 \ d y
lim22'l-~) E(F(c2))= ~oeXpl--~- Y) y~ 2~0
La formule (27) est alors imm6diate.
[]
B) Etude en + oo Le processus (2F(2#, g), Bt; p > 0 , g~L 2, t > 0 ) converge en loi quand 2 tend vers + ~, au sens des marginales de rang fini en (#, g), vers
Th6or6me 4.2.
g(s) dZs(#),
Bt; # > 0 ,
g e l 2, t > 0
off {Z(#)},>o
ments browniens indOpendants (et ind@endants de B).
est une famille de mouve-
150
C. Donati-Martin
DEmonstration. Si g~L 2, on
note Hx,g(S) = 2 2 G~,g(s) i
2r(2~, g)=2G~,~(o)+~ o; exp(i 2 #B~) H~.,g(S) dB~. On note Mr1 (2;/~, g) et Mr2 (2; #, g) les martingales
M: (2; g)= i co
(2 B.)
0
M2(2; #, g ) = l i
sin(2#Bs)H~.u,g(s)dB~,
0
et ~1 (x) = cos(x),
cPZ(x)= sin(x).
2F(2 #, g)= 2Gzu,g(0) +i(M~(2; #, g ) + i M ~ ( 2 ; #, g)). Lemme4.2. i)
).Gz,g(O) ,t~+oo '0.
ii)
XH 2 3~,g
(29)
~
+ oo
'g dans
LZ(~+).
DOmonstration. i) 2G~,g(0)=2 ~exp - ~ - u
g(u) d u
0
/ ~
t
22
/
22 \
<=t!exp[-~u)g;(u)du)~/z(22~exp[-~-u)du) =]/2
exp - ~ - u
g2(u)du
z-~+~
\~12
>0.
ii) 1 Hz,g = g . vz off v~ = 8922 l~x< o~exp (8942 x). vz est une approximation de l'unit6, ii) est alors un r6sultat classique d'int6gration. [] Soit #, velR +*,
i, je{1,
2} et g, heL2(lR+).
(M~(2; p, g), MS(X; v, h))~o cx~
=1 ~ q~i(2/~B.) ~;(2vB.) Hz,.g(S) /~v o
Hz~.h(S)ds
oo
:lv~
dxepi(2#x) Cbs(2vX) fo nxu'g(s)Ha~'h(s)dl:
Pour prouver la convergence de ces crochets, on s'inspire de Yor [Y] en utilisant le lemme 61~mentaire suivant:
Transformation de fourier
151
Lemme 4.3. Soit f. une suite de fonctions convergeant vers f dans L I(N. dx)
et q~une fonction bornde p&iodique de pdriode 1 sur IR; alors
(30)
S r (n x) f. (x) d x
/i-~ -t- o9
1R
oo
De l'6galit6
O(t) d t = S d x S 0(t)d l~', on d6duit que si •. converge vers 0
N_
0
oo
oo
dans L l ( ~ + , d t ) , alors ~ 0.(t)d/~' converge vers ~ 0(t)d/~' dans L l ( ~ , d x ) . 0
D'apr6s (29),
0
oo
oo
~ Hau,g(t) Ha~.h(t)dl~[ converge vers 4
~ g(s) h(s)dl; dans
0
0
LI(N, dx). Si ##:v, alors ~i(2#x) q)J(2vx) est combinaison lin6aire des fonctions sin 2
x et cos 2 ~
x qui sont p6riodiques et de moyenne nulle sur
une p6riode; flog si # 4=v: (31)
(M~(2; #, g), MJ(2; v, h))~
(32)
(Mi(2;#,g),MJ(2;#,g))oo
(33)
(M~(2;P'g)'Mi(2;#'h))~
On a aussi (M~(2; g, g), B)t
~-~+~o ' 0 ~+~
,0
p.s. si
i+j,
14 ~ --! g(s) h(s)ds.
~-.+o~ ' 2 lag
a-~+~o ~0 pour t > 0 . La convergence de ces diff6-
rents crochets entra~ne alors le th6or6me: il suffit d'6crire les martingales M I(2; #, g) comme mouvements browniens chang6s de temps et d'utiliser le th~orbme de Knight asymptotique ([L-Y], [P-Y]). []
5. Etude asymptotique, lorsque h tend vers 0, de ~ - 1 (h) (F (Z + h) - F (2)) Soit geCg (d6fini au th6or6me 3.1) et a~(h)=vg(h -2) off ]~g est d6fini par (16), nous supposons que a, v6rifie: lim a~-1 (h)h = 0. h--*0
(F(2, g), 2 > 0) admet une version continue, un module de continuit6 est donn6 par: ag(h)log ( ~ ) .
Ceci nous am6ne/t 6tudier un comportement asymptotique
en loi de %- 1(h)(F(2 + h, g ) - F(2, g)).
152
C. Donati-Martin
Th6or6me5.1. On note B (h) le mouvement brownien dffini par: B}h)=hBt/h 2. Si o_~ 1(h) h - 1 Gz,g(h 2 u) converge vers une fonction f~,g(U) dans L 2 (~+, (u/x 1) d u) quand h tend vers O, alors: F(2+h, g)--F(2, g) B~h)' Bt; ,,~>0, g e L 2, s _ 0 , t_>0} o-g(h) ' converge en loi quand h tend vers O, au sens des lois marginales de rang fini en (2, g), vers
), ~ fz,g(U)(1--cosB'u)
U2 dZ,(2), B;, Bt; 2>0, g e l 2, s>0, t > 0
0
off {Z(2)}~>o est une famille de mouvements browniens complexes indOpendants et indOpendante du mouvement brownien plan (B, B'). Remarquons que, d'apr6s le choix de O-g, co
sup O-g2(h) h -2 y G2,g(h -2 u)(u/x 1) d u < oo. h
0
Ddmonstration.
r(#, g)-r(,t, g) oo
= E(F(#, g)-- F(2, g)) + i ~ exp(i # B~) (# Gu,g(S) - 2 G~,g(S)) dB~ 0
+ i ; 2 G~.,g(s) (exp (i # B~)-- exp (i 2 B~)) d Bs. 0
D'apr6s l'6tude de la partie 3, o~
(# G.,g (s) - 2 G~,g (s))2 d s =
et IE(F(#, g)-r(,~, g))l
pour
0
d'ofl: o_g-1(2--#) E(F(#, g)--F(2, g))+i S exp(i#B~)(#Gu,g(S)--2G~,g(s)) d B 0
converge dans L 2 vers 0. Le seul terme A traiter est donc o_2 1(2 - #) i ~ 2 Gz,g (s) (exp (i # Bs) -- exp (i 2 Bs)) d Bs. 0
Transformation de fourier
153
On note
Mlt(h; 2, g)=
~ 2Ga,g(s)(cos((2+h)B~)-cos(2B~))dB~, 0
M2t(h; 2, g)=
t
•@(h)
~ 2Gr
0
q~l (x) = cos (x), q)2 (x) = sin (x), vo (x) = cos x - 1, v 1(x)-- sin x. Si ie{1, 2}, on note i-l'616ment de {1, 2}\i. La martingale M ~s'6crit:
(34)
1 o~ 2G~"g (h~) M~(h; 2, g)= h6,(h)
... ((pi(~ B(.h))Vo(B~h))+(--1) q)r(-hB(.h))vt (B~h)))dB(uh). Le th6or6me se ram6ne ~ la convergence en loi (au sens des marginates de rang fini en (2, g)) de: {~r~ (h; 2, g),
B~, B~l/h);2>0,
g e L 2, ie{1, 2} s>=0, t>0}
off: )~r~(h;2, g ) = ~ l(h) ~ 2Gxg
u
0
"(qoi(~ Bu) vo(Bu)+ (--1)i ePr(-~B,) vl (Bu)) d Bu9 Nous suivons le marne d6marche qu'au paragraphe 4.B.
I) ~tude des crochets (/~ti(h; 2, g), B) (M~(h; 2, g), B),
u
1
2
h ag(h) 2 i Ga,g(~) (cPi(~ B.) vo(B.) + (-1)i ~~ Bu) vt (Bu)) d u
1
t
o6 Hh(x) -- h r (h~ 2 ~.Ga,g(h- 2s) d l'~. 0
154
C. Donati-Martin
Lemme 5.1. Soit eE{O, 1}, t
v, H h ~ o
2v,~fa,g(s) dl ~ dans LI(N.) p.s. 0
D~monstration.
<2 ~
1
G~,g u _A,g(u ) E(Iv~(B,)l)du
0
<_-C 2 i ~ 1
Gz,g (~-) --f,~,g(u) (l//~A 1) du
0
=
h~0
,0.
[]
qh est p6riodique de moyenne nulle sur une p6riode. D'apr~s le lemme 4.3, (Mi(h; 2, g),B)~ h-.0 '0
p.s.
2) ~tude des crochets ()~i(h; 2, g), MJ(h; #, k)), i,j~{1, 2}, 2, #>0, g, ksL 2 (35)
(52f'(h; 2, g), MJ(h; #, k))~o =2# h2o.~(h) o~ Gx,g
Gu,k
9 Vo (B,) vl(B,)}du. Soit ~i, e2s{1, 2}, th, q2e{ 0, 1}, h2~r2(h) o
,
u
u
B, (p~ h B ~
du
cr~(h) ~ Ga'g(~) G"'k (~) dlQ dx" 0
T r a n s f o r m a t i o n de fourier
155
Notons oo
L e m m e 5.2.
U
U
x
Kh(X ) converge vers v., (x) v.~ (x) ~ fz.g(s) fu,k(s) d lX dans
L 1 OR) p.3.
0
Ddmonstration. oo
E(~IKh(x)--v,~(x)v,~2(x)!fa.g(s)fu.k(s)dl~dx ) =
1
Gx.g
Gu,k ~ --f~.g(s)fu,k(S) E(Jv~,(B~)v,2(B~)I)ds
0
G~,g
--
Guk s -A,.(s) L,k(s) '
(sA 1) d s ~ 0 .
[]
h ~ 0
0
D'autre part, si 24=/, ou e~ ~=e2, les fonctions (#,~(2x) q~,~(#x) sont p6riodiques, de moyenne nulle sur une p6riode; d'ofi d'apr6s le lemme 4.3,
1
~
~' x
u
[-~ 8.1 v., (8.) ~.~(8.) a .
converge vers 0
89S v~(B.) v,2(B.)A,~(u)f.,k(u) du
si
24=/~ ou e14=e2,
si
2 = # et el=/~ 2 .
0
En utilisant (35), 9 si 24:/~ ou i4=j, ()~i(h; 2, g), ~rJ(h; #, k))~o ~
O.
(Al~(h; 2, g), A~ri(h; 2, k))oo
h-~o ' 89 ~ (vz(B")+v~(B"))A,g(u)A,k(u)du 0 oo
=22 S (1--Cos(B.))f
A~ri(h; 2, g) s'6crit comme mouvement brownien chang6 de temps" A4'(h; 2, g)-=fl!h.)~((l~'(h;2, g), ffl'(h; 2, g))~).
156
C. Donati-Martin
D'apr6s le th6or6me de Knight ([Kn]) sous sa forme g~n6ralis~e (voir par exemple Le Gall-Yor [L-Y] ou Pitman-Yor [P-Y]), les mouvements browniens {R(h). i, 2} sont asymptotiquement ind6pendants, quand h tend vers 0, et sont ind6pendants de B, d'ofl la convergence en loi de {Mr~ (h; 2, g), B~; )~>0, g~L 2, i~{1, 2}, s>0} vers
B~; 2>0, g e L 2, ie{1, 2}, s > 0 2 ~fx,g(U)(1-cosB,) l/2 d Z,(,~), i 0
off {Zi(2)}~,z est une famille de mouvements browniens ind6pendants et ind6pendants de B. Notons Xi(2, g) = )~ ~ A,g(u)(1 - cos B.) 1/2 dZ/,,(2)
(36)
0
et X (), g)= X 1 (2, g)-t-iX2()~, g). I1 reste 5_ montrer l'ind6pendance asymptotique avec B ~ L'ind6pendance asymptotique de B (lIb) et de B r~sulte ais~ment de l'ind6pendance des accroissements browniens.
3) indkpendance asymptotique de ~IQ (h; 2, g) et de B (l/h)
Notons 2~o~(h; 2~,g ) = M ~ ( h ; 2, g ) + i ] ~ ( h ; 2, g), 1 ATtoo(h; 2, g)= h%(h) oS2G~,~
( )
exp i ~ B u (exp(iB,)--l)dBu;
et Yr(h;Z,g)-h%(h)
o 2Gx,~
2Gz,g ~
ZT(h;A,g)-hag(h ) Th2
exp i ~ B .
(exp(iB~)-l)dBu,
)
exp i ~ B ~ (exp(iB~)-l)dB..
Soit (p une fonction born~e sur ~; et F(B (t/h)) une fonctionnelle born6e du mouvement brownien B (1/h)-l~ t - h B h2t 9 On peut supposer FeSh~r. Nous devons montrer
(37)
E [-qo(Al~(h; J~, g))
F(B(1/h)) "]
h--,O >E [(p(X(J~, g))3 E r F ( B ) ] .
Lemme 5.3. yT (h; ,~, g) converge dans L 2 vers 0 quand h tend vers O.
Transformation de fourier
157
DOmonstration. E[(yT(h; ~ ,
1~ , g ~ ]ThZ rE [ [{e x p~( 1 Bblu ) - - l ' 2 ] g ) )2J] a=) ~h22 Govga(h)
du
.
v
h2 T
f)~2G2g(u)udu
h~0 >0.
I1 suffit donc de prouver (37) en remplagant M~(h; 2, g) par
[]
ZT(h; 2, g).
E [cp (Zr(h; 2, g)) F(B(1/h))] exp i ~
=E qo ... exp (1~
Bh~T exp (i Bh~T) hag(h)
;2Ga,g
u
Th 2
(B,--Bh~T))(exp(i(B,--Bh~T))--exp(--iBh~T))dB, F(B~I/h~I
= E[E[~o(-exp(i2x)exp(ihx) ~ 2Gx,g~T)/u+h2T\ hag (h)
o
9..exp(i~B,,)(exp(iB,,)-exp(--ihx))dB,)]/~=~B,~F(B(1/h)) ] [ , . [ [exp(id~x)exp(ihx) =E[L[cP/ hagN
~oo 2Gzg[u+h2T] o ' \ hz ]
... exp (i 2 B,) (exp(iB,)--exp(-- i h x)) d B,)]/~=, F (B)] h~ o ' E [E [ p (exp (i 2 x) X (2, g))]/x - ~T f (B)]. Or, d'apr6s l'expression de X(2, g) (voir (36)), X0l, g) et m~me loi, d'ofi:
expOAx)X(2, g)
ont
E [E [(p (exp (i 2 x) X (2, g))]/x = BTF (B)] = E [E [q~(X (2, g))] F (B)] = E [q) (X (2, g))] E IF(B)]. On obtient donc la formule (37) qui termine la d4monstration du thhor6me.
Application.
Reprenons le cas particulier des fonctions puissance, g~(s)=
pour 89< a < 1. Dans ce cas, G(h) = Ih 12~- 1. Notons G],g la fonction Ga associbe/t gr
[] S~
158
C. Donati-Martin Gz,~ vbrifie: Gx.,(s) = s22 -~1 H(22 s) pour (2, s)elR* x IR*, off:
H est une fonction croissante et lim H ( s ) = 2. s~oo
a [ 1 (h) h - 1 Gx,~(h- 2 u) = ~ - 2 u - ~ H(22 h - 2 u) ~ f z , , ( u ) = 2 2 - 2 u - ~.
La convergence a lieu darts L2(lR+,(uA1)du). On obtient donc le r6sultat asymptotique suivant: Proposition 5.1.
{ .
F~()~+h)-F~(2) B(h) B ,
s>O }
converge en loi quand h tend vers 0 vers
{2)~ -1 ~ u - ~ ( 1 - - c o s B ' ~ ) 1/2 dZ~, B's, B,, t>O, s > 0 } 0
off Z e s t un mouvement brownien complexe, ind@endant du mouvement brownien
(B, B').
6. Etude de la mesure alfitoire p (f) d~finie par ~ (f)= S f(Bs)g (s)d s 0
Dans toute cette partie, g est d6finie sur N~+, de carr6 int6grable, positive.
a) Existence d'une densitd d'occupation de la mesure
/~ d6finie par #(A)= ; 1A(Bs)g(s)ds off A est un bor61ien de lR, est une mesure 0
positive. Th~or~me 6.1. Si g ( s ) / ~ e L l ( N + ) , # est une measure positive a-finie absolument continue p.s. par rapport d la mesure de Lebesgue, de densit~ 7(s)= ;g(s)d/~. o De plus, 7(x)eL 1 pour tout x dans N .
Transformation de fourier
159
DOmonstration. Supposons que g v6rifie la condition g (s)/]Sss~ L 1( R +). oo
#(A)= ~ d x I g(s)d l~; A
0
notons oo
)'(x)= j" g(s)dl~. 0
E(y(x))=Ig(s)dE(12)=Sdsg(s), ~exp 0 o VZ~S d'od sup E(y (x))< m e t # est une mesure a-finie.
\
'
[]
x
Remarque. La condition d'intSgrabilit5 sur g peut paraltre trop forte puisqu'on obtient des densitgs d'occupation appartenant /t L 1. En fait, cette condition est nScessaire pour obtenir l'existence de 7(0), comme le montre le r6sultat suivant: Th~or~me 6.2. Nous supposons g ddcroissante, alors: 7(0) est finie p.s. si et seulement si g(s)/]Sss est une fonction intdgrable. Ddmonstration. " t
t
(38)
g(t) It~ = I g(s)d l~ + I l~ d g(s). O
0
Nous utiliscrons une forme d6terministe d'un lemme dfi fi Jeulin ([J] p. 44). Lemme 6.1. Soit v une mesure de Radon positive sur [0, oe [, (Xt, t > 0) un processus strictement positif tel qu'il existe une fonction localement bornOe ~: [-0, oo [ --* ]0, oo [ satisfaisant : Xt Pour tout t > 0, la loi de - ~ ne ddpend pas de t et admet un moment d'ordre 1, alors: ~v(dt)Xt
v(dt)~(t)
0
0
Appliquons ce lemme/L la mesure v (d t)= - d g(s), X~ = l~ et ~P(t)= ~/t. oo
co
f l~
I V~ldg(s)] < ~ 1 7 6
<~176
0
0
d'ofi d'apr~s (38),
7(0)< c~ p.s. ~ ~ ] f s Idg(s)] < oo 0
(carg(t) lff t~|
'0)" ds o
o
160
C. Donati-Martin
et lim ]~ttg(t)=0 d'ofi: t~ao
~/s d g(s) < oo <=>
g(s) < oo.
[]
o
Dans la suite, nous supposons la condition g(s)/l//s~L 1(IR § remplie. # est alors une mesure a-finie positive qui admet (y(x), xe]R) pour densit~s d'occupation. Pour toute fonction bor~lienne positive f v6rifiant # ( f ) < oo p.s., on a donc: oo
[. f(B~) g(s) d s = ~ f(x) y(x) d x p.s.
(39)
0
N.
Nous allons d6terminer des classes de fonctions pour lesquelles l'6galit6 (39) a lieu. 1. Si feLl(lR), alors # ( f ) < oo p.s. En effet,
g(s) (39) est v~rifi~e. 2. Soit feL~ (]R) c~ LzoR), E(#(]ff))= S
]f(x)t
ds ~
exp
dx
N_
=lira ~ o , f If(x)l e x p ( - e x a) oj _s
exp -
dx.
Notons i f ( f ) la transformbe de Fourier de f et
h(x)=exp(-ex2) ~ods
exp -
E (# ([f [)) = lim ~ g ([f [)(z) Y (I h [)(z) d z e~O
=lim,40a~ ~(Ifl)(z)
ds l / i ~ 2 e s exp - ~
=~+o
21 l+2gs]] sz2 ]]2dz]l/z
dsdtg(s)g(t)(2rc)llZ(s+t+4est) -112
__
exp(
1 + 2 a s ] ] dz
9
0
Si ~ ~ d s d t g(s)g(t)(s + t)-l/z< o% alors #(f) est d6fini pour toute feL/(lR). 0
0
Cette derni~re condition est v~rifi~e par exemple d~s que
g(t) t-114eL10R).
Transformation de fourier
161
b) ContinuitO du processus (7 (a), a6~-Q: La fonction g est suppos6e d6croissante et v6rifie la condition ~
/,
Le processus (7(a), a~lt) est donc bien d~fini. Th6or~me 6.3. Le processus (7(a)= ; g(s) d l"~,a~It I admet une version continue.
\ / 0 De plus, il existe une variable alkatoire e p.s. strictement positive telle que: lT(a)-7(b)l
(40)
pour ]b-al
Ddmonstration. Par int6gration par parties, 7(a)= ~ l~(-dg(s)). La condition 0
g(s) eL~fR+) est 6quivalente/t - ~]//sdg(s)< oe qui entralne - ~ l* dg(s)< oo
o
o
p.s. off l* = sup l•. Par th6or~me de convergence domin6e, (7(x), xeN~) admet une version continue. Pour obtenir un module de continuit6 de 7, nous utilisons l'estimation suivante, dfie/t Barlow [B]: --X 2
qui se r6~crit:
[ It;- 1'~12
)___2
P \ 8 1 ~ [ a - b ] >y -
exp(-y).
I'
E[exp(C
'l~-l~'2 ~ I ] : C ~ e x p ( C y ) , / [l~-l'[2 8 Vt[ ~ - b I-)o \ 8 ~ t l a - b l > Y ) dy C <2-si C < I . 1-C D'apr~s l'in6galit6 de Jensen,
E ( e x p K ( f ]l~-Ibt]dg(t))2-1] < ~ - - M -1 ~ t l / 4 E exp K M 2 I I r
~-1
dg(t)
o
off M = - - ~ tl/4 d g(t). 0
E expK
[l~-l~ldg(t)
- 1 _<2 -
[ (
E exp 8~vl2
-
si K =
1--C
.,,) ]
la - b l
-
<~
8M 21a-bl pour
C < 1.
(0=
162
C. Donati-Martin
Nous appliquons le lemme de Garsia-Rodemich-Rumsey (voir le lemme 3.1) off la fonction 0 est d6finie par 0(x)=exp(x2) - 1 et p par p(x)=(~-~-~ " ~ ' ' ' ~ --x)1/2 [
avec C < 1 ; alors E [~ (17 (_a)- 7 (b) [~ < \ \ l a - b l ]] D'aprSs le lemme 3.1,
O().
la-b]
!
Ul/2
1 ~1/2 [y(a)--y(b)l
[a-bl<_e.
[]
Remarque. Si g n'est pas d6finie en 0, la d6monstration reste valable sous l'hypo1
th6se - S s 1/4 d g ( s ) < ~ . 0
7. Existence d'une densit~ de probabilit~ Nous nous int6ressons fi l'existence d'une densit~ pour la variable al~atoire dans R 2" if(2) =(Re F(2), Im F(2)).
1) Preliminaries Nous rappelons quelques r6sultats sur la d6rivation sur l'espace de Wiener qui figurent dans Nualart-Pardoux IN-P]. On se place sur l'espace canonique O = Co(R+, R), espace des fonctions continues de ]R+ dans IR nulles en 0, P d6signe la mesure de Wiener sur f2 et B, les applications coordonn6es. Posons &a= {F: 0--+ IR, F=f(Bt,, ..., Bt.), f~C~(R")}. D~finition 7.1. Soit f~5~, on d~finit la d&ivde de F par
(B,,, ..., B,~ leo,,,, (0. i=1
On note []F[12,1= ][FH2+ 11HDF]IHH2off H = L 2 ( R + , R ) et IIDF][2= S (DtF) 2 dt. R+
On note ID2,1 l'espace compl6t6 de 9~ pour la norme ]l []2,1. Nous rappelons un r6sultat de Bouleau-Hirsch I-B-H] assurant l'existence d'une densit6 pour une fonctionnelle de Wiener.
Transformation de fourier
163
Th6orbme 7.1. Soit F = ( F 1. . . . , F,) off Fr 1 (i.e. F/eD2, a pour tout 1 <_i<_n). On note (DF, DF> = ( ~ DtFiDtFj d t)l _
Si det (DF, DF> > 0 p.s., alors F admet une densitd de probabilitd par rapport fi la mesure de Lebesgue sur IR".
2) Etude de la matrice de Malliavin Nous cherchons des conditions sur la fonction g assurant l'appartenance de ll-J2, 9 -
Proposition 7.1. Si g v~rifie ; s g2 (s) d s < oo ( 9 ), alors r(2)sK)~22)l et 0
D, r(2) = i 2 ; exp (i 2 Bs) g (s) d s. t
Ddmonstration. Soit F = exp(i 2B~), F e D(22)1 et Dr F = i 2 exp (i,~ B,) lt_
I1 reste ~ voir que sous l'hypoth6se ( . ) , Ot(F(2))=i2 ~ exp(i2B~)g(s)ds t
appartient fi Lz(f2 • IR+).
,,
d0 )
=222 ~ dt 0
exp - - ~ - ( u - - s ) g(u) du g(s) d s t
~s
= 2 ) . 2 ~ d t ~ G~(s) g ( s ) d s = 2 2 2 0
t
tGz(t) g ( t ) d t 0
<=C ;sg2(s) ds
(d'apr6slelemme2.1).
[]
0
Posons F1(2) = Re F(2) et F2 (2) = Im r(2), alors co
Dt F1 (2) = -- 2 S sin (2 Bs) g (s) d s t
oo
DtF2(2) = 2 S c~
g(s) ds.
t
Proposition 7.2. Supposons que g ne s'annule pas et vOrifie S s g2 (s) d s < oo, alors : 0
164
C. Donati-Martin
i) det (D/~(2), DIP(2)) > 0 p.s. ii) ]P(2) admet une densit~ de probabilitO par rapport ~ la mesure de Lebesgue de IR 2.
D~monstration. i) det(Dff(2),Dff()o))=(~(DtFl(2))2dt)(~(DtF2(Z))2d 0
-- S (D~ Fa (2))(D, F2 (2)) d 0
Soit N = {coe ~2, det (D/~(2), DF()o)) (co)= 0} N c {coe f2, ~ c~(co),V t e N + , DtF1(2)(o))= c~(CO)D,Fz (2) (co)} N = {coEf2, 3 c~(o)), V t e N + , g(t) sin(2 co(t)) = e(co) g(t) cos(2 co(t))} N c {coe (2, ~ e(co), V t e N + , tan(2 co(t)) = e(co)} d'ofi P (N) = 0. ii) est une cons6quence du th6or6me 7.1.
8. Extension aux processus ~i aecroissements ind6pendants homog6nes
Nous donnons quelques g6n6ralisations de certains r~sultats obtenus pr6c6demment lorsque le mouvement brownien est remplac6 par un processus/t accroisements ind6pendants homog6nes. Soit Xt un processus fi accroissements ind6pendants homog6nes caract6ris6 par:
E(exp(i2Xt))=exp(-tTs(2))
off
7J(2)e(I; et Re71(2)>0.
Th~or~me 8.1, i) Pour tout 2 tel que Re kg(2)> 0, pour route fonction g de I3 (0, oo), t
Ft(2)= S exp(i2Xs)g(s)ds converge dans I~, quand t tend vers 0% vers F(2, g). 0
ii) Si de plus, X est fi sauts bombs, alors F(2) appartient g~~ 0 ; C
(41)
et
~ g2 (s) d s.
Dans la suite de ce paragraphe, nous restreignons notre 6tude aux processus stables sym6triques d'indice/~ avec 1 1/2. 1
Sa
Transformation de fourier
165
Th6or~me 8.2. F~(')(2)-log([21-')~
i d S - ( e x p ( i X ~ ) - l ) + ~ d- s exp(iX~) S
0
a<,
1
121P(l_~)/zfi)(~ a
t--/
2-~0
S
; d s exp(iXs). 0
Sa
L'6tude de la mesure al6atoire # faite au 6 se g6n6ralise au cas off: oo
#(f)=
~ f ( X s ) g(s) ds. 0
N o u s supposons g positive, d6croissante et g ( s ) s - 1 / ~ I 2 (IR+). Cette derni6re condition est v6rifi6e p o u r 1 < fl < 2, puisque dans ce cas: s-1/flegl([0,
1 ] ) n L 2 ( [ 1 , ooD.
Th6or6me 8.3. /~ est une measure a-finie p.s., absolument continue par rapport
fi la mesure de Lebesgue, de densitd 7 (a). Le processus (7(a), a~N) admet une version continue vdrifiant: 17(a)-7(b)l
(
11'2
log [ a - b [ ]
pour
[a-b[<_~.
L a d 6 m o n s t r a t i o n de ces rbsultats figurent dans [ D 1 ] . P o u r obtenir les th6or& mes 8.1 et 8.2, on suit la d6marche adopt6e dans [ D 1 ] p o u r le m o u v e m e n t brownien, qui se transpose ais6ment aux P A I H .
Remerciements. Cet article est la majeure partie d'une thbse d'Universit6 dirig6e par M. Yor; je le remercie pour ses conseils tout au long de ce travail. Je remercie vivement T. Jeulin pour ses nombreux commentaires sur la premiere version de cet article, qui ont conduit /t g6n6raliser et simplifier certains r6sultats de ma th6se (particuli6rement l'6tude de la continuit6).
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