Z e i t s c h r i f t ftir
Z. Wahrscheinlichkeitstheorieverw. Gebiete 49, 249-255 0979)
Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete
9 by Springer-Verlag 1979
Un nouveau type 'in6galit6s pour les martingales discr6tes Lucien Chevalier Laboratoire de Math6matiques Pures, Institut Fourier, Universit6 de Grenoble BP 116, F-38402 St Martin d'H~res
Summary. We prove the following extension of classical Burkholder-DavisGundy inequalities: let (Xn),~ ~ be a martingale; for p > l , in order that X* (=Sup]X,I) and S ( X ) ( = [ X , X ] ~ = ( ~ ( X , + ~ - X , ) 2 ) ~) belong to Lp, it is n~N
hEN
sufficient that Inf(X*,S(X)) belong to Lp. For <
> martingales this result holds for p > 0.
I. Introduction Les martingales dont il est question ici sont des martingales indexdes par N, nulles en z6ro. Si X est une telle martingale, on pose, pour tout n~N, X* n
=SuplXp[ et S(X)n= p
p-
(Xp-Xp_ 0
2
"~
, X * = S u p X * et S(X)=SupS(X)n.
1
n
n
On dira ici qu'une filtration (Y,n) est r~guli~re s'il existe une constante C, dite constante de r~gularitd de la filtration, telle que, pour toute martingale X relative /t cette filtration, il existe un processus croissant pr~visible A v6rifiant, pour tout n > 1, ]X~-X~_ :[ < A n < C Inf(X*, S(X)) (p}ar exemple, la filtration dyadique est r6guli6re). Toute martingale relative ~ une filtration r6guli~re sera dite elle-m~me r6guli~re. On se propose de donner une d6monstration des rdsultats suivants, dont une partie a 6t6 annoncde dans [1], propri6t6s du couple (X*, S(X)) qui gdn6ralisent les in6galit6s de Burkholder-Davis-Gundy: Th~or~me I. Pour tout p ~ 1, il existe une constante Cp telle que pour route martingale X, E ((Su p (X *, S (X)))p) <=C e E ((I n f (X *, S (X)))v). Th6or6me 2. Pour tout p > 0 , et toute filtration r~guli&e ( ~ ) il existe une constante D;, ne dOpendant que de p et de la constante de rdgularitd de (~.), telle que, pour route martingale X relative d cette filtration, on ait
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L. Chevalier E ((Sup (X*, S(X))) p) <=D~,E((Inf(X*, S(X)))P).
Un des outils essentiels de notre d6monstration est le
Lemme de doublement des exposants. Soient p > 0 , X une martingale et Y la martingale (X 2 - S(X)2). Si E((Y*) p/z) < Ap/2 E(((S(Y))P/2), alors E((Sup (X*, S(X))) p) < AvE ((Inf (X*, S (X)))P), off Ap ne d(pend que de Ap/2 et de p. On peut remarquer que, si on s'autorise l'usage des in6galit6s de BurkholderDavis-Gundy, ce lemme donne instantan6ment le th6or6me 2 (et m~me le r6sultat a priori plus g6n6ral obtenu en remplagant, dans la d6finition de la r6gularit6, l'in6galit6 A , < C I n f ( X * , S ( X ) ) par la condition moins forte: pour tout p > 0, E(A~) < CPE((S(X))V)). En revanche, on ne peut obtenir ainsi que la partie du th6or6me 1 qui correspond aux exposants p > 2. En tous cas, les th6or6mes 1 et 2 d6coulent ais6ment du lemme pr6c6dent et des propositions suivantes:
Proposition 1. Pour 0 < p < 2 , il existe un nombre Ep tel que, si X est une martingale pour laquelle il existe un processus croissant pr~visible A vOrifiant E ( A ~ ) < + o o et Inf(X*,S(X)n)<-_A . pour tout n, on air E((Sup(X*,S(X))) p) <=EpE(AL). Proposition 2. Pour l=p__<2, il existe des nombres Fp et Gv tels que toute martingale X s'~crive X = Y + Z, oit Y e t Z sont des martingales qui vOrifient: E((Sup (Y*, S(Y))) p) <=FpE((Inf (X*, S(X))F); Inf(Z*, S(Z)n ) <=An pour tout n, off A est un processus croissant prOvisible tel que E(A%) <-_GpE((Inf(X*, S(X)))P). La proposition 1 s'obtiendra (wIII) comme cons6quence d'une <> (cf. [2], [3]) et, pour prouver la proposition 2, on reprendra (w l'id6e originale de B. Davis, avec toutefois de n6cessaires am6nagements, dfis /t la pr6sence de l'exposant p et au fait que l'qpplication X~--,Inf(X*, S(X)) n'est pas sous-lin6aire.
II. D6monstration du lemme de doublement des exposants I1 suffit 6videmment de d6montrer ce r6sultat pour des martingales constantes apr6s un certain temps no; pour de telles martingales, on voit facilement, gfftce/~ l'in6galit6 I X , - X . _ I I < 2 I n f ( X * , S ( X ) , ) , que la finitude de E((Inf(X*,S(X))) p) implique celle de E((Sup(X*,S(X)))P); il est doric loisible de supposer cette derni6re quantit~ finie. De l'6galit6 Y ,--X , -2S ( X ) , , 2 on d6duit les in6galit6s (X*)P<%((S(X))P+(Y*)P/2),
ot~ % =sup (1, 2P/2- 1),
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et (S (X)) ~ __<~p ((X*)~ + ( r *)P/2), d'ofi (Sup (X*, S(X))) p < % ((Inf(X*, S(X))) p +(y,)p/2; en prenant les esp6rances des deux membres et en utilisant l'hypoth6se relative l'exposant p/2, on obtient l'in6galit6 E((Sup (X*, S(X)) p) < c~p(E ((Inf (X*, S(X))) p) + Ap/2 E((S(Y)) p/2.
(1)
D'autre part, on a
+O9 (S(Y)) 2 = 4 Z 2 2 - - 1 ( X n - - X n - n--1
1)2~4(X*)2(S(X))2;
en 6levant les deux membres de cette derni6re in6galit6 fi la puissance p/4, en prenant les esp6rances et en appliquant l'in6galit6 de Schwarz au second membre, on obtient l'in6galit6 E ((S (Y))P/2) < 4p/4(E (Sup (X*, S (X)))P)~(E ((In f (X *, S (X)))P)~.
(2)
Les inhgaliths (1) et (2) impliquent 6videmment l'inhgalit6 suivante, o6 t = (E(Sup (X*, S (X)))P)~: t 2 < 2 v/2 ~eAp/2 (E((Inf(X*, S(X)))v) ~ t + ~F E((Inf(X*, S(X)))P),
et, compte tenu de la finitude de t, un argument bien connu achave la d6monstration.
lII. D6monstration de la proposition 1
Dans tout ce wIII, p d6signe un hombre rdel vdrifiant 0 < p < 2 . Definition 1. On appelIe ici p-atome une martingale a pour laquelle existe un temps d' arrat T v~rifiant :
(i)
an=0
si n < T;
1 (ii) I n f ( a * , S ( a ) ) < ( p ( r < + oo))1/p.
Lemme 1. On conserve les hypotheses et les notations de la proposition 1. Il existe une suite (a k)k~e de p-atomes et une suite (2k)k~e de r~els v~rifiant: +o0
(a) pour tout n ~ N , X n=
~ k=
2ka ~ p.s. oo +o9
(b) pour tout n ~ N , (S(X)) 2=
~, k=
)ok2 (S(a k)),,2 p.s. 3o
+oo
(c)
~ k = - - o~
12klp ~= E pi E ( A ~p) , o~t Epi ne d@end que de p.
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L. Chevalier
DOmonstration. On pose, pour tout ke2g, Tk= Inf {k; Ak>2 k} -- 1,
2k =2k+2p(Tk<
+
oo) l/p,
ak=(xk+l--xTk)/2k
si 2k+0 et 0 si 2k=0.
Comme A est pr6visible, Tk est un temps d'arrat e t a k est une martingale, qui est un p-atome associ6 fi ce temps d'arrat: en effet, la propei6t6 (i) est trivialement saitsaite et de plus, comme
(ak)* < 2 X * + ~/2k et S (a k) __
Inf((ak) *, S(ak)) < 2ATk +1/2k G 2.2 k+ 1/2k = 1/p(T < + oO)I/c Pour prouver (a), on observe que, quels que soient P e t Q e N on a, pour tout heN, o
x-
E ;~',a~.=(X.--X~247 k=
P
Puisque A~ est int6grable, Ta+ 1 tend vers + oo p.s. quand Q tend vers + oo, ce qui prouve que le terme entre parenthhses tend vers 0 p.s. D'autre part, sin < T e pour tout P e N , alors Inf(X*,S(X),)=-O, donc X = 0 ; par suite, quand P tend vers + o0, X, Ar_ ~ tend vers X,^~f(z_p)=0. Pour prouver (b), on utilise le fait que, quels que soient k e g et neN, on a l'identit6 )2
_ 2 ~ (S(a k))~2 _-(s(x)).A ~+~ - (s(x))~.~ ~,
dont on d6duit que, quels que soient P e t Q e N , Q
(s(x))~-
y~ ~ ~ (s( a ~ ))~ =((s(x))~. -(s(x))~.~ ~+ ~)+ (s(x))~.~ ~_. k=-P
On raisonne ensuite comme pour (a), en remarquant de plus que Inf(X*, S(X)k ) = 0 implique S(X)k = O. Enfin, on a +co
Z k ~ - co
+co
2~= ~
2p(k+Z)p(A~>(ZP)k)
k = - co
ce qui prouve (c). Revenons fi la d6monstration de la prop. 1. On d6duit de (a) que, sip__< l, +co
(X*)V<= ~, (2k)P(ak*)P; k=--o3
(3)
U n nouveau type d'indgalit6s pour les martingales discrhtes
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de marne on d~duit de (b) que, sip < 2, +co
(S(X))P<= ~ (2k)P(S(ak))p. k_-oo
(4)
De ces deux in6galit6s d6coule directement le fait que +r
E((Sup(X*,S(X)))P)<
~ k--
(2k)PE((Sup(ak*,S(ak))) p
--
si p < l .
oO
Si 1
E((Sup (X*, S(X))) p) < E~ ~
(2k)p E((Sup (a k*, S(ak)))P),
k=--co
ol) Ept! ne d6pend que de p. Dans un cas comme dans l'autre, la proposition 1 se trouve, compte tenu de (c), ramen6e au Lemme 2. Pour tout p-atome a, on a E((Sup(a*,S(a)))P)<=Ep, oft Ep ne d@end H!
tt!
que de p. D~monstration. Soient a un p-atome et T u n temps d'arr6t associ6. La condition (i) implique la nullit6 de Inf(a*,S(a)) lfi oll T est infini; comme a* et S(a) sont nuls simultanhment, on en dhduit que Sup (a*, S(a)) est nul 1/t o6 T e s t infini. Par suite, E ((Sup (a*, S (a)))p) = E ((Sup (a*, S (a)))p Z~r < + ~ 3) < ( p ( T < + oo)) 1 P/~(E((Sup(a*,S(a)))4) el4 par l'in6galit6 de H61der. D'autre part, de l'indgalit6 de Doob E((a*)2)<4E((S(a))2), au lemme de doublement des exposants, l'in6galit6
(5)
on d6duit, grace
E((Sup (a*, S (a))) 4) __<1089 E ((Inf(a*, S(a))) 4) qui, avec l'indgalit6 (5) et la propri6t6 (ii) des p-atomes, entraine le r6sultat cherch6.
IV. D6monstration de la proposition 2 On prouvera en fait une forme plus g6ndrale que le r6sultat strictement ndcessaire, dont l'6nonc6 montre clairement quelles propri6t6s de l'application X ~-, Inf(X*, S(X)) interviennent effectivement dans la d6monstration. Pour tout processus adapt6 X, et tout entier n > 1, on pose
(dX),=X,-X._~
et
(d* X)~=Supl(dX)kI. k<=n
on a alors le
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L. Chevalier
L e m m e 3. Soit l=
appliction de l'ensemble des processus adaptds dans l'ensemble des processus adaptds croissants, v&ifiant Ies propri&ds suivantes:
Idl~2T, dT <=d*, (T(X + Y))P <=2 p I((T(X))P + (Sup (Y*, S(y))) p) quels que soient X et Y. II existe alors des constantes Fp et Gp teIles que route martingale X s'dcrive X = Y + Z, off Y e t Z sont des martingales qui vdrifient." E ((Sup (Y*, S(Y))) p) <=FpE((TX)P);
(TZ)n<=A n pour tout n, off le processus A est prOvisible, croissant et tel que E(AL) < GpE(( T X)~). D~monstration. Soit X une martingale; on pose, p o u r tout n__>1, (d Y). = (dX).z~(rx)" < 2(drx).} et ( d 2 ) . = (dX). Z~r
~=2(rx)._ 11"
On d6finit ensuite les martingales (nulle en 0) Y e t Z en posant, pour tout n > 1,
(dY). = (dY). - E ( ( d Y ) . / ~ _ 1) et
(d Z). = (dZ). - E ((d2)./~.~_1). On v6rifie que X = Y + Z ; de plus, on a pour tout n > 1" I(dY).] < 2 (TX).)~{~TX). <2 ~dTX).}< 4(dTX)., d'ofl, c o m m e p > 1 E(I(dYF.I) < 23J'E((dTX)~) < 23P(E((TX)P. - (TX)~ 1). On a donc E
(+/
)
I Y ~ - L _ ~ I ~ <=23PE((TX)~),
n--1
d'ofi, c o m m e p < 2,
E((S(Y)) p) <=23PE(( TX)~);
(6)
si p = l , la m~me m a j o r a t i o n vaut pour E((Sup(Y*,S(Y)))O, et la propri6t6 demand6e h Y en r6sulte, avec F1=8; si p > l , l'existence de Fp r6sulte de l'in6galit6 (6) et d'une in6galit6 de Burkholder. De son c6t6, la martingale Z v6rifie, pour tout n > 1,
(TZ)n = (TZ)n_ 1 + (dTZ)n <=(TZ),_ , + (d* Z)n < ( T Z ) , _ ~ + (d* Z),_ ~ + I(dZLI.
Un nouveau type d'in~galit6s pour les martingales discr+tes
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Or, on a
I(d2).l _-<2 (TX)~ Z{(rx). _<2(rx)._ ~ < 4(TX )._ 1, et par suite I(dZ),l _-<8(TX)o_ ~; c o m m e d'autre part ( d ' Z ) . _ ~ G 2(TZ),,_ ~, on d6finit bien, en posant
A , = 3 ( T Z ) , _ ~ + S(TX)n_ ~, un processus A croissant pr6visible qui majore T Z ; enfin, c o m m e
( T( Z)F < 2 v- ~(( T( X)) p + (Sup (Y, S ( Y) ))e), on a
E ( ( T Z ) p) < 2 p- ~(1 + Fp) E((TX)P), et par suite, E (A p) < 2 p- ~(3 p 2 p- ~(1 + Fp) + 2 3 v) E ((TX)P). Les thhorhmes 1 et 2 sont d o n c dhmontr4s.
V. Remarques On p o u r r a observer que, au prix d'un simple changement de notations, la mdthode utilis6e pour d6montrer la proposition 1 s'applique aux martingales (/t temps continu) continues, et q u ' o n obtient ainsi l'in6galit6 E ((Sup (X*, S(X))) p) < EpE((Inf(X*, S(X))) p) p o u r toute martingale continue, et tout p v6rifiant 0 < p < 2 ; c o m m e d'autre part le lemme de doublement des exposants est encore valable dans ce cadre, on a l'analogue du th6or6me 2 p o u r les martingales continues (cf. [3]). Je ne me suis pas int6ress6 a u t h . 1 dans le cadre g6n6ral des martingales locales <>. [] N o t r e d6monstration du thdor6me 2, et celle du th6or6me 1 dans le cas o6 p = 1, n'utilisent pas les in6galit6s de Burkholder-Davis-Gundy.
References 1. Chevalier, L.: Quelques in6galit6s sur le couple (X*, S(X)) associ6/t nne martingale x, C.R. Acad. Sci. Paris [/t paraitre] 2. Bernard, A., Maisonneuve, B.: D6composition atomique de martingales de la classe H ~, S6minaire de Probabilit6s XI, Univ. de Strasbourg. Lecture Notes in Math. g81, Berlin-Heidelberg-New York: Springer 1977 3. Chevalier, L.: D6monstration ~>des in6galit6s de Burkholder-Davis-Gundy. Ecole d'6t6 de Probabilit6s de Saint-Flour VIII, Ann. Scient. Univ. Clermont. [A parMtre] Re~u le 15 avril 1979
