Unbestimmtheitsstellen line~rer Differentialgleiehungen mit mehrfachen Wurzeln der eharakteristisehen Gleiehung. Von J. Horn in Darmstadt.
D ~ System linearer Differentislgleichungen
(A)
dy~
zl-k-ff-~ + ~ P,s(x)yp = O /~.=t
(~l,...,m),
w o k eine der Zahlen 1, 2 . . . . ~mct oz .(1)
in der Umgebun~ yon z = ~ regul~r ist, ist Fisher unter der Vorau~etzung behandelt worden, daft die zur Unbestimmtheitsstelle zo geh6rige charakteristische Glei~hung A (s) 0, wo
uncl ~ , = 1, ~t~ ---- 0 (~ <>~) ist, m verschiedene Wurzeln hat1). Die im Jahresber. d. D. Math.-Vereinigung 24 (i915), S. 309 f. gegebene Behsndlung eines Systems (.4) mit ]auter verschiedenen Wurzeln yon A (s) -----0 ist ohne wesentliche ~nderungen auf diejenige Lfisung fibertragbaL welche einer ei~t/acl~,, Wut~el der charakteristischen Gleichung entspricht, ohne Riicksicht darauf, ob die iibrigen Wurzeln einfach oder mehffach sind. U m zu den L6sungen zu gelangen, welche me3trfac~ W~trze/n der Gleichung A (s) = 0 entsprechen, fiihren wit, wenn die Determinante A (s) nicht yon vornherein lauter lineare Elementarteiler.besitzt, unser Differentialgleichungssffstem dutch Einfiihrung einer neuen unabh~gigen trod neuex abhiingiger Veriinderlichen in ein DiHerentia~leiclmngssyst~ iiber, bei weleIwm
wenigstens de~'je~ige Elementarteil~ l~]ieven Grades, zu wdchem die gesucttte~ l) Literaturangaben in der Arbeit des Vedassers: Math. Zeitechr. 21 (1924), S. 85--95. Mathematlsehe Zeitschrift. ~. 31
482
J. Horn.
L6sunyen 9eh6ren, dutch lineare Ele~ntarteiler ersetzt ist, die nicht notwendig verschieden sind. Der Rang der Unbestimmtheitsstelle wird durch die anzuwendende Substitution erhSht. Fiir gewisse Systeme yon drei und vier Differentialgleichungen habe ich nicht nur die hier behandelte Zuriickfiihrung auf einfachere Formen, sondern auch deren Integration durch Laplacesche Integrale inden w167his 4 und 7 der Arbeit ,,Hypergeometrische Funktionen zweier VergnderlicI~en" in Math. Annalen 111 (1935) und 113 (1936) ausgefiihrt, allerdings nur soweit, wie es fiir die Anwendung in der Theorie der hypergeometrischen Funktionen zweier Vergnderlichen erforderlieh war. ~lnzufiihren sind gltere Arbeiten yon C. E. Love, der fiir eine lineare Differentialgleichung zweiter und dritter Ordnung mit einer reellen unabhgngigen Veriinderliehen den Fall mehrfacher Wurzeln der charakteristischen Oleichung nach der Methode von Dini behandelt hat (Amer. Journ. of Math. 1914, 1916). Fiir lineare Differentialgleichungen beliebiger Or(lnung mit beliebigen Wurzeln der charakteristischen Gleichung zeigt W. J. Trjitzinsky (Act. math. 62, 1934), daft aus den yon E. Fabry (Th~se Paris 1885) aufgestellten formalen Reihen analytische LSsungen hergeleitet werden kSnnen, welche durch diese Reihen asymptotisch dargestellt werden: Unter wesentlichen Einschr~inkungen finder Trjitzinsky (Transact. Am. Math. Soc. 37, 1935) als LSsungen Laplacesche Integrale und Fakult~ttenreihen. Vgl. den Vortrag yon Trjitzinsky im Bull. Am. Math. Soc. 44, 1938. In den w bis 3 der vorliegenden Arbeit nehmenwir an, diecharakteristische Gleichung A (s) -----0 des Differentialgleichungssystems (A) habe die m-fache Wurzel s ~ 0~), die entsprechenden Elementarteiler der Determinante zl (s) seien sp, sp', s~nt . . . . (p ~- p' ~ p" ~ . . . . m). In 9 1 wird der Fall eines einzigen Elementarteilers sp, in 9 2 der Fall zweier Elementarteiler sL sp' und in 9 3 der Fall dreier Elementarteiler sp s p', s 7''' betrachtet. In den 99 4 bis 5 nehmen wir an, die charakteristische Gleichung habe nicht tauter gleiche Wurzeln. Neben der mehrfachen Wurzel s ---- 0, mit der wir uns beschiiftigen, seien irgendwelche yon Null verschiedene Wurzeln vorhanden. Zur Wurze] s =- 0 gehSrt in 9 4 der Elementarteiler s~, in 9 5 die beiden ElementarteiIer sp s~' yon A (s). In w6 werden fiir einfache Systeme (A) die formal geniigenden Reihen aufgesteUt, soweit sie den linearen Elementarteilern s;. ., s yon A (s) entsprechen. Die wirkliche LSsung unserer Differentialgleichungen ist eine weitere Aufgabe, mit d~r wir uns hier nicht besch~iftigen.
2) Zu dem Wurzelwert s ~- 0 gelangt man durch eine Substitution a ~k
y~ = e
k %
(:~1
.....
m).
Unbestimmtheitestellen linesrer Differentialgleichungen.
483
w 1}ie e h a r a k t e r i s t i s e h e
Determinan~/I
(s) babe einen einzigen
E l e m e n t a r t e i l e r .~'. D a s D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g s s y s t e m (A) sei d u r c h eine lineare T r a n s f o r m a t i o n d e r abhttngigen Ver~inderlichen a u f die F o r m g e b r a c h t : x~--k
+
- - - k T + ... y ~ = O ,
.~ P
.
9
9
.
.
.
.
,
o
~,-~
9
._(1}
o
o
9
9
o
9
*
.(,)
P
+
n(~t)
o
9
o
|
.
.
.
.
~(*)
~7 (=~'-~ ~- "P~ + " ""/y~ = O.
D u t c h die ,~ubstit~tion x = tP;
Yl = YI, Y~ = t Y2 . . . . .
Yv = t ~ - l Y ~
g e h t es tiber in
,,-,,~
+,~
+...)
~, +
,,~-, + 9 .),. § + ~9 p a(1) ~ + . . . ) Yp = O,
+
+...) r, +
+ ~_~) r, + . . . "
(1)
§ r176 + ...) ~, = o, 9
~'~%___A+..
t * - ~ k -~J' -k \ f p - 2
+ (~ + ' ~
(I)
Y,+
"
~ t~.p -:~
+
+...) n - , '
-
0....
p,
-- s ....
0, ,
O,
Y2+-.:
~'~ +
Die z u r U n b e s t i m m t h e i t s s t e l l e t = ~ chamkteristische Gleichung - - s,
"
vom Rang
0 .....
- - s,
O,
0.....
p,
yk-
Y~
0.
1 gehSrige
~1,
r
0 -- s~--
O,
+ "-'
l ~ a o) = 0
0
-- s 31 *
d84
J. Horn.
hat,, ~ e ~ ~,0~ ~ 0 ~ , ~ ver~hiedene Wurzeln s ----pK=
(~
l,...,p),
(= =
I, ..., is),
WO
K
y ai~
einer der p Wzrte der p-t~n Wurzel ist. Wir flfllren-an SteRe y o n YI,-- -, Y, nene Ver~nderliche ] ] v . . :,~]p so ein, ~ D q l ~ i a t a b ~ u , , S ~ -geke:
1~ ist eine linesre Verbindung
~1.-- ~aYI + . . . + ,l,Y, so vor]~l~en, ~
iz~ den Ausdriicken flit
dr,
-~T und'~ ~"~-4"'"+~'~'~ die in, Xx , . . . , Yj, l i n ~ p K , (~txr , + . . .
Glie~ier iibereinstlmmen, d.h. dab
q- 2,Y~,) ---- ~,P Yz "-1-... -t- a,~ Y~,_, q- Jlapa~'~ Y~,
ist., Man hat demn*ch
Die p erst~n~(Heichungen ergeben
~:~L,:... :~t, ~ I:K~:... :K~-' und die ~-te Gleichuu~
#,';
K;;
demn~h haben wit die nenen VerE~lerlichen ~L = ~'~+ ~ r Ir~ + . . . + J~',- ~ IT,
~= = z , . . . , p).
'In dem susgescblcasenen Falle ao) = 0 ~) geht das Differentialgleich~m~' system dutch die Substitution "Yl----- Yi, . . . .
Y~-I---~ Y,-I,
*~ Demitige Ausn~a~eflflle l ~ n
y,~- zY,
wit f~r gew~h-!ieh ~ r
seht.
U n b ~ i m m t "hei~zmtkm lineas~ -Differes~t,~l~kiohungen.
iiber in ''kdr'l
-,'--
~
0.
xt ~dYi
d. + Y,._, + g",., r , § dY Zt--e--~-~--]
-
...
=
....
o,
O.
Dieses System, dessen charaktez~tische Deterrnimmte die Elementarteller sp-'I, s hat, wird n a c h w 2 behandelt~ Ein System yon zted Vifferentialgleicbnngen mit der Doppelwurgel s -----0 der charakteristischen Gleiehnng kaian nach dem Bisherigen auf ein System mit zwei verschiedenen Wurzelu der charakteristischen Gleichmag oder auf ein System yon geringerem Rang zm'iickgefiihrt we~len.
w 9
e
Die Determlnante d (s) babe zwei Elementarteiler s ~, s e ; es sei p ~ p ' .
Wit kfnnen dem Differentialgleieb,n~s~tem (A), indem wit ~o+ p' -= m setzen, die Form geben: ,~m/tt(l~
+ Y, +
+
,,.,(1) xl--t~dY" " +[ Y'--'-~" - d ,z~ [ Q ~
: ~ - k ~ p~z+ ~ + -1- Yp+l
dz
.
~
.) Y,o
"
O,
")', e = O '
_(x)
("p+l,t~ ~--'X-- + . . . ) y ~ = o ,
+
%'Yp+f-a +
.,
-)y, =
'~P+P"P g +...
0,
y~-=o.
486
J. Horn. Werm p ~> p' und ,~a) -1 p a~ 0 iat, k6nneaa wir ~~m p + l,.p ---- 0 vorausset~n. Wir fiihren niimlich, indem wit a(i) .. e..+:,.e
g =
a(z)
lp setzen, a n Ste]]e y o n Y~+z, Y~+z . . . . . %+z
=
%+2 9
o
%§
Dadutch wird "(~) ~la+
durch
l,p
ein:
Y~+z -- gYz,
=
.
y~+~, d i e n e u e n V e r a n d e r ] i c h e n
Y~+2-o
.
=
.
gY~, .
.
.
y~+~, -- gy~,.
~t~ l , p
~p+
(o _ 0 ersetzt.
--
~l/lp
Wir unterseheiden die beiden FRIle p ~ p' mad p = p'. 1. I m erste~ FaUe p ~ p' benutzen wir die 8~bstitution z = tp;
Yp+I
--_
Yl = Y1, Ys = t Y 2 . . . .
]p+z,
Y~+~ ~ t ] ~ + 2 ,
~
r
" ' ' ,
, y~ = tT,-z y ~ ,
Y~+~'
_~. tp, - 1 y
~+~'"
Wir erlaalten die Differentialgleiehungen
+
Y, + .... o,
t ~ - p k ~T2 q- p Y~ q-- . . . = O, t2-p~ dY p - d y q- I~ Y p , ~ q- . .r. = O, [,--pk dYP +1 (z) d t " ~" 1)aP + z'P YP ~- . . . . dYp + 2 ---d-f- q- P Y p + t -~- . . . .
t2-pk .
.
.
.
.
.
.
.
.
tz-pkdYP+P'-~--pYp
dg
o
. . . .
+p'--z
O, O,
.
.
-~-
.
~ O, 9
9
9
wo die nicht angeachriebenen Glieder t i m Nenner enthalten. Wir ~ehme.~ ~(~ ~ 0 an, s~ dal~ ,.(1) _p + a, = 0 gesetzt werden kanu. An Stelle yon Y ~ , . . . , Y~ fiihren wir die neuen VerRnderlichen ~ z , . . . , ~ wie in w 1 ein. Daa durch die Ver~nderlichen ~)~ .
. + . K~Y~ . Y~ +
+ K , " - ~ Y~,
(~=
1,
.., p);
Unbestimmtheitss~ellen linearer DifferentiMgleichungen,
487
befriedigte Di//erentialgleichungssystem
t 2 - p ~ .a~+~
§ ..... 0,
t2--pk d~l~+~ dt " +p~Dp+~ § . . . . .
.
9
9
9
9
9
dt
9
9
9
~
i
9
*
+P~+"'-~
*
o, 9
*
.
+ ....
0,
wo die Glieder m i t t im Nenner weggelassen sind, hat die Unbestimmtheitsstelle t = w yore Rang pk -- 1. Die charakteristische Gleichung hat die voneinander und yon Null verschiedenen Wurzeln s = pK~ (a = 1 , . . . , p) und die p'-fache Wurzel s = 0 mit dem Elementarteiler sV'. Die p LSsungen, welche den einfachen Wurzeln pK~ entsprechen, lassen sich nach gahres9bericht 24, S. 309f. berechnen. Im Falle p > 1, p' = 1 hat die charakteristische Gleichur,g p-~- 1 einlathe Wurzeln p K 1 , . . . , p K v und 0, so datl man siimtliche p + 1 LSsungen erh/flt. Es sei jetzt p' > 1. Um die zum Elementarteiler s~" g e h @ e n I~sungen des Dffferentialgleichungssystems (A) zu finden, benutzen wit dw Substitution
x=W
; Y I = YI, . . . . Yv = Y~,
Wit erhalten Differentialgleichungen yon der Form
t~--P'kd~ft--A + . . . . .
0,
t'--P'kdf---i2 + p' Y, + . . . .
0,
, dY P' tx- P k -d'ie -4- Y , - , "4-
9 =0,
t'-fkdYP+~dt
+ "'*l'+~'P+l"t
Y l , + ~ ' + . . . = O,
t~_p, kdYp+~ p" --~-[-- -~- -i- Yp + l -~ . . . . .
.
.
,
9
9
9
9
9
9
9
.
.
.
.
.
O, 9
9
?l - -' ~ d YP + t" P" ---gi-- "4- T Y"+ ~ ' - ' + . . . .
~
0;
in den p ersten Gleichungen sind die Glieder mit t, t ~, . . . , in den p' letzten Gleichungen die Glieder m i t t ~, t a. . . . im Nenner nicht angeschrieben.
J. Horn.
~88
Wit setzen (,, =
~Jp+a, = r p + , + K'~, r , + ~ + .... q- K ' f - '
rp+v,
1 .....
p);
(~' =- 1 .... , p').
Dabei ist K~, = g ~ ' - t K '
(a' = 1, .... p'),
27tl s
~
6 P' )
p'
K'=
mater der'Annahme a(~
I/a (1) p + p r -- P+I)
~ 0. Dann gelten die Differentialqleivhungen
yore Ranfl p ' k + ....
o,
t~:~P'k~-t~ + p' ~J~ + . . . .
t ~- p'k~
O,
+ p, ~p_ t + . . . .
t , - p,, d ~_~t.4-.,+ :~'X~, "-"~p+a'
O, "~- . . . .
0
(~'
1 . . . . , io').
Es handelt sich um die p' L5sungen, welche den p' linearen Elementarteilern entsprechen. Die Annahme p > p' ist hier nicht erforderlich. Man k6nnte also nach dieser Methode, wenn _~ p ~ 0 ist, auch die L5sungen des Differentiala(~) glei~chungssystems (A) bestimmen, welche zum Elementarteiler s~ geh5ren. Wenn man aber x = tn;
Yt = Y1, Y~ ----- t Y2 . . . . . , Y), = t ~ - t Y~,
setzt, erh~ilt man ein Differentialgleichungssystem vom Rang pk, wiihrend die zuerst angewandte Substitution auf ein Differentialgleichungssystem yore ge%ingeren Rang lok -- 1 gefiihrt hat. ' 2. Im zweiten Falle p = p' benutzen wir wieder die Substitution x = tn;
Yl =
Y 1 , Y~ = t Y 2 . . . . .
y~ = t ~ - l y ~ ,
Unbestimmtheitsstellen linearer Differentialgleichungen.
489
welche zu den Differentialgleiehungen fiihrt:
t s - p k ~.._A ~ py~ + . . . .
O,
t ~-pli dY~
"-d-? + P Y P-~ + . . . .
O,
ts--P .r dYP+l ~ a (z) yp .-t- ~.(t) dt q - - p+~,p , r-p+~,~p d Y~, ,
.
.
.
.
.
,
.
,
o
,
.
,
o
|
,
d Y 2_ t~-Pk --d-~ "-)-P Y2,)-1 + . . . .
.
+
Ysp
....
O,
,
O.
Wenn die zur Unbestimmtheitsstelle t = ~ vom Rang p k -- 1 gehSrige charakieristische Gleichuug 2 p voneinander und yon Null verschiedene Wurzeln pK~ (~ = ! . . . . ,2 p) besitzt, fiihren wit an Stelle yon Y1. . . . , Y2v neue Veriinderliche ~1 . . . . , ~2~ so ein, dal3 die Di]ferentialgleichungen gehen: t ~ -j~k d~--~ ?~ + pK~
+
... = 0
(~ = 1,...,2p)
wo die weggelassenen Glieder t i m Nenner enthalten. Es ist dine lineare Verbindtmg so vorhanden, dab Ka(,~IY1 -F- . . " "JC Jt2~YS~) ---~ )~2Y1 -~ . . . A-'A#Y,,-1 A- ~,+sY~+x
-I-
~2vy~_l
+ . ~ .(~) v
~"'l~+ l ~.(~) p -t-
~"~1a (t,, '-' p
. . . , ,~, = K . ~ _ I ,
~,+~. = K,,2v+ ~, . . . , )t~,, =:K,,2~,_~,
also ~,: ~ :
:~=
I:K,:
2~+x:A~+~:...:2sv=
:K~ -~ p--
I:K~:...:K,,
1
.
Aus der Vergleichtmg der Koeffizienten yon Y~, Y ~ folgt
(-<') K~)21 § a+(,I)+i,~+, = ~lp ~ ~ , ~ P ~ t - ~ - t"%(1) +~.~,--
K ~p) ~ , + ,
=
...
%(~)+ ~, ~.p Y~v
ist. DieVergleichung der Glieder mit Yx, 9 9 Y v - 1 , Yv+ I, 9 9 9~ = K , , ~ I ,
+
O)
0.
Ys~- ~ ergibt
490
J. Horn.
Demnach geniigen K,, (~ = 1. . . . . 2p) der Gleichung -o) Kp, I (1)
(~l p a(t) t,~p
aP + l' v t --~ O. ~ a(,~ p + l , 2 p __ K p I~
Die beiden Wurzeln KPt, K~+ 1 der quadratischen Oleichung mit der Unbekannten K ~ setzen wir als voneinander und yon Null verschieden voraus. Die Oleichung 2 p-ten Grades mit der Unbekannten/i" hat dann die Wurzeln K~ g , - t / t ' ~ , K~,+, : # ' - ' K ~ , + x (= = 1 , . . . , p ) , 9 ~ 1
wo e : e - p -
9
ist.
Wit haben fiir ~ =
1. . . . . 2p
~.}~ ~- )-1 (Y1 "~ K= Y~ + . . . + KV~- ' Yp) + ;.,,+ ~(Y,,+, + K~ Y,,+~ + . . . . + K,P,-x Y2',), wo
2v__~+__ x ---~ K p _ .~'1 ( 0p ~l ~ (1)
a,(l~ --I, 2p a(1)
~-P
t a p + t , p
u
--
p + l ,
2p
nut zwei verschiedene Werte besitzt, eiz~.en fiir ~----- 1 , . . . , p und einen fiir ~=p+l . . . . . 2p. w Die D e t e r m i n a n t e A ( s ) habe drei Elementarteiler ~e', a p' , 8p";
, ~> p " .
esseip___p
Wir haben die Differentialgleichungen z ~ - ~ v ~ + ..
= 0,
dx
~ - k ~ v ~ + y, + ~2:
.
.
.
.
.
.
9
.
= O,
" ' '
9
9
o
9
9
9
zl-kd~-~ + yp_~ + . . . . Zt_kdyp+ l
dx
+ ....
9
O,
O,
l_kdyp+ 2 z dz + Yp+x + . . . .
d x.
' YP'+ P' - ~ "+
T,I_kdyp+p'
dx
+I
X ~-:r .
.
.
.
,
.
.
.
O,
-.~
+ ... =0, ~
,
O,
" : YI,+p'+~ + .
.
9
.
.
~
.
= O, .
.
.
.
.
X1 - k d yp +~--p'-p:' "~ y p + p ' + p " - - t "~ . . . . dx
O.
Unbes~immtheitsstellen
linearer Differentialgleichungen.
491
Wir setzen p + p' + p" = m. An Stelle der Punkte steht in der ~-ten Differentialgleiehung (~ =- 1 . . . . , m): ,_
""
W e n n %-(1)p~= 0 mad r > p' ~t, kSnnen wit wie in w 2 a (n p +
= O,
l , p
ferner, wenn p ' > p" ist, apt~) +p'+l,p ~ 0
voraussetzen. Letzteres erreichen
wir, wenn - (1)
= Up+p,+,z,p
aql) Ip
gesetzt wird, durch die Substitution
9
.
9
~
*
,
t)~+~,+~,, =
9
9
9
9
9
9
y~+~,+~,, - - hy~,,.
I. Um die z u m Elementarteiier s'a geh6r6yen L 6 s u n g e n unseres Differential gleiehungssystems zu linden, benutzen wir die 8trbstitution x =- t~;
Yl "= Y I , Y~ = t Y2, : . , ,
Y~ = t~'-I Y~,
Yv+v' +~". = t ~ ' ' - I Y ~ + v ' +~'. Im
Falle p > p' > ?" gehen unsere Differentialgleichungen iiber i n
t~ - ~
-~
dt o
9
.
.
Y~ +
... =
-- P y~ + ....
O,
+
.
.
.
~,,~
.
.
.
9
9
*
9
O,
9
, dYp
t~ - , ~ -at + ~ Y~-~ + . . . . t ~- - ~ d Y p + ~
d~
O,
(~)
+ P Y~ + ~ + . . . .
O,
J . Horn.
492
t.--~]U
+ ~Y.+,,_, + . . . .
,.,,.'Y~;
,,, P' + x,P ' +1 ..{_ PaI'+
~.-~'~+g+' 9
,
9
9
9
,
. =o,
~,+
+ p r,+~.+. + . . . .
,
t~-~ k~
o,
+
~
Q
,.
,
9
9
9
,
,
9
o,
9
,
9
'+P' -+-.pYp+p,+p,,_~ +
= O.
Wir nehraen ,,(0 =~ 0 an und setzen nach dem vorausgeschickten Satze a(1) p+l,p ~
Wit bestimmen K~ (~ der Veriinderlichen
a p(1) + p , . b l , p ~ - O.
Op
1 , . . . , p) wie in w1 und schreiben mater Einfii]immg
~
= Yx -}" K~ Y~ + . . .
-b K p ' x Y~,
(~ = 1. . . . . p),
~,+x = Y,+I, . . . . ~,+,,+,,, = Y,+,,+,,, unser DiHerentialglei~hungssystem in &r Form
t,-,,~ d.~:. + pK,, ~), + "-P~ ~--'
9
.
9
.
.
+ .....
.
.
.
.
.
(~ = 1 . . . . , p),
= 0
dt
O,
.
.
.
.
9
.
.
".
t~[--Pk d " ~ ; pl -If" ~ ~p + p'--I =JU . . . .
.
.
O,
t 2 - p k d~P'~$ p' + I "Jf- . . . . ~ - O, i2--Pk ~ P + P ' + 2 -~ r ~ p + p, + l "2~l 9 dt "" .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
l ~-p~ d ~ p + p,+ p,,
d~
.
.
.
.
.
.
.
.
.
O, o
.
" + P~3p+g+~,,,.~ + . . . .
O.
Die charakteristische Gleichung hat pvoneinander und yon Null verschiedene Wurzeln pK~ (o~ -~ "1, . . . . p), die p'-fache Wurzel s = 0 mit dem Elementarteiler s~' und die p"-fache Wurzel s ~ 0 mit clem Elementartefler sv''. Die zu den p einfachen Wurzeln pK~gehSrigen LSsungen kSnnen nach Jahresber. 24 bestimmt werden.
Unbestimmtheitsstellen linearer Differentlalgleichungen.
498
I m FaUe p =- p' > p " fiihrt die vorhin angewandte Substitution zu den Differentialgleichungen t ~ - - p k .~t -- "palp (1) - - I "1-
(1) Y~p "Jr . . . . Yp 2t- pal,~e
t2-P~ d f ~ "4-~ Y1 -4- . . . . 9
9
o
9
9
~
9
~
.
o.
9
O,
O,
9
.
9
.
dYp
t~-p~ -~- + p Y p _ , + . . . .
O,
(1) ~(1) Ygp Jr . . . = O, -'-d-i'- § pap+ ~,p Y~ "4- p~p+~,~p
t~_pkdrp§
t ~ - ~ dY~ +
d----t-- - ~ ~ Y~+' + . . . .
9
9
.
-.
~
~
..
9
~
.
9
.
.
9
o,
9
.
.
dY~ ts--pk dYsP+ ~ _~.. tact (~) ..L. ,~(~) dt . r ~p+t,p Y~ , r'*~v+x,~p Y~p + * . . t ~ - ~ dY~2.~+s dt -t- Y ~ P + 1 -t- . . . .
~dt
O,
O,
"""
Wenn (~) az, 2p
(I) al p,
OL)
_ r
[ t ~ p + l , p ~
(~)
~= 0
+ 1~ 2 p I
ist, kann man 2 p + l , p
~
O~
t * ~ p + l ,
2 p
voraussetzen. Man beweist dies, indem man 9, h a~s den Gleichungen _(i~ -~- h (i)_ ~ (:)
.
(~)
~0)
=_
a(])
berechnet und in die Differentialgleiehungen (A) die neuen Ver~nderlichen einfiihrt" rJ2~+l
=
Y~+I-gy:--hY~§
~+~"
=
Y2~+~"
--
gY~,,
--
hy~+~,,.
494
J. Horn.
Wenn man, wie in w 2, 2., unter der Voraussetzung, da[~ die dolt aufo gestellte Gleichung 2 p-ten Grades fiir K voneinander u n d yon N u l l verschiedene Wur'zeln K~(~---- 1 . . . . , 2 p ) besitzt, ~}1,..., ~2~ dutch Y, . . . . . . Ys, ausdriickt und
~),p+l =
Yz~+I,
~),~+~,,---- Ys,+~,,
...,
setzt, erhiilt man die DiHerentia~leielmngen ....
t2-pkd~dt?WpK.~).-}-
0
(~----1 . . . . . 2 r ) ,
p-pk d~tP §
at
+ . . . . O,
ts - p k d g ' p + ' dt .
.
.
.
.
-5
.
~
.
d't
-~-
P ~ 2 p ~ - I
9
-~
~
o
9
.
o
"'" 9
P~SPJcP"--I
o
~--- 0 , 9
~-
9
.
....
O.
Die charakteristische Gleichung hat die einfachen Wurzeln pK~ (~ = 1, . . . . 2 p), denen nach Jahresber. 24 zu bestimmende LSsungen entsprechen, und d i e p"-fache Wurzel s = 0 ,nit dem Elementarteiler s ~''. Im Falle p ---- p' = p" fiihren wir durch dieselbe Substitution wie oben die neuen Ver~inderlichen Y e i n . Wir erhalten die Differentialgleiehungen $2--pk
____1 2C ~ a ~ l ) p y p
pat,~p Y~p
_~_
9 dYs t 2 - p ~ -j~ -5 P Y , -5 . . . .
9 .
. . . .
~ 1,3p Y.~p -5 . . . .
O,
9 o o 9 o o o 9 .
t~--P k d-Y- -p-+ l -5 p a p(*) + l . ~ , Y p - 5 . ~ a ~(1) + l , ~ p Y ~ p - s p a p +(*) l, dt t 2-pkdY-----p+--~s - 5 ~ Y p + , dt 9
9
9
.
O,
.
.
.
9
~
.
o
-+ ~
o
~ O,
"'" .
.
.
3p Y~,p + . . . ~- O,
.
,
t~-p~dY~p+I (*) Yp-sp ~p+~,2p r, Y~p + .. . = O, tit -5 pa~p+ ,,~ --a(~) Y~v + ioa~+,,sv t ~-p~ dY~p 4- s -5 P y ~ , + O, dt +* "'' = 9
.
,
~
.
.
.
.
~
.
o
,
.
.
~
.
9
~
~
Wenn die Gleichung (*) -- Kp alp (i) (~) a2 p + 1, p ,
a
(1) 1,2p
a P(n +!,2P a(*)
2p+l,
3p
-- K v , 2p~
ap(U + 1 , 31) a ( 2, )p ~- 1, "Ip - -
~- 0 Kp
Unbestimmtheitsstellen linearer Dffferentialgleichungen.
495
m i t der U n b e k a n n t e n K v o n e i n a ~ l e r u n d yon N u l l verschiedene W u r z e l n K , (~ = 1 . . . . . 3 p) besitzt, k o m m t m a n nach d e m Mus.ter yon w 2, 2. a u f Di]/erentialgleichungen -dy
A- . . . .
"4- p K s
0
(~ = 1 . . . . , 3 p ) .
II. UmdiezumElementarteilersV'yehSriyenL6sungenzuerhalten, wit die Substitution x=t~'; Y~+I = Y ~ + I ,
Y l = 1"1. . . .
yp+~ = t Y , + ~ ,
, ,..,
Y~=
benutzen
Y~,
y~+~, _= t p ' - l y ~ + ~ , ,
y
Y~,+~,,+I -~ Y , , + ~ ' + I ,
Y~,+v,+~ =
ttv+,,,§
....
,
Y~+,, +v', = t g ' - I Yv+~, +v,,.
I m Falle p > p' > 1/' erhalten wir die Differentialgleichungen t l _ p , k d Y1
-'~-t'- -4-. . . . .
t I -1,'k d Y~
d--Y - f
p,
O,
Y~ -f- . . . .
t t _ p'k d Yp a---F + 2 " Y P - ~ + " " tl_p, kdYv+~ .....- d ~ -
O,
= O,
P"~p+t,p+p' ~
t
YP + 1,' -H . . . .
O,
t~_p,~ " d Yp + ~ P' Yp + ~-- O, ......-d-i. . . . 4- T ~ + "'" t l _ p , k d Yp + p'
---dt--
0,
P" a(1}+ ~' 4- I, P +- P' Yp - t - . . - - O, t + P' " d Yp p, tl--P"L" d P' + "~ + --t YP + P' + ~ ~ . . . . O,
t l-~'k
d Yp
p'
"q- T Yp + v ' - i -1- . . . .
+
p' 4- I
at
-f-
t ~ _ p , ~ d Y~ + p, + p,, .4_ p' .... ~ / t . TI%+v,+~.,_~+
....
0.
I n den p ersten Differentialgleichungen enthalten die weggelazsenen Olieder t, t z, . . . im Nenner, in den 1/ q-- l / ' letztea Gleichungen t+:,... U n t e r der A n n a h m e a (') ~= 0 kSnnen wir aO) p+
setzen.
p' # l.p
~ p ' ~--z 0
Die Veri~nderlichen ~), = Y , (o~ - - I . . . .
, p; p -+- p' -+- l . . . . ., p -+- p' + 1/'),
~3p+,,, = ] ' , , + ~ + K ; , , ] ' p + ~ : s
+ KI,;"+'I'v+~,
(~'=1
.... ,p'),
496
J. ~-Iorn.
wo K'~, wie bei der entsprechenden U n t e r s u c h u n g in w 2 definiert ist, geniigen den Ditteren~ialgleichun~en yore R a n 9 p ' k t ~ - j , ' k tf!}~
-~7+
....
o,
t~ p,k .a~; + / r ~t + dt .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
t~-,,'~a--~e + p ' ~ , , _ dt
"
dt
9
9
t ~ - p' k
d
9
.
.
,
+
~
"
.
.
.
9
.. = o, O,
la'
~i
9
= o,
+ ....
t~_p, kd~,,+~,+g 9
"'" .
p,
+
+ T ~1~'+ +~ .
,
~p + 9' + ~,, a~
9
9
9
9
9
"" ,
~,,
P'
+ T ~'+~"+
.
,
-~
tx_~,~d?O~+, ' P ' ~ ' .' at + - - r - - - ~ , § ~, +
. =0, .
+
.
.
....
=0
.
.
O, (~t'= 1,...,p').
I m FaUe p > p' = p'" h a b e n naeh Einfiihrtmg der Vergnderlichen Y die (p + 1}-te und die (p + p' + 1)-te Differentialgleichung die F o r m tl_v, k d r v dt tl--p'k
,n' ,7.(1) l + P' a~)+ 1, ~ + p' y p + ~ , , + ~ -~ + " ~ + ~ ' Yv + ~ p~ + . . . = 0, t t ~, ," a(1) -p+p'+
d y(t) p+~'+l
dt
.... +
Y
1, p + ~ w
~+~'
d p ' a (1)
-4-
v+v'+~'v+~v'Yv+21,,
9
+ ....
O.
t
U n t e r einer n a c h w 2, 2. leieht anzugebenden Bedingung k o m m e n wir a u f Di//erentialgleichungen yon der F o r m : t ~-p'kd~3~ + dt
= O, "'" . . . .
o,
t , - - v ' k dDp + p ' at ~}~_ ~ + . . . . t ~ - v' k d ~ v + ,,, p' 1Qe at + --T- ~p+e,+
O, ....
o
(zt' - - 1 . . . . , 2 p ' ) .
Unbestimmtheitsstellen
linearer Differentialgleichungen.
III. Die z u m Elementarteiler s p'' geh6rigen L 6 s u n g e n p __>___1 / > p" zu bestimmen. Die Substitution x----tr"; Yp+v'+l
=
Yl=
sind im F a l l e
Yx, . . . , Y~+~,'-- Y~+~,,
}'Jo+lo'+2 :
}'l~+~o'+l,
497
t } , ,-+ ~ , + ~ ,
.~
y j , + : , , + ~ . . . ._.
tp,,-1 Y~+~,,+~,,
fiihrt zu den Differentialgleichungen p--f'k
d Y1 9 dt " t . . .
= O,
l~ _ p , , k d Y.2
dt § p'' Y~ + " d Y. t ~ - z," k __Zdt
P" +
tt=v,,kdY~§
~-t
t'-p"~
==0,
Yv
-
t +
+ ....
d Yv 4:2 dt
--dr--
+
=
O;
O, Yv + 1
+ p"
t t - ~" I.. d Y v + 1~'
-..
P"
Y v + J,'
tl ~ p" k d YP + P' + 1 p" dt +
...
+ _
=0.
.A.....
O,
a(t) p + p' + 1. I~ + p' + p" Y v §
-'i-
t
= O, "~176
t ~-p''t'dYp-~v'+~ dt
-~-
$1 -- p " k d Yr, 4- p' 4- p "
W e n n a. -p(1)+ ~' + 1, ~ +~' + ~" ~
+
, Yp+p'§
~
....
Y,,ev'~v"
O,
,
1-7 . . . .
O.
0 ist, geniigen die Veriinderlichen
~,, = Y ~ ~+,,+,,,,
--
(~ = 1, . . . , p + p ' ) ,
- - 1"~+,,,+1 + K~), Y~+~,+~ + . . .
(~" = 1 . . . . .
+
-~,,',~r"""-~y~+~,+~,
v"),
wo die voneinander und yon Null verschiedenen GrSBen K::,, (~" = 1. . . . ,1/') nach dem Muster v o n w 2 bestimmt werden, einem Di[]erentia~leichungssystem, in welchem die I/' letzten Gleichungen die Form haben: V - l," k d ~ p .
~,, + ,,,, +
dr l'r
Zeitsct~r ft,. 44.
p,, K'~,,
t
~ ' + v' + ,," + . . . .
0
(*r = l . . . . , p"). .32
498
J. Horn.
w Die Gleichung A ( s ) - - - - 0
babe die p - l a t h e
Wurzel s = 0 mit dem
Elementarteiler sp mad m -- p yon Null verschiedener W u r z e i n .
Das Differentialgleichungssystem (A) sei auf die Form
z~_L. ddZ y I + z.~ ~-~,,,(0(~_+ . . ) . y~.
O,
fl-----1
a•+y,+ 9
9
.
.
.
.
.
+...
.
.
.
9
.
.~
~
.
,
y~=0, .
.
.
.
.
xz -- k d y ~
Z 1-k
d Ya
2
+
/
(o) . a~,~y~-~-
-4.... Yd~- 0
(~ = p -4- 1. . . . . m) gebracht, wo die Determinante l~)~l .
o
(~,~ = v + 1 , . . . , m )
ist. Ob die Wurzeln der Gleichung a(O)
ein- oder mehrfach sind und welche Elementarteiler einer mehrfachen Wurzel entsprechen, ist uawesentlich, so lange es sich wie hier um die LSsungen des Differentialgleichungssystems handelt, welche zur Wurzel s = 0 geh6ren Durch die Substitution
x
~
Yl = Y1, Y2 = t Y~ . . . . .
tv;
Yv+I-~"
Yv+l,
y~ = t p-1 Yv,
"" ", Y~" ~- Y , ~
"
erhiilt man die Differentialgleichungen
m
]pa~l)
+ Z
o, a~ a (1)
/~,J a ! I)
- 7 + ...) ~'~+ . . . - : ( ~ ~ + . - . ,
~,
9
~,
\
t~
"'"
Unbestimmtheitastellen linearer Differentialgleichungon. { ' ~ '.O) pl
t~-pkdYr
. .) . y~ . .
-~1- ~+__ I'"'--'~'~"{t d [a
Pa(-l) :'
+
=
9 . .'\j
. "l t ~a(1) vp_~_
"Jf- "
") Y lI =
.9
r,+
(o)
"
~ p a~ ~ +
.+ arJ
499
p--i
O'
(~ a(l) ~,-;, +"
+ . . . .
0
(= = P -t- 1, . . . , m)p
Die u n t e r der A n n a h m e %1,-(~) ~= 0 einzufiihrenden neuen Yeriinderlichen
0.=
Y~
(~=p+l
. . . . . m)
geniigen Di]]erentialgleichuncjen yon der F o r m
~.~- 1
-'0)
(==
p-~ 1....
, m).
Zur UnbestimmtheitssteUe t -~ ~ yore -Rang pie gehSrt eine charakteris$ische Gleichung mit der p-fachen Wurzel s ---- 0, welcher p ]ineare El'ementarteiler entsprechen, und m -- p yon Null verschiedenen Wurze]n. Es handelt sich hier urn die zu s = 0 gehSrigen LSsungen des DifferentialgleichungssysSems.
w Die Gleichung A (s) = 0 habe die m e h r f a e h e Wurzel s ~ O mit den Elementarteilern s p, s v' und m -
p --p"
von Null versehiedene Wurzeln.
Wir haben jetzt ein Differentialgleichungssystem mit den abh~ingigen Ver~nderlichen Y1. . . . ,Y~+v,, Y~+~,+~. . . . , Y~. Zun~c]lst haben wir l~ § P' Differebtialgleichungen yon derselben Form wie am Anfang yon w 2, wo aber jetzt m > p + 7/ist. Dazu kommen noch m -- p -- t~ DifferentiaIgleichungen -~
-4-
a~ ~ y~ § ~...~' (a=p+p'+l
.....
~, . . .
y~ =
0
m); 32*
500
J . ~[..][olTl.
dabei ist die Detezauinante
" a(O)
(:r = P + P ' + 1. . . . . m) yon Null verschieden. W i r unterscheiden wieder die beiden Fiille p > p ' und p p'. 1. Im ersten FaUe p > p' benutzen wit die Substitution x=tn;
Yl---- YI, Y ~ = t Y 2 . . . . . , y~
YJ,+I ~--- Y~+l, Yr+2 = tY~+~,
t~-ay~,,
., yv+~, = t n ' - a y
Ya = Y,~
-(a = p + p' § 1, . . ., m).
Zu den linken Seiten der p + p' transformierten Differentialgleichungen a u f S. 486, welche mit t 2 _ v k d Yp + p, t ~ - ~k d Ya dt " " " dt
beginnen, kommen je m - p - - p ' in Y~+~,+x,--., Y,~ lineare Glieder hinzu, dere n Koeffizienten f i i r t = ~ verschwinden. Es kommen va - - p - - p" weitere Gleichungen hinzu: tl - ~ k d y,,
.)
i~ a~)~
, , , )
p a(l,)p § 1
+(: +
:
+ . , ~ a , ~, •
~=
\e . # T - Tel- t.+ . . .
'+1
,,
Y~= 0
(~ = P + ~'-4- 1, .... , m). Zu den wie in w2 eingefiihrten Veriinderliehen ~)l, . . . . ~),+~, fiigen wit ~= Y, ( a t = p q - p ' - 4 - 1 . . . . ,m) hinzu., Wir haben d a n n DiHerentiabfleivhungen yon der Form
t I --p~ d ~p + 1 dt
tl--pkd~p+
2
dt 9
9
9
9
*
+ ,.
9
= 0,
P
'
"~-'-f ~p + l"4- . . . . 9
~
9
9
~
9
*
.
.
.
.
O, 9
9
d
tl-- pk ~P + P' _~_ P d-----~ T ~p+ p'- ~+ .... d ~,
2
(o)
fl~-p+p'+l
(~ = p + p' + l, . . . , m).
O,
Unbestimmtheitsstellen linearer Differentialgleiehlmge,~.
~ox
An Stelle der Punkte stehen in Ol, . . . , ~,, lineare Olieder m i t t 2. . . . im Nenner in den p -t7 P' ersten; mit t, # . . . . im Nenner ill d e n m -- p -- p' letzten Gleiehungen. Zur Unbestimmtheitsstelle t = c~ yore Rang pk gehOrt, eine eharakteristisehe Oleiehung mit p + p' verschwindenden Wurzeln, welchen lineare Elementa~;eiler entsprechen, und m -- p -- 1/ yon Null verschiedenen Wurzeln. Um die zum Eleme~tarteiler sP' geh6rigen. L6sungen der urspriinglichen Differentialgleichungen zu erhalten, benutzen wir die Substitution x=tP';
Yl=
Ya, - . . , Y ~ = Y~,
y, -- Y ,
(o~ -- p + 1 / + 1, : . . , m ) .
Zu den linken Seiten der p + p' Differentialgleiehungen auf S. 487, welehe mit
tl--r
t~-p, k d r p + ~,' dt
' "" "'
dt
beginnen, kommen je m - - p p ' in Y~+~,+t . . . . . Y,, lineare Glieder hinzu, deren Koeffizienten fiir t----o~ verschwinden. Es kommen die m -- p -- p' Gleiehungen hinzu: P ' a (.~ t)
tl --- p' t d Y a
, [v~.,p+t -rI ~=
)Yp+l
+..,
m ~7,
+
.)r,+ ~ ~
..
" ~ a(l) "~P4-
+
..)yj
.. + ( P..... ' a O~:-IV... ) '-=-~-'~ +
.)Yp+p'
(~9' a(~ "
, _(l) ) .~ + P~ ,t '-a $ + . . . y~ = o
(~ = p + ~' +. 1 . . . . , m). Wir setzen
~ = Y~ (~ = 1, . . . , p ; p + p ~ + 1 , . . . , m ) , ~p+,,, Y~,+i+K'~.Y~,§ + . . . + K , , - Yv+v' (~t' 1. .,p'), wo die K'~,, wie auf 8, 488 definiert shad. Wir haben aus den D//~erent/algleichun4]en a--i- + "'"
t~-~'~ ~ .
o
9
#
O,
+ p' ~ + . . = O, 9
.
.
.
.
.
.
o
~
.
t~-#'~--~ +,p'~,_~ + . . . . '+ ~ 9 ~
.
,
O,
+,' + . . . =. 0
9-'~ ~a + 9 /~==P+P'+ 1
( s ~. 1 . . . . . p'), o (~ = "p+ p' + x, . . ,~)
502
J. Horn.
die L6sungen zu bestimmen, welche den p' linearen FAementarteilern s , . . . 7 s entsprechen. 2. Im zweiten Falle p = p' benutzen wir d/e Subst/tut/on
x=tP;
Yl = Y1, Y 2 = t Y ~ . . . . .
yp=tp-ly~,
y,,=- Y,,
(~ = 2 p +
1,...,m)
Zu den wie in w 2, 2. eingefiihrten veri~nderlichen ~ t . . . . ~ ~}z~ kommen die Veranderlichen
~,~ = }',, (~ = 2 p + 1 , . . . , m) hinzu. Wir haben Dil]erentialgleichungen yon der Form d ~0. ~oK~ t ~ - p ~ - - ~ - 4- - ~ - ~}, -f- . . . . .
t i'-pk
"4-
r ,,#~r
....
0
0
(at = 1, . . . , 2?), (a --= 2 7 + 1, . . . , m ) .
Die charakteristische Oleichung hat neben m -- 2 p yon Null verschiedenen Wurzeln 2 p verschwindende Wurzeln, welchen lineare Elementarteiler entsprechen.
.w 6. In dem Differentialgleichungssystem (A) habe die Determinante (8) =
, a (~ ,,,~ - - s ~,,fll
(~, ~ =
1 .....
~)
nur lineare Elementarteiler s - a l , . . . , s - a,~, und zwar sei a I . . . . -- a,, = 0, abet a~, + 1 , ' " ", a~ yon Null verschieden. Wenn auch die Determinante
(~, ~ = 1, 9 . "7 ~)
la2 ~ - '~,~,~l 9 /~
nut lineare Elementarteiler besitzt, kann man dutch eine lineare Transformation yon Ya. . . . , y , erreichen, daft
veischwindet, so da$ d/e
ely, dx
,~ _t~,
2
l>itter~ttialdeichu~en "*ar :.u,
2.a"
vorliegen:
,,?
)
(a = 1 , . . . , p).' xl--k
d,. +a.,~ dx
• 2
.__~"
_c., x~
"
..),, =o
=.+1,
Unbestimmtheitsstellen linearer DifferentiaIgleiehungem
503
Wir wollen in den einfachsten F~illen k = 1 und k = 2 die den linearen E l e m e n t a r t e i l e r n y o n A (s) entsprechenden, unseren Differentialgleichungen /or~n~l geniigenden Reihen aufstellen. W i t setzen %,-(~)(a = 1,. .., /~) als verschieden voraus. Wenn k ---- 1 ist, b e s t i m m e n wir eine formale LSsung ~o
y . = x.~ V-% zr+n Die Vergleichung der Koeffizienten
(o: = 1, . .., m). 1 ~V ergibt
yon
wegen
% ~: 0
(~ = ~ + 1 . . . . . m) (~ = / ~ + 1 . . . . . m).
A.0 = 0
Durch
Vergleichung
der Koeffizienten
1
yon
~a(~) -- r) A~ o
a.A~+
erh~lt
man
0
(~
=
(~=~+1
27 a ( ' A t h o s 0
1
. . . . . ~),
. . . . . m).
Wenn r
~(1) 4) t~11
a n g e n o m m e n wird, ist A l o willkiirlich und A~o = O
(~ = 2, . . . , / ~ ) , a(l}
~IA ~1
mcz 1 --
Durch
Vergleichung
der Koeffizienten
9 (,)
~a~a
wodurch A~I (~ = l, . 9
"~
--
ql
~
2/'1 0
=0
p) bestimmt ist, w e n n a (I) ace
"' ")
~
-----
/~ ~-, l,
. | .~
m).
yon xr+----1 ~ ergibt'sich
,1)1 - - 1) A ~ + - ( 2a ~)l~
--(r+I)A.1+%A.~+ a~ A~2 +
(~
o
a tl) A
" ("
- -
(~=1,
.,~),
-(i) :~ 1 ist, unfl fiir (hll
(~')A~o
0:
a (~ z
We~an ao),~ _ -~a~ (~ ~_ 2, .. ., p) keine ganze positive Zah] ist, sind alle A , , (~ ---- 1,. :., m) bestimmt.
Koeff'~en
a) Es ~ t e
r a s h gleich einer der Gr6Ben a (1)
_(I) sein.
504
J. Horn. Weun
k = 2 ist, fiihren wir unsere Differentialgleichungen durch die
Substitution a (1) z
y,, = e -
~t -~ .~,
tot =
1, . . . , m )
tiber in -d~x-d z" a ( t -it) )'4- -z-~.
'
Z,~ +
"t
x
"(t)
~
2
-~za
]~!r+l
9
(or =
1 ....
~('~) ..\x2
.
)zt/ +""
=0
lJ-~-I ,
~), =0
[1=1
(~
=
ft +
1,
...,
m),
Wir bestimmen eine formale LSsung Aa ~
.;-~;,
z, =
(~
=
1 .... , m).
~ 0
1 erhiilt m a n wegen % Durch Vergleiehung der Koeffizienten yon z--;
~=
(:( = It -t- 1 . . . . . m) A,,o =
0
Die Vergleichung der Koeffizienten yon ~ a(l)
(a = 1
g +
l ......
m).
ergibt
_{1),
,,,, - - ~tlJ A . ,
~
(~ = 1 . . . . ,
0
p),
so dab Xxo Willkiirlieh u n d (~ =
A,~ o ---- 0
2 .....
~,)
ist, ferner (1)
a,,A.t
+ a.1 A 1 o
=
0
(oc = ~t + I .... , ,n),
also .tl)
(~
A., = -":'~A,o
---- ~ + 1 . . . . .
m).
(tt~
Die Vergleichung der Koeffizienten yon x-/3 in den /xersten Differentialgleichungen ergibt ~(1) A
(..') ,t
~ 0,
i f f ~ ;t 4- 1 ~t
:) tIt a~~a - - a~ (tIt) I"A a t
"4-
~,
ttflAflt + a .( tt ) A I 0 = 0
a (1 ~
(o~ =
u) . . . . . . ~(z) b) An die Ste||e yon a~ll kann eine der Gr6flen a~2 u~
2; ....
treten.
g).
Unbestimmtheitsstellen
linearer Differentialgleichungen.
505
Nach Einsetzung yon A , I (fl := # + 1 . . . . , m) ist .,(ll ,,(I)
r = a~ ) , (1)
~ =,-+ i
~'~', (1) (t) aet~Igfll)
t ('2)
tao.-a?, ))Ao,=
ar
/ao,-
~
,~:o
( ~ = ~ . . . . ,~).
(/=is+ 1
Aus dell m -
p~ letzten Differentialgleiehungen folgt:
i ac, Acc ~ ~ a ,(i)l ,.~11-+"
~,
(i) (I) -(~) A 0 ( a e ~ - - a l z O, fl) Aft1 + ~c,1 .'-1o ~-"
(a = ~ + wo fiir Arn (~ = / ~ + I , . . . , m u n d
I . . . . . m), fl = 2,...,/~) die gefundeuen Werte
einzusetzen sin& Dureh Vergleiehung der Koeffizienten yon ~
I
.
m d e r ersten
Differentialgleiehung erhalten wir --
(r4-1)A It+
~
-(')
all ,r~10
oder, wenn der obige Ausdruek fiir Aoe (fi = / ~ + 11 . . . . m) eingesetzt und die bekaanten Glieder weggelassen werden, ~(i)
/ (~jl ~al
@(i)
7~ r
oder --Alx+ .... 0. Damit sind die Koeffizienten A H und A,= (~ = ~ + 1 . . . . , m) bestimmt; usw. Die dargestellte Methode iibertriigt sieh auf das oben angeachriebene Differentialgleichungssystem yore Rang k ~ 2. Man setzt a(l) xk-- I
. . . -- a( j : - l) z
z.
~-~a
y, = e k - 1 z, ( ~ = 1 , . , . , m) und bestimmt a a), . . . , a (~-~) so, dal) die Differentialgleichungen fiir die z= dureh Reihen A
(~
:,...,m)
formal befriedigt werden. Man kSnnte allgomeiner voraussetzen, in dem Differentialgleichungssystem (A) habe die eharakteristische Gleiehung A (s) = -(~ - s ~ ] = 0 {~, fl = 1, m) versehwindende Wurzeln, welehen f~ lineare Elementarteiler s . . . . . s und die Elementarteiler hSheren Grades s~, s ~ ' , . . , entsprechen, und yon Null versehiedene (einfache oder mehffaehe) Wurzeln, welche der Gleiehung a(">-~; = o mit la(:~ l . o ( ~ , ~ , = ~ + p + v ' + . . . + a . . . . . ,,~)
506
J. Horn, Unbestimmtheitsste]len linearer Differentialgleichungen. Wenn a(,~'~ - - 0
geniigen.
(o~, fl :
1 , . . . , t t) ist und die D e t e r m i n a n t e a(X) _ s5~tr
(~,fl = 1,
/t)
nur lineare Elementarteiler hat 6), k a n n m a n durch ]ineare Transformation yon y~, ., y, erreichen, daft ~-(~) (~, fl = 1 . . . . ,/~; a =4=fl) verschwindet. Man hat dann die Differentlalgleichungen: .
.
xl - ~"-T~- + x -~ y~ +
~ - - - U Y~ ~=.u+l
fl=l
X ~ ~.dy~+~ + 2 " ( - -.V. +: ,- . ~.+.. -
d y, 4- s X
~.
.(1)
__
1
{/----1 .
.
.
.
.
.
.
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.
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.
.
.
~.
,
.
.
.
.(1) dz .
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.
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.
.
.
.
d Ya
.
.
.
.
.
.
~
(~ = ~ §
.
9
9
^ ""
fl=l .
.
.
.
(o) .. ...
.
.
.
~
~ + 1.....
.
.
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.
.
.
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.
_(1) m).
Man kann aueh bier z. B. fiir k = 1 unter gewissen Bedingungen Reihen yon der oben betraehteten Form aufstellen, welehe den Differentialgleiehungen formal gentigen und den # linearen Elementarteilern s , . . . , s yon A (s) entspreehen. Es bietet sieh nun die Aufgabe dar, die formalen Reihen soweit wie mSglieh dureh Laplaeesehe Integrale zu ersetzen, welehe wirkliehe L6stmgen der Differentialgleiehungen darstellen. In einfaehen FiiUen ist dies in den in der Einleitung angefiihrten Arbeiten in Math. Annalen 111 und 113 gesehehen. Die dort benutzte besondere F o r m der Laplaeesehen Integrale ist abet yon beschrRnkter Anwendbarkeit. Die LSsung a]lgemeinerer Differentialgleichungssysteme effordert noch weitere Untersuchungen. ~) Man' kSfinte auch beliebige Elementa~rteiler dieser Determinante zulaasen.
(Eingegangen am
I. April 1938.)
