l ~ ve~l tlone$

Inventiones math. 51, 29-59 (1979)

mathematicae 9 by Springer-Verlag t979

Valeurs aux entiers n6gatifs des fonctions z~ta et fonctions zSta p-adiques Pierrette C a s s o u - N o g u 6 s * Universit6 de Bordeaux I, U.E.R. de Math6matiques et d'Informatique, 351, cours de la Lib6ration, F-33405 Talence Cedex, France

L a fonction zeta de R i e m a n n est d6finie, p o u r R e ( s ) > 1, p a r :

~(s)= ~ n-s. n=l

Elle se p r o l o n g e "fi tout le plan c o m p l e x e en une fonction m & o m o r p h e a y a n t un seul p61e p o u r s = 1, et, p o u r tout entier k > 0 ~(t-k)=

off

bk k '

b k est le k i~me n o m b r e de Bernoulli. Ces n o m b r e s sont d6finis par:

t e' _ et-1

bk k~. k=O

et d o n c b k est rationnel. O n c o n n a i t les propri6t6s a r i t h m 6 t i q u e s suivantes sur les h o m b r e s de Bernoulli: - Le th6or6me de Von S t a u d t - C l a u s e n [31] Soit d(bk) le d 6 n o m i n a t e u r de b k, alors:

d(bk)= [-I P (p- 1)[k

oO le p r o d u i t est pris sur t o u s l e s n o m b r e s p r e m i e r s p tels que p - 1 - Les c o n g r u e n c e s de K u m m e r [19] qui s'6crivent:

i=o

(ri) ( -1)~ b n~ + i(p - 1 ) no+i(P- 1) - O m ~

divise k.

1

lorsque n o est assez g r a n d et n'est pas divisible p a r p - 1. *

Laboratoire associ6 au C.N.R.S. n~226

0020-9910/79/0051/0029/$06.20

30

P. Cassou-Nogu6s

On peut modifier ces congruences et en obtenir de nouvelles sans restriction s u r n o. Soit c un entier p r e m i e r / l p. Posons:

f(k)=(c k - 1 ) ~ (1 _pk- 1)= _(C k_ 1) ~(1 --k)(1 _pk-

1).

Alors, on peut m o n t r e r que pour tout entier n o

~ ( ~ ) ( - 1 ) i f ( n o + i ( p - 1 ) ) - O m o d p r+l. i=0

On r e m a r q u e que ces congruences s'interpr&ent p-adiquement par le fait que la fonction

x~---~f (no + x(p - 1)) est continue sur Z v. Ce sont K u b o t a et Leopoldt [18] qui les premiers, en 1964, ont eu l'id6e d'interpr6ter ces congruences en termes de fonctions p-adiques. Ils ont montr6 qu'il existe une fonction p-adique, (p, telle que, pour tout entier positif k, k - - 0 m o d ( p - 1) ~p(1 - k) = ~(1 - k)(1 - pk- ,) et s~--~(c 1 - ~ - 1)(p(s) est analytique sur 7Iv s i c = 1 m o d p . Plus g6n6ralement, on peut consid6rer M, une extension ab61ienne r6elle finie de II~. Soit X l'ensemble des caract&es primitifs associ6s aux caract6res du groupe de Galois de M sur ~ . P o u r chaque zeX, on d6finit

L(Z, s) = ~ z(n) n -~

p o u r Re(s) > 1.

n=l

Ces fonctions se p r o l o n g e n t / t tout le plan complexe en des fonctions h o l o m o r phes, si Z n'est pas le caract&e trivial, et on a, p o u r tout entier k > 0 L(Z,I-k)=

Bk(Z) k

off Ba(Z) est un n o m b r e alghbrique appel6 le k i4me n o m b r e de Bernoulli g6n6ralis& K u b o t a et L e o p o l d t [18] ont encore d6montr6 l'existence d'une fonction Lp, continue sur 7]p, telle que p o u r tout entier k > 0 et k - = 0 m o d ( p - 1) Lp (Z, 1 - k) = L(Z, 1 - k) (1 - Z (P) Pk- '). Leur d6monstration repose sur le fait que 1 v'y-1

BR(Z) = lim ~ ~ z(n)n k limite p-adique r~oo p J n=0 off f d6signe le conducteur du caract&e Z.

Valeurs aux entiers n6gatifs

31

Ces fonctions L p-adiques ont des propri6t6s analogues ~t celles des fonctions L-complexes. Tout d'abord, nous avons la formule de Dirichlet L(X, U = - ~

~ )y(a)log [1 - ~)1

off la sommation est prise sur un demi-syst6me d'entiers modulo f off ~s d6signe une racine primitive f-i6me de 1 et z00 est la somme de Gauss associ6e/L Z et/l Kubota et Leopoldt ont annonc6 une formule [18], appel6e formule de Leopoldt; qui s'hcrit: f=l

(1-Z(p)) ~ )~(a)logp(1-~f ~)

Lp(z, 1) =

a=l

off logp d6signe le prolongement du logarithme p-adique aux unit6s de (Ep, le compl6t6 d'une cl6ture alg6brique de II~p. Leur d6monstration n'a paru qu'en 1974 [22] dans un article off Leopoldt utilise une technique nouvelle, la Ftransformation. La fonction z6ta de Dedekind de M est d6finie par

Z(M,s)=~Na-'

pour Re(s)> 1

off la sommation est 6tendue "~ tousles id6aux entiers a de M e t off N a d6signe la norme absolue de a. On sait que

Z ( M , s ) = FI L(z, s). xeX

D6finissons alors la fonction z6ta p-adique de Dedekind de M par

Zp(M, s)= FIG(z, s). La fonction z6ta de Dedekind est une fonction m6romorphe sur IE avec un seul p61e pour s = 1 et on peut d6montrer la formule analytique pour le nombre de classes lim(s - 1) Z(M, s) =

2m- 1hR

off rn = [ M : Q] et h, R, d d6signent respectivement, le nombre de classes d'id6aux de M, le r6gulateur de M et le discriminant de M. La fonction z6ta p-adique est aussi une fonction m6romorphe sur Zp avec un seul p61e pour s = 1 et v6rifie la formule analytique p-adique pour le nombre de classes lim(s - 1) Zp(M, s)

2m- lhRv l~ (1 __(N ~)- 1),

s~l

off R~ est Me~> r6gulateur p-adique de M [1] et [221.

32

P. C a s s o u - N o g u ~ s

Une autre relation entre les fonctions L p-adiques et l'arithm6tique des corps a ~t6 d6couverte en 1969 par Iwasawa [15]. Une ;~p-extension de M est une extension galoisienne Mo~/M dont le groupe de Galois est topologiquement isomorphe au groupe additif des entiers p-adiques. La Zp-extension cyclotomique est l'unique 7Zp-extension de M contenue dans Mo~=M(W ) off W e s t le groupe de toutes les racines de l'unit6 d'ordre une puissance de p. Soit F l e groupe de Galois de cette extension sur M. Iwasawa a montr6 que l'on pouvait associer les fonctions Lp(z,s ) / t u n 616ment de Zp(Z)[[F]] appel6 616ment de Stickelberger. Alors que la formule de Dirichlet est une cons6quence directe du fait que les fonctions L sont d~finies pour Re(s) > 1 par des s6ries de Dirichlet, la preuve de Leopoldt de la formule p-adique ne faisait apparaitre aucune analogie avec des s6ries de Dirichlet. C'est Z Amice et J. Fresnel qui ont montr6 cette analogie en 1970 [1]. Ils ont obtenu les fonctions L p-adiques fi partir des s6ries de Taylor

~z(n) n-ST" en faisant T = 1. Ils en d6duisent de fa~on naturelle la formule de n=l

Leopoldt pour Lp(X, 1). Serre [25] a fait des conjectures pour 6valuer les d6nominateurs des nombres ~t~(1-k) lorsque K est un corps de nombres totalement r6el quelconque. Ces conjectures ont 6t6 ddmontr6es par Coates et Lichtenbaum [10] et Fresnel [14] dans le cas d'un corps de nombres ab61ien r6el sur Q. Nous allons maintenant nous int6resser au cas oh M est une extension ab61ienne r6elle finie d'un corps de hombres K totalement r6el, de conducteur ~. Soit Kf l'ensemble des 616ments e de K qui sont totalement positifs et congrus ~t 1 modulo f (c'est-~t-dire tels que v ~ ( ~ - 1 ) > vp(~) pour tout id6al p divisant f, o/1 vp d6signe la valuation p-adique normalis6e de telle sorte que vp(p)= 1). Notons If le groupe des id6aux fractionnaires de K qui sont premiers fi f et P~ le sousgroupe des id6aux principaux engendr6s par les 616ments de Kt. Le groupe quotient If/Pf est appel6 le groupe des classes de rayon mod~ et est not6 R~. D'apr6s la th~orie du corps de classes, l'application d'Artin a~I~-,a,~G(M/K) induit un homomorphisme surjectif de Rf darts le groupe de Galois de M sur K. Soit X l'ensemble des caract6res primitifs associ6s aux caract6res du groupe de Galois de M sur K. Pour g~X, on d6finit: L(Z,s)=

Z(a.)Na -~

~

pour R e ( s ) > l

(a,f) =

oh la sommation est prise sur les id6aux entiers a de K, premiers ~t f. On a encore: L(Z,s)=

~,

Z(a)~M(a,S)

a~G(MIK)

off ~M(e, S) est la fonction z~ta partielle associ6e ~ o" d6finie par: CM(a,S)=

~, Na -s

pour R e ( s ) > l

(a,f) = 1

off la sommation est prise sur les id~aux a entiers premiers fi f, tels que a, = a.

Valeurs aux entiers n6gatifs

33

Klingen [17] et Siegel [29] ont montr6 que pour tout entier k > 0, (M(a, 1 - k ) est rationnel. Ils utilisent le fait que (~(a, 1 - k ) s'obtient comme combinaison lin6aire de termes constants de formes modulaires de Hilbert, dont les coefficients sup6rieurs sont connus. En 6galant les variables, ils en font une forme modulaire sur SL2(Z ) dont les coefficients sup6rieurs sont rationnels et ils montrent que le terme constant est une combinaison lin6aire finie, ~t coefficients rationnels des coefficients sup6rieurs. En 1972, Serre [26] a utilis6 cette id6e, et, en exploitant un travail de Swinnerton-Dyer [31], a montr6 que certaines propri6t6s arithm6tiques des coefficients sup6rieurs de formes modulaires sur SL2(Z ) se transmettent au terme constant. I1 a d6fini des formes modulaires p-adiques e t a obtenu les fonctions z6ta p-adiques des corps de nombres totalement r6els h l'aide du terme constant. En 1974, Queen [24] a g6n&alis6 ces r6sultats pour un niveau quelconque. Cette m6thode ne donne pas la relation entre les fonctions L p-adiques et l'616ment de Stickelberger, ne r6soud pas non plus les conjectures sur les d6nominateurs des nombres (M(a, l - k ) . Ceci provient du fait que l'on utlise des formes modulaires ~t une variable. C'est pourquoi Serre a sugg6r6 de d6finir des formes modulaires p-adiques de Hilbert. C'est ce qu'ont fait en 1975, Deligne et Ribet [12]. Ils obtiennent les fonctions L p-adiques avec les propri6t6s conjectur6es. Leur d6monstration est d61icate et utilise un apport important de g6om6trie alg6brique. Entre temps, en 1974, Coates et Sinnott [11] ont d6montr6 des congruences, qui r6solvent aussi les conjectures sur les d6nominateurs et relient les fonctions p-adiques avec l'616ment de Stickelberger, dans le cas d'un corps K quadratique r6el. Ils utilisent une formule d6montr6e par Siegel [30] qui exprime (M(a, 1 --k) comme somme de produits de valeurs de polyn6mes de Bernoulli sur des hombres rationnels. Les congruences connues sur les nombres de Bernoulli sont assez difficiles ~ utiliser dans ces formules. En 1976, Shintani [27] a g6n6ralis6 les formules de Siegel pour un corps totalement r6el quelconque. I1 a montr6 que l'on pouvait d6composer (M(a, S) en une somme finie de fonctions 616mentaires, dont il exprime les valeurs aux entiers n6gatifs ~t l'aide de somme de produits de valeurs de polyn6mes de Bernoulli sur des nombres rationnels. Sous cette forme ces formules sont difficiles ~t utiliser et ne permettent pas d'employer la m6thode de Coates et Sinnott. L'id6e de base de ce travail est un th6or6me g6n6ral sur les s6ries de Dirichlet [34] qui permet de calculer explicitement les valeurs prises aux entiers n6gatifs par le prolongement holomorphe/t tout le plan complexe de ces s6ries. La forme du th6or6me que l'on utilisera dans ce travail s'6nonce ainsi: Soit L une fonction linOaire d r variables L ( y ) = x + y l v~ + . . . + y , v ~ off x et v~.... ,v, sont des Ol&nents de K totalement positifs.

34

P. Cassou-Nogu6s

Soient ~1, ..., ~ des racines de runit~ diff~rentes de 1. Posons: Z(L, 4, s) = ~, N(L(m)) -s r

~r.

(,)

m~

Alors Z(L, 4, s) se prolange ~ tout le plan complexe en une fonctian holomorphe et pour tout entier k >=0 Z(L, 4, - k) = R (N (L(y))k)(r 1..... Cr) off R ( N (L(y))R)(T1,..., T~) est la fraction rationnelle R(N(L(y))k)(T1,..., T,) = ~ N(L(m)) k T~" ... T~mr. m~N r

La d6composition de Shintani permet d'6crire les fonctions z6ta partielles c o m m e combinaison de s6ries de Dirichlet de la forme (,). Expliquons cette m&hode. Soient a un id6al entier de K et ff la classe de rayon m a d ~ de a. Posons:

CM(a- 1, S) ~---CM(a- 1, S). Le travail de Shintani nous permet de montrer qu'il existe un ensemble fini d'indices J, un nombre fini d'616ments vji(j~J,i~{1,2 ..... r(j)}) de a~ et un nombre fini d'616ments x de a congrus/~ 1 m a d f, totalement positifs tels que:

CM(a- 1, s) --- N a ~ ~, Z(Lj, x, s) Lj,x

off Lj.~ parcourt l'ensemble des fonctions affines de la forme:

Lj,~(y) = Vjx Y l + v j2 Y2 +... + vj,tj) Y,u) + x et off

Z(Lj,x,S)=

~, ... ~ N(Lj, x(m))-L ml=O mr(j)=O

On peut montrer que les fonctions s~--,Z(Lj, x,S ) se prolongent /t tout le plan complexe en des fonctions m6romorphes dont les valeurs aux entiers n6gatifs sont rationnelles mais qui ont une infinit6 de p61es. On ne peut donc pas interpoler ces fonctions. On v a l e s (
~M(a- 1, C,S) = N c 1 - ~

~M(a

-

1r-

1, S ) - -

~M(a -- 1, S)

Off C est un ideal entier v6rifiant des propri6t6s qui seront not6es (6). Posons (c) =cc~77 et salt v un ~16ment de K tel que Tr(v)= o- off (b,c)= 1. Alors on peut montrer que (th~or~me 4): c

c--I ~ M ( a - l , c , s ) = N a ~ ~ ~ (exp2r~iTr(pvx))Z(Lj,~,~U,s) ~=1 L j , x

Valeurs aux entiers n6gatifs

35

off

,

... ?nl=O

~1

... ~J~u) N(Lj.~(m))

mr(j)=O

et ~ja ..... ~,O) sont des racines primitives c-i6mes de 1. On peut m o n t r e r (thdor6me 13) que les fonctions Z(Lj,~, ~ , .) se p r o l o n g e n t / i 112 en des fonctions h o l o m o r p h e s dont les valeurs aux entiers n6gatifs sont

Z(L~,~, ~u, _ k) = R ( N (L~,~)k)(~ u) off R(N(L~.~)k)(T) est la fraction rationnelle

R(N(L;,x)k)(T) = ~ tnl=O

...

~

. T~O~, . N(L;,~(m)) k T~. . . ....

mr(2)=O

On tire de ceci deux r6sultats importants. Tout d ' a b o r d s i p est un n o m b r e premier qui ne divise pas N c, R(N(Lj,~)k)(~) est p-entier (proposition 16). D ' a u t r e part, si ~ est un id6al entier de K divisible par tous les premiers de K au-dessus de p k ~-* R (N (Lj,~)k)(~) se prolonge en une fonction d ' l w a s a w a (th6or6me 18). Si M est une extension ab6lienne de K, on note o , ( M ) le plus grand entier m tel que G(M(#,,)/M) ait un exposant divisant n. Le premier r6sultat implique que p o u r tout a e G ( M / K ) co,+ 1(M) (M(a, -- n)

est entier.

Le deuxi6me r6sultat permet de retrouver les fonctions L p-adiques de Deligne et Ribet [12] et aussi de d6montrer une congruence (hypoth6se C(p) de [9]) qui relie ces fonctions L p-adiques /~ l'616ment de Stickelberger de la 2gr-extension cyclotomique au-dessus de M. En utilisant les formules de Shintani et la transformation de C a u c h y pint6grale Barsky a obtenu aussi essentiellement les m~mes r6sultats [2]. Je tiens h exprimer ma reconnaissance A J. Fresnel pour l'aide qu'il m'a apport+e durant l'61aboration de ce travail. Je remercie 6galement J. Coates pour les suggestions tr6s utiles qu'iI m'a faites.

I. Etude des fonctions z~ta partielles Soient K un corps de n o m b r e s totalement r6el quelconque et ~ un id6al entier de K. N o t o n s R~ le groupe des classes de rayon rood ~. Soient a un id6al entier de K et fi sa classe m o d f. N o u s noterons

~(a-', s)=~(~- 1,s)=ZNg-S

36

P. Cassou-NoguOs

off la sommation est prise sur les id6aux g entiers de K, premiers avec f e t dans la classe de a-1 et off N g d6signe la norme absolue de g. Nous avons alors: ag=(~) off c~ est un entier divisible par a, e est totalement positif et congru /t 1 m o d f. R6ciproquement tout id6al principal, divisible par a, engendrO par un 616ment totalement positif, congru ~t 1 mod ~ est de la forme

(~)= a g off g est un id6al entier, premier h f dans la classe de a-1. Donc:

~f(a--

1, s ) = N c t S ~

N(e)-s ~t

od la sommation est prise sur tousles entiers de a totalement positifs, congrus/~ l m o d f , non associOs modulo l'action du groupe E(b +, des unitOs totalement positives congrues/~ 1 mod f. D ~ f i n i t i o n . Soit a un id6al entier de K; n o u s n o t o n s A ' rensemble suivant:

A'={~a;

~>0 et ~ - = l m o d f }

(1)

et A ' m o d E ( f ) + d6signera un syst6me de repr6sentants des 616ments de A' modulo le groupe des unit6s totalement positives, congrues/t 1 modf. Donc:

r

s)=Na ~

~

N(cO-~.

(2)

A'modE0") +

Nous allons maintenant montrer que l'on peut d6crire un syst6me de repr6sentants de A' modE(f) + selon un proc6d6 de Shintani [27]. Soit V un espace vectoriel r6el de dimension n. Si (v, . . . . . vi) sont i vecteurs de V lin6airement ind6pendants sur IR, on note: C ( v l , . . . , v~) = {t 1 v I + . . . + t~v~; t l . . . . . t i e IR+}.

On dit que v 1..... v~ sont des g6n6rateurs du c6ne C ( V l , . . . , vi). I1 est facile de voir qu'ils sont uniques /t permutations et multiplications par des scalaires positifs pr6s. Supposons que K soit un corps de degr6 n sur II~. Pour chaque x e K, on note x(1), ..., x (") les n conjugu6s r6els de x. On peut identifier K ~t une II~-sous-alg6bre V~ de la IR-alg6bre IR" par rapplication X}--+(X (1), X (2), ..., X (n))

et r o n a:

~"=v~|

Valeurs aux entiers n6gatifs

37

On peut alors montrer [27] qu'il existe un nombre fini de c6nes Cj(vj, . . . . . @'u)) ~t g6n6rateurs entiers tels que:

+"=

U

jsJ' u

+

uc,(v;,.....

v; d

(union disjointe; vii ~ (~r et v~i > 0); E + d6signe le groupe des unit6s totalement positives. Mais E(J) + est d'indice fini dans E +. Par cons6quent IR+"=

U U

j~J ueE(f) +

uCj(vjl . . . . , vjru))

(3)

(union disjointe; vii ~ C K et vjl >>0). Ceci signifie que si x est un 616ment de (9~ totalement positif, alors il existe u6E(~) +, j 6 J , (m I . . . . , m,u))~@ +4i), uniques tels que: X = u ( m I via -k... +mr(j)Vjr(j)).

On peut supposer (6ventueUement en multipliant par des 616ments de Z convenables) que les vii, j E J , i~ {1, 2, ..., r(j)} appartiennent fi l'id6al af. Pour chaque j, on note R(j, a) l'ensemble des 616ments de a, congrus r(j)

1 m o d ~ qui s'6crivent sous la forme x = ~ x i vji, avec x i ~ ll~

(4)

i= 1

et 0-----_xi<1. L'ensemble R(j, a) est fini. L e m m e 1. Soient a un idOal entier de K, {vji[jeJ, ie {1, 2 . . . . . r(j)}} un ensemble d'~ldments de a{, tel que l'on ait (3) et R(j, a) dOfini par (4). Alors on peut prendre pour systdme de repr~sentants des OlOments de A'modE(~) + l'ensemble A des r (j)

OlOments de la forme x + ~ mivji, os x e R ( j , a) et m i e N . i=l

Preuve. Soit ~ e A ' . I1 existe j 6 J , qisll~ et ueE(f) + uniques tels que r (j)

O~'U Z qivji" i=l

Ecrivons: qi=mi+xi

avec

mi~]N , O ~ x ~ < l .

Alors: ~="

mivji+ E xivji~=u~ \i=1

i=1

/

~=lmivji-}-x

9

"=

r(j)

Puisque ~ a ,

~,mlvjiea, alors x~a; de plus ~ = l m o d ~ , i=1

x-lmodf.

r(j)

2mivij~s

donc

i=1

Ceci prouve que si c~eA', xeR(j,a). R6ciproquement tout 616ment

38

P. Cassou-Nogu6s

de la forme x + ~ mivj~

avec

mien

et x e R ( j , a )

~

~

i=1

est un 616ment de A'. Donc: (f(a-l,s)=NaS~.

/ r(j)

)-s

U

(5)

+x

Soit c u n id6al entier de K, nous allons consid6rer la fonction {~(a- 1, c, s ) = N o 1 -s ~t(a- 1 c- ,, s ) - ~f(a- ', s) h o l o m o r p h e dans ~ et donner une d6composition de cette fonction analogue (5). Notons ~ la dijJOrente de K sur if) et tr la trace de K sur if).

L e m m e 2a. Soit c u n idOal entier de K et c le g~nOrateur positif de coaTI. Alors il b existe v dans ~ - 1 c- 1 tel que tr(v) = - avec (b, c) = 1.

C

Preuve. I1 suffit de prendre p o u r v u n t r ( c - l ~ -1) de ~ .

g6n6rateur de l'id6al fractionnaire

Nous fixons m a i n t e n a n t un 616ment v = v(c) c o m m e dans le l e m m e 2a. L e m m e 2 b . Soit c un idOal entier de K tel que (gK/C~--Z/cTI, off c d~signe le gOnOrateur positif de cc~Z. Soit v vOrifiant la propriOtO du lemme 2a. Si ~ est un ~l~ment de (9K tel que t r ( e v ) e Z , alors ~ e c . Preuve. D'apr6s les hypoth6ses sur c, on a c~= a + ~' off a e 7l, et e ' e c. S i e est tel que t r ( e v ) s Z , alors a tr(v)eT/, done c divise a et ~ e c . Nous allons maintenant consid~rer un idOal r de K, entier vOrifiant les conditions:

i) ( c , ~ ) = l ; ( c , ~ ) = 1 ii) (r (vji))= 1 pour tout j ~ J et tout i e {1, 2, ..., r(j)}

/

(6)

iii) do~/c~-Tl,/cZ s i c est le gOn~rateur positif de cc~7l. Posons: e(x) = exp (2 ~zix).

Coroilaire 1. Soient c u n ideal vdrifiant les propriOtOs (6); alors, pour tout j e J et tout i e {1, 2 .... , r(j)}, e(tr(vji v)) est une racine primitive c i~me de 1. Corollaire 2. Soit o~(_9K et v ddfini par le lemme 2a. Alors:

,=0

e(tr(e#v)) =

{0 Nc=c

s/ r si ctec.

Valeurs aux entiers n6gatifs

39

Lemme 3. Soit v d~fini par le lemme 2a. Alors: c--1

~(a - 1 , c , s ) = N a ~ ~ ~.=1

~ e(tr(~#v))N(cz)-L ~-A

Preuve. D'apr6s le corollaire (2) on a: c--1

Z e(tr(~#v))N(~) -'~= - ~ U ( ~ ) - ' ~ + ( N o - l ) u=l

~A

~A 9 ~c

Z N(~) -~ :~c ~Ec

= - Z NI~)-~+N~ Z NI~)-~. arEc

Consid6rons ~f(a- i c- 1, s). D'apr6s (2) nous avons: ~ ( a - 1c ' , s ) = N C N d ~ N ( c z )

-~

off la s o m m a t i o n est prise sur un syst6me de repr6sentants m o d u l o E(~) + des 616ments de a c totalement positifs, congrus ~ l m o d L On a donc bien montr6 que C--1

Na~ ~ X e(tr("#v))N(")-~=-~(a ',s)+Ncm-'~(a-~c-l,s). la = 1 ~ e A

Th~or~me 4. Soient a un ideal entier de K, premier d ~, {vii, j ~ J , i6{1, 2, ..., r(j)}} un ensemble fini du de a~, vHifiant (3) et R(j, a) d~fini par (4). Soit c un idOal entier de K v~rifiant les conditions (6).

Alors: r

Ncl-~'~(a-lc-',s)-~_~(a-',s)=Na

~ ~, #=1

~ e(tr(#vx))Z(Lj,~, ~ , s ) Lj,x

oft Lj.~ parcourt routes les fonctions linOaires de la forme: Lj,~(m) = x + vjl m a +... + 1)jr(j)mr(j) (x ~ R(j, a) et v~i d~finis par (3))

Z(L~,~, ~, s)= Z ~u,

~7~

N(L~,x(m)) ~

al~ec

9 " ~jr(i)

II. Proiongement analytique eomplexe et valeurs aux entiers n~gatifs de Z(L, ~, s) Consid6rons des n o m b r e s rationnels x 1. . . . . x r tels que 0~x1<1 .... ,O~x~
(7)

4O

P. Cassou-Nogu~s

et/)1

....

,

v, des 616ments de K, totalement positifs. On pose

L(m) =(x 1 +ml)v 1 +... +(x~ +m,)v,. Soient ~ ..... ~, des racines de l'unit6 diff6rentes de 1. Posons:

~" = ~7' ...r

mr

9

Nous 6tudions

z(L, ~, s)=.,~Y N t / 4 m ) r

1) ROsultats de Shintani Shintani a montr6 le th6or6me suivant [27]: r

Th~or~me 5. La fonction Z(L, ~, s) dOfinie pour R e ( s ) > - par n

Cm Z(L, r s ) = , , ~ N(L(m))S

se prolonge d tout le plan complexe en une fonction m&omorphe dont les valeurs aux entiers n~gatifs ou nuls sont donn&s par: n

Z(L, ~, - k ) = ( -

1)"k(k+ 1)-" ~ Bk+ I(L, ~)(O/n

(8)

i=1

off [(k + 1)!]-"Bk+ I(L, ~)~i) est le coefficient de uk"(tl.., t i_ 1 ti+ 1"" t,) k dans le ddveloppement en s&ie de Laurent f l'origine de la fonction

f i exp{u(1-xj)mj(t)} t~= ~=1 e x p { u M j ( t ) } - ~ 1 off Mj(t)=vjtl)t 1 +v~2)tz+... +v~')t,. Posons: exp

{u(1

E(L, ~, u, t)= f i j= 1 exp {u Mr(t)} - ~i D6finissons l'op6rateur diff6rentiel k _ Ok Ok Ok Di--Otkl ... Ot~_ 10tki+ l

Ok 9 .. 0tk

et posons aussi

6 i =(0,..., O, 1, 0,..., O)

(1 est ~ la i-6me place).

Alors (8) peut encore s'6crire:

Valeurs aux entiers n6gatifs

Z(L,r

41

n(nk)!

~ ~~~ i~1

D~E(L, ~,u, t )

~

(9)

N o u s allons chercher une autre expression de ceci.

2) DOfinition de la forme lin~aire Jr sur un anneau de sOries formelles Soit oU un corps contenant K(~) (nous utiliserons le cas off Y( = K ( 0 ( t 1.... , t,) le corps des fractions rationnelles /~ n variables, /t coefficients dans K ( 0 . N o t o n s z f [ [ u ] ] l'anneau des s6ries formelles /t coefficients dans Y et ( a ~ [ y ] ) [ [ u ] ] l'anneau des s&ies formelles en u dont les coefficients sont des polyn6mes en Yl, "",Yr"

D~finissons Bk(~ ) pour j = 1, 2 ..... r, k~]N par ~ Bk(~l) k! 1 - ~ j uexp{u} - k=l et

B o (~j) = O. D~finition. I1 existe une forme ~(" [[-u]]-lin6aire unique

J~: (y~ [y])EEu]] ~ yc [[u]] telle que:

J~(y')= B,(~) off y' = yi1' ... yi; et BI(~)= B,, (~ O ... B,~(~).

Proposition 5. =du r ok ii) J~(~ukf(Y,U)u=O ) = ~u dkk J~(f(y, u)). = o iii) Soit D u n e ( ~ [ y ] ) [ [ u ] ] par

dOrivation dans JT', K(~)-linkaire,

(10)

que l'on prolonge

D (~ aij yl u ~) = ~ D (air) yl u~ Alors

Jr

f (y, u)) = D J~( f (y, u)).

Cette proposition d6coule i m m 6 d i a t e m e n t de la d6finition de Je.

(11)

42

P. Cassou-Nogu/~s On d6finit dans (J('[y])[[u]] exp

(Yi cqu)"'

Yi ei u = i

i=1 hi=0

hi!

Preposition 6. Soient ~l, ..., ~, ~ f f a~ exp i

(12)

Yi cqujl = J=I]l 1 - Cj exp {~j u}"

Preuve. Par d6finition: " ~ j, j. B j, (4 l) Bj. (4,) a~(exp( ~, Yl ~ u)) = 7, uk ~ ~z, -... i=1 k=O ji+...+j,=k " ' ~ r jl ! j,!

et le membre de droite est 6gal A

f l l - - 4 s ~ju exp{eju}"

j= 1

3) Nouvelle expression de Z(L, ~, - k ) d l'aide de Jr Posons

V(t)= flMj(t).

On

prend maintenant pour

corps

W

le corps

j=l

K ( 0 ( t l , ..., t,). D'apr6s la proposition 6, nous avons:

E(L, 4, t, u)=(-1)" u-r V (t)- l Jr ( exp { -j~,= l(y j + xj) M ju} ) off nous avons 6crit Mj pour Mj(t), et off E(L, 4, u, t) est d6fini page 40. D'autre part:

D'autre part, d'apr6s (10):

(~\

k,,+,.

t

,

tt

,

V<,,+r\

) )"

Ainsi, grgice A (11) on obtient le r6sultat suivant: Proposition 7. Pour tout entier k >=O, on a: 1 "

k!

rl "

Z(L, 4, -k)=(kn~r~r)i.J ~ [ni~= Di r

off Mj=Ms(t ) et V= V(t)= ~ Ms(t ). j=l

\k,,+,.

k'v'~L(Ys +xj)Ms]" TM

V

,:o,]'

(13)

Valeurs aux entiers n6gatifs

43

4) InterprOtation p-adique de Jr Tout d'abord nous allons montrer que Bk( 0 peut s'interpr6ter comme une limite p-adique. Supposons que K = ~ et L(m)=m. Nous avons alors

Z(L, ~, s) = Z(r s) = ~ 1 7 " Le th6or6me de Shintani montre que pour tout entier k positif ou nul

z(r -k)=

B~+,(O k+l

od Bk+ 1(~) est prOcis6ment dOfini par U

~.~

Uk

t - ~ exp {u} - k=l ~ Bk(~) ~.." Mais on peut encore 6crire c-1

oo

1

c-1

~

1

si ~ est une racine c-i6me de 1. Or on sait que la fonction z~ta d'Hurwitz ~d

s~--~ ~ ( a 1 ) k=O + k

se prolonge h tout

le plan

complexe en une

fonction

m6romorphe qui prend sur les entiers n6gatifs des valeurs qui sont donn6es par les polynSmes de Bernoulli. On a donc:

Bk+ 1(~ )

Bk+I

c-1

~ r

k+l

k+l

a=

klk

lbi

c-1

- ~ ~"cki=l a=l

k+l

o5 Bk(X ) d6signe le k i~rne polyn6me de Bernoulli et bk le kieme nombre de Bernoulli. Or on sait que [18] b~= lim

lPt--1

t~oo p

~ n~

(limite p-adique).

n=O

Donc: c-I

.

1 P~-l ( n

a\ k+l

et 1

Bk+l(O----lim--

cp t - 1

V nk+~ r

t~ ~ c p t .~o

(limite p-adique).

44

P. Cassou-NoguSs

L'expression <
Proposition 8. Pour tout k entier positif, soit Bk(~) d~fini par u Bk(~)~. 1 - ~ exp{u} k= 1

Bo(~)=O

et

Off ~ est une racine c-i~me de 1. Alors: 1 cp t - 1

Bk(r ) = lim ~ t ~

Cp

~ n k 3"

(limite p-adique).

n=0

Nous avons d6fini Jr comme 6tant la forme ~ [ [ u ] ] lin6aire telle que a~(yi) = BI(~)

c'est-/i-dire Y", )- - Bi,(r

...

Bi.(~,).

Or: 1

r

Bi,(~l)..

9

Bi~(~,)=

Bi~(~l)"" B i " ( r

]7

9 hm

/=~.= , ~

~

cp

cp tJ-

1

,j ~' njij ~jnj nj= 0

1 lim,.oo crpt,+...+t~

c p t l -- l

Z

cptr-

nl = 0

t r ~ oo

1

"'" Z

ntl"~'''nri. ~nl~'"~r" ,~

nr=O

On peut donc 6noncer, grace ~ la lin6arit6:

Proposition 9. Soit P ( y ) ~ K [ y ] un polyn6me d r variables. Alors." 1

cptl - 1

J~(P(y))= lim c, pt,+...+~

~

t l ~ cX3 t r ~ oo

tll=O

c p t r -- 1

... ~, P(n)~"

( limite p-adique )

nr=O

oft P ( n ) = P ( n 1.... ,nr) et ~"=~]' ... ~".

On en d6duit donc imm6diatement: Th6or~me 10. Pour tout entier k > 0, on a n

off: Gi(Y)=D }

V-'I

1 , \k.+,\ ~.,(Ys+xj)MsI I 9 x.i = 1 I /~ = ~,

De plus J~(Gi(Y))=lim t~crp t r ~ oo

1 c p t l -- 1 cptr- 1 + +t, ~ ... ~, Gi(n)~" t~ "'" n~=O n,.=O

( limite p-adique ).

Valeurs aux entiers n6gati~

45

5) InterprOtation de J~ comme valeur d'une fraction rationnelle N o u s allons utiliser le lemme suivant qui est bien connu. L e m m e 11. Soit P u n polyn6me gl r variables. Alors la sOrie formelle R ( P ) ( T ) = ~ P(n) r " nEN r

est la fraction rationnelle dont le dOveloppement de Laurent est: R(P)(T) =

2k (1 - T) k

~ keN'* k * ( O . . . . . O)

off (1 - T ) k = ( 1 - T 0 k ' ... (1 - - T~) k"

~=

E ... l rE= O

ll=O

1~ '"

(14)

1~

off

si k i >=1 et l i = 0 "~k

= 0 si k 1 d-k 2 + ... + k ~ > d e g P +r.

Preuve. N o u s voulons m o n t r e r que:

nelN r

P(n) r ~ ;

~

ken ~ k , t O . . . . . O)

2k (l-T) ~

off les 2 k sont donn6s par (14). On pent remarquer tout d ' a b o r d que les deux m e m b r e s sont lin~aires par r a p p o r t au p o l y n 6 m e P. I1 suffit donc de d 6 m o n t r e r la formule p o u r P ( y ) = y ~ ' .-. Yr'~r Mais: n~' ... n~rT( ' ...Tr"r=( ~ n ] l T ~ ' ) . . . ( ~ nEONIr

nlEN

n~'TTr).

nrEN

Or: .~N

k= 1 (1

)k

o6 2 k = , = 1 1--1

(--1)t(--l)L

Ceci se d6montre par r6currence sur c~. En faisant le produit, on obtient (14). On peut r e m a r q u e r que les 2 k apparaissent c o m m e les coefficients d'interpolation sur les entiers n6gatifs de la fonction x~-,P(x) [1].

46

P. C a s s o u - N o g u 6 s

Posons:

Ay-OYl

"'"

OYr"

Proposition 12. Soit P(y)6K [y] un polyndme ~ r variables. Alors:

Jr (P (y)) = R (A y P)( ~) off R(AyP)(T) est la fraction rationnelle telle que: R(AyP)(T)= ~ Ayn(n)r". hEN r

Preuve. A cause de la lin6arit6 des deux membres, par rapport/~ P, de J~(P (y)) = R (d yP)(~) il suffit de d6montrer ceci pour

p(y)= y~, 9 " " Y r~ " Mais

dc(y~'.., y~) =Jr (y~')... Jr Montrons que: gr (Y~)=R(aY ~- ')(4). Nous avons: cp t-

l

n= 0

n= 0

n=Cp t

= ~ [n'-(n+cp')'] T " - ( 1 - T

r

~ (n+cpt)'T ". n=O

n=O

Posons: RI(T)=

[n~-(n+cpt) ~] T" n=Z"O

c Pt

R~(T)= ~ (n+cpt)'T ". n=O

D'apr6s le lemme 11, R~t(T) et RZ(T) sont des fractions rationnelles ayant un seul p61e pour T= 1. Puisque ~ est une racine c-i6me de 1, 1 - ~v' = 0,

donc:

1

cp t - 1

c P t n=O

Valeurs aux entiers n6gatifs

47

N o u s avons:

n ~ - ( n + c f f ) ~ = _c~n ~- t +Qt(n) cpt off Q,(n) est un p o l y n 6 m e en n / t coefficients qui tendent vers 0 q u a n d t tend vers l'infini. On peut donc 6crire:

R,~(T) = - R (~ y=- ')(T) + R,~ (T) o6 R3(T) est une combinaison lin6aire finie ~t coefficients tendant vers 0, q u a n d t tend vers l'infini, de fractions rationnelles du type de celles du lernme 11. D o n c :

Jdy=)=g(~y~-')(~). De plus: R(~I YI'- 1)(T0 ..- R(~, y~r- 1)(Tr )

"'1

T?' ...

n --

n~

arn~"- l Td ~ \nr= 0

r

=RIG(y]'... y~9)(T). La proposition 12 est d6montr6e. Th6or6me 13. Pour tout entier positif ou nul

Z(L, 3, - k) = R(N(L)k)(~)

(15)

off R ( N (L)k)(T) est la fraction rationnelle dOfinie par R(N(L)k)(T) = ~ N(L(m) k) TC mEN r

Preuve. On a vu que [

Z(L,~,-k)=Jr

[(nil+r)! '<' n' , i: ,

r

t

\nk+r

1

V

-,:~,]"

Mais /

,

-

r

\kn+r

( E (Yj+xj)Mj~

(kn)!

RLn~=~

Mais

(yj+ x j ) M j = ~ C(O(y)t,. j=l

i=1

Y~ (yj +xj) Mj

, ~ .

P. Cassou-Nogu&

48 Donc: ,

ni=l

, [ • (Yj+xs)Mj) =N(L(Y)) k. j=l

Le th6or6me est d6montr&

IlL D6nominateur des fonetions z&a Soient L un corps de nombres et n u n entier positif. On d6finit [9] o~.(L) comme &ant le plus grand entier m tel que G(L(#m)/L ) ait un exposant divisant n, off #m d6signe le groupe des racines m-i6mes de Funk& On dit [9] qu'un ensemble S d'id6aux fractionnaires de K est dense si, pour toute extension ab~lienne finie M de K et tout a~G(M/K), il existe a~S tel que o = (a, M/K). Lemme 14. Eensemble des id6aux r v6rifiant (6) est un ensemble dense. D'aprOs la gOnOralisation du th6orOme de Dirichlet sur les premiers dans les progressions arithm&iques, nous savons que pour tout id6al entier ~ et route classe de rayon rood f, il existe une infinit6 d'id6aux premiers d'indice d'inertie 1 dans cette classe. Soit S l'ensemble des idOaux entiers de K, v6rifiant (i), (ii) de (6), donc premiers ~ un ensemble fini d'id6aux, divisibles seulement par des premiers dont l'indice d'inertie est 1, et non divisibles par plusieurs premiers de K au-dessus d'un mOme premier rationnel. Cet ensemble est dense. Sinnott [9] a d6montr~ le lemme suivant: Lemme 15. Soient p un nombre premier et S u n ensemble dense d'id6aux fractionnaires, dont tousles dl6ments sont premiers d p. Si M est une extension finie ab6lienne de K et m est un entier positif, alors: Ico,.(M)]~-l=

min

[Nam-1]; 1

aeS

(a,M/K)= 1

off le minimum est pris sur tousles id6aux a de S tels que (a,M/K) est d6jini et 6gal d t.

1) D6nominateurs des fonctions z&a partielles a) Cas g6n6ral. Posons, comme J. Coates [9]: 6re(a- l, c- ~, f) = N c-m-1 ~t(a - i , - m ) - (f(a- 1 c-1, -m). Alors: ~f(a- 1, c, - m ) = N c m+l 6re(a- 1, c- i,[). Nous allons d6montrer l'hypoth6se H s [9]: Proposition 16. Soit cun iddal entier de K vdrifiant les hypothdses (6). S i p est un nombre premier qui ne divise pas No, alors 6,,(0-l, c-i, [) est p-entier.

Valeurs aux entiers n6gatifs

49

Puisque 6m(a -1, C-1, f) =

~f(C1-1,

C, - - m )

Nc,.+a

, il suffit de d6montrer que ~f(a-a, c, - m )

est p-entier pour tout m >0. D'apr6s (7) c-1

~f(a-~,c, - m ) = N a - "

~

~.. (e(tr(#vx))Z(Lj,x,r , - m )

~t= 1 L j , x

et

Z (Lj,~, ~, - m) = R (N (Lj,~)'~) (~j 1.... , ~J, u) off ~ii=e(tr(vjiv)) et R ( N (Lj, ff")(T 1..... 7",) est la fraction rationnelle

R(N(Lj,x)m)(T1 .... , T~)= ~ N(Lj,~(n))" TL nE~ r

Donc:

R(N(Lj,~)m)(T~ ..... T~)=

~

,k(m)

(1 - T) ~

k~IN r k * ( O . . . . . O)

avcc

2k(m) = ~ . .. N(Lj,~(-I)) m h = o " l ~ = o [ l l J " 1, off {k/} li est d6fini dans le lemme 11.

Puisque L j , x ( - l)~a, N (Lj'x( - l))~Z. N(a) Puisque p ne divise par N c et que les ~ sont des racines c iem~ de 1, alors /z __ [1 - - ~jilp--l. Donc: # N a - ~ R (N (L~,x)~)(r . . . . , ej~r

est p-entier et la proposition est d6montr6e. Posons:

( u ( a , s ) = ~ N a -s

Re(s)> 1

la sommation 6tant prise sur tousles id6aux entiers de K, premiers ~ ~ tels que a = (a, M/K). Puisque l'ensemble des id6aux c satisfaisant (6) forme un ensemble dense, les arguments de [93 permettent de d6duire le th6or~me suivant de la proposition 16. Th6or6me 17. Pour toute extension abdlienne finie M de K, tout a ~ G ( M / K ) et pour tout entier m_>_0, mm+l(M)~M(a, --m) est un entier. Ces m6thodes permettent d'obtenir des r6sultats plus pr6cis sur la puissance de 2 que divise le d6nominateur [8 3. Cependant on obtient des r6sultats un peu moins bons que ceux de Deligne et Ribet [12].

50

P. Cassou-Nogu6s

IV. Interpolation p-adique I ) Rappels sur l'algdbre d'Iwasawa [26] Soient p un nombre premier impair, tl)p le corps p-adique 616mentaire et 7/p son anneau de valuation. On note F l'alg6bre des fonctions sur 77p, tt valeurs dans un anneau complet (9 c IEp, et U1 le sous-groupe de 7z* form6 des entiers p-adiques u tels que u = l ( m o d p ) . Si u~U 1 on note f, la fonction s~-~u~. Les f , ( u ~ U 0 engendrent un sous (9-module L de F. Ils forment m~me une base de L e t l'on peut identifier L ~t l'alg6bre (9[U~] du groupe Ur On d6finit maintenant L comme 6tant l'adh6rence de L dans F pour la topologie de la convergence uniforme. Les 616ments de L sont appel6s fonctions d'Iwasawa. On note A = ( 9 [ [ U 1 ] ]. C'est l'alg~bre lim(9[U1/U.] [15] [16]. On sait que cette alg6bre est isomorphe /t l'alg6bre (9[[T]] des s6ries formelles en une ind6termin6e T. L'isomorphisme s'obtient en choisissant un g6n6rateur topologique u = l + r c de U1 et en associant h l'616ment f. de (9[U1] l'616ment I + T de

(gEET]]. Les alg6bres L e t A contiennent toutes deux L = (9 [/51] comme sous alg+bre dense et on peut montrer qu'il existe un unique isomorphisme d'alg6bres topologiques

~: A - , L dont la restriction h (9 [U1] soit l'identit6. Si f = ~ a , T " est un 616ment de A, e(f) est d6fini par:

sw-~f(us - 1)= ~ a.(u s - 1)". Supposons maintenant que p = 2. Notons U2 le sous-groupe de Z* form6 des entiers 2-adiques u tels que u - 1 mod4. On d6finit les alg6bres L e t A au moyen du groupe Uz. De fa~on plus pr6cise L e s t l'alg6bre engendr6e par les fonctions f.: sw-~uS avec u6U 2. On montre aussi que l'adh6rence L de L s'identifie h l'alg6bre d'Iwasawa A = (92 [[U2]].

2) Interpolation p-adique Soit p u n nombre premier quelconque et supposons que f soit un id6al entier de K divisible par t o u s l e s premiers de K au-dessus de p s i p e s t impair. Ceci entraine que f n Z e s t divisible par (p). Si p = 2 on veut de plus que ~c~Z soit divisible par 4. Fixons p u n id6al premier de ~ au-dessus de p ou, ce qui revient au m6me, un plongement z de ~ dans Cp le compl6t6 d'une cl6ture alg6brique de Qp. Soit I-1 la valeur absolue sur IEp. Si x ~ , on pose Ixl=l~(x)l. Sic v6rifie les propri6t6s (6), nous allons montrer que la fonction

k ~ Cr(a- 1, c, - k) se prolonge en une fonction d'Iwasawa et pour cela nous allons montrer que, en fait les fonctions

Valeurs aux entiers n6gatifs

51

k~---~v(Z(L, ~, - k)) se prolongent en des fonctions d'Iwasawa. Th6or~me 22. Soit ~ un ideal entier de K, divisible par tousles id~aux premiers au-

dessus de p. Soit L une fonction lin~aire affine telle que L(y) =(Yl + x O vl + . . . +(Yr + x , ) v~ off les vle ~ et X~Vl + . . . + x ~ v ~ - l m o d f. Soit c un nombre entier premier d p et ~ , ...,4r des racines c i~mes de l'unitd non Ogales d 1. Alors il existe une jbnction d'lwasawa unique Z v(L, ~, s) telle que pour tout entier m positif ou nul Zv(L, 4, - m) = z(Z(L, 4, - m)). On 6crira a pour z(a) si a ~ . D'apr6s le th6or6me 13, Z(L, 4 , - m)=R(N(L)m)(~)

R(N(L)")(~)=

;~(m) (1 _r

~, kelN~ k~-(O ..... O)

avec

kl

~kx

2 k(m) -- ~ . . . . .

~

{kr}

N (Li, ~( - l))m.

Rappelons que v i ~ et x - = l m o d L D o n c s~-oN(Lj,~(-l)) ~ est une fonction exponentielle. P o u r se7lp, posons:

11=0

Iv=0

Alors 2k(S) est une combinaison lin6aire finie d'exponentielles h valeurs dans Z v. Soit p un id6al premier de K au-dessus de p e t n6p, n r 2. N o u s allons m o n t r e r dans le lemme suivant que: p o u r tout s e Z p et tout (k~ ..... k~)+(O ..... 0), on a 12k,...kr(S)lp~QJg[kp l+'''+k€ 0(.1 r I est le n o m b r e de k i non nuls p o u r i = 1,2,..., r. Posons: ;~k,..k~(s) kl = 0 kr= 0 (k~ ..... k, ~r (0, ,0)

C o m m e c est premier h p 1 1 - ~ 1 = 1 et Zp(L,~,s) est une fonction d ' I w a s a w a c o m m e limite uniforme de combinaisons d'exponentielles h coefficients dans Zp(4). D ' a u t r e part pour tout k entier positif

Zp(L, 4, - k) = Z (L, r - k). M o n t r o n s le lemme: L e m m e 19. Pour tout s~TZp et tout (kl, ...,k,)4:(O .... ,0), alors: [/~kl

/ e l [ <[7~[ k l + ' ' ' + k r - r l ...kr\~llp~l I~

off r 1 est le nombre de k i non nuls pour i = l, 2 ..... r.

52

P. Cassou-Nogu6s

Puisque 2k,...k.(~ est une fonction continue et que N e s t dense dans Zp nous allons m o n t r e r que

12,,...~(m) l, < Inl~' +"" +~'-"

men

p o u r tout 2k(m'=

et tout (k 1.... ,k~)=~(O .... ,0)

~

k~

~,fkl"~

{l,}N(L(-ll,..

-'~)''

,,=o'"t~=o ( / x J . . . . .

off

~k,'~=J(-1)h-l(ki-l~\l~-l]

si ki>_l_

et

li>-l_

(',J

si k,=O si k i > l

et

Ii = O

/10

kl +k2+...+k~>degP+r , kl k;, [k,l_l] [k,_l~(_l)h+...+G_~,N(L(_l,, 2k(m)= 11~= "1" lr t~= 1 \1,--11"" \ l , - l l . . . . )) 2k=O

si

ki non nuls. Or N(L(- l))= P(n l) off P(X) est un

off l'on note k; ... k',~ les

p o l y n 6 m e ~t coefficients p-entiers. G d t c e ~i lin6arit6, il suffit de d 6 m o n t r e r le l e m m e pour

P(y) = yT... y;1 kl

kr 1

k'a - 1]

2k(m)=n~' Z "'" Z 11 = 1

[k;,-

l ~ ( - - 1)/1 +..._t. lrl--rl l~l,.

l,-l!'" \l,-l]

lr= 1

Or

~_,...1~~= 1 \11_1]"" \lr_ll(-1)"+'"+G-"l~'...l~'[, ~=xI d Vi

11- 1

=

_ T~))T,=,.

Or

d•/)a'

( T / ( 1 - T'lhk~-1----0 aillTi 1 =

d__y,(T,(l_

d Tff

T/))T~= ,

si a i < k ' i -

1

e s t e n t i e r si a i >_ ki - i .

Donc:

It Y "1 =

lr I

=

1

\1~-1!

...

\#,-1!

(-1)

.....

11 ... l~/, = 0

si l'un des a i < k'i - 1 et est entier si ~ ~i > ~ k'i - r 1-

l~ll"

""

Valeurs aux entiers n6gatifs

53

Le l e m m e est donc d6montr6. Soit co le caract6re de Teichmfiller d6fini sur •p par co(x) = lira x p"

n~oo

(limite p-adique)

et soit 0 le caract6re d6fini sur les id6aux entiers de K par

0(a)=co(N(.)). Alors 0 est un caract6re d'ordre 6 = [ K ( # y K ] . Corollaire 23. Soit [ un iddal entier de K, divisible par tousles idOaux premiers audessus de p. Soient a un ideal entier premier d ~, c u n ideal entier vOrifiant les propridtOs (6). II existe une fonction d'Iwasawa unique ~p,r(a- 1, c, s) teIle que pour tout entier positif m, m > 1, m -= - 1 m o d 6 ~p,r(a -1, c, 1 - m ) = ~r(a -1, c, l - m ) . Preuve. On a vu que:

c-1 r(a -1, c, s ) = U a S Z Y.

s).

I~= 1 Lj,x

Posons: [No~ sc-1

, c,

Z

s)

Iz=

alors ~pa(a- 1 c, s) est une fonction d ' I w a s a w a qui v6rifie la propri6t6 du corollaire 23. Barsky [2] a obtenu ce r6sultat par une m6thode bas6e sur les r6sultats de Shintani qui utilise la transformation de Cauchy p-int6grale.

2) Congruences N o u s allons m a i n t e n a n t d6montrer l'hypoth6se C(p) de [9].

Proposition 24. Soit p un nombre premier. Soit ~ un iddal entier de K divisible par t o u s l e s premiers de K au-dessus de p. Soient a un iddal entier premier d f, c u n ideal entier vkrifiant les propridt~s (6). Alors pour tout entier re>O, nous avons :

6m(a -1, C-a,

~)=_--(Nac)-mbo(a -1,

c -1, f) m o d com(mr)z p

off M rest le corps de classes de rayon f. N o u s avons vu que, 6m(a -1, c -a, f ) =

~r(a- a, c, -- m) Nc,,+l

N o u s avons donc h m o n t r e r que:

~[(a~l g,_--m)= ~[(a- 1, C, O) modco ' M ~Z Nc,,+I

- N c m + l Na,,

,n,, rl p"

54

P. C a s s o u - N o g u 6 s

Comme c-1

~r(a-1, c, - m ) = N a -m Z

~, e(tr(l~vx))Z(Lj,~, ~], - m )

~= 1 L~,x

il suffit de montrer que Z (Lj, x ' ~u, _ m) = Z (Lj, x, ~, 0) rood og,.(Mr) 2~p((). Or:

Z (Lj,~, ~ , - m) =

2k(m) (1 - ~u)k

~ ke~q r k * ( O . . . . . O)

et Z(Lj,~, ~ , O)=

,~(o)

~

(1 - ~u)k

k~INr k*(O ..... O)

off 2k(m)= Z "" ~ 11= 0

l~

lr= 0

"" I,

Or puisque L j , ~ ( - I ) - 1 modf, d'apr6s le lemme 15: N(Lj, x ( -

l)) m =-- N

(Lj, x( - 1))~ mod ~o,,(Mr) Zp.

3) Fonctions Lp-adiques Soit e une fonction d6finie sur Rr ~ valeurs dans une extension alg6brique finie de Qp. On d6finit L(~- 1, c, s) = ~ e(a) ~ ( a - 1, c, s). a~Rf

Th6or6me 25 [12]. Soit ~ un iddal entier de K, divisible par tousles premiers audessus de p. Soit r un idOal entier vOrifiant (6). II existe une fonction d'Iwasawa unique Lp(e, c, s) telle que pour tout entier positif m, m > 1, Lp(e -x, c, 1 - m ) = L ( e O -~, c, 1 - m ) . Preuve. On a:

4

L(~-', c, s) = Y, ~(~) ~f(a- ', c, s). ~Rf

Alors on pose: L~(e-1, c, s)= )-" e(a)~v,r(a -1, r s). aERf

Supposons maintenant que M soit une extension ab61ienne r6elle finie de K et soit Z un caract6re de dimension 1 de G ( M / K ) ~t valeurs dans C. En remplaqant M par le corps des invariants du noyau de Z on peut supposer que le noyau de Z est trivial. On a:

Valeurs aux entiers n6gatifs

55

Th6or6me 26. II existe une fonction Lp(Z, s) d~finie sur 2gp telle que: i) pour tout entier positif m, m > 1

Lp(Z, 1-m)=L(zO -m, 1-m) ii) la fonction

\ g(61 est une fonction d'Iwasawa. On pose: 1

Lp(LS)=(Z(c){Nr

I ) ZxO-('a-1).

[Nct]sc~ ~ \0(~] u~o_ nj. ~. ~:zp(gj.~,~U,s)

\O(c)/ off a parcourt un syst6me de repr6sentants entiers des classes de rayon mod9 off g = ppcm ([, (p)). Appendiee

Nous allons montrer ici que les fractions rationnelles qui interviennent pour les valeurs aux entiers n6gatifs des fonctions zSta sont li6es aux s6ries formelles de la mesure de Iwasawa-Mazur qui permet de d6finir les fonctions zSta p-adiques.

I) Mesures et sOries formelles Soient tl~p le compl6t6 de la cl6ture alg6brique de ~p et (9 son anneau de valuation.

DOfinition. Soit (g(Zp, (9) le (9-module des applications continues de Zp dans (9. On appelle mesure sur 7]p d valeurs clans (9 toute forme (9-1in6aire de cg(Zp, (9). On note Mes (~Zp,(9) le (9-module dual de c~(Zp, (9). S i fE(ff(~.p, (9),/~6 Mes(Zp, (9) on notera

~(f)=Sfdy. Notons Xt,. la fonction caract6ristique de la boule de centre t et de rayon IP]". On a donc:

SXt,.dp=Z~Xt,,.+,dlt

(21)

t'

off t' parcourt un syst4me de repr6sentants modulo p.+l de la boule de centre t et de rayon IPI". Lemme 28. Soit [A1 une application dffinie sur les fonctions caract&istiques de

boules d valeurs dans (9 satisfaisant, pour tout X.. P, (Z,,.) = F, Y, (Z,,,. + ,) t'

56

P. Cassou-Nogu+s

Off t' parcourt un systOme de reprdsentants modulo p"+~ de la boule de centre t et de rayon [Pl". AIors il existe p unique, #eMes(7/p, (9), tel que, pour tout Zt,,

~,(z,,.)=S z,..d~. Le O-module cg(Zp, (9) 6tant muni de la norme de la convergence uniforme [j. f[, alors Mes(Zp, (9) est norm6 par [[p[[' = Sup [Ifd#[. f

(22)

Lemme 29. Soit f e c~(Z~, (9), # e Mes (Zp, (9) alors la forme lindaire g ~ ~(gf ) d # d~finit une mesure not& f #. Soit (9[[X]] le (9-module des s6ries formelles fi coefficients dans (9, muni de la norme suivante: si F ( X ) = ~ c , X " , [lFII=suplc,]. n

Proposition 30. Soit # ~ Mes (Zp, (9), soit P(#) (X) e (9[[X]] d~fini par: P(#)(X)=~Ck x k

avec

Ck=~(X) dp.

Alors rapplication #~--~P(p)(X) ddfinit un isomorphisme isomOtrique de (9-modules. Preuve. Voir par exemple [21]. Etant donn6 g ~ Mes (Zp, (9), on posera

F~(T) = P ( # ) ( T - 1).

2) Etude de E l , c D~finition. Soit c e Z p - p Z p . Soit El, c l'application d6finie sur les fonctions caract6ristiques de boules/t valeurs dans (9, par E

"

" to

l'ctZt'n)=7 -

c t'o , c - 1

~

2

off to et t{~ sont les entiers, uniques, satisfaisant

t-toeP"Z p

et

0=
c-lt-t'o~p"Zp

et

0
Alors le lemme 28 montre que El, c d~finit une mesure toujours not& EI,~, telle que pour tout ~,,.

SZt,ndE1 c = ~ '

p

t' c-- 1 Cp'~~~ 2

La proposition suivante montre l'importance de cette mesure EL~ [21]. Proposition 31. Soient c ~ Z p - p Z p et k entier positif tel que ck ~e 1. A Iors:

Valeurs aux entiers n6gatifs

1

bk

57

"

k

1

~(1-k)-----k-=c-T~_l ] x -

dE,,~.

D'apr6s ce que nous avons vu nous avons aussi: 1

~(1-k)=ck

1 ~, R(x*-l)(O U= 1

off R(xk-1)(T) est la fraction rationnelle dont le d6veloppement en s6rie de oo

Taylor est ~ nk- 1 T". n=l

Nous voulons 6tudier le lien profond qui existe entre ces fractions et Ex, c.

3) ThOordme fondamental Nous allons montrer le th6or6me suivant" Th6or6me 32. Soit f une application continue sur Zp d valeurs dans (9, FIE,.~(T ) la s&ie formelle associOe fi la mesure f E1, ~ FIE,o(T)=~a,(T-1)"

off

Alors: (23)

FcE,,o(T)= Z R ( f ) ( ~ T ) c=1 :#1

off R ( f ) ( T ) est la sOrie de Laurent en (1 - T) dont la s&ie de Taylor d l'origine est: f(n) T". n~O

Preuve. On sait que }tFsE,,c(X)]I < Hfll I[ELcll' < IIfll. D'autre part: 2i(f) R ( f ) ( ~ T ) = z. ( 1 - r i i=1 Donc: R(f)(~T)=H(f,O(X)=

~=a ~, "=

i

~ 2,(f).

j>o

Alors: I1 ~ H ( f , 0(x)ll ~ 1[f{I. ~c= 1 r

Doric il suffit de montrer (23) pour f ( x ) = x k. On va donc d6montrer que:

txkE,,o(T)= ~ n(xk)(~T). e=l :#1

58

P. Cassou-Nogu~s

Or [18]:

FE,,c(T)= ~ R(1)(~T). D'autre part on sait [21] que

Xk~F(X) =~Ok~(X) Off d D=T-dT" Donc:

FxkE,,~(T)=DkF~.~(T) et

(Y

R(xR)(~T)= T

R(1)(~ T).

Alors: FxkE,,c(T)= ~ R(xk)(~ T) U= 1

r

et le th6or~me est d6montr6. Corollaire 33. Soit f une application continue sur 7Zp ~ valeurs dans (9,

~f(x)dEl,c= ~ R(f)(~) r

1

off R(f)(T) est la sOrie de Laurent en 1 - T dont la s~rie de Taylor gt rorigine est f(n) T". n=0

Remarque. La mesure EL~ peut atre obtenue/l partir de la forme lin6aire J [4, 5] apr6s une torsion convenable.

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Valeurs aux entiers n6gatifs

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Re~u le 19 juin/5 octobre 1978