Weiterfiihrende Untersuchungen zum dynamischen Beharrungszustand des Bausparens Hans Laux (Ludwigsburg)

I. E i n l e i t u n g Die letzte in den ,,Bl~ittern" zur Bausparmathematik erschienene Arbeit lautete ,,Der statische Beharrungszustand des bausparmathematischen Gesamtmodells"; sie widmete sich ausschlieBlich dem station~iren Zustand, der sich im Bausparen bei dauerhaft konstanten Neuzug~ingen herausbildet [1]. So bedeutend der statische Beharrungszustand auch far Theorie und Praxis des gemeinschaftlichen Bausparens gegenw~irtig ist, so tritt der dynamische Beharrungszustand, dem steigende Neuzug~inge mit gleichbleibender geometrischer Progression zugrunde liegen, dennoch nicht vollst~indig in den Hintergrund. So fragt sich zum Beispiel, wie stark denn die Progressionseffekte sind, auch wenn diese an die Bausparer in Gestalt erm~if~igterZielbewertungszahlen [2] nicht weitergegeben werden dtirfen. Ferner interessieren die Einzel- und die Gesamtwirkungen der verschiedenen wartezeitbestimmenden Faktoren unter dynamischen Voraussetzungen. Deshalb sollen im folgenden die komplettierten und weitgehend mit neuer Bezeichnungsweise versehenen Formeln der Bausparmathematik des dynamischen Beharrungszustands, die bisher nur unvollst~indig ver6ffentlicht worden sin& und die Ergebnisse neuerer Berechnungen hierzu wiedergegeben werden. Die Aktualisierung bietet sich auch insofern an, als die frtiheren Untersuchungen teilweise drei Jahrzehnte zurtickliegen, sich demnach auf die damaligen bauspartechnischen Verh~iltnisse beziehen und zum Teil in vergriffenen Schriften publiziert sind. Die Abhandlung wendet sich nach Wiederholung der hier als bekannt vorausgesetzten Formeln ftir den statischen Beharrungszustand zun~ichst dem dynamischen Beharrungszustand des reinen Kollektivs ohne wartezeitbestimmende Faktoren dritter Art zu und er6rtert danach die Wirkungen dieser Faktoren im einzelnen, Erg~inzend zu den schon l~inger vorliegenden Kalkulationen werden generell nicht nur in den Bauspartarifen vorgegebene Tilgungszeiten t, sondern auch die praxisn~iheren F~ille von primi~r festgelegten Tilgungsbeitr~igen B betrachtet. Auf3erdem enthalten die Tabellen jetzt zahlreiche Zwischenwerte, die es dem Leser erleichtern sollen, die einschl~igigen Kennzahlen nachzurechnen oder selbst solche unter abweichenden Pr~imissen herzuleiten. )~hnlich dem Untersuchungsgang in bisherigen Ver6ffenflichungen zur Bausparmathematik widmet sich die Arbeit abschliel3end den aus Raten- und Schnellsparern zusammengesetzten Bausparkollektiven und wieder dem bausparmathematischen Gesamtmodell. Die verwendeten Symbole sind im Anhang aufgelistet.

II. D e r s t a t i s c h e B e h a r r u n g s z u s t a n d Unter der in der Bausparmathematik tiblichen Annahme • einer viertelj~ihrlichen Zinskapitalisierung (mit den Zinsfaktoren r = 1 + i und q = 1 + j) ftir Bausparguthaben und Bauspardarlehen und • viertelj~ihrlich nachschtissig gezahlter Sparbeitr~ige A und Tilgungsbeitr~ige B ergibt sich 541

Tabelle 1. Ausgew~ihlte bauspartechnische Kennzahlen fur den statischen Beharrungszustand unterschiedlicher Bausparbestande Pr~imissen

r

q

A

B

Werte s for

t

ZielBZ iSKLV

Reines Ratensparerkollektiv

1,005 1,0075 1,01 1,0075 1,0075 1,0075 1.0075 1,0075 1,0075 1,0075 1,0075 1,0075 1,0075 1,0075 1,0075 1.0075 1.0075 1.0075 1,0075 1,0075 1,0075 1,0075 1.0075 1,0075 1,0075 1.0075 1.0075 1,0075 1,0075 1,0075 1,0075 1,0075 1,0075 1,0075 1,0075 1,0075 1,0075 1,0075 1,0075 1,0075

1,01 1,0125 1,015 1,0125 1,0125 1,0125 1,0125 1,0125 1,0125 1,0125 1,0125 1,0125 1,0125 1,0125 1,0125 1.0125 1,0125 1,0125 1,0125 1,0125 1,0125 1,0125 1,0125 1,0125 1,0125 1,0125 1.0125 1,0125 1.0125 1,0125 1,0125 1,0125 1,0125 1,0125 1,0125 1.0125 1,0125 1,0125 1,0125 1,0125

0,021 0,015 0,009 0,015 0,015 0,015

0,024 0,018 0,012 0,018 0,018 0,018 0.018 0,018 0.018 0,018 0,018 0,018 0,018 0,018 0,018 0,018 0,018 0,018 0,018 0,018 0,018 0,018 0,018 0,018 0,018 0,018 0.018 0,018 0.018 0,018 0,018 0,018 0,018 0,018 0,018 0.018 0,018 0,018 0,018 0,018

R R R R R R S S S R S R S R S R R R R F R F R F R F R F R F R R R R FD R FD R S FD

22,52 31.56 52.06 39,17 35,73 33.76 36,91 33.61 30,36 30,82 38,58 29,99 38,38 31,71 30,04 32,14 32,91 34,02 34,76 28.35 33,34 26,99 33,06 26.73 37,92 25,10 34,94 22.41 34,36 21,87 30,43 33,21 35,23 37,97 36,08 33,37 31,33 34.92 32,92 30,67

587,1 808,4 1289,6 1201,3 1014,7 913,3 1077.3 908,0 753.3 832,9 832,9 862,1 862,1 803,7 803,7 836.2 764.2 729.6 707,1 707,1 750,7 750,7 759.6 759,6 616,5 616.5 701.2 701,2 719,0 719,0 846,3 754.6 692,7 614.8 614.8 749,2 749,2 702,1 702.1 702.1

Ratenzahlungsstopp bei 40% 45% 50% Einmalspartarif mit E = 40% 45% 5O% 85% R und 15% S (E = 40%) 70% R und 30% S (E = 40%) 85% R und 15% S (E = 50%) Ktindigeranteil 15% 3O% 45% 50% Fortsetzer 4 Qu. FR = 0 50% Forts. 4 Qu. FR = GS(F) 50% Forts. 4 Qu. FR = Max(F) 50% Fortsetzer 8 Qu. FR = 0 50% Forts. 8 Qu. FR = GS(Ft 50% Forts. 8 Qu. FR = Max(F) Darlehenstr~igheit 2 Quartale Darlehensverzichteranteil 15% 3O% Gesamtmodell Hptvers.I FR = 0 GM Hptvers.II FR = Max(FR) 15%S,85%R mit K,V,F~max.FR

0,015 0,015 0,015 0,015 0,015 0,015 0.015 0,015 0,015 0,015 0,015 0,015 0.015 0,015 0,015 0.015 0,015 0,015 0,015 0,015 0,015 0,015 0,015 0,015 0,015 0,015 0,015 0,015 0,015 0,015 0,015

23,73 32.10 49,78 41,98 40.35 34,19 24.63 18,87 14,32 32,56 19,42 33,08 20,05 32,00 15,24 31,74 31,27 30.58 30.13 34,13 31,00 35,00 31,17 35,17 28,23 36.23 30.01 38,01 30,37 38,37 32,88 31.07 29,84 28.20 34.20 30.98 36.98 30,03 36,03 13,40

100 100 100 100 100 100 100 100 100 107,71 71,24 117,23 74.45 98.61 108.98 94.37 87,50 100 73,18 138,78 83,91 160.43 86.26 165.15 54.40 197,90 71,95 270,41 76,05 288,89 112,02 85,00 70,00 54,13 87,41 83.64 133,95 72,08 91,55 115.51

das E n d g u t h a b e n des R a t e n s p a r e r s n a c h s Q u a r t a l e n zu G(R,s)=A.

r s -1

(1)

r-1 u n d die S u m m e der B a u s p a r g u t h a b e n - o h n e das bereits d u r c h Z u t e i l u n g a b g e f l o s s e n e G(R, s) - zu G S ( R , s) = G ( R , s ) - s- A r-1 542

(2)

Ftir den bei Vertragsabschlul3 den Einmalsparbeitrag E leistenden Schnellsparer betr~igt nach einer Sparzeit von s(S) Quartalen das Endguthaben G(S, s(S)) = E. r slsl

(3)

r sos) - 1 GS(S, s(S)) = E . - r-I

(4)

und die Guthabensaldensumme

Ohne die Symbole R oder S bel~iuft sich mit der Darlehensgebtihr d, die dem NettoanfangsBauspardarlehen zugeschlagen wird, das Bruttoanfangs-Bauspardarlehen D(0) bei den herk6mmlichen Bauspartarifen auf D(0) = [BS- G(s)] -(1 + d),

(5)

die Grundgleichung der progressiven Tilgung, bei der die ersparten Zinsen der Tilgung zuwachsen, auf D(0).qt = B.

qt -1

(6)

q-1

und bei einer im Tarif vorgegebenen Tilgungszeit t, d.h. bei einem in Prozent des Bruttoanfangs-Bauspardarlehens festgelegten Tilgungsbeitrag (feste Prozentrate), der Tilgungsbeitrag B in Relation zur BS auf B=D(0).qt. q-1 qt -1

(7)

Im umgekehrten und weitaus mehr verbreiteten Fall eines im Tarif in Promille der BS deftnierten Tilgungsbeitrags ist t aus der ebenfalls aus (6) hergeleiteten Formel zu bestimmen: In B - ( q - I ) , D ( 0 ) In q Q_

lnQ In q

mit

B B-(q-1).D(0) "

(8) (9)

Die Saldensumme der Bauspardarlehen stellt sich auf t l

DS(t)=~D(k)= k-0 D(k)=D(0)'qk-B

t.B-D(0) q- 1

; dennesgilt

qk-1 [ qB l . q k ~ B q f ] - D ( 0 ) - -1 q-l"

(10) (11)

Die Guthabensumme GS entspricht der Sparerleistung SL und die Darlehenssumme DS der Kassenleistung KL. Der Quotient ergibt das iudividuel[e Sparer-Kassen-Leistungsverh~ltnis (iSKLV), beispielsweise far einen Ratensparer, zu iSKLV -

SL

KL

_ GS(R,

s)

(12)

DS(R, t) 543

Die mittlere Wartezeit des Bauspartarifs ist diejenige Sparzeit s, welche die Kassengleichung des statischen Beharrungszustands erfi.illt; das ist ftir ein Ratensparerkollektiv GS(R, s) -

G(R,s)-s.A r-1

-

t.B-D(R,0) q-I

- DS(R, t)

(13)

und ftir einen reinen Schnellsparerbestand GS(S, s(S)) = E.

r~/s)-I r-1

t(S).B(S)-D(S, 0) = DS(S, t(S)). q-I

(14)

Im statischen Beharrungszustand nimmt das iSKLV den Weft 1 bzw. 100% an; es ist < 1 ftir s, die kleiner, und > 1 ftir s, die gr6ger als die mittlere Wartezeit sind. Wenn die Bewertungszahl als Summe der an den durchlaufenen Quartalsenden vorhandenen Prozentguthaben definiert ist, k6nnen far die Bausparsumme (BS) = 100 bei erftillter Kassengleichung die Guthabensummen GS (R, s) und GS (S, s(S)) zugleich als Zielbewertungszahlen interpretiert werden. Beenden alle Ratensparer die Sparzahlungen A pro Quartal bei dem Anspargrad AS, ist zun~ichst die eigentliche Sparzeit s (1) bis dahin aus der Gleichung s(1)= InIAS'(r-1)A +11 (16) In r und die unbekannte restliche Sparzeit s(2) aus der modifizierten Kassengleichung SL = G(R, s(1) + s ( 2 ) ) - s(l). A _ t. B - D(R, 0) _ KL r-I q-I

(17)

zu bestimmen. Das Endguthaben bei Zuteilung betrfigt dann G(R, s(1) + s(2)) - A . ( r s~l)-l) r-1

rS(2 ) =AS.rS(2).

(18)

Sind Raten- und Schnellsparer mit den Anteilen a(R) und a(S) in einem Bausparkollektiv vereint, mtissen unbedingt tibereinstimmende Zielbewertungszahlen ftir die Zuteilungen herangezogen werden, weil die beiden Teilbest~inde unterschiedlich hohe Sparerleistungen erbringen. Aus der Forderung SL(R) = GS(R, s(R)) = GS(S, s(S)) = SL(S)

(19)

ergibt sich verm6ge (4) die Sparzeit der Schnellsparer zu lnIGS(R's(R))'(r-1) s(S) =

1+1

E In r

(20)

und die Kassengleichung zur Berechnung des unbekannten s(R), von dem alle weiteren Gr613en abh~ingen, zu S L = [1 - a(S)] - GS(R, s(R)) + a(S). GS(S, s(S)) = [1 - a(S)] • DS(R, t(R)) + a(S). DS(S, t(S)) = KL. 544

(21)

Wegen der tibrigen Formeln ftir den statischen Beharrungszustand sei auf [1] verwiesen. Das gilt auch fur die bauspartechnischen Kennzahlen der Tabelle 1, die im folgenden ohnehin ftir den dynamischen Beharrungszustand nochmals im einzelnen hergeleitet werden.

I l I . D e r d y n a m i s c h e B e h a r r u n g s z u s t a n d des r e i n e n K o l l e k t i v s ohne wartezeitbestimmende F a k t o r e n d r i t t e r Art 1. Reine Ratensparerbestiinde Nimmt das Neugesch~ift einer Bausparkasse dauernd geometrisch zu, bildet sich ebenfalls ein Beharrungszustand heraus, der freilich von relativer Natur ist, weil nunmehr die Umsatz- und die Bestandsgr6gen nicht konstant sind, sondern periodisch mit der Progressionsrate p zunehmen. Auch ohne Berechnungen lfigt sich sagen, dab im dynamischen Beharrungszustand die mittleren Wartezeiten ktirzer und die Zielbewertungszahlen niedriger ausfallen als im statischen; denn der ,,Nachschub" an BS neuer Sparer nimmt ein h6heres Niveau ein als die BS der Darlehensnehmer aus frtiher beigetretenen Zugangsgruppen, deren Bauspardarlehen dutch die Bausparguthaben der jtingeren nicht zugeteilten Bausparvertr/~ge refinanziert werden. Wie sich die H6henlagen der einzelnen Vertr~ige, welche die Sparzeit s und die Tilgungszeit t durchlaufen, darbieten, ist aus der nachstehenden Skizze zu ersehen, ftir die - ohne Einschr~inkung der Allgemeingtiltigkeit - angenommen ist, dab das gerade vollst~indig getilgte Bauspardarlehen D(t) = 0 die H6he pO = 1 aufweist. 0 pO

1 pJ

t-1

t

t+l

t+2

t+3

p2 ... pt 2 ptl

2...t-2

pt

pt+l

pt+2

pt+3 ... pt+S-2

...t+s-2

D(t) D(t-1) D(t-2)...D(2) D(1) D(0) G(s-1) G(s-2) G(s-3)... G(2)

t+s-I

t+s

pt+S-I pt+S G(1)

G(0)

Somit betr~igt im Ratenspartarif das Bausparguthaben nach einer Sparzeit yon k Quartalen G(R, k, p) = A. r k - 1 . pt+s k r-1 und die Summe der Bausparguthaben P'+' [ p s - r ~ GS(R,s,p)=A.r_I. p r

(22)

PS-1] p-1 J

(23)

Da das Bauspardarlehen D(k, p) mit einer bereits zurfickgelegten Tilgungszeit von k Quartalen die HOhenlage pt k aufweist, errechnet sich die Summe der Bauspardarlehen im dynamischen Beharrungszustand nach einigen Umformungen (vgl. [3]) zu

t 1

p

[

1

DS(R, t, p) = Y D(k, p)= • D(0). pt - B . p t - I 0 p-q p-1 J

(24)

Ftir p = r und p = q nehmen (23) und (24) die Gestalt an GS(R,s,r)=

DS(R,t,q)=

A .rS+l.ls . r s - l _ r s - I 1 r-I _ r - l J und . q. q~_l - t

.

(25) (26)

545

Die Kassengleichung des dynamischen Beharrungszustands lautet dann GS(R, s, p) = DS(R, t, p).

(27)

Die mittlere Wartezeit s ergibt sich aus der Nullstelle der Funktion F(R, s, t, p) = GS(R, s, p) - DS(R, t, p).

(28)

Setzt man ffir die H6henlage pO = 1 die BS = 1, so stellt sich der Summenbestand der nicht zugeteilten Bausparvertr~ige auf SNZBS = pt+l . pS _ 1 p-l'

(29)

derjenige der zugeteilten Vertr~ge auf pt - 1 SZBS = p. - p-1

(30)

und die Bausparsumme des Gesamtbestandes auf SBS = SNZBS + SZBS.

(31)

Was die Umsatzgr/SBen angeht, gelten die Formeln fCir die Summe der Sparbeitr~ige SSP = A. pt

pS _ 1 p-1

A. SNZBS p

(32)

die Summe der Guthabenzinsen beim Ratensparer SGZ = A ' p t "IP-p-r-S r

PS---1 ] - GS(R' s' p)" ( r - 1) p-lJ p

(33)

und, ausgehend von dem Tilgungsbetrag (reine Tilgung ohne Darlehenszinsen) des Bauspardarlehens im k-ten Quartal TB = [B - (q-l) • D(0)] • qk-l. pt-k,

(34)

die Summe der Tilgungsbetr~ge pt STB = [ B - ( q -

qt

1)-D(0)].

,

(35)

P q die an der Stelle p = q den Wert annimmt STB(q) = [B - (q - 1). D(0)] • t. qt-J.

(36)

Entnommen werden aus der Zuteilungsmasse (gerechnet mit den statischen Werten G(R, s) und D(0)) einerseits die zugeteilten, ausgezahlten Bausparguthaben ZBG = G(R, s) • pt

(37)

und andererseits die zugeteilten, ausgezahlten Bauspardarlehen ZBD = D(0)- pt.

(38)

Ohne Berficksichtigung von auBerkollektiven Mitteln und von Tr~gheits- oder Fortsetzerreserven lauten dann die Zuflfisse zur Zuteilungsmasse ZZM = SSP + SGZ + STB 546

(39)

und die Entnahmen daraus EZM = ZBG + ZBD.

(40)

Aus den Umsatzgr6gen kann ebenfalls eine Kassengleichung ZZM = EZM

(41)

aufgestellt werden, die, wie in [3] nachgewiesen, beztiglich des sie 16senden s dasselbe Ergebnis liefert wie die Gleichung (27) ftir die Bestandsgr6Ben. Numerische Auswertungen ftir Ratenspartarife mit verschiedenen Zinsebenen sowie Sparund Tilgungsbeitr~igen sind aus Tabelle 2 zu entnehmen. Ftir die dort weiter aufgeftihrten bauspartechnischen Kennzahlen ist vorweg zu bemerken, dab auch unter dynamischen Voraussetzungen das iSKLV aus den statischen Guthaben- und Darlehenssummen, jedoch gerechnet mit den s und t des dynamischen Beharrungszustandes, zu ermitteln ist. Soweit sich die Kennzahlen nicht von selbst verstehen, wie bei den Prozentanteilen der Zuftihrungen zur und der Abflfisse aus der Zuteilungsmasse, betragen der durchschnittliche Anspargrad der nicht zugeteilten Bausparvertr~ige in Prozent ASN = 100- GS(R, s, p) SNZBS

(42)

der prozentuale Anlagegrad der Bausparguthaben in Bauspardarlehen ALG = 100. DS(R, t, p) GS(R, s, p) '

(43)

ZG = 100. SZBS SBS '

(44)

der Zuteilungsgrad in Prozent

die prozentuale j~ihrliche Sparintensitfit I SI=400.

SSP SNZBS '

(45)

und die j~ihrliche Tilgungsintensittit I in Prozent TI = 400.

STB DS( R, t, p) "

(46)

Mittels der Summe der Tilgungsbeitr~ige (Zins- und Tilgungsraten) SZT -

B.SZBS

(47)

und der Summe der Darlehenszinsen SDZ = DS(R, t, p)- (q - l) P

(48)

kann man den prozentualen Tilgungsanteil der Tilgungsbeitrfige zu TA = 100 STB SZT

(49) 547

Tabelle 2. Bauspartechnische Kennzahlen for den dynamischen Beharrungszustand yon reinen Ratensparbest~inden bei verschiedenen Zinsebenen sowie unterschiedlichen Spar- und Tilgungsbeitr~igen (Quartalsprogression 1% und 2%; Anlagegrad 100%; Darlehensgeb0hr 2%) Position

r q p A l+d B s rs (r~-I)/(r-l) G(R, s) D(R, 0) Q t stat. GS=SL=ZielBZ p~ (p~-r~)/(p-r) (~-l)/(p-l) pdyn. GS (pt-1)/(p--l) dyn. DS dyn. GS - dyn. DS stat. DS iSKLV SNZBS SZBS SBS Anspargrad Anlagegrad Zuteilungsgrad Sparbeitr~ige Guthabenzinsen B - (q-1)-D(R, 0) qt (pt~lt)/(p~l) Tilgungsbetr~ge Sparintensit~it I jfihrl. Tilggsintensit~it I j~ihrl. Summe Tilggsbeitr~ige Tilggsanteil TiB Zufltisse ZMasse Anteil Sparbeitr. Anteil Tilggsbetr. Anteil Zinsen Zuget. Guthaben Zuget. Darlehen Entnahmen ZM Anteil Guthaben Anteil Darlehen SL in zuget. BG KL in zug. BD kSKLV Diff Zufl.-Entn. ZM Darlehenszinsen Tilggsbetr~ige als Diff. Rekursiv berechn. GS Rekursiv berechn. DS Altern. rekurs, ber. DS

548

Einheit

Qu.

Qu. %

%

% % %

% % % % % %

% % %

Fall 1

2

3

4

5

6

1,005 1,005 1,0075 1,0075 1,01 1,01 1,01 1,01 1,0125 1,0125 1,015 1,015 1,01 1,02 1,01 1,02 1,01 1,02 0,021 0,021 0,015 0,015 0,009 0,009 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 0,024 0,024 0,018 0,018 0,012 0,012 22,9209 22,1209 3 0 , 7 4 3 8 29,3650 47, I 165 44,2149 1,1211 1,1166 1,2582 1,2453 1,5981 1,5526 24.2219 23,3291 3 4 . 4 3 2 7 3 2 , 7 1 3 2 5 9 , 8 1 1 4 55.2634 0,5087 0,4899 0,5165 0,4907 0.5383 0.4974 0,5012 0,5203 0.4932 0,5195 0,4709 0.5127 1.2639 1,2768 1.5209 1,5643 2.4311 2.7844 23.5398 24,5571 33,7523 36,0208 59,6660 68,7789 5 4 6 , 4 3 0 2 507,4272 737,7825 669,6358 1142,5474 994,3657 1,2562 1,5497 1.3579 1,7887 1,5981 2,4002 27,0128 28,8694 3 9 , 8 4 6 5 43,4702 p=r! 84.7612 25,6174 2 7 , 4 8 4 3 3 5 , 7 8 6 2 39,4363 5 9 , 8 1 1 4 70,0123 1.2639 1,6263 1,3991 2,0407 1,8107 3.9040 7.4819 9,6498 11.4754 1 6 , 7 9 3 4 24,2614 52,8582 26,3934 3 1 , 3 1 4 1 3 9 , 9 1 2 4 52,0364 81,0670 145.2001 7,4820 9,6494 11.4755 16.7933 2 4 , 2 6 0 8 52,8584 -0,0001 0,0004 -0,0001 0,0001 0,0006 -0.0003 6,3789 6,9081 9,1490 10.3109 1 6 , 3 3 7 4 20,8443 85.6618 73,4544 80,6411 64.9447 69,9344 47,7045 32.7024 45,5912 50,5700 8 2 , 0 8 8 3 109,3817 278,7947 26,6573 31,9403 40,3115 53,0771 81,8776 148,1041 59,3598 7 7 , 5 3 1 5 9 0 , 8 8 1 5 135,1655 191,2594 426.8988 22,8788 21,1659 22,6921 20,4577 2 2 , 1 8 0 5 18,9595 1 0 0 , 0 0 1 2 99,9957 100,0007 99.9991 99,9974 100,0005 44,9081 4 I, 1966 44,3561 39.2683 42,8097 34,6930 0,6800 0,9386 0,7510 1.2072 0,9747 2,4600 0,0370 0,0473 0,0852 0,1235 0,2402 0,5182 0,0190 0,0188 0,0118 0.0115 0,0049 0,0043 1,2639 1.2768 1,5209 1,5643 2,4311 2.7844 p = q! 3 4 , 9 4 8 8 48,7019 6 3 . 5 1 7 3 124,0864 223,9263 O,5594 0,6569 0,5764 0.7309 0,6125 0,9651 8,3168 8,2353 5,9406 5,8824 3,5644 3,5294 29,9044 27,2322 20.0916 17.4083 1 0 , 0 9 8 5 7,3031 0,6334 0,7515 0,7184 0,9367 0,9728 1,7424 88.3053 8 7 , 4 1 2 2 8 0 . 2 3 1 3 78.0282 62,9618 55,3874 1,2764 1,6429 1.4127 2.0615 1,8274 3,9432 53,2730 57,1339 53,1652 58,5579 53,3376 62,3840 43,8250 3 9 , 9 8 6 8 40,8027 35,4523 3 3 , 5 1 7 3 24,4741 2,9020 2,8793 6,0321 5,9898 13,1451 13,1419 0,6429 0.7967 0,7226 1,0014 0,9747 1,9417 0,6334 0.8461 0,6900 1,0601 0,8527 2,0015 1,2764 1,6429 1,4127 2,0615 1,8274 3,9432 50,3710 48,4963 51,1544 48,5750 5 3 , 3 3 7 8 49,2421 49,6290 5 1 , 5 0 3 7 48,8456 51,4250 46,6622 50,7579 6,9065 8,2522 10,3225 1 3 , 6 6 5 4 2 0 , 6 8 7 8 38,8201 8,0625 1 1 . 2 3 4 4 1 2 , 8 0 0 5 21,0416 2 9 , 5 8 1 7 81,3762 85,6618 73.4544 80,6411 64,9447 69,9344 47,7045 -0,0000 0,0000 -0,0000 0,0000 0,0000 -0,0000 0,0741 0,0946 0,1420 0,2058 0,3603 0,7773 0,5594 0,6569 0,5764 0,7309 0,6125 0,9651 7,4819 9.6498 1 1 , 4 7 5 4 1 6 , 7 9 3 4 24,2614 52,8582 7,4820 9,6494 11,4755 16,7933 2 4 , 2 6 0 8 52,8584 7,4820 9,6494 11,4755 16,7933 2 4 , 2 6 0 8 52,8584

und die T i l g u n g s s u m m e alternativ auch nach STB = SZT - SDZ

(50)

berechnen. Ferner lassen sich rekursiv ermitteln die G u t h a b e n s u m m e aus G S ( R , s , p). r

G S ( R , s, p) =

+ SSP - Z B G ,

(51)

DS(R, t, p ) = DS(R, t, p ) . q + Z B D - SZT P

(52)

die Darlehenssumme ,,brutto" aus

oder ,,netto" aus DS(R, t, p) -

DS(R, t, p)

+ ZBD - STB.

(53)

Einfache U m f o r m u n g e n yon (5 l) bis (53) zeigen, wie sich das Anwachsen der Guthabenund der Darlehensbest~inde dutch die Progression pro Quartal (bier ftir das n~ichste) zusammensetzt: GS(R, s, p) • (p - 1) = GS(R, s, p) • i + p • SSP - p • Z B G , DS(R, t, p) • (p - 1) = DS(R~ t, p) • j + p • ZBD - p - SZT

(54) oder

DS(R, t, p) - (p - 1) = DS(R, t, p) + p - Z B D - p - S T B .

(55) (56)

Schliel31ich bel~iuft sich - mit den statischen G u t h a b e n - und Darlehenssummen, d.h. denjenigen s gerechnet, die sich ftir das jeweilige p ergeben - die kollektive Sparerleistung auf kSL = pt. GS(R, s),

(57)

kKL = pt. DS(R, t)

(58)

die kollektive Kassenleistung auf

und somit das kollektive SKLV auf kSKLV-

kSL _ G S ( R , s ) kKL DS(R, t)

iSKLV.

(59)

Die Gleichheit von kollektivem SKLV nach (59) und individuellem SKLV nach Formel (12), dieses gerechnet mit dem s des dynamischen Beharrungszustandes, gilt allerdings nur in den Ffillen homogener Best~inde (mit gleichartigem Spar- und Tilgungsverhalten) mit dem Anlagegrad 100%, wie er den Tabellen 2 bis 4 zugrunde liegt. Wie sich der bauspartechnische Status theoretisch verbessern k6nnte, ist im Beispiel des 3%/5%-Zinsniveaus und der Kombination A = 0,015/B = 0,018 an den nachstehenden Kennzahlen abzulesen: Quartalsprogression des Neuzugangs

Mittlere Wartezeit Quartale

Zielbewertungszahl

Individuelles SKLV in %

0% 1% 2%

32,10 30,74 29,36

808,4 737~8 669,6

100 80,6 64,9 549

Tabelle 3. Bauspartechnische Kennzahlen fiir den dynamischen Beharrungszustand von 3%/5%Ratensparbest~nden bei Sparzahlungsstopp ab Erreichen bestimmter Anspargrade (Quartalsprogression 1% und 2%; Anlagegrad 100%; Darlehensgebiihr 2%) Position Stopp bei r q p A 1+d B R--0,01. Stopp.(r-1)/A+l s( 1) s(2) s = s(1)+s(2) r~2~ G(R, s) D(R, 0) Q t stat.GS=SL=ZielBZ p~ rs (p~-r~)/(p--r) (p~-1 )/(p- 1) _s~z) P s- ~ (p~2)-r:~'~)/(p-r) (pS~2)-l)/(p-1) pt dyn. GS (pt-l)/(p-I) dyn. DS dyn. GS - dyn. DS stat. DS iSKLV SNZBS SZBS SBS Anspargrad Anlagegrad Zuteilungsgrad p~U (p~(i)_ I )/(p- 1) SNZBS(A) Sparbeitr~ige Guthabenzinsen B - (q-l). D(R,0) qt (pt_qt)/(p_~) Tilgungsbetr~ige Sparintensit~it I jS,hrl. Tilggsintensit~it I j~ihrl. Summe Tilggsbeitrage Tilggsanteil TiB Zufliisse ZMasse Anteil Sparbeitr. Anteil Tilggsbetr. Anteil Zinsen Zuget. Guthaben 550

Einheit %

Qu. Qu. Qu.

Qu. %

%

% % %

% % % % % %

Fall 1

2

3

4

5

6

40 40 45 45 50 50 1,0075 1,0075 1,0075 1,0075 1,0075 1,0075 1,0125 1,0125 1,0125 1,0125 1,0125 1,0125 1,01 1,02 1,01 1,02 1,01 1,02 0,015 0,015 0,015 0,015 0,015 0,015 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 0,018 0.018 0,018 0,018 0,018 0,018 1,2000 1,2000 1,2250 1,2250 1,2500 1,2500 24,4006 24,4006 27,1601 27,1601 29,8639 29,3649 12,7117 8,8700 6,7073 3,7251 1,5482 0,0000 3 7 , 1 1 2 3 33,2706 3 3 , 8 6 7 5 30,8852 31,4121 29,3649 1,0996 1,0685 1,0514 1,0282 1,0116 32,7131 0,4399 0,4274 0,4731 0,4627 0,5058 0,4907 0,5713 0,5840 0,5374 0,5480 0,5041 0,5195 1,6577 1,6823 1,5954 1,6144 1,5386 1,5643 40,6886 41,8738 3 7 , 6 0 3 5 38,5576 3 4 , 6 8 3 3 36,0209 984,6228 818,6680 876,3418 737,3246 771,4547 669,6330 1,4467 1,9326 1,4007 1,8434 1,3669 1,7887 1,3196 1,2822 1,2880 1,2596 1,2645 1,2453 50,8500 52,0265 45,1081 46,7055 40,9508 43,4701 44,6692 46,6279 40,0728 42,1697 3 6 , 6 9 2 1 39,4362 1,1348 I, 1920 1,0690 1,0766 1,0155 1,0000 14,0776 9,8798 7,0493 3,8664 1,5556 13,4833 9,6010 6,9018 3,8278 1,5524 1,4991 2,2915 1,4538 2,1459 1,4121 2,0407 16,9t70 23,9335 14,3534 19,6863 1 2 , 1 3 8 9 16,7934 49,9100 64,5755 45,3780 57,2931 41,2145 52,0366 16,9169 23,9334 14,3534 19,6863 1 2 , 1 3 8 9 16,7934 0,0001 0,0001 0,0001 0,0000 0,0000 -0,0000 12,8838 13,5748 1 1 , 1 5 6 2 11,6794 9,6186 10,3109 76,4233 6 0 , 3 0 7 7 7 8 , 5 5 1 9 63,1306 80,2044 64,9441 67,6332 108,9854 5 8 , 8 3 9 7 92,3002 5 2 , 3 3 2 7 82,0883 50,4091 65,8670 45,8318 58,4390 41,6266 53,0773 118,0423 174,8524 104,6714 150,7392 93,9594 135,1656 25,0129 2 1 , 9 6 0 3 2 4 , 3 9 4 2 21,3286 2 3 , 1 9 5 7 20,4577 99,9996 9 9 , 9 9 9 7 99,9993 100,0000 99,9998 100,0000 42,7043 37,6701 43,7863 38,7683 44,3028 39,2684 1,2748 1,6212 1,3103 1,7123 1,3460 1,7887 27,4806 31,0624 31,0295 35,6154 3 4 , 6 0 2 5 39,4362 47,2183 86,5446 48,7057 83,9220 5 0 , 1 1 8 5 82,0883 0,7013 1,2727 0,7234 1,2341 (I,7443 1,2072 0,1256 0,1760 0,1066 0,1448 0,0901 0,1235 0,0109 0,0107 0,0113 0,0111 0,0117 0,0115 1,6577 1,6823 1,5954 1,6144 1,5386 1,5643 63,4558 81,2244 56,6515 70,8576 50,5700 63,5176 0,6890 0,8691 0,6392 0,7900 0,5916 0,7309 4,1474 4,6711 4,9174 5,3484 5,6892 5,8824 16,2917 14,5246 17,8122 16,0522 1 9 , 4 9 5 2 17,4082 0,8984 I. 1624 0,8168 1,0313 0,7419 0,9367 76,6950 74,7667 78,2518 76,6063 79,7490 78,0281 1,5159 2,3178 1,4691 2,1689 1.4261 2,0615 46,2605 5 4 , 9 1 1 5 49,2377 56,9014 52,1936 58,5578 45,4525 37,4957 43,5071 3 6 , 4 2 4 7 41,4856 35,4524 8,2869 7,5928 7,2551 6,6739 6,3208 5,9898 0,6594 0,9794 0,6878 0,9929 0,7143 1,0014

Tabelle 3. (Fortsetzung) Position

Einheir

Zuget. Darlehen Entnahmen ZM Anteil Guthaben % Anteil Darlehen % SL in zuget. BG KL in zug. BD kSKLV % Diff Zufl.-Entn. ZM Darlehenszinsen Tilggsbetr~igeals Diff. Rekursiv berechnete GS Rekursiv berechnete DS Altern. rekurs, bet. DS

Fall 1

2

0,8565 1,5159 43,4982 56,5018 14,7605 19,3141 76,4233 0,0000 0,2094 0,6890 16,9170 16,9169 16,9169

3

1,3383 2,3178 42,2570 57,7430 18,7599 31,1069 60,3077 (1,0000 0,2933 0,869 t 23,9335 23,9334 23,9334

4

0,7813 1,4691 46,8194 53,1806 12,7401 16,2187 78.5519 0,0000 0,1776 0,6392 14,3534 14,3534 14,3534

1,1760 2,1689 45,7782 54,2218 15,8220 25,0623 63,1306 0,0000 0,2413 0,7900 19,6863 19,6863 19,6863

5

6

0,7118 1,4261 50,0867 49,9133 10,8941 13,5829 80,2044 0,0000 0,1502 0,5916 12,1389 12,1389 12,1389

1,060 l 2,0615 48,5748 51,4252 13,6654 21,0418 64,9441 -0,0000 0,2058 0,7309 16,7934 16,7934 16,7934

Den Bausparkassen ist es allerdings untersagt, Progressionseffekte an die Bausparer in Gestalt erm~ifSigter Zielbewertungszahlen weiterzugeben. Das gilt nicht for die wartezeitverktirzenden Momente dritter Art, die erst sp~iter ins Kalktil gezogen werden.

2. Abweichendes Sparverhalten a) Vorzeitiger Ratenstopp Im Fall des vorzeitigen Ratenstopps ist auch unter dynamischen Verh~iltnissen zunachst die eigentliche Sparzeit s(l ) nach ( ! 6) zu bestimmen. Unbekannt und zu ermitteln ist wieder die restliche Sparzeit s(2), in der das Bausparguthaben nut noch verzinst wird. Die Tilgungszeit t h~ingt von dem im Zeitpunkt s = s(l) + s(2) erreichten Bausparguthaben ab (und braucht nicht auf das t bei bis zur Zuteilung durchgehenden Sparbeitr~igen transformiert zu werden, weil angenommen ist, dass alle Bausparer zur Zeit s(l) ihre Sparzahlungen beenden). Die Summe der Bausparguthaben im dynamischen Beharrungszustand ergibt sich aus GS(R, s(1), s(2), p) = rA_~ • p t+i

r

p-1

p-r

p-i-

"

(60)

Darin ist von GS(R, s, p) wegen tier nach Erreichen des Bausparguthabens GfR, s(1)) ausfallenden Sparbeitr~ige GS(R, s(2), p) mit der zutreffenden H/3henlaage abgezogen. Nattirlich kann man zu (60) auch gelangen, wenn man zu GS(R, s(1), p) • p's(2) - den nur auf dem Zinszuwachs beruhenden, nach (61) zu berechnenden Teil GS(G(R, s(1), p), s(2), p) addiert. Die Kassengleichung in den Bestandsgr613en ist mit der entsprechend ge~inderten Darlehenssumme in Analogie zu (27) aufzustetlen. Wieder ftir den 3%/5%-Bauspartarif und den Sparstopp bei Anspargraden von 40%, 45% und 50% sind einige Beispielsf~ille mit p = 1,01 und p = 1,02 durchgerechnet. Im dynamischen Beharrungszustand kann es eher geschehen als im statischen, dab der gedachte Anspargrad, bei dem die Sparzahlungen aufh6ren, gar nicht erreicht wird. Dann ist nattirlich die Guthabensumme nach (23) zu bestimmen (vgl. Fall 6 der Tabelle 3). Die Verl~ngerung 551

Tabelle 4. Bauspartechnische Kennzahlen ftir den dynamischen Beharrungszustand von reinen Einmalsparbest~inden auf 3%/5%-Zinsniveau bei unterschiedlichen Einmalsparbeitragen und 6%o-Tilgungsbeitr~igen (Quartalsprogression 1% und 2%; Anlagegrad 100 %; Darlehensgeb0hr 2 %) Position E r q p 1+d B(S) s(S) r s~s) G(S. s(S)) D~S, 0) Q t (r~S)-I)/(r-l) stat.GS=SL=ZielBZ t dyn. GS (pt-1)/fp-l) dyn. DS dyn. GS - dyn. DS stat. DS iSKLV (pSlSl-l)/(p-1) SNZBS SZBS SBS Anspargrad Anlagegrad Zuteilungsgrad Sparbeitr~ge Guthabenzinsen B(S) - (q-1).D(S,0) q~ (p'--qt)/(p~l) Tilgungsbetr~ige Sparintensit~it I j~ihrl. Tilggsintensit~it ] j~ihrl. Summe Tilggsbeitrfige Tilggsanteil TiB Zuflfisse ZMasse Anteil Sparbeitr. Anteil Tilggsbetr. Anteil Zinsen Zuget. Guthaben Zuget. Darlehen Entnahmen ZM Anteil Guthaben Anteil Darlehen SL in zuget. BG KL in zug. BD kSKLV Diff Zufl.-Entn. ZM Darlehenszinsen Tilggsbetrage als Diff. Rekursiv berechnete GS Rekursiv berechnete DS Altern. rekurs, ber. DS 552

Einheit %

Qu. %

%

% % %

% % % % % %

% % %

Fall 1 40 1,0075 1,0125 1,01 1,02 0.018 20,9791 1.1697 0,4679 0,5428 1,6049 38.0819 22.6281 905.1234 1,4607 1,2321

2

3

4

5

6

40 45 45 50 50 1.0075 1.0075 1,0075 1,0075 1,0075 1,0125 1,0125 1,0125 1,0125 1,0125 1,02 1,01 1,02 1,01 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 0,018 0,018 0,018 0,018 0,018 18,0963 16.3531 14,3309 1 2 . 6 2 1 8 11,2265 1,1448 1,1300 1,1130 1,0989 1,0875 0.4579 0,5085 0,5009 0,5495 0,5438 0,5529 0,5013 0,5091 0,4596 0,4654 1,6233 1,5341 1,5469 1,4687 1,4775 38,9995 34,4495 35,1193 30,9436 31,4223 19,3046 17.3292 15,0699 1 3 , 1 8 6 8 11,6671 772,1822 779,8161 678,1452 659,3378 583,3573 2.1647 1,4089 2.0046 1.3606 1,8631 1,4310 1,1767 1,3282 1,1338 1,2490 2,04 14.7356 20,2212 1 1 , 9 7 0 6 15,8356 9,5966 12,2734 46,0717 58.2362 40.8864 50,2310 36.0564 43.1552 14.7356 2 0 , 2 2 1 2 1 1 , 9 7 0 4 15,8356 9,5963 12,2734 -0,0000 0.0000 0.0002 0,0000 0,0003 0,0000 11,4173 11.9251 9,4997 9.8420 7,7939 8,0182 79.2768 64,7529 8 2 , 0 8 8 2 68,9030 8 4 , 5 9 6 1 72.7541 23.2136 21,5487 17,6706 16,4077 1 3 , 3 8 1 8 12.4482 34.2476 47,5799 25.1444 33,5490 1 8 , 3 8 8 9 23,6562 46,5324 59,4009 41.2953 51,2356 36.4169 44,0183 80,7800 106,9808 66,4396 84,7846 54.8059 67,6744 43,0268 42,4994 4 7 , 6 0 7 5 47,2014 52,1868 51,8824 1 0 0 , 0 0 0 0 99,9999 99,9982 100,0000 99,9970 99,9999 57,6039 55,5248 62,1546 60,4303 66,4472 65,0442 0.7199 1,2391 0,7460 1,1981 0.7713 1.1635 0.1094 0,1487 0,0889 0,1164 0.0713 0.0902 0.0112 0,0111 0,0117 0,0116 0.0123 0.0122 1,6049 1,6233 1,5341 1,5469 1,4687 1,4775 57,6806 7 2 , 1 8 7 5 50,0978 61,0257 43,2662 51,4153 0,6469 0,8004 0.5878 0,7101 0,5302 0,6264 8.4084 10,4167 11.8678 14.2848 16,7778 19.673I 17,5606 15,8338 1 9 . 6 4 2 0 1 7 , 9 3 6 6 22.1022 20,4144 0,8293 1,0483 0,7360 0,9042 0.6490 0,7768 78,0087 7 6 , 3 5 9 8 79,8699 78,5365 81,7006 80.6372 1.4763 2,1882 1.4227 2,0246 1,3728 1,8801 48,7665 56,6250 52.4362 59,1762 5 6 . 1 8 4 5 61.8835 43,8214 36,5801 41,3158 35,0727 38.6246 33.3164 7.4122 6.7949 6,2480 5,7511 5,1909 4,8000 0,6834 0.9913 0,7164 1,0040 0,7476 1,0131 0,7928 1,1969 0,7063 1,0206 0.6253 0,8670 1,4763 2,1882 1,4227 2,0246 1,3728 1,8801 46,2957 45,3002 50,3536 49,5910 5 4 . 4 5 4 3 53.8835 53.7043 54,6998 49,6464 50,4090 45,5457 46,1165 13.2213 16,7156 10,9865 13,5942 8,9707 10,8685 16,6774 25,8145 13,3838 19,7295 1 0 . 6 0 4 2 14.9388 79,2768 64,7529 8 2 , 0 8 8 2 68,9030 84,5961 72,7541 -0,0000 0,0000 0,0000 0.0000 0.0000 0.0000 0,1824 0,2478 0.1481 0.1941 0,1188 0,1504 0,6469 0.8004 0,5878 0,7101 0.5302 0.6264 14,7356 20,2212 1 1 , 9 7 0 6 15,8356 9,5966 12,2734 14,7356 20.2212 11.9704 15,8356 9,5963 12,2734 14,7356 2 0 , 2 2 1 2 1 1 . 9 7 0 4 15.8356 9,5963 12.2734

der Wartezeiten und die Erh6hung der Zielbewertungszahlen, die aus einem generellen Sparzahlungsstopp resultieren, sind im Falle der Regelsparbeitr~ige von 5%0 und der Tilgungsbeitr~ige yon 6%0 der BS monatlich wie folgt einzusch~itzen: Quartalsprogression des Neuzugangs

kein Stopp

0% 1% 2%

32,10 30,74 29,36

Mittlere Wartezeit Sparzahlungen bis 50% 45% 40% 34,19 31,41

40,35 33,87 2 9 , 3 6 30,89

kein Stopp

41,98 37,11 33,27

Zielbewertungszahl Sparzahlungen bis 50% 45% 40%

808,4 737,8 669,6

913,3 771,5

1014,7 876,3 6 6 9 , 6 737,3

1201,3 984,6 818,7

b) EinmaIspartarife Fiir den Schnellsparer, der den Einmalsparbeitrag E vorschtissig im Quartal des Vertragsabschlusses leistet, belauft sich die Habensaldensumme auf ps(S) _ rS(S)

GS(S, s(S), p) = E. pt/S)+l .

(61)

p-r

bzw. an der Stelle p = r auf GS(S, s(S), r) = E. s(S) • r tls)+~ls),

(62)

der (Einmal-)Sparbeitrag auf SSP(S) = E • pt(S~+slS)

(63)

die Summe der Guthabenzinsen auf SGZ(S) = ( r - 1). E. ptISI

p~S~ - r~S) _ GS(S, s(S), p ) . ( r - 1) p-r p

(64)

und das zugeteilte Bausparguthaben auf ZBG(S) = E • ¢lsl. ptCS)

(65)

Die darlehensseitigen Werte D(0, S, t(S), p) und DS(S, t(S), p) sind mit den ftir die S geltenden s(S) und t(S) nach (5) und (24) zu bestimmen. Ftir Bausparbest~inde auf 3%/5%Zinsbasis, die ausschlieglich aus Schnellsparern bestehen, gehen die mittleren Wartezeiten, die Zielbewertungszahlen und weitere Kennzahlen aus Tabelle 4 hervor. Sie brauchen hier schon deswegen nicht n~iher untersucht zu werden, weil die Schnellsparvorg~inge im deutschen Bausparen nach der BS auf 30% des Neugeschfifts und auf 15% des nicht zugeteilten Summenbestands kontingentiert sind.

c) Mischung yon Raten- und Schnellsparern Aussagekrfiftiger sind daher die Untersuchungen von Bausparkollektiven, die aus Ratenund Schnellsparern (R und S) zusammengesetzt sind. Zunachst ist dazu die Verkntipfung der Sparzeiten der Schnellsparer s(S) mit denen der Ratensparer s(R) nach Formel (20) herzustellen. Die Kassengleichung ffir den statischen Beharrungszustand kann jedoch nicht in einfacher Weise sinngem~ig auf den dynamischen Beharrungszustand tibertragen werden. Vielmehr ist der im allgemeinen ktirzeren Gesamtlaufzeit s(S) + t(S) der S gegentiber derjenigen s(R) + t(R) der R dadurch Rechnung zu tragen, dab man durch die Niveauverschie553

Tabelle 5. Bauspartechnische Kennzahlen fiir den dynamischen Beharrungszustand von 3%/5%-Bausparbest~inden, die aus Raten- und Einmalsparern mit unterschiedlichen Spar- und Tilgungsbeitriigen zusammengesetzt sind (Anlagegrad 100%; Darlehensgebtihr 2%; Tilgungsbeitrag B vorgegeben) Position r q p Anteil Einmalsparer A(R) 1+d B(R) E B(S) s(R) rS (F-I)/(r-I) G(R, s(R)) D(R,0) Q(R) t(R) stat.GS(R)=ZielBZ p~ (p~-r~)/(p-r) (p~-I)/(p-1 ) pt dyn.GS(R) GS(R)-(r-I)/E (stat.) s(S) r S~s) (rs(S~-l)/(r-l) G(S, s(S)) D(S. 0) Q(S) t(S) stat.GS(S)=ZieIBZ p~S~ (p~S)-r~(S~)/(p-r) p(-tqs~ p~O~>~(s~+um-~s~ dyn.GS(S) dyn. GS insges. stat. DS(R) (pt-l)/(p-l) Eckige Klammer DS(R) dyn. DS(R) stat. DS(S) (pUS~-l)/(p-1) Eckige Klammer DS(S) dyn. DS(S) dyn. DS insges. GS - DS 0e insges, dyn.) iSKLV(R) iSKLV(S) SNZBS(R) (p~CS~-l)/(p--I1 SNZBS(S) SNZBS Anteil S an SNZBS 554

Einheit

Qu.

Qu. %

100% Qu.

Qu. %

100%

100%

100% % % far R fiir S %

Fall I

2

3

4

5

6

1,0075 1,0075 1,0075 1,0075 1,0075 1,0075 1,0125 1,0125 1,0125 1,0125 1,0125 1.0125 1,01 1,02 1,0 t 1,02 1,01 1,02 0,15 0,15 0.30 0,30 0,15 0,15 0,015 0,015 0.015 0,015 0,015 0,015 1,02 1,02 1,02 1,02 1 ,()2 1.02 0,018 0,018 0,018 0,018 0,018 0,018 0,4 0,4 0,4 0,4 0,5 0,5 0,018 0,018 0,018 0,018 0,015 0,015 3 1 , 1 0 1 5 2 9 , 6 3 5 9 3 1 , 4 9 4 5 29,9209 3 0 , 8 1 8 1 29,3705 1,2616 1,2479 1,2653 12505 1,2589 1,2454 34,8817 3 3 , 0 4 9 7 35,3764 33,4044 34,5259 32,7201 0,5232 0,4957 0,5306 0,5011 0,5179 0,4908 0,4863 0,5143 0,4787 0,5089 0,4918 0.5194 1,5099 1,5556 1,4980 1,5466 1,5186 1,5642 33,1704 355718 32,5340 35,1012 3 3 , 6 3 1 2 36,0116 7 5 6 , 0 4 0 7 682,7470 776,3800 696,6872 741,5551 669.9033 1,3627 1,7983 1,3680 1,8085 1,3589 1,7889 40,4361 4 4 , 0 3 8 1 41,0878 44,6396 39,9687 43.4818 36,2703 3 9 , 9 1 7 5 3 6 , 8 0 4 3 40,4264 35,8866 39,4462 1,3910 2,0227 1,3823 2,0039 1,3974 2,0404 11,7055 17,0029 I 1,9603 17,2235 11,5231 16,7977 0,1418 0,1280 0,1456 0,1306 0,1112 0,1005 17,7421 16,1214 18,1883 16,4312 1 4 , 1 1 5 4 12,8147 1,1418 1,1280 1,1456 1.1306 1,1112 1,1005 18,9011) 1%0687 19,4095 17,4172 14,8311 13,3981 0,4567 0,4512 0,4582 0,4523 0,5556 0,5502 0,5542 0,5598 0,5526 0.5587 0,4533 0,4588 1,6256 1,6359 1,6227 1,6340 1,6070 1,6189 39,1117 39,6228 38,9704 39,5253 3 8 , 1 8 6 7 38,7797 756,0407 682,7470 776,3800 696,6872 741,5551 669,9033 1,1931 1,3761 1,1984 1,3846 1,1508 1,2889 20,5295 19,8460 21,1279 20,3143 1 5 , 8 2 4 6 15,0706 1.4758 2,1916 1,4737 2,1874 1,4622 2,1553 1,0766 1,2061 1,0707 1,1966 1, 1285 1,3139 13,1775 2 1 , 4 0 3 5 1 3 , 4 6 8 8 21,6946 13,1867 21,7665 11,9263 17,6630 12,4129 18,5648 11,7726 17,5430 8,8605 10,0762 8,5497 9,8327 9,0886 10,3060 39,1046 51,1332 38,2266 50,1951 3 9 , 7 4 3 9 52,0177 -0,0274 0 , 1 1 9 9 -0,0263 0,1163 -0,0282 0,1234 11,0711 1 6 , 3 1 1 8 1 0 , 6 3 7 9 15,8168 11,3907 16,7833 11,9878 12,2752 11,9088 12,2202 9,5623 9,8355 47,5761 59,5804 47,3688 59,3691 4 6 , 2 2 4 1 57,7662 -0,0386 0 , 1 5 4 3 -0,0383 0,1535 -0,0306 0,1223 16,7708 2 5 , 3 1 8 1 1 6 , 5 5 4 2 2 4 , 9 7 3 7 13,9368 21,8487 11,9260 17,6628 12,4128 18,5639 11,7726 17,5431 0,0003 0,0002 0,0001 0,0009 0,0000 -0,0001 85,3267 6 7 . 7 5 8 3 90.8080 70,8539 81,5916 65.0012 63,0678 55,6199 65,1938 57,0111 77,5498 68,1108 43,3145 70,0012 35,9674 57,8415 43,0532 69,7798 19,3081 1 8 , 8 0 4 5 19,839l 19,2279 1 5 , 0 7 9 5 14,4434 4,6476 7,6051 9,4854 15,4008 3,7697 6,2582 47,9620 77,6063 45,4528 73,2423 46,8229 76,0380 9,6901 9,7996 2 0 , 8 6 8 7 21,0272 8,0510 8.2304

Tabelle 5. (Fortsetzung) Position

Einheit

SZBS(R) SZBS(S) SZBS SBS Anspargrad (R) Anspargrad (S/. Anspargrad insges. Anlagegrad (R) Anlagegrad (S) Anlagegrad insges. Zuteilgsgrad (RI Zuteilgsgrad (S) Zuteilgsgrad insges, Sparbeitr~ige Guthabenzinsen B(R)-(q-I )- D(R, O~ pt(R)--qt~R')/(p--qI B(S)-(q-I ). DIS, 0) (pUSL-qtIS~)/(p-q) Tilgungsbetr~ige Sparintensit~it I j~ihrl. Tilggsintensit~it I j~ihrl, Summe Tilggsbeitr/ige Tilggsanteil TiB Zufltisse ZMasse Anteil Sparbeitrfige Anteil Tilggsbetr. Anteil Zinsen Zuget. Guthaben Zuget. Darlehen Entnahmen ZM Anteil Guthabe n Anteil Darlehen SLin zuget. BG R u.S KL in zug. BD R u.S kSKLV Darlehenszinsen Tilggsbetrfige als Diff. Rekursiv berechrlete GS Rekursiv berechnete DS Alternativ rek. bet. DS

fiir R fiir S % % % % % % % % c/,

~} c~ % % % %

% % %

Fall I

2

3

4

5

6

33,5713 44.3325 27,0262 35.8393 34.1202 45,0994 7.7599 1 0 . 9 9 4 7 1 5 , 3 6 8 2 21.7394 7.9027 11,6129 41.3312 55.3272 42.3943 57,5787 42.0228 56.7123 89,2933 132.9335 8 7 . 8 4 7 2 130,8211 88.8458 132,7503 22.9708 20.6460 23.2772 20,8439 22.7500 20,4616 42,5302 42,2154 42,5985 42,2601 52.4707 52,1712 24.8661 22,7597 27,3093 25,3471 25,142.8 23,0714 94.5801 95,9356 88,9434 91.8327 98,8512 99,9142 1 2 7 , 2 6 8 6 118,2894 122,9074 115,1148 105.6883 100.3774 99.9978 9 9 , 9 9 8 7 99.9994 99.9949 100.0000 100,0004 43.6639 38,7746 42,9031 3 8 , 2 5 6 8 44.2124 39.2581 62.5423 5 9 , 1 1 1 9 61.8348 58,5334 67.7039 64,9815 46.2871 41,6202 48.2592 44,0133 47.2986 42,7211 0.7570 1,2477 0.7611 1,2855 0,7818 1,2999 0.0886 0,1299 0,0922 0.1365 0.0874 0,1290 0,0119 0,0116 0,0120 0,0116 0,0119 0,0115 47.5512 62.2689 46,3076 60,9764 48,4614 63,4915 0,0111 0,0110 0,0111 0,0110 0,0093 0,0093 59,9279 7 4 , 0 8 9 6 59.6170 73.7901 5 7 , 9 0 7 3 71,5242 0.5890 0,7599 0,6019 0,7886 0.5797 0.7517 6.3135 6.4308 6,6978 7.0206 6,6790 6,8383 19.7550 17,2092 19,3967 16.9921 1 9 , 6 9 8 2 17,1386 0.7366 0.9764 0.7555 1.0161 0.7254 0,9666 79,9619 77.8304 79.6671 77,6105 7 9 . 9 1 5 8 77.7594 1,4346 2.1375 1.4552 2,2106 1,4490 2,1806 52.7695 58,3720 52,3020 58,1516 53,9564 59,6138 41,0572 3 5 , 5 5 1 9 41,3638 35,6733 40,0104 34,4707 6,1734 6.0761 6,3342 6,1750 6,0332 5,9155 0,7275 1,03 t 2 0,7304 t ,0580 0,7527 1,0849 0,7071 I, 1062 0,7248 1,1526 0,6963 1.0956 1,4346 2, t 375 1,4552 2,2106 1,4490 2.1806 50,7118 48,2452 50,1906 47,8603 5 1 , 9 4 5 3 49,7545 49.2882 5 1 , 7 5 4 8 49,8094 52,1397 48,0547 50,2455 1074.1155 1444.5313 1118,7405 1524.3440 1064,3832 1446,3866 1333,3550 2219,0785 1390,9997 2338.8677 1316.2501 2205,1814 80,5574 65.0960 80.4271 65.1744 8 0 . 8 6 4 8 65,5904 0,1476 0.2165 0,1536 0,2275 0,1457 0,2150 0,5890 0.7599 0.6019 0.7886 0,5797 0,7517 I 1,9263 17.6630 12,4129 18.5648 11,7726 17,5430 11.9261) 17.6628 12,4128 18.5639 11,7726 17.5431 11.9260 t7,6628 12,4128 18.5639 11.7726 17,5431

bung bei den Saldensummen und den sonstigen mit s(S) und t(S) berechneten Gr6Ben der S mit dem Faktor pt(R~+s(R~ t(S) sISI sicherstellt, dab die ,,letzten" Neuzug~inge der S dasselbe Niveau, n~imlich pt(R)+~lR~, einnehmen wie die der R. Infolgedessen ergibt sich beispielsweise die S u m m e der Bausparguthaben im dynamischen Beharrungszustand eines mit den konstanten bausparsummenm~iBigen Anteilen a(R) + a(S) = 1 gemischten Bestandes zu

GS(R/S, s(R)/s(S), p) = [1 - a(S)] • GS(R, siR), p) + a ( S ) . GS(S, s(S), p ) . pt(Rl+s/R)-t(S)-siS)

(66) 555

und die Summe der Bauspardarlehen zu DS(R/S, t(R)/t(S), p) = [1 - a(S)] - DS(R, t(R), p) + a(S) • DS(S, t(8), p) • pt(Rj+s(R)-t(s)

(67)

s(S)

Die Tabelle 5 erm6glicht es, die Auswirkungen nicht nur tier Progression des Bauspargesch~ifts, sondern auch verfinderter S-Anteile und Tilgungsbeitr~ige zu studieren. So best~itigt der Umstand, dab der Schnellspareranteil am nicht zugeteilten Summenbestand erheblich tiber den jeweiligen Neuzugangsanteil hinausgeht, die schon fr~iher festgestellte Tatsache, dab die (15%ige) Bestandskontingentierung schfirfer wirkt als die (30%ige) Zugangsbegrenzung der S (zusammen mit den Grol3bausparvertr~igen). Ferner k6nnen Anspar-, Anlage- und Zuteilungsgrad zus~itzlich ftir R und S gesondert berechnet werden. In welchem Ausmaf~ die Beimischung von 15% S mit E = 0,4 und dem gleichen B = 18%o, wie es die R zahlen, die Daten der R beeintr~ichtigen, zeigt die Gegentiberstellung der Zielbewertungszahlen und der iSKLV ftir p = 1, p = 1,01 und p = 1,02: Quartalsprogression des Neuzugangs 0% 1% 2%

R = 100% ZielBZ iSKLV R S % % % 808,4 737,8 669,6

100 73,45 64,94

IV. E i n b e z i e h u n g

R/S = 85%/15% ZielBZ iSKLV R S % % %

-

832,9 756,0 682,7

einzelner

107,71 85,33 67,76

S = 100% ZielBZ iSKLV R S % % %

71,24 63,07 55,62

1077,3 905,1 772,2

wartezeitbestimmender

-

100 79,28 64,75

Faktoren

1. Kiindigungen Unter den wartezeitbestimmenden Faktoren dritter Art versteht man Ktindigungen, Vertragsfortsetzungen, Tr~igheitsreserve und Darlehensverzichte. Wie inzwischen tiblich geworden, sollen diese Effekte jeweils isoliert untersucht werden, zun~ichst die Rtickzahlungender Bausparguthaben nach Ktindigung des Bausparvertrages vor Zuteilung. Da die Berechnungen ftir den statischen Beharrungszustand gezeigt haben, dab die Ergebnisse nur wenig von der Verteilung der Ktindigungen auf die vorhergehende Sparzeit abhfingen, wird im folgenden nur der formelmfil3ig und rechentechnisch einfachere Fall betrachtet, dab die Ktindiger ein Drittel der Sparleistungen der Normalbausparer aufbringen und ihren Vertrag in dem Zeitpunkt s aufl6sen, in dem sie bei vollen Sparbeitr~igen zugeteilt worden w~'en. Mit dem konstanten Anteil a(K) der potentiellen Ktindiger am summenm~iSigen Neuzugang erh~ilt man dann den (statischen) Rtickzahlungsbetrag G(K, s) = 1 . G(R, s),

(68)

der bei BS = 1 zugleich den prozentualen Ktindigeranspargrad bezeichnet: ASG(K) = 100. G(K, s)

und

(69)

die noch nicht auf a(K) bezogene Guthabensaldensumme aller kiinftigen K~indiger im dynamischen Beharrungszustand GS(K, s, p) = 1 . GS(R, s, p) J

556

(70)

mit deren Bausparsumme, die sich von derjenigen der R nicht unterscheidet, SNZBS(K, s, p ) = pl+j. p ~ - 1 p-I

(71)

FOr den aus R und K zusammengesetzten Bestand ergibt sich die Summe der (reduzierten) Sparbeitr/Jge zu SSP(R/K) = A ' SNZBS "[1 - a ( K ) + 3I ' a ( K ) ] , p

(72)

die Entnahme von Kfindigungs-Rtickzahlungen aus der Zuteilungsmasse zu R(K, s, p) = a(K) • G(K, s) • p~,

(73)

die Sparerleistung des Kollektivs, d.h. die Guthabensaldensumme zu SL = GS(R/K, s, p) = [1 - a(K)] • GS(R, s, p) + a(K) • GS(K, s, p)

(74)

und die Kassenleistung, d.h. die Darlehenssaldensumme zu KL = DS(R/K, t, p) = [1 - a(K)] • DS(R, t, p).

(75)

Die Kassengleichung in den Bestandsgr6gen lautet : GSCR/K, s, p) = DS(R/K, t, p)

(76)

und in den Umsatzgr6Ben, bei denen auf der Entnahmeseite die Ktindigungs-Rtickzahlungen mit anzusetzen sind: ZZM(R/K) = SSP(R/K)+GS(R/K's'p)i +[I-a(K)].STB P = [1 - a ( K ) ] . ZBG + [1 - a ( K ) ] . ZBD + R(K, s, p) = EZM(R/K).

(77)

Als Kennzahlen lassen sich auger (69) ermitteln die auf den Bestand an nicht zugeteilten BS bezogene Kfindigungsquote in Prozent K Q = 100- a ( K ) ' G ( K ' s ) Pl SNZBS

(78)

die den prozentualen Anteil der R~ickzahlungen an den Entnahmen aus der Zuteilungsmasse bezeichnende Rtickzahlungsquote I RQI = 100.

R ( K , s , p) EZM ( R/K )

(79)

und die prozentuale Rfickzahlungsquote II, welche die Rtickzahlungen an den Sparbeitrfigen misst, RQII = 100. R( K, s, p) SSP(R/K) "

(80)

Zahlenwerte far a(K) = 0,15, 0,30 und 0,45 bei dem wieder als repr~isentativ ausgewS.hlten Bauspartarif mit r = 1,0075, q = 1,0125, A = 0,015 und B = 0,018 finden sich in Tabelle 6. Greift man als Pars pro toto die Zielbewertungszahlen (einschlieglich derjenigen far 557

Tabelle 6. Bauspartechnische Kennzahlen fiir den dynamischen Beharrungszustand von 3%/5%-Ratensparbestanden mit 5%o-Regelsparbeitrag und 6%~-Tilgungsbeitrag bei Kiindigungen in unterschiedlichem AusmaB (Quartalsprogression 1% und 2%; Anlagegrad 100%; Darlehensgebiihr 2%) Position

Einheit

a(K) % r q p A 1+d B s Qu. r~ (r~-I)/(r-l) G(R, s) D(S, 0) Q t Qu. stat.GS-SL=ZielBZ % pt pS (p~-r~)/(p-r) (pS-l)/(p-1) dyn. GS Darl.-nehmer dyn. GS Kiindiger dyn. GS insgesamt (pt-l)/(p-1) dyn. DS dyn. GS insg. - dyn. DS stat. DS iSKLV % Kiindiggs-RiJckzahlgen Ktindigeranspargrad % SNZBS SZBS SBS Anspargrad % Anlagegrad % Zuteilungsgrad % Sparbeitr.Darl.-nehmer Sparbeitr~ige KiJndiger Sparbeitr~ige insgesamt Guthabenzinsen B(S) - (q-l). D(S, 0) qt (pt~qt)/(p~l) Tilgungsbetr~ige Sparintensitat I jahrl. % Tilggsintensitat I jahrl. % Summe Tilggsbeitrage Tilggsanteil TiB % Zufliisse ZMasse Anteil Sparbeitr. % Anteil Tilggsbetr. % Anteil Zinsen % Zuget. Guthaben Zuget. Darlehen Entnahmen ZM Anteil Guthaben % Anteil Darlehen % Ant.Rtickz.= Rtickz.-qu.1% 558

Fall 1 15 1,0075 1,0125 1,01 0,015 1,02 0,018 30,3754 1,2548 33,9716 0,5096 0,5002 1,5323 34,3544 719,2286 1,4075 1,3529 39,2427 35.2894 9,5541 0,5620 10,116t 40.7532 10,1169 -0,0008 9,4516 76,0962 0,0359 16.9858 50,1676 34,9866 85,1542 20,1646 100.0077 41.0862 0.6333 0,0373 0,6706 0,0751 0,0117 1,5323 49,9063 0,4983 5,3465 19,7023 0,6235 79,9191 1,2440 53,9037 40,0577 6,0386 0,6097 0,5985 1,2440 49,0077 48,1095 2,8828

2

3

4

5

6

15 30 30 45 45 1,0075 1,0075 1.0075 1,0075 1,0075 1.0125 1,0125 1,0125 1,0125 1,0125 1,02 1,01 1,02 1,01 1,02 0,015 0,015 0,015 0,015 0,015 1.02 1.02 1,02 1,02 1,02 0,018 0,018 0,018 0,018 0,018 28,9911 2 9 , 8 8 2 8 28.4904 29,1856 27,7846 1,2419 1,2502 1,2372 1,2437 1,2307 32.2499 33,3569 31,6316 3 2 , 4 9 0 7 30,7640 0,4837 0,5004 0,4745 0,4874 0,4615 0,5266 0,5096 0,5360 0,5229 0,5493 1,5765 1,5478 1,5930 1,5702 1,6167 36,6430 35,1641 37,4810 36,3190 38.6720 651,7651 694.8140 628.2414 661,0284 595,8636 2,0660 1,4189 2,1006 1,4353 2,1507 1,7755 1,3463 1,7580 1,3370 1,7336 42.6925 38,4406 41,6622 37.3160 40,2308 38,7765 34,6278 37,9007 3 3 , 6 9 7 0 36,6807 14,0290 7,6498 11,2831 5,7709 8,5668 0,8252 1,0928 1,6119 1,5739 2,3364 14,8542 8,7427 12,8950 7,3448 10,9031 5 3 , 3 0 1 5 4 1 , 8 9 1 7 55.0300 43.5317 57.5365 14,8542 8,7427 12,8956 7,3448 10,9031 0,0000 -0,0000 -0,0006 -0,0000 -0,0000 10,6398 9,8651 11,0898 1 0 . 4 6 8 0 11,7428 61,2570 70,4316 56,6503 6 3 , 1 4 7 7 50,7431 0,0500 0,0710 0,0997 0.1049 0.1489 16,1249 16,6784 15.8158 1 6 , 2 4 5 4 15,3820 8 1 , 7 1 5 7 49,6254 81,2066 48,8496 80,4682 46,2124 29,6174 39.2914 2 4 , 1 8 1 9 32,2780 127,9281 79,2428 120.4980 73,0315 112,7461 18,1779 17,6173 15,8792 1 5 , 0 3 5 5 13,5496 99,9998 100,0001 100,0045 100,0004 100,0000 3 6 , 1 2 3 7 37.3756 32,6075 3 3 , 1 1 1 6 28,6289 1,0214 0.5159 0,8359 0.3990 0.6508 0,0601 0,0737 0,1194 0,1088 0.1775 1,0815 0,5896 0.9554 0,5078 0.8283 0,1092 0,0649 0.0948 0,0545 0,0802 0,0114 0,0116 0.0113 0,0115 0,0111 1,5765 1,5478 1.5930 1,5702 1,6167 6 5 , 2 7 2 3 51,5480 67,6822 53,9345 7 t ,2004 0,6335 0,4196 0.5353 0,3401 0,4360 5,2941 4,7525 4,7059 4,1584 4,1176 17,0585 19,1994 16,6056 1 8 , 5 1 9 9 15,9952 0,8155 0,5278 0,6934 0,4310 0,5696 77,6783 79,5009 77,2082 7 8 , 9 0 7 5 76,5424 1,8242 1,0742 1,5855 0,9024 1,3445 59,2870 54,8900 60,2556 56,2740 61,6096 34,7257 39,0661 33,7644 3 7 , 6 8 2 4 32,4277 5,9873 6,0438 5,9801 6,0436 5,9628 0,8495 0,4970 0,6977 0,3847 0,5459 0,9247 0,5062 0,7882 0,4128 0,6498 1,8242 1,0742 1,5855 0,9024 1,3445 46,5689 46,2660 44.0024 42,6324 40,599 I 5 0 , 6 9 1 8 47,1246 49,7116 45,7406 48,3284 2,7393 6,6094 6,2861 1 1 , 6 2 7 0 11,0725

Tabelle 6. (Fortsetzung) Position

Einheit

SL in zuget. BG SL in Riickzahlungen SL insgesamt KL in zug. BD kSKLV % Diff Zufl.-Entn. ZM Darlehenszinsen TilggsbetrS.geals Diff. Rekursiv berechnete GS Rekursiv berechnete DS Altern. rekurs, ber. DS Rtickzahlungsquote II %

Fall 1

2

8,6049 0,51162 9,1 II0 11,3(179 8(I,5725 (I,0000 0,1252 0,4983 10, I 161 10,1169 10,1169 5,3481

3

II ,4458 6,9012 ( I , 6 7 3 3 0,9859 12,1191 7,8871 18,6849 9 , 7 9 8 4 64,8604 80,4933 0 , 0 0 0 0 -0,0000 0 , 1 8 2 0 0,1082 ( I , 6 3 3 5 0,4196 14,8542 8 , 7 4 2 7 14,8542 8 , 7 4 2 7 14,8542 8 , 7 4 2 7 4,6205 12,0412

4

9,2378 1,3197 10,5575 16,3067 64,7432 -0,0000 0,1580 0,5353 12,8950 12,8956 12,8956 10,4324

5

5,2183 1,4232 6,6415 8,2637 80,3698 -0,0000 0,0909 0,3401 7,3448 7,3448 7,3448 20,6615

6

7,0485 1,9223 8,9708 13,8905 64,5821 -0,0000 0,1336 0,4360 10,9031 10,9031 10,9031 17,9720

Bausparbestande im statischen Beharrungszustand und ohne Ktindigungen) heraus, so zeigt die Wirkungen der Neugeschaftsdynamik und des Ktindigeranteils die Gegentiberstellung: Quartalsprogression des Neuzugangs 0% 1% 2%

Zielbewertungszahl bei Ktindigeranteil von 0% 15% 30% 45% 808,4 789,1 764,2 729,6 737,8 719,2 694,8 661,0 669,6 651,8 628,2 595,9

Far niedrige Ktindigeranteile fallt die Senkung der Zielbewertungszahlen schwach aus. Starker ist sie, abet aus den schon genannten Grtinden nicht zu realisieren, bei Dauerprogression des Neuzugangs.

2. Vertrag,~fortsetzungen Wenn ein dauernd gleichbleibender Anteil der Bausparer am Neugeschaft a(F) die Zuteilung nach der Sparzeit s nicht annimmt, sondern freiwillig mit dem Sparbeitrag A(F) > 0 tiber f Quartale weiterspart und sich im Zeitpunkt s+f die Bausparsumme auszahlen lagt, ergeben sich Tilgungsbeitrage dieser Vertragsfortsetzer B(F) und Tilgungszeiten t(F), yon denen wenigstens ein Weft - m e i s t t(F) - yon B und t der Normalbausparer abweicht. Mittels des statischen Endguthabens (Prozenlguthaben) des Fortsetzers von G ( F , s + f ) = G ( R , s). r r + A ( F ) -

rf_l r-I

(81)

und seines Bruttoanfangs-Bauspardarlehens D(F, 0, t(F)) = [BS - G ( F , s + f)]. (1 + d)

(82)

sind t(F) aus B(F) nach (8) oder im Ausnahmefall B(F) aus t(F) nach (7) herzuleiten. Des weiteren hangt die Auswirkung auf den bauspartechnischen Status des Kollektivs davon ab, welche Fortsetzerreserve FR(f. p) die Bausparkasse stellt, die sie im Bereich 0 <_ FR(f, p) < FRM(f, p)

(83)

frei wahlen kann. Bei den herk6mmlichen Bauspartarifen mit einem Darlehensanspruch in H6he der Differenz zwischen Bausparsumme und Bausparguthaben bei Zuteilungsannahme 559

betr~igt das zul~issige Maximum der Fortsetzerreserve FRM(f, p) = GS(F, f, p) + 0,25 • [SNZBS(F, f, p) - GS(F, f, p)] = 0,25 • SNZBS(F, f, p) + 0,75 • GS(F, f, p)

(84)

und far Bauspartarife mit festem Darlehensanspruch yon 50% der Bausparsumme FRM(f, p) = GS(F, f, p) + 0,125 - SNZBS(E f, p).

(85)

Verallgemeinert gilt mit 0 < a < 1 und bei a = 1 mit 0
(86)

Darin betr~igt die Guthabensaldensumme der Fortsetzer in der Fortsetzungszeit f nach (57) und (23) • pf_r f t+l r f f pf ] GS(F,f,p)=G(R,s).pt+I __.p_f+A(F) p"~ . / p _ - r -1 p-r r-J [ p-r p - 1 n ' P - f ' (87) wenn man die Guthaben in die Herkunft aus der reinen Verzinsung von G(R, s) (Teil 2) und aus der Weiterbesparung in der Fortsetzungszeit (Tell 3) aufteilt (und als Teil 1 die Guthabensumme der Fortsetzer w~ihrend der Sparzeit s ansieht). Der Faktor p-f erklart sich aus der Notwendigkeit, - analog zu den Schnellsparern unter llI 2 c - d a s Niveau der f Quartale l~inger sparenden Vertragsfortsetzer um jene f Quartale zn verschieben, damit die zuletzt beigetretenen F die gleiche H6henlage pt+S wie die R einnehmen. Treten von t(F) abhfingige Werte auf, ist zus~itzlich mit pt-t(F) ZU multiplizieren. Die Gesamtsumme der Vertragsfortsetzer-Bausparguthaben ist dann, wenn weiterhin nicht a(F), sondem 100% Fortsetzer betrachtet werden, GS(F, s + f, p) = GS(R, s, p) + GS(E f, p)

(88)

und die zugehOrige BS nicht zugeteilter Vertr~ige SNZBS(F, s, p) + SNZBS(F, f, p) SNZBS(F, s + f, p ) = pt+l . pS - 1 p-1 + pt+l . Pf - 1. p_f = pt+l . pS+f _ 1. p_f. p-1 p-1

(89)

Die Darlehenssumme der F stellt sich dar als DS(F,

t(F),p)

I

P • D(F, 0 ) . p t ( F ) - B(F). -- P - q

pt(F)-ll P-

.pt-UF)-f

(90)

mit D(E 0) aus (82) oder bei festem Darlehensanspruch in H6he yon 50% der BS mit D(F, 0) = 0,5 • B S - ( 1 + d),

(91)

die Guthabensumme des Gesamtkollektivs als GS(R/F, s/s + f, p) = [1 - a(F)] • GS(R, s, p) + a(F) - GS(F, s + L p),

(92)

die entsprechende Darlehenssumme als DS(R/F, fit(F), p) = [1 - a(F)] • DS(R, t, p) + a(F). DS(F, t(F), p) 560

(93)

und die Bestandsgr613en-Kassengleichung, die berticksichtigt, dass die Fortsetzerreserve nicht in Bauspardarlehen angelegt werden kann, als GS(R/F, s/s + f, p) - a(F). FR(f, p) = DS(R/E t/t(F), p).

(94)

Auf der Umsatzseite betragen - wiederum ftir 100% der F die Summe der Sparbeitr~ge SSP(F,s+f,p)=A,

pt . p_~_~l + A(F). p t ( F ) Pf - 1 .pt t(F) f p-I p-1

(95)

und die der Tilgungsbetr~ige pt(F)_ qt(F) STB(F, t(F), p ) = [ B ( F ) - ( q - l)- D(F, 0)].

• pt t(F) f,

(96)

p-q

die zugeteilten Bausparguthaben ZBG(F, s + L p) = pt f. G(F, s + f),

(97)

die zugeteilten Bauspardarlehen ZBD(F, t(F), p) = pt f. D(E 0)

(98)

und die Entnahmen aus der Zuteilungsmasse zur Erh6hung der Fortsetzerreserve ZFR(f, p) = p - 1. FR(f, p). P

(99)

Mithin stellen sich far das aus Normalbausparern R und Fortsetzern F mit dem Anteil a(F) zusammengesetzte Kollektiv die Summe der Sparbeitrtige auf SSP(R/F, s/s + f, p) = [1 - a(F)] • SSP(R, s, p) + a(F) • SSP(F, s + f, p),

(100)

die Summe der Guthabenzinsen auf SGZ(R/F, s/s + f, p) =

i. GS(R/F, s/s + f, p)

(101)

die Summe der Tilgungsbetr~ige auf STB(R/F, t(R)/t(F), p) = [1 - a(F)] • STB(R, t(R), p) + a(F) - STB(E t(F), p),

(i02)

die neu zugeteilten Bausparguthaben auf ZBG(R/E s/s + f, p) = [ 1 - a(F)] • ZBG(R, s, p) + a(F) • ZBG(E s + f, p),

( 1037

die neu zugeteilten Bauspardarlehen auf ZBD(R/F, t(R)/t(F), p) = [1 - a(F)] • ZBD(R, t(R), p) + a(F) • ZBD(F, t(F), p) (104) und demnach die Kassengleichung in den Umsatzgr6f3en auf ZZM(R/F) = SSP(R/E s/s + f, p) + SGZ(R/F, s/s + L p) + STB(R/F, t(R)/t(F), p) = ZBG(R/F, s/s+f, p) + ZBD(R/F, t(R)/t(F), p) + a(F) • ZFR(f, p) = EZM(R/F).

(105) 561

Wie die Tabelle 7 zeigt, werden nunmehr die Berechnungen unvermeidlich umfangreicher, weil die meisten Kennzahlen sowohl fur die Normalbausparer R als auch ffir die Fortsetzer F bestimmt werden k6nnen. Gleichwohl erzwingt die grofSe Ffille von denkbaren Variationen der Parameter eine Konzentration auf wenige Beispielsf'~ille. Abgesehen von den zuletzt schon festgehaltenen Werten ffir r = 1,0075, q = 1,0125, p =1,01 und p = 1,02 ist jeweils A = A(F) = 0,015 und B = B(F) = 0,018 sowie f = 4 und f = 8 variiert und angenommen, dab die Fortsetzerreserve gar nicht, - in HOhe der Bausparguthaben der Vertragsfortsetzer oder mit dem Maximum, das auch ein Viertel des Darlehensanspruchs umfaBt, gebildet wird.

-

-

Ffir die beiden zuletzt genannten Konstellationen tritt erstmals die Situation ein, dag der Anlagegrad der Bausparguthaben in Bauspardarlehen beim Gesamtbestand wegen der Fortsetzerreserve 100% unterschreitet. Der Anlagegrad der R liegt fiber 100%, derjenige der F zum Teil weit darunter. W~ihrend in der Tabelle 7 die R immer nur ein iSKLV von weniger als 100% aufzubringen brauchen, tibersteigt das iSKLV der F diese Marke fast allenthalben, Dazu ein Extrakt aus den vorliegenden Berechnungen ftir FR(f, p) = GS(F, f, p): Quartalsprogression des Neuzugangs

Keine fortsetzer ZielBZ

0% 1% 2%

808,4 737,8 669,6

Fortsetzungszeit f = 4 Quartale ZieliSKLV iSKLV BZ R F 750,7 681,7 615,7

83,91 67,54 54,30

160,43 127,68 101,91

Fortsetzungszeit f = 8 Quartale ZieliSKLV iSKLV BZ R F 701,2 635,0 571,4

71,95 57,95 46,58

270,41 211,96 166,94

Infolge des h/3heren Anspargrades der F verktirzt sich deren Tilgungszeit, beispielsweise von 35,61 Quartalen auf 29,15 Quartale im Falle f = 4 und p = 1,01. Die daraus resultierende Erm~iBigung der Zielbewertungszahlen ist so kr~iftig, dass die wartezeitverktirzenden Effekte der Vertragsfortsetzungen durch die Stellung von Fortsetzerreserven (selbst bei deren Maximum) nicht eliminiert werden. Hier spielt allerdings eine Rolle, dass generell ein 50%iger Anteil der Fortsetzer unterstellt ist. Den Einflul3 der Reservenh6he auf die Zielbewertungszahlen und den Anlagegrad ersieht man aus den folgenden Zahlenwerten: Quartalsprogression des Neu-

Keine fortsetzer

Fortsetzungszeit f = 4 Quartale Fortsetzungszeit f = 8 Quartale Fortsetzerreserve = 0 BG Max. 0 BG Max.

zugangs

Zielbewertungszahl

0% 1% 2%

808,4 737,8 669,6

707,1 642,3 579,7

0% 1% 2%

100,0 100,0 100,0

100,0 100,0 100,0

750,7 681,7 615,7

759,6 616,5 701,2 691,1 557,8 635,0 625,1 501,6 571,3 Anlagegrad des Gesamtkollektivs 87,1 84,7 100,0 75,5 88,0 85,4 100,0 77,0 88,6 85,9 100,0 78,2

719,0 652,8 589,1 71,3 72,6 73,7

Selbst wenn die Bausparkasse das Maximum der Fortsetzerreserve stellt, erreichen die Zielbewertungszahlen niemals deren Niveau ffir den Fall, dass es gar keine Fortsetzer gibt. Die wartezeitverktirzende Wirkung infolge des Weitersparens in der Fortsetzungszeit und der 562

Tabelle 7. Bauspartechnische Kennzahlen ftir den dynamischen Beharrungszustand yon 3%/5%Ratensparbest~inden bei 50% Vertragsfortsetzungen fiber 4 und 8 Quartale mit und ohne Bildung von Fortsetzerreserven (Sparzahlungen in der Fortsetzungszeit wie zuvor: Darlehensgebtihr 2%) Position r q p A A(F) d B B(F1 Fortsetzerreserve I. Fortsetzer yon 50 s(R) = s r~ (¢-1)/(r-1 ) G(R, s(R)) D(R, 0) Q(R) t(R) = t stat.GS(R) = ZielBZ rf (riLl)/(r- 1) G(F, s+f) stat. GSIF, s+f) stat. D(F ,01 Q(F) t(F) p~ tp'-r~)/(p-r) (p~ I )/(p-l) pt d~cn. GS(R) pf , (p -rl)/(p-r) dYtn. GS(F) reil 2 (p -l)/(p-l) dyn. GS(F) Teil 3 dyn. GS(F) in Fo-zeit dyn. GS(R+F) insg. BS in Fortsetzgszeit Forts.-Anspargrad (p~+t-1)/(p-I) SNZBS Anteil Fortsetzer Fortsetzerreserve FR zu BS(F) stat. DS(R) stat. DS(F) (pt-l)/(p-1) Eck.Klammer DS(R) dyn. DS(R} t~F~ ~t-t~l-j (pt~Vl-I)/(p-I ) Eck.Klammer DS(F)

Einheit

Fall 1

2

1,01/75 1,0075 1,0125 1,0125 1,01 1,02 0,015 0,015 0,015 0,015 1,02 1,02 0.018 0,018 0,018 0,018 keine

3

4

1,01175 1,0075 1,0125 1,0125 1,01 1,02 0,015 0,015 0,015 0,015 1,02 1,02 0,018 0,018 0,018 0,018 Bausparguthaben der F

5

6

1,0075 1,0075 1,0125 1,0125 1,01 1,02 0,015 0,015 0,015 0,015 1,02 1,02 0,018 0,018 0,018 0,018 Max. inclus. 1/4 Darlehen

c~, der Bausparsumme tiber f = 4 Quartale mit anschliegender Darlehensnahme Qu. 28,7905 27,4254 29,6153 28,2186 29,8077 28,4229 1,2400 1,2274 1,2477 1,2347 1,2495 1,2366 32,0020 31/,3241 33,0240 31,2969 33,2633 31,5485 0,4800 0,4549 0,4954 0,4695 0,4989 0,4732 0,53(/4 0,5560 0,5147 0,5412 0,5111 0,5373 1,5831 1,6290 1,5563 1,6021 1,5502 1,5952 Qu. 3 6 , 9 7 8 1 / 39,2826 35,6059 37,9384 35,2880 37,5944 100cA 642,2876 579,7342 681,7442 615,6623 691,1296 625,1062 1,0303 1,0303 1,0303 1,0303 1,0303 1,0303 4,0452 4,0452 4,0452 4,0452 4,0452 4,0452 0.5553 I),5293 0,5711 0,5444 0,5748 0,5483 100% 8,4552 7,7278 8,9t 17 8,1461 9,0201 8,2558 0,4536 0,4801 0,4375 0,4647 0,4337 0,4608 1.4599 1,5001 1,4364 1,4765 1,4310 1,4705 Qu. 30,4576 32,6457 29,1533 31,3698 28,8509 31,0431 1,3317 1,7213 1,3427 1,7486 1,3453 1,7557 36,6842 39,5116 38,0077 41,1080 38,3189 41,5243 33,1725 36,0663 34,2699 37,4288 34,5272 37,7833 1,4448 2,1769 1,4252 2,1197 1,4207 2,1053 1011c~ 11/,2486 15,30(/3 10,7604 15,9095 111,8811 16,0667 1,0406 1,0824 1,0406 1,0824 1,0406 1,0824 4,1059 4,1674 4,1059 4.1674 4,1059 4,1674 100% 2,7638 3,8885 2.8134 3,9(}78 2,8249 3,9125 4,0604 4,1216 4,0604 4,1216 4,0604 4.1216 IO0CA 0,1277 0,1880 0,1260 0,t831 //,1256 0,1818 11}0% 2.8915 4,0765 2,9394 4.0909 2,9504 4,0944 l 1,6943 1 7 , 3 3 8 5 12,2300 17.9549 12,3563 18,1139 2,8469 4,2274 2,8083 4,1164 2,7994 4,0884 c~ 50,7837 48,2157 52,3339 49,6912 52,6969 50,0728 38,5799 43,1609 39,7218 44,6358 39,9896 45,0195 51,2525 8 4 , 3 1 0 1 52,1372 85,0414 52,3417 85,2254 % 5,5546 5,0141 5,3863 4,8404 5.3484 4,7972 0,0000 0,0000 1.4697 2,0455 1,8063 2,5575 % 0,0000 0,0000 52,3339 49.6912 64,5227 62,5546 100% 10,8188 12,0836 10,0940 11,3387 9,9291 11,1513 100% 7,5691 8,6039 6,9799 7,9935 6,8462 7,8403 44,4760 58,8446 42,5170 55,9856 42,0668 55,2661 -0,0343 0,1512 -0,0317 0,1394 -0,0311 0,1364 I00% 13,8619 20,5687 12,8166 18,9526 12.5808 18,5528 1,3540 1,9088 1,3365 1,8612 1,3325 1,8492 1,0671/ 1,1405 1,0663 1,1389 1,11661 1,1385 35,3999 45,4396 33,6541 43,0585 33,2526 42,4584 0,0230 0,0984 -0,0210 I),0899 0,0206 0,0878 563

Tabelle 7. (Fortsetzung) Position dyn. DS(F) dyn. DS(R+F) GS - DS - FR iSKLV (R, s) iSKLV (F, s+f) SL KL kSKLV Anspargrad Anlagegrad (R, s) Anlagegr.(F, s+f) Anlagegrad insg. p~+f SNZBS(F) SZBS(R) SZBS(F) SZBS SBS Zuteilungsgrad (R) Zuteilungsgrad (F) Zuteilungsgrad insg. Sparbeitrfige B-(q-I).D(R, 0) qt (pt_qt)](p._q} B(F)-(q-1)" D(F, 0) qt{F) (pt{r:}~lt{F))/(p~:1) Tilgungsbetrage Sparintensit~it I j. Tilggsintensit~it I j. Tilgungsbeitr~ige Tilggsanteil TiB Zinsen ZuflUsse ZMasse Anteil Sparbeitr. Anteil Tilggsbetr. Anteil Zinsen Zuget. Guthaben Zuget. Darlehen ErhOhung FR Entnahmen ZM Anteil Guthaben Anteil Darlehen Anteil Erh6hung FR Diff Zufl.-Entn. ZM Darlehenszinsen Tilggsbetr.als Diff. Rekurs.berechn.GS Rekurs.berechn.DS Alternat.rek.ber.DS

Einheit 100% % % % % % % % %

% % %

% % % % % % %

% % %

Fall 1

2

9,5255 14,1066 11,6937 17,3376 0,0007 0,0009 59,3679 47.9771 1 1 1 , 7 0 6 9 89,8173 10.5093 14,0808 13,4219 23,0192 78,2997 61,1699 22,8171 20,5652 135,2567 134,4333 72,4917 72.8017 99,9944 99,9949 13858 1,8632 27,0497 44,2687 22,4604 30,0108 18,3310 24,4164 40,7914 54,4272 92,0439 138,7373 48,1330 42,8406 40,3938 35.5483 44,3173 39,2304 0,7612 1,2399 0,0114 0,0110 1,5831 1,6290 55,3201 73,0475 0,0123 0,0120 1.4599 1.5001 42,3553 54,4903 0,5823 0,7480 5,9406 5,8824 19,9168 17,2575 0,7270 0,9605 80,0924 77,8787 0,0868 0,1275 1,4303 2,1154 53,2192 58,6122 40,7093 35,3610 6,0715 6,0269 0,7322 1,0274 0,6980 1,0880 0.0000 0,0000 1,4303 2,1153 51,1956 48,5678 48,8044 51,4322 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,1447 02125 0,5823 0,7480 11,6943 17,3385 11,6937 17,3376 11,6937 17,3376

3

4

5

6

8,7028 l 2,8649 8.5178 125587 I 0,7597 15,9088 1 0 , 5 4 9 3 15,5557 0,0007 0,0007 0,0007 0,0007 6 7 , 5 3 9 8 54,2974 6 9 , 6 0 6 7 56,0568 127,6781 101,9092 131,7526 105,2992 10,9606 14,5014 1 1 , 0 6 6 6 14,6090 1 2 , 2 8 9 4 20,9314 1 2 , 0 3 5 4 20,4194 8 9 , 1 8 7 2 69,2802 91,9502 71,5446 23,4575 21,1131 23,6070 21,2541 119,1095 119,1280 115,6213 115,4732 63,5251 64,3234 61,5830 62,2917 8 7 , 9 7 7 5 88,6040 85,3764 85,8773 1,3972 1,8927 1,3999 1,9004 2 7 , 4 7 2 7 44,5789 2 7 , 5 7 0 5 44,6569 21,4711 28,5527 21,2438 28,1857 1 7 , 4 1 5 2 23,1057 172047 22,7759 3 8 , 8 8 6 3 51,6584 3 8 , 4 4 8 5 50,9616 91,0234 136,6998 90,7902 136,1870 46,5391 41,3716 46,1671 40,9949 38,7971 34,1373 3 8 , 4 2 4 7 33,7757 42,7212 37,7896 42,3488 37,4203 0,7743 1,2506 0,7774 1,2533 0,0116 0,0112 0,0116 0,0113 1,5563 1,6021 1,5502 1,5952 5 2 , 4 5 4 8 69,0202 51,8016 68,0123 0,0125 0,0122 0,0126 0,0122 1.4364 1,4765 1,4310 1,4705 39,9536 51,2857 3 9 , 4 0 5 5 50,4828 0,5599 0,7167 0,5547 0,7087 5,9406 5,8824 5,9406 5,8824 20,8132 1 8 , 0 1 9 2 21,0311 18,2232 0,6930 0,9 I16 0,6852 0,8993 80,7850 78,6138 80,9461 78,8025 0,0908 0,1320 0,0918 0.1332 1,4250 2,0993 1,4238 2,0952 54,3382 59,5730 5 4 , 5 9 8 3 59,8186 39,2886 34,1381 3 8 , 9 5 7 2 33,8245 6,3732 6,2889 6,4445 6,3570 0,7440 1,0306 0,7468 1,0313 0,6664 1,0286 0,6591 1,0137 0,0146 0,0401 0,0179 0,0501 1,4250 2,0993 1,4238 2,0952 52,2141 49,0919 5 2 , 4 5 0 3 49,2240 4 6 , 7 6 4 7 48,9976 46,2936 48,3826 1,0212 1,9105 1,2561 2,3934 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,1332 0,1950 0,1306 0,1906 0,5599 0,7167 0,5547 0,7087 12,2300 17,9549 1 2 , 3 5 6 3 18,1139 10,7597 15,9088 1 0 , 5 4 9 3 15,5557 10,7597 15,9088 1 0 , 5 4 9 3 15,5557

II. Fo~setzervon 50%der Bausparsumme fiberf= 8 Quartale mitanschlieBender Darlehensnahme s{R) = s Qu. 26,9288 25.6050 28,6354 27,2365 29,0138 27,6348 r~ 1,2229 1,2108 1,2386 1,2257 1,2421 1,2294 (r~-l)/(r-l) 29,7179 2 8 , 1 1 3 0 31,8104 30,0932 32,2780 30,5803 G(R,s(R)) 0,4458 0,4217 0,4772 0,4514 0,4842 0,4587

564

Tabelle 7. (Fortsetzung) Position D(R, 01 Q(R) t(R) = t stat. GS(R) = ZielBZ rf (rf-l)/(r-I) G(E s+f) stat. GS(E s+f) stat. D(E 01 Q(F) t(F) p~ (p~-r~)/(p-r) (p~-I)/(p-l) pt d~cn. GS(R) ~pf-rf)/(p-r) dyn. GS(F)Teil 2 (pf-1)/(p-I) dyn. GS(F) Teil 3 dyn. GS(F) in Fo-zeit dyn. GS(R+F) insg. BS in Fortsetzgszeit Forts.-Anspargrad (p~+~l I/(p-I ) SNZBS Anteil Fortsetzer Fortsetzerreserve FR zu BS(F) stat. DS(R) stat. DS(F/ (pt-1)/(p 11 Eck.Klammer DS(R/ dyn. DS(R) pt~Fi pt t~v~ (pt~Fl-I)/(p 1} Eck.Klammer DSIF~ dyn. DS(F) dyn. DS(R+F) GS - DS - FR iSKLV (R, s) iSKLV (E s+f) SL KL kSKLV Anspargrad Anlagegrad (R, s) Anlagegr.(F, s+f) Anlagegrad insg. p~+t SNZBS(F) SZBS(R) SZBS(F) SZBS SBS

Einheir

Qu. 100%

100% Qu.

100% 100% 100% 100% % % % 100c~ 100% 100%

100% % % % % % % % %

Fall 1 0.5653 1,6463 40,1316 557.8244 1,0616 8,2132 0,5964 9,6658 0,4116 1,4003 27.1027 1,3073 33.7591 30,7282 1,4908 9.1274 1,0829 8.5031 5,2706 8,2857 0,6048 5,8754 12.0652 5.7607 50,9962 41,5599 52,0288 11,0720 0,0000 0.0000 12.5643 6,0962 49,0815 -0,0407 16.4368 1.3095 1.1384 30,9547 -0,0181 7,6935 12,0652 0,0000 44,3977 158.5539 10,8117 14.1428 76,4466 23,1894 180,0813 51,2801 100.000(1 1.4156 28.8947 24,7862 16,4342 41,2204 93,2492

2

3

4

5

6

0~5899 0.5333 0,5596 0,5261 0.5521 1.6939 1.5882 1,6356 1.5757 1.6218 42,4238 37,2378 39,6049 36.6052 38,9263 501,6116 635,0056 571,3475 652.8429 589.1067 1,0616 1,0616 1,0616 1.0616 1,0616 8,2132 8,2132 8,2132 8.2132 8,2132 0,5709 0.6297 0,6024 0,6372 0,6102 8 , 9 0 5 9 10.6954 9,8473 1 0 , 9 3 1 4 10,0849 0,4377 0,3777 0,4056 0,3701 0,3976 1,4367 1,3555 1,3920 1,3459 1,3815 29,1696 24,4852 26,6269 2 3 . 9 1 1 8 26,0136 1,6604 1,3297 1.7149 1.3347 1,7285 3 5 , 9 6 2 5 36,4372 39.1360 37,0408 39,9301 33,0189 32.9671 35.7449 3 3 , 4 6 8 7 36,4239 2,3166 1.4485 2.1908 1,4394 2,1616 13,9108 10,1533 15,1555 1 0 , 3 8 6 2 15,4609 1,1717 1,0829 1.1717 1,0829 1,1717 8,8048 8,5031 8.8048 8,5031 8,8048 7,4881 5.4816 7.5803 5.5273 7,6002 8,5830 8.2857 8.5830 8.2857 8,5830 0.8949 0,5876 0,8463 0,5839 0,8350 8,3830 6.0692 8,4267 6,1112 8,4353 18,1023 13,1879 19,3688 1 3 , 4 4 1 8 19,6785 8,6548 5,5971 8,1849 5,5620 8,0757 48,4297 54,2174 51,4768 54,9371 52,2263 47,2699 43.9843 50.4639 44,5275 51,2594 86.6764 53,8275 88,0622 54.2189 88.3839 9,9852 10,3983 9,2945 1 0 . 2 5 8 4 9,1371 0,0000 3.0346 4,2133 3,6822 5,1821 0,0000 54,2174 51,4768 66,2029 64,1698 13,9006 10,9584 12,2651 1 0 , 6 1 9 7 11,8842 6,9871 5.0460 5.8987 4,8278 5,6485 65,8302 44.8500 59.5415 43.9410 58,0795 0,1816 4),0348 0,1542 ~0.0336 0,1480 2 4 , 6 9 1 3 1 4 . 0 6 4 9 20,9690 1 3 , 5 7 3 4 20.1319 1,7818 1,2759 1,6943 1,2686 1,6739 1,3001 1,1353 1,2930 1,1346 1,2914 3 9 , 0 9 0 9 27,5880 34,7161 2 6 . 8 6 2 1 33,6935 0,0763 -0,0147 0,0622 ~).0140 0,0591 I 1.5132 6.2418 9.3420 5,9458 8.8608 18,1022 10.1533 15,1555 9,7596 14,4964 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 -0,0000 3 6 , 0 8 5 7 5 7 , 9 4 6 9 46,5832 6 1 , 4 7 4 7 49,5705 127,4631 211,9579 166,9380 226,4244 178,5406 14,6146 11,7525 15,4651 1 1 , 9 6 3 9 15,6698 25,0816 11.7682 20,5663 1 1 . 2 8 3 8 19,5730 58,2681 99,8665 75,1960 106,0276 80,0581 20,8849 24.5004 21,9945 2 4 , 7 9 1 7 22,2648 177.4976 138,5249 138,3591 130,6868 130,2122 51.6429 38,4758 39.6145 3 6 , 0 4 0 7 37.0804 99,9997 76,9894 78.2467 72.6062 73.6660 1,9454 1,4398 2,0093 1,4453 2,0252 47,6656 29.7123 48,1236 2 9 . 8 9 0 5 48,2298 33,5734 22.6493 30,3661 2 2 , 1 9 0 2 29,6205 22,1224 14.6066 19,5395 1 4 , 2 1 3 9 18,9394 5 5 . 6 9 5 8 3 7 , 2 5 5 8 49,9056 36,4041 48,5599 142,3722 91,0834 137,9678 90.6230 136,9438

565

Tabelle 7. (Fortsetzung) Position Zuteilungsgrad(R) Zuteilungsgrad(F) Zuteilungsgrad insg. Sparbeitr~ige B-(q-l). D(R, 0) qt (pt~tt)/(p-q) B(F)-(q-1) .D(E 0) qt(F) , (pt
Einheit % % %

% % % % % % %

% % %

Fall 1

2

51,7238 36,2555 44,2046 0,7727 0,0109 1,6463 62,1977 0,0129 1,4003 36,3000 0,5853 5,9406 19,4046 0,7346 79,6737 0,0896 1,4476 53,3784 40,4325 6.1891 0,7428 0,7048 0,0000 1,4476 51,3154 48,6846 0,0000 0,0000 0,1493 0,5853 12,0652 12,0652 12,0652

3

46,2544 48,4326 31,6995 32,9579 39,1199 4 0 , 9 0 3 0 1,2747 0,7994 0 , 0 1 0 6 0,0113 1,6939 1,5882 83,0324 55,8712 0 , 0 1 2 5 0,0133 1,4367 1,3555 46,0136 31,8468 0 , 7 6 1 0 0,5383 5 , 8 8 2 4 5,9406 16,8162 21,2071 0 , 9 8 2 9 0,6640 77,4292 81,0743 0,1331 0,0979 2,1688 1,4357 58,7727 55,6832 35,0900 37,4955 6,1373 6,8213 1,0528 0,7668 1,1160 0,6388 0 , 0 0 0 0 0,0300 2,1688 1,4357 48,5439 53,4094 51,4561 44,4977 0 , 0 0 0 0 2,0928 0 , 0 0 0 0 0,0000 0 , 2 2 1 8 0,1257 0 , 7 6 1 0 0,5383 18,1023 13,1879 18,1022 10,1533 18,1022 10,1533

4 43,1921 28,8776 36,1719 1,2950 0,0110 1,6356 74,0344 0,0129 1,3920 40,3037 0,6950 5,8824 18.3421 0,8807 78,9109 0,1424 2,1324 60,7310 32.5903 6,6787 1,0577 0,9921 0,0826 2,1324 49,5998 46,5260 3,8742 0,0000 0,1857 0,6950 19,3688 15,1555 15,1555

5 47,7017 32,2278 40,1709 0,8052 0,0114 1,5757 54,5340 0,0134 1,3459 30,9019 0,5280 5,9406 21,6402 0,6488 81,3826 0,0998 1,4330 56,1902 36,8445 6,9653 0,7720 0,6246 0,0365 1,4330 53,8685 43,5875 2,5441 0,0000 0,1208 0,5280 13,4418 9,7596 9,7596

6 42,4517 28,1966 35,4597 1,2998 0,0111 1,6218 71,9661 0,0130 1,3815 38.9854 0,6793 5,8824 18,7437 0,8569 79,2691 0,1447 2,1237 61,2014 3t,9854 6,8132 1,0586 0,9635 0,1016 2,1237 49,8461 45,3694 4,7845 -0,0000 0,1777 0,6793 19,6785 14,4964 14,4964

daraus resultierenden Schmfilerung des Darlehensanspruchs und Abktirzung der Tilgungszeit wird somit nicht einmal durch die maximale Fortsetzerreserve kompensiert.

3, Triigheitsreserve Angesichts des im allgemeinen geringen Umfangs der Guthabentr~igheit im Bauspargesch~ift wird wie frfiher ausschliel31ich die Tr/igheitsreserve aus zugeteilten, aber noch nicht ausgezahlten Bauspardarlehen betrachtet. Verschiebt sich der Abruf des vollen Darlehens um g Quartale, so sind die darlehensabh/ingigen Gr6Ben mit dem Faktor p ~ ,abzuwerten", weil sie den um g Quartale friiheren Zug~ingen entstammen. Femer ist zu berticksichtigen, dal3 die Bausparkasse eine Tr/igheitsreserve bilden mufS, die im dynamischen Beharrungszustand die H6he hat: TR(g, p) = D ( 0 ) . pg - 1 . pt-g+l

(106)

und der aus der Zuteilungsmasse aus Progressionsgr0nden zugefiJhrt werden muB: ZTR(g, p) = p - ! • TR(g, p) = D ( 0 ) . (pg - 1). p t - g , P 566

(107)

Die rechte Seite der Gleichung (107) zerlegt die Bewegung bei der Trfigheitsreserve in die Entnahme des ausgezahlten Bauspardarlehens D(0) • p t - g und die Zuffihrung des gerade zugeteilten Darlehens D(0) • p t Besonders sei darauf hingewiesen, dass die bereitgestellten, aber noch nicht ausgezahlten Bauspardarlehen im hier vorgestellten Formelwerk als noch nicht der Zuteilungsmasse entnommen gelten; sie erh6hen vielmehr bei Zuteilungsannahme die Tr~igheitsreserve, aus der sie bei Auszahlung in den Bestand der ausgezahlten Bauspardarlehen tibergehen. Die Sparzeit s ist aus der Kassengleichung ftir die Bestandsgr6gen: GS(R, s, p) = DS(R, t, p) • p-~ + TR(g, p)

(108)

oder aus der Gleichung fur die Umsatzgr6gen zu berechnen: SSP + SGZ + STB p-g = ZBG + ZBD • p-g + ZTR(g, p).

(109)

Ahnlich der Gleichung (94) ftir die Fortsetzerreserve erweist (108), dass die Tr~igheitsreserve ebenfalls von den Bausparguthaben bedeckt werden mug und die Guthaben insofern nur gemindert ftir die Refinanziemng von Bauspardarlehen zur Verftigung stehen. Durch Fortsetzer- und Tr~gheitsreserven bleibt der Anlagegrad auch im statischen Beharrungszustand unter 100%. Die Bildung der Trfigheitsreserve wirkt im Vergleich zu dem Fall, dass es keine Trfigheit g~ibe, wartezeitverl~ingemd. Dies ist aus der Tabelle 8 (und [3]) in bezug auf die Erh6hungen der Zielbewertungszahlen und der iSKLV dutch die Darlehenstrfigheit tiber g = 2 Quartale wie folgt zu entnehmen: Quartalsprogression des Neuzugangs

Sparzeit s

0% 1% 2%

32,10 30,74 29,36

Keine Trfigheit ZieliSKLV BZ 808,4 737,8 669,6

Darlehenstrfigheit g = 2 Quartale SparZieliSKLV zeit s . BZ

100 80,64 64,94

32,81 31,37 29,92

846,3 770,1 685,6

112,02 89,10 70,85

4. Darlehensver~ichte Die bei dem konstanten Teil a(V) der zugeteilten Bausparsummen im Zeitpunkt s ausgesprochenen vollst~indigen Verzichte auf das Bauspardarlehen lassen sich am einfachsten modellieren; denn die darlehensabh~ingigen Bestands- und Umsatzgr6gen sind lediglich auf 1-a(V) zur/ickzuftihrem w~ihrend die Formeln flit die sparzeitabh~ingigen Gr6J3en unver~ndert bleiben. Das liefert bei A(V) = A die Kassengleichung in den Saldensummen yon Soll und Haben: SL = GS(R, s, p) = [( 1-a(V)] • DS(R, t, p) = KL. (110) Zahlenmfil3ig lassen sich die Auswirkungen der Darlehensverzichte an folgendem Auszug aus der Tabelle 8 studieren: QuartalsKeine Darlehensverzichte progression SparZieliSKLV des Neuzeit s BZ zugangs

15% Darlehensverzichte SparZiel- iSKLV zeit s BZ

30% Darlehensverzichte SparZiel- iSKLV zeil s BZ

0% 1% 2%

31,07 29,70 2830

29,84 28,44 27,03

32,10 30,74 29,36

808,4 737,8 669,6

100 80,64 64,94

754,6 685,6 619,4

85,00 68,39 55,00

692,7 70,00 625,7 56,16 562,1 45,08 567

Tabelle 8. Bauspartechnische Kennzahlen fiir den dynamischen Beharrungszustand von Ratensparbest~inden bei Tr~igheitsreserve und Darlehensverzichten (Anlagegrad 100% bei Darlehensverzichten; Darlehensgebtihr 2%) Position

Einheit

Fall 1

2

Darlehenstr~igheit tiber zwei Quartale a(V) r q p A d B s r~ (r~-I)/(r-l) G(R, s) D(R, 0) Q t stat. GS=SL=ZielBZ p~ (p~-r~)/(p-r) (pS-I)/(p-l) pt dyn. GS (pt_ 1)](p-l) pg dyn. DS (pg-1)/(p-I) Tr~igheitsreserve GS - DS - TR stat. DS iSKLV SNZBS SZBS SBS Anspargrad Anlagegrad Zuteilungsgrad Sparbeitrage Guthabenzinsen B - (q-1).D(R. 0) qt (pratt)/(p~q) Tilgungsbetr~ige Sparintensitat I j. Tilggsintensit~it I j. Summe Tilggsbeitrage Tilggsanteil TiB Zufltisse ZMasse Anteil Sparbeitr. Anteil Tilggsbetr. Anteil Zinsen Zuget. Guthaben Zuget. Darlehen Zuftihrung TR Entnahmen ZM Anteil Guthaben

568

Qu.

Qu. %

100%

100% 100% %

% % %

% % % % % %

%

0 1,0075 1.0125 1,01 0,015 1.02 0.018 31.3747 1,2642 35,2255 0,5284 0.4811 1,5016 32,7277 770,1482 1,3664 40,8887 36,6413 1,3849 11,8824 38,4932 1,0201 10,5566 2,0100 1,3258 0,0000 8.6438 89.0984 51.2531 40,8682 92,1213 23,1838 88,8419 44.3635 0,7612 0,0882 0,0120 1,5016 46,6845 0,5486 5,9406 20,7861 0,6792 80,7648 1.3980 54,4483 54,8575 8,8236 0,7318 0,6531 0,0131 1,3980 52,3444

3

4

5

6

Darlehensverzichte bei ... % der Bausparsumme 15 15 30 30

0 0.15 0.15 1,0075 1,0075 1,0075 1,0125 1,0125 1.0125 1,02 1,01 1,02 0,015 0,015 0,015 1,02 1,02 1,02 0,018 0,018 0,018 29,9205 29,6954 28,3006 1,2505 1,2484 1.2355 33,4038 33,1237 31,3979 0,5011 0,4969 0,4710 0,5089 0,5132 0,5396 1,5466 1,5537 1,5993 35,1020 35,4734 37.8002 696.6650 685,6456 619,4449 1.8085 1,3438 1,7514 44.6387 38,1372 41,2749 40.4256 34,3770 37,5710 2.0039 1,4233 2,1139 1 7 , 2 2 3 1 10,8106 15,9726 50.1966 42.3291 55,6959 1,0404 1.0000 1,0000 15.2033 10,8103 15,9726 2,0200 0.0000 0,0000 2.0197 0.0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0000 9.8331 10,0251 11.2632 70,8489 68.3931 54.9970 82.6303 49.4178 81,0104 53,1809 36,3396 48.2883 135,8113 85,7574 129,2988 20,8436 21,8759 19,7167 88,2729 99,9976 100.0000 39,1580 42.3748 37.3463 1,2152 0,7339 1,1913 0,1266 0,0803 0,1174 0,0116 0.0116 0.(1113 1,5466 1,5537 1,5993 60,9784 52,1820 68,6141 0,6821 0,5138 0,6564 5,8824 5,9406 5,8824 17.9471 19,0131 16,4383 0,8685 0,6476 0,8521 78.5463 79,3416 77,0295 2.0239 1,3280 1,9652 60.0392 55,2636 60,6219 34.1069 17,1282 16,4101 6,3320 2,6759 2,9361 1,0041 0,7072 0,9956 0,9802 0,6209 0,9696 0,0396 0.0000 0,0000 2,0239 1,3280 1.9652 49,6107 53,2488 50.6614

0,30 1,0075 1,0125 1,01 0,015 1,02 0,018 28,4352 1,2367 31,5636 0,4735 0.5371 1.5948 37,5737 625,6774 1,3270 36.1194 32.7026 1.4533 10,0309 45,3350 1,0000 10.0308 0,0000 0,0000 0,0001 I 1,1401 56,1646 48,0035 32,0518 80,0554 20,8962 99,9991 40,0371 0,7129 0,0745 0,0113 1.5948 56,5878 0,4471 5,9406 17.8281 0,5712 78,2669 1.2345 57.7506 8.9415 1,4897 0,6881 0,5464 0,0000 1,2345 55,7393

0,30 1,0075 1,0125 1,02 0.015 1,02 0,018 27,0265 1,2238 29,8371 0,4476 0,5635 1,6429 39,9640 562,1029 1,7078 38,7205 35,3892 2,2065 14,9947 60.3233 1.0000 14.9948 0,0000 0,0000 -0,0001 12,4687 45.0810 79.6468 43,0708 122,7176 18,8266 100.0004 35,0975 1,1713 0,1103 0,0110 1,6429 75,1442 0,5763 5,8824 15,3737 0,7601 75,8234 1.8578 63,0449 9.6052 1.8376 0,9875 0,8703 0,0000 1,8578 53,1539

Tabelle 8. (Fortsetzung) Position

Einheir

Anteil Darlehen Anteil ZuffihrgTR SL in zuget. BG KE in zug, BD kSKLV Diff Zufl.-Entn.ZM Darlehenszinsen Tilggsbetr~igeals Diff. Rekursiv berechn. GS Rekursiv berecbn. DS Altern. rekurs, ber. DS TR zu DS Darlehensverzichtsquote

% % %

% %

Fall 1 46,7166 0,9390 10,6660 11,9711 89,0984 0,0000 0,1307 0,5486 11,8824 10,5566 10,5566 12,5595

2

3

4

48,4326 46,75t 2 1,9567 0,0000 13,9607 9 , 7 5 8 7 19,7049 [2,1283 70,8489 80,4624 0 , 0 0 0 0 0,0000 0 , 1 8 6 3 0,1338 0,6821 0,5138 17,2231 10,8106 15,2033 10,8103 15,2(133 [0,8103 13,2845 0,4320

5

6

49,3386 0,0000 13,0946 20,238[ 64,7024 0,0000 0,1957 0,6564 15,9726 15,9726 15,9726

44,2607 0,0000 9,0933 t 1,3333 80,2351 0,0000 0,1241 0,4471 10,0309 10,0308 10,0308

46,846l 0,0000 12,4026 19,2583 64,4014 -0,0000 0,1838 0,5763 14,9947 14,9948 14,9948

0,3914

0,9083

0,8311

Der Anteil der kanftigen Darlehensverzichte am summenmfigigen Neuzugang spiegelt sich direkt im iSKLV des statischen Beharrungszustandes wider. Von allen wartezeitbestimmenden Faktoren dritter Art bewirken die Darlehensverzichte den deutlichsten Rfickgang yon Wartezeitem Zielbewertungszahlen und iSKLV, well die Darlehensverzichter zugunsten der darlehensnehmenden Bausparer die volle Sparerleistung erbringen, ohne eine Kassenleistung zu bekommen.

V. B a u s p a r m a t h e m a t i s c h e s

Gesamtmodell

1. Formeln Im Gesamtmodell werden die einzelnen wartezeitbestimmenden Faktoren zusammengeftihrt, damit sich ein m6glichst realistisches Abbild der Bausparwirklichkeit ergibt. Dabei kann nach Fortsetzern, die (wie unter IV 2) im Zeitpunkt s+f die volle Bausparsumme beanspruchen (FD), und solchen, die dann auf das Bauspardarlehen verzichten (FV), unterschieden werden. Ferner ist es m6glich, Schnellsparer zu integrieren und insofern auf die Erkenntnisse von I[[ 2 c zurtickzugreifen. Nach den bisherigen ErOrterungen bedtirfen die dauerhaft konstanten Anteile der verschiedenen Bausparergruppen an der Bausparsumme des Neugeschfifts mit a(S) + a(R) + a(K) + a(FD) + a(FV) + a(V) -~ 1

(111)

keiner n~iheren Erl~iuterung mehr. Zur Vereinfachung ist ftir die nachfolgenden Tabellen 9 und 10 angenommen, dass - die Ktindiger wie gehabt nur ein Drittel der normalen Sparbeitr~ige A entrichten und ihren Bausparvertrag im Zeitpunkt s unter Rtickzahlung des Bausparguthabens aufl6sen, - die Fortsetzer in der Fortsetzungszeit keine Sparbeitr~ige mehr zahlen und die Rechte aus der frtiheren (nicht angenommenen) Zuteilung nach f = 6 Quartalen wieder geltend machen, zum Tell mit Bauspardarlehen (FD), zum Tell ohne (FV), - for die darlehensnehmenden R und FD (nicht abet ftir die S) eine Tr~igheit des vollen Darlehens von g = 2 Quartalen gilt und - im Falle a(S) = 0 die Verteilung (111) aus den beiden frtiher vorgestellten Hauptversionen I und II des bausparmathematischen Gesamtmodells tibernommen wird. 569

Tabelle 9. Bauspartechnische Kennzahlen ftir den dynamischen Beharrungszustand von 3%/5%Ratensparbest~inden bei Verhalten nach dem bausparmathematischen Gesamtmodell ohne und mit 50%-Schnellsparern (Keine und maximale Fortsetzerreserve; Darlehensgebiihr 2%) Position

Einheit

Fall 1 1

Fortsetzerreserve r q p A A(F) d B B(S) B(F) a(S) a(R) a(K) a(FD) a(FV) a(V) s(R) = s r~ (r~-l)/(r-l) G(R, s(R)) D(R. 0) Q(R) t(R) = t stacGS(R) = ZielBZ stat.DS(R) iSKLV(R) GS(R) - (r-1)/E (stat.) s(S) r*ts~ (r~S~-l)/(r-1) G(S, s(S)) D(S. 0) QfS) t(S) stat.GS(S)=ZielBZ stat.DS(S) iSKLV(S) rt (rt-1)/(r-I) G(F, s+f) stat. D(E 0) Q(F) t(F) GSIE s+f) stat. stat. DS(F) iSKLV(FD) p~ (p~-r~)/(p-r) (p*-l)/(p-1) pt dyn.GS(R, s, p) pslSl 570

2 Hauptversion I keine

3

4

II

Hauptversion II maximal

1,0075 1,0075 1,0075 1.0075 1,0125 1,0125 1,0125 1,0125 1.01 1.02 1.01 1,02 0.015 0,015 0,015 0,015 0 0 0 0 1,02 1,02 1,02 1,02 0.018 0,018 0,018 0,018 0,018 0.018 0.018 0,018 0,018 0.018 0,018 0,018 0 0 0 0 0,40 0,40 0.50 0.50 0.15 0,15 0.10 0,10 0,15 0,15 0,20 0,20 0,25 0.25 0,15 0.15 0,05 0,05 0,05 0,05 Qu. 26.6719 25,1586 29.4386 27,8983 1,2205 1.2068 1.2460 1,2318 29,4053 27,5755 32,8045 30,9034 1/,4411 0.4136 0,4921 0.4636 0.5701 0,5981 0.5181 0,5472 1,6554 1,7104 1.5620 1,6129 Qu. 40.5730 43,2064 35,8986 38,4794 100% 546,6706 483,3717 673,1857 601,0180 100% 12,8172 1 4 , 3 6 9 5 1 0 . 2 4 6 8 11.6361 % 42,6513 33,6387 65.6973 51.6512 Qu.

Qu. 100% 100% %

Qu. 100% 100% %

100%

1.0459 6,1136 0,4613 0,5495 1.6170 38,6863 8,1633 11,7507 69,4708 1,3039 33,3623 30,3945 1,4974 8.9766

1.0459 1.0459 6.1136 6,1136 0,4326 0,5146 0,5788 0.4951 1.6720 1,5239 41.3776 33,9138 7,3625 9,7402 13,2837 9.2297 55,4252 105.5307 1.6458 1,3403 35.1161 3 7 , 7 2 2 7 32,2883 34,0341 2,3528 1,4293 13,5722 10.6500

5

6

15% Schnellsparer mit E = 50 maximal

1.0075 1,0125 1.01 0.015 0 1,02 0,018 0.018 0.018 0,15 0,40 0,20 0,05 0,15 0,05 28,4881 1.2372 31,6287 0,4744 0,5361 1,5931 37,4850 628,1325 11.0919 56,6296 0.0942 12,0505 1,0942 12,5627 0,5471 0.4619 1.4723 31,1399 628,1325 7.8856 79.6561 1.0459 1.0459 6.1136 6,1136 0.4848 0,4962 0,5255 0.5139 1,5746 1,5549 36,5480 35,5328 8,8442 9,1818 10.5893 10,0559 83,5197 91,3076 1,7375 1.3277 40.4598 36,2032 36.8761 32,7723 2,1425 1.4521 15,6633 10,0632 1.1274

1,0075 1,0125 1.02 0.015 0 1,02 0,018 0,018 0,018 0,15 0.40 0,20 0,05 0,15 0,05 26,9790 1,2233 29,7791 0,4467 0.5644 1,6445 40,0455 560,0208 12.5151 44,7476 0.0840 10,7951 1.0840 11.2004 0,5420 0,4672 1,4802 31.5699 560,0208 8.0879 69,2417 1,0459 6,1136 0,4672 0,5435 1,6062 38,1474 8,3311 11.4532 72.7401 1.7062 38,6267 35,3089 2.2100 14,9584 1,2383

Tabelle 9. (Fortsetzung) Position (p~lS~-r'lSl)/(p-r) pUS~ pS(Rl-,i(SI+tIR) tlS~ d~cn.GS(S, s(S), p) pf , (p -r~)/(p-r) dytn.GS(F) Teil 2 (p -1 )/(p-I ) dyn. GS(F)Teil 3 dyn.GS(F) in Fo-zeit dyn.GS(F) insges. dyn.GS(GM) (pSlSl-I)/(p- 1) SNZBS(R) SNZBS(S) SNZBS(F) SNZBS(GM) Kiindigeranspargrad Ktindigungsquote fiihrl. Durchschn.Ansparg.R Durchschn.Ansparg.S Durchschn.Ansparg.F Durch..Ansparg.insges. SNZBS(F, f, p) Fortsetzer-Anspargrad Anteil Forts.an SNZBS Fortsetzerreserve FR(E f, pJ zu SNZBS(F) (pt-I//(p-1 ) pg Eck.Klammer DS(R/ dyn.DS(R) (pt(Sl-I)/(p-1 ) Eck,Klammer DS(S) dyn. DS(S/ ,~t pPt t(l-i (p,F~_ 1)/(p-1 ) Eck.Klammer DS(FD) dyn.DS(FD) dyn.DS(GM) Anlagegrad(R) Antagegrad(S) Anlagegrad(FD) Anlagegrad(GM) insg. (p~-I)/(p 11 Trhgheitsreserve (R) Trhgheitsreserve (FD) TrS.gheitsreserve (GM) GS(GM) - FR DS(GM) + TR Differenz Sparerleistung (R+V+K) Sparerleistung (S) Sparerleistung (FD+FV) Sparerleistung (GM) Kassenteistung (R)

Einheit

Fall 1

2

3

4

100~ 100~7~ 100% 100% 100% 1(J(IC} 1(1(/% 1(/0% c} % % (/c % c} 100c~ % % 9;

100%

1,0615 6,2672 3,9383 6,1520 0,0000 3,9383 12,9149 9,6543

1,1262 6,4248 5,6631 6,3081 0,0000 5,6631 19,2353 14,4802

1,0615 6,2672 4,1939 6,1520 0,0000 4,1939 14,8439 I 1,4078

1,1262 6,4248 5,7795 6,3081 0,0000 5,7795 21,4427 16,6418

45,9672

77,4868

49,1323

80,5888

54,7320 49,4731 14,7026 1,8160 19,5282

90,9294 82,8639 13,7877 1,7036 17,5155

57,4987 52,0605 16,4023 1,0982 21,6761

92,8301 84,8733 15,4517 1,0098 19,4360

23,5966 19.5141 8,7648 44,9335 7,0865 (1 (1 49.7377 0,9803 0,0416 16,4853

21,1541 17,4747 13,4425 42,1284 6,4890 0 0 67,6392 0,9612 0,1897 24,7953

25,8160 21,9126 8,3665 50,1279 5,6247 1.8330 62,60 42,9326 0,9803 ~0,0323 12.7789

23,0989 19,6079 12,2413 47.2127 5,0481 2,5882 60,41 57,1270 0,9612 0,t441 18.8318

100%

1(/(/% e~ % c~ ~7~

1.4695 1,0190 46,9529 0.0377 14,3280 8,7433 183,6476

2,2691 1,0369 63,4552 0,1711 20,5869 13,0061 182,6918

1,4014 t ,0199 40,1374 -0,0287 10,9158 8,5726 119,9906

2,0621 1.0390 53.1072 0,1277 15,4033 12,4966 120,2293

1 1 0 , 9 4 1 5 107,0266 90,5643 89,8201 2.0100 2,0200 (/,6795 1,1147 0,2314 0.3592 0,9109 1,4739 9,6543 14,4802 9.6542 14,4800 0,0000 0,0002 4.0929 5,6863

73,5374 75,1469 2,0100 0,7369 0.2653 1,0022 9,5749 9,5748 0,0000 5,6128

71,8346 75.0912 2,0200 1,1609 0.396(/ 1,5568 14,0536 14,0534 0,0002 7.5116

4,5903 10,2031 7,1787

5,8892 13,4008 11,9813

4,6061 8,6989 7.5256

6,1527 11,8391 12,9982

5 13,2687 1,3632 1,2544 11,4588 1,0615 6,2672 4,1079 6,1520 0,0000 4,1079 14,1711 9,7524 12,7392 48,0635 22,0030 56,5631 45,8543 15,8144 2,5334 20,9373 52,0784 25.0537 21,2681 8,4996 48,3311 3,7072 1.0412 61,25 45,2067 0,9803 -0,0353 13.9785 36,3223 -0,0241 12,1953 1,4241 1,0196 42,4 133 -0,0316 12,0168 8,0216 138,9078 106,4277 84,7979 82,2525 2,0100 0,6197 0.0699 11,6896 8,7112 8,7112 0,0000 4.7125 1,6112 2,5120 8,8357 6,3156

6 12,3468 1,8686 1,6296 19,1738 1,1262 6,4248 5,7446 6,3081 0,0000 5,7446 20.7030 14,7452 11,9169 79,5943 37.0124 92,2212 75,7324 14,8896 2,3346 18,7933 51.8037 22.4493 19.4701 12,6269 45,4950 3.3346 1.4930 59.12 60,5014 0,9612 0,1583 20,6888 43.4278 0,0912 20,2145 2,1285 1.0383 56,4252 0,1412 17,0131 12,1583 138.3090 105,4280 82,1771 82,4565 2,0200 0.9881 0.1056 1,0937 13,2521 13,2520 0.0001 6.3946 2,5579 3,2699 12,2223 10,6339

571

Tabelle 9. (Fortsetzung) Position

Einheit

Kassenleistung iS) Kassenleistung (FD) Kassenleistung (GM) kSKLV (GM) % SZBS(R) 100% SZBS(S) 100% SZBS(FD) 100% SZBS(GM) SBS(R) 100% SBS(S) 100% SBS(FD) 100% SBS(GM) Zuleilungsgrad (R) % Zuteilungsgrad (S) % Zuteilungsgrad (FD) % Zuteilungsgrad (GM) % Anteil NZBS(S)/NZBS % Sparbeitr~ige R+V+K Sparbeitr~ige S Sparbeitr~ige F Sparbeitr~ige GM Guthabenzinsen GM B-(q-I I. D(R,0) qt (pt_qt)/(p_.q) Tilgungsbetr~ige R B(S)-(q-I) - DfS, 01 qt(S) (ptlS)-qt(S))/(p~l) Tilgungsbetr~,ge S B(F)-(q-I ) • D(F, 0) qt(F) (pt(F) qt~F))/(p_q) Tilgungsbetr~ige FD Tilgungsbetr~ige GM Sparintensitfit I j~ihrl. % Tilgungsintensitfit Ij~ihrl. % Tilgungsbeitr~ige R Tilgungsbeitr~ige S Tilgungsbeitr~ige FD Tilgungsbeitrage GM Tilggsanteil in Tilggsbeitr. Zufliisse Zuteilgsmasse Anteil Sparbeitr~ige % Anteil Guthabenzinsen % Anteil Tilgungsbetr~ige % Zuget.Bausparguth. R+V Zuget.Bausparguth. S Zug.Bausparguth.FD+FV Zuget.Bausparguth.GM Zuget.Bauspardarl. R Zuget.Bauspardarl. S Zug.Bauspardarl. FD ZugetBauspardarl. GM K(indiggsrdckzahlungen Zufiihrung Fortsetzerres. Zuf(ihrung Tr~.gheitsres.

572

Fall 1 2.4373 9,9629 87,3126 52,2252

2

3

4,0012 2,4366 16,9994 9,6153 69,6439 106,1137 70,9724 45,3520

4 3,8728 15,8541 84,5253 60,2500

47,4309 28,0047 98,1924 0,0000 102,1629 77,4778 53.1866

6t,4162 37,6014 148,4592 0,0000 152,3456 120.4652 47.8060

40,8633 30,8487 94,4843 0,0000 98,3620 82,9092 47,9995

51,8032 40,4856 140,8388 0,0000 144,6334 125,3589 42,7794

46,4267 36,1454

40,3137 31,2135

41,5438 37,2078

35.8169 32,2958

0,3413

0,5698

0,4257

0,6913

0,2731 0,6144 0,0717 0,0109 1,6554 63,1936 0.2694

0,4558 1,0256 0,1065 0,0105 1,7104 85,6502 0,3465

0,2554 0,6810 0,0847 0,0115 1,5620 53,0597 0.2997

0.4148 1.1061 0,1224 0,0112 1,6129 70,6238 0,3788

0,0111 1,6170 58,9944 0,0927 0,3621 4,9677 16,5675 0,3511

0,0108 1,6720 79,6153 0,1138 0,4603 4,9506 14,1571 0,4681

0,0118 1,5239 49.0236 0,1091 0,4088 5,2327 19,0739 0,3788

0,0114 1.5746 65.0024 0,1318 0,5106 5,2130 16,3428 0,4942

0,1193 0,4703 76,9937 1,0482 58,6138 6,8391 34,5471 0,2972

0,1516 0,6197 74,2801 1,5924 64,4053 6,6865 28,9083 0,4379

0,1361 0,5149 79,3938 1,1745 57,9839 7,2123 34,8038 0,3868

0,1695 0,6637 76,9262 1,7391 63,6046 7,0364 29,3591 0,5462

0,2603 0,5575 0,3347

0,3615 0,7994 0,5410

0,2425 0,6294 0,363(/

0,3228 0,8691 0,5634

0,1140 0,4487 0,0330 0 0,0090

0,1743 0,7153 0,0487 0 0,0289

0,1307 0,4937 0,0234 0,0181 0,0099

0,1922 0,7556 0,0331 0,05(17 0,0305

5 2,0228 0,6742 9,0125 98,0379 47,6489 46,(1201 43,0579 28,1154 95,7124 68,0231 99,6210 73.9698 49,7834 67,6536 43,2217 38,0094 7,1977 0,3688 0,1446 0,1428 0,6562 0,0724 0,0113 1,5931 56,3980 0.2499 0.0122 1,4723 43,6364 0,1004 0,0116 1,5549 52,3042 0,0285 0,3788 5,7239 18,8873 0,3191 (I,1230 0,0359 0,4780 79,2326 1,1073 59,2555 6,5398 34,2047 0,3100 0,1403 0,1357 0,5861 0,3052 0, I 185 0,0345 0,4582 0,0459 (I,0103 0,0068

6 3,6941 1,0802 15.4082 79,3235 63,6919 72,1846 54,8893 39,0489 143,2861 109,1970 147.1105 114,7813 44,4508 66,1050 37,3116 34,0203 7,3309 0,6048 0.2828 0,2341 1,1217 0,1084 0,0109 1,6445 75,3974 0.3173 0,0122 1,4802 51,7808 0,1539 0,0112 1,6062 69,6370 0,0346 0,5058 5,9244 16,6396 0,4187 0,1911 0,0450 0,6548 77,2442 1,7359 64,6172 6,2459 29,1369 0,4442 0,2476 0,1834 0,8752 0,4795 0,2134 0,0513 0,7442 0,0658 0,0293 0,0214

Tabelle 9. (Fortsetzung) Position

Einheit

Entnahmen Zuteilgsm.GM Zufl. Entn. ZM GM Anteil zug, Guthaben % Anteil zug. Darlehen % Ant.Riickz.=Riickz.-qu.1% Anteil Zuf. Fortsetzerres. % Anteil Zuf. Tr~igheitsres. c~ Darlehenszinsen Tilgungsbetrfigeals Diff. Rekursiv bet'. GS(GM) Rekursiv bet. DS(GM) Altem. rek. bet'.DS(GM) RiickzahlungsquoteII % Verzichtsquotej~ihrl. % Aufl6sungsquotejiihrl, c~ Fortsetzerres.zu GS(GM) ~ Tr~gheitsres. zu DS(GM) ~

Fall 1 1,0482 0,0000 53,1838 42,8055 3,1503 0,0000 0,8604 0,1082 0,3621 9,6543 8,7433 8,7433 5,3747 3,4566 5,2726 0 10,4184

2

3

1,5924 0,0000 50,2055 44,9238 3,0558 0,0000 1,8149 0,1594 0,4603 14A802 13,0061 13,0061 4,7447 3,0891 4,7927 0 lt,3323

l, 1745 0,0000 53,5837 42,0303 1,9960 1,5451 0,8448 0,1061 0,4088 11,4078 8,5726 8,5726 3,4424 2,1009 3,1991 16,0677 11,6905

4

5

1,7391 0,0000 49,9737 43,4490 1,9037 2,9182 1,7553 0,1531 0,5106 16,6418 12,4966 12,4966 2,9930 1,8498 2,8596 15,5525 12,4582

6

1,1073 1,7359 0,0000 0,0000 52,9280 50,4160 41,3770 42,8707 4,1475 3,7914 0,9309 1,6865 0,6166 1,2354 0,0993 0,1490 0,3788 0,5058 9,7524 14,7452 8,0216 12,1583 8,0216 12,1583 6,9993 5,8674 2,4232 2,1384 4,9566 4,4730 10.6761 10,125611 8,5969 8,9952

Die Neuzugangs-Bausparsummen werden in der Weise normiert, dass jeweils die ,,letzte'" Zugangsgeneration aller Gruppen das Niveau pt+~ aufweist. Das erfordert, soweit die entwickelten Formeln die betreffende Niveauverschiebung nicht schon enthalten, die Multiplikation mit dem Faktor p-g pt+S-tCs)-sls) ft P tg)~g pt

bei bei bei bei

den Darlehensgr613en der R, allen Werten der S, den darlehensabhangigen Gr613en der FD, die mit t = t(R) gerechnet sind, den mit t(F) gerechneten darlehensabhiingigen Gr/Jgen der FD.

Infolgedessen stellen sich die verschiedenen BS-Best~,nde - hier wie bisher zun~chst ohne Gewichtung mit den Anteilen a - wie folgt dar: SNZBS(R/K/V) = pt+l . P~ ~ l , p-1

(112)

SNZBS(FD/FV) = pt+l . pS+t _ I . p - t = pt+l , _pS _ _-_1+ p-1 p-I SNZBS(S)=pttSl+I.ps~S)-I p-I SZBS(R)=p.

pt _ 1 p-I p

g

pt+l. P f - l . p _ f p-1

(113)

pt+S-tCs) s/s)

(114)

+ pt+l . _ _ . P- g1 ~° p-I P

(115)

(wie bei den FD einschlieBlich der Bausparvertr~ige, deren Darlehen sich in der Tr~igheitsreserve befinden) 573

Tabelle 10. Bauspartechnische Kennzahlen ftir den dynamischen Beharrungszustand von 3%/5%Ratensparbesffinden nach den Hauptversionen I und II des bausparmathematischen Gesamtmodells bei vorgegebenem iSKLV (Keine und maximale Fortsetzerreserve; Darlehensgebtihr 2%) Position Hauptversion Fortsetzerres. r

q P A A(F) l+d B B(F) a(R) a(K) a(FD) a(FV) a(V) s(R) = s rs

(r~-I)/(r- I ) G(R, siR)) D(R, 0) Q(R) t(R) = t GS(R) = ZielBZ stat.DS(R) iSKLV(R) rf

(rf-I)/(r-l) G(F, s+f) stat. D(F, 0) Q(F) t(F) GS(F, s+f) star. stat.DS(F) iSKLV(FD) p~ (p~-r~)/(p-r) (p~-I)/(p-l) pt d~n.GS(R, s, p) P. . (pLrf)/(p-r) dyn.GS(F)Teil 2 (ptZ1)/(p- 1) dyn.GS(F)Teil 3 GS(F)in Fo-zeit dyn.GS(F) insg. dyn.GS(GM) SNZBS(R) SNZBS(F) SNZBS(GM) Kfind.-anspargr. Kfind.-quote p.a. Du. Ansparg.R Du. Ansparg.F 574

Einheit

Fall 1 I keine

2

3

I

1

4

5

I

11

maximal

keine

6

7

II

II

8 II maximal

1,0075 1.0075 1,0075 1.0075 1,0075 1,0075 1,0075 1,0075 1,0125 1.0125 1,(1125 1,0125 1.0125 1.0125 1,0125 1,0125 1,01 1.02 1,01 1,02 1,01 1.02 1,01 1,02 0,015 0.015 0,015 0.015 (1,015 0 . 0 1 5 0,015 0,015 0 0 0 0 0 0 0 0 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 0,018 0,018 0 , 0 1 8 0,018 0,018 0,018 0,018 0.018 0,018 0,018 0,018 0.018 0,018 0,018 0,018 0,018 0,40 0.40 0.40 0,40 0,50 0,50 0,50 0,50 0,15 0,15 0.15 0,15 0,10 0.10 0,10 0,10 0.15 0,15 0.15 0,15 0.20 0.20 0,20 0.20 0.25 0,25 0.25 0,25 0.15 0,15 0,15 0.15 0.05 0.05 0,05 0,05 0.05 0,05 0.05 0,05 Qu. 28,1988 28.1988 29.7490 29,7490 29,7509 29,7509 30,9752 30.9752 1,2345 1.2345 1,2489 1.2489 1.2489 1,2489 1.2604 1,2604 31.2725 31,2725 33,1904 33,1904 33.1927 33,1927 34,7230 34.7230 0.4691 0.4691 0,4979 0,4979 0,4979 0,4979 0,5208 0.5208 0,5415 0,5415 0.5122 0,5122 0,5122 0,5122 0.4887 0,4887 1,6027 1.6027 1,5520 1,5520 1.5520 1.5520 1,5138 1.5138 Qu. 37,9718 37,9718 35,3848 35.3848 35,3817 35,3817 33.3756 33.3756 100% 614,7519 614.7519 688,2616 688,2616 688.3537 688.3537 749,5644 749,5651 100% 11,3570 11,3570 9,9792 9.9792 9,9775 9,9775 8,9618 8,9618 % 54,1300 54,1300 68,9699 68,9699 68,9903 68,9903 83,6399 83,6400 1.0459 1.0459 i .(1459 1,0459 t ,0459 1.0459 1.0459 1.0459 6.1136 6,1136 6,1136 6,1136 6.1136 6,1136 6,1136 6,1136 0.4906 0,4906 0,5207 0.5207 0.5207 0.5207 0.5447 0.5447 0,5196 0,5196 0.4889 0,4889 0.4889 0,4889 0,4644 0,4644 1.5645 1,5645 1.5140 1.5140 1,5140 1,5140 1,4760 1,4760 Qu. 36,0298 36,0298 33,3896 33,3896 33.3864 33,3864 31,3402 31,3401 100% 9,0154 9,0154 9.9263 9,9263 9.9275 9,9275 10,6799 10,6799 100% 10.3156 10,3156 8,9687 8,9687 8.9672 8,9672 7.9795 7,9795 % 87,3956 87,3956 110,6771 110,6771 11(/.7091 110,7091 133,8409 133,8412 1.3239 13479 1,3445 1,8024 1.3445 1,8024 1,3610 1,8467 35.7452 41.0678 38,2239 44,2764 38.2270 44,2803 40.2275 46,9007 32.3907 37,3946 34,4487 40,1191 34,4513 4(I,1225 36,0991 42.3341 1,4591 2,1211 1.4220 2,0152 1,4220 2,0151 1.3939 1,9366 100% 9,8870 15,8942 10,8442 17,0904 10.8454 1%0919 11,6240 18,0410 1,0615 1.1262 1,0615 1,1262 1,0615 1.1262 1,0615 1,1262 6,2672 6,4248 6,2672 6,4248 6,2672 6.4248 6 , 2 6 7 2 6.4248 100% 4,0814 5,7900 4,2216 5.8382 4,2218 5,8382 4.3291 5,8695 6,1520 6,3081 6,1520 6.3081 6,1520 6,3081 6,1520 6,3081 100% 0.0000 0,0000 0,0000 0.0000 0,0000 0,0000 0.0000 0,0000 100% 4,0814 5.7900 4,2216 5,8382 4.2218 5,8382 4,3291 5.8695 100% 13.9684 21.6842 15,0658 22,9286 15,0672 22,9301 15.9532 23,9106 10.5309 16,6208 11.4484 17,7166 11,6000 17,9958 12,3643 18.8926 100% 47.7345 80,9044 49.4773 82,4645 49.4794 82,4663 50,8214 83.6230 100% 56.2753 93,0233 57,8011 93,9782 57.8029 93,9793 58,9804 94.6876 51,1508 85,7520 52.8068 87,0700 52,3926 86.4959 53,6770 87.4956 % 15,6363 15.6363 16.5952 16.5952 16.5963 16.5963 17.3615 17,3615 1,7115 1,4841 1.6157 1,3887 1,0856 0,9319 1,0387 0,8853 % 20.7126 19,6457 21.9176 20,7246 21,9190 20.7259 22,8724 21.5743 % % 24.8216 23.3105 26,0650 24.3978 26.0665 24,3991 27.0483 25,2521

Tabelle 10. (Fortsetzung) Position

Einheit

Fall 1

2

3

4

5

6

7

8

Du.Ansparg.ges SNZBS(E f, p) Forts.-Anspargr. Forts.zu SNZBS Fortsetzerres. FR / SNZBS(F) (pt-1)/(p-1 ) pg EckKl. DS(R) dyn. DS(R)

% 20,5879 19,3824 21,6799 20,3476 22,1405 20,8054 23,0346 21.5927 100% 8,5408 12,1189 8,3238 11,5137 8,3235 11,5130 8,1590 11,0646 % 47,7868 47,7766 50,7174 50,7065 50,7210 50,7101 53,0594 53,0480 % 6,6790 5.6530 6,3051 5,2894 5,5604 4,6587 5,3201 4,4261 0 0 2,0989 2,9028 0 0 1,8503 2,5089 % 0 0 63,03811 63,0299 0 0 64,7945 64,7860 45,9117 56,0557 42,2038 50,7594 42,1994 50,7532 39,3890 46,8291 0,9803 0,9612 0,9803 0,9612 0,9803 0,9612 0,9803 0,9612 -0,0363 0,1396 -0,0313 0,1185 -0,0313 0.1185 -0,0278 0,1036 100% 14,3586 18,2542 12,4031 15,4882 12,40118 15,4851 10,9919 13.5369 p,IFl 1,4312 2 , 0 4 1 1 1 , 3 9 4 1 1 , 9 3 7 1 1,3940 1,9370 1 , 3 6 5 9 1,8601 ptt~F~ 1,0195 1 , 0 3 9 2 1,0201 1,0403 1,0201 1 , 0 4 0 3 1,0205 1,0411 (ptIF~-1)/(p-1 ) 43,1193 52,0545 39,4084 46,8559 39,4040 46.8498 36,5943 43,0038 Eck.K1. DS(FD) -0,0325 0,1236 -0,0278 0,1037 -0,0278 0,1036 -0,0244 0,0897 dyn. DS(FD) 11///% 12,3663 14.9034 10,5716 12,5169 10,5695 12,5142 9,2830 10,8414 dyn.DS(GM) 7,5984 9,5372 6,5470 8,/1728 8,3143 10,2454 7,3525 8,9368 Anlagegrad(R) % 145,2261 114,8481 114,3750 90,6253 114,3417 90,5991 94,5615 75.0342 Anlagegr.(FD) % 88,5305 68,7294 70,1694 54,5907 70,1494 54,5753 58,1888 45,3416 Anl.-gr.GM) ges % 72,1532 57,3811 57,1865 45,5663 71,6751 56,9321 59,4658 47,3029 (pg-1)/(p-l) 2,0100 2,0200 2,0100 2,0200 2,0100 2,0200 2,0100 2,0200 Tr~igheitsres.(R) 0,6290 /),9099 0,5798 0,8176 0,7247 1,0219 0,6779 0,9372 Tr~igh.-res.(FD) 0,2132 1/,2907 0,1955 0,2599 0,2607 0,3465 0,2427 0,3163 Tr~tgh.-res.IGM) 0.8422 1,2006 0,7753 1 , 0 7 7 5 0.9853 1,3684 0,9206 1,2535 GS(GM) FR 10,5309 16,6208 9,3496 14,8138 11,6000 17,9958 10,5140 16,3837 DS(GM) + TR 8,4406 10,7378 7,3223 9,1503 9,2996 11,6137 8,2731 10,1903 Differ.= SR 2,0903 5,8830 2,0273 5,6635 2,3004 6,3821 2,2409 6, 1935 SL (R+V+K) 4,4850 6,5198 4,8937 6,9349 5,7099 8,0913 6,0947 8,4676 SL (FD+FV/ 4,9568 6,7921 5,3190 7,1050 4,6545 6,2172 4,9083 6,4279 SL GM) 9,4418 13,3119 10,2127 14,0399 10,3644 14,3085 11,0031 14,8955 KL (R) 6,4978 9,2616 5,5644 7,7316 6,9542 9,6623 6,1228 8,3407 KL (FD) 2,0850 2,8012 1,7667 2,3139 2,3551 3,0844 2,0543 2,6378 KL (GM) 8,5828 12,0628 7,3311 10,0455 9,3093 12,7468 8,1771 10,9785 kSKLV (GM) % 110,0081 110,3551 139,3054 139,7634 111,3334 112,2519 134,5592 135,6797 SZBS[R) 100% 48,3610 59,1572 44,6159 53,7550 44,6115 53,7487 41,7730 49,7460 SZBS(FD) 100~ 43,7383 50,8233 40,1599 45,9786 40,1557 45,9729 37,4437 42,3827 SZBS(GM) 25,9051 31.2864 23,8704 28,3988 3(/,3369 36,0689 28,3752 33,3496 SBS(R) 11)0~7c 96,0954 140,0616 94,0932 136,2195 94,0908 136,2150 92,5943 133,3690 SBSfFD) 100% 1/10,0136 143,8466 97,9610 139,9568 97.9586 139,9523 96,4241 137,0703 SBSfGM) 77,0559 117,0384 76,6772 115,4688 82.7295 122,5648 82,0523 120,8452 Zut.-grad (R) % 50,3260 42,2365 47,4167 39,4620 47,4132 39,4587 45,1140 37,2995 Zut.-grad (FD) c~ 43,7324 35,3316 40,9958 32,8520 40,9925 32,8490 38,8323 30.9204 Zut.-grad (G M ) % 33,6186 26,7317 31,1310 24,5943 36,6700 29,4285 34,5819 27,5969 Sparb. R+V+K 03545 0,5949 0,3674 0,6064 0,4287 0,7074 0,4403 0,7174 Sparbeitrage F I),2836 0,4759 0,2939 0,4851 0,2572 0,4245 0,2642 0,4304 Sparbeitr. GM 0,63811 1 , 0 7 0 8 0,6613 1,0914 0,6859 1,1319 0.7045 1,1478 Guth.-zins.GM 0,0782 0,1222 0,0850 0,1303 0,0861 0,1323 0,0918 0,1389 B-(q-I ). D(R, 0) 0,0112 0,0112 0,0116 0,0116 0,0116 0,0116 0,0119 0,0119 qt 1,6027 1 , 6 0 2 7 1,5521/ 1,5520 1,5520 L,5520 1 , 5 1 3 8 1,5138 (pt qt)/(p q) 57.4429 69,1184 52,0001 61,7534 51,9937 61,7449 47,9556 56,3737 Tilgungsbetr. R I),25311 0,2984 0,2365 0,2754 0,2956 0,3442 0,2795 0,3221 B(F)-(q-1 )-D(E 0) 0,0115 0,0115 0,0119 0,0119 0,0119 0,0119 0,0122 0,0122 t¢FI q 1,5645 1 , 5 6 4 5 1,5140 1,5140 1,5140 1,5140 1,4760 1,4760 (p tF _q IF )/(p_q) 53,3318 63,5424 47,9832 56,4102 47,9769 56,4019 44,0158 51,2125 Tilgungsbetr.FD 0,0867 0,0973 0,0806 0,0893 0,1075 0,1191 0,1012 0.1110 Tilggsbetr.G M 0,3396 0,3957 0,3171 0,3647 0,4030 1/,4632 0,3807 0,433 I Sparint. 1 j~ihrl, % 4,9894 4,9948 5,0094 5,0141 5,2363 5,2344 5,2496 5,2472 Tilggsint. I j~ihrl. % 17,8787 16.5964 19,3729 18,0691 19,3901 18,0857 20,70947 19,3870

575

Tabelle 10. (Fortsetzung) Position

Einheit

Tilgungsbeitr.R Tilggsbeitr. FD Tilggsbeitr. GM Tilgg/Tilggsbeitr. Zufliisse ZM Anteil Sparbeitr. Anteil Guth.-zi. Anteil Tilggsbetr. Zuget.BG R+V Zug.BG FD+FV Zuget.BG GM Zuget.BD R Zug.BD FD Zuget.BD GM Kiind.-rtickzahl. Zufiihr. FR Zuf(ihr. TR Entn. ZM GM Zuf-Ent ZM GM Anteil ZBG Anteil ZBD Riickz.-quote I Anteil Zuf. FR Anteil Zuf. TR Darl.-zins. GM Tilgsbetr.= Diff. Rekurs.GS(GM) Rekurs.DS(GM) AIt.rek.DS(GM) Riickz.-quote II Verzichtsqu.j/i. Aufl6sgsqu. j~i. FR zu GS(GM) TR zu DS(GM) SR zu GS(GM)

% % % %

% % % % %

% % % % % %

Fall 1

2

0,3241 0,1096 0,4337 78,3151 1,0559 60,4281 7,4063 32,1656 0.3080 0,2697 0,5777 0,3098 0,1050 0,4149 0,0342 0 0,0083 1,0352 0,0207 55.8121 40,0763 3,3060 0,0000 0,8055 0,0940 0,3396 10,5309 7,5984 7,5984 5,3638 3,2578 4,9693 0 11,0839 19,8494

SZBS(FD) = p.

3

4

5

0,3879 0,2979 0,3513 0,1247 0,1002 0,1123 0,5126 0,3981 0,4636 77,1985 79,6472 78,6603 1,5887 1.0634 1,5864 67,4000 62,1885 68.8006 7,6925 7,9943 8,2117 24,9075 29.8172 22,9876 0,4477 0,3186 0,4515 0,3696 0,2790 0,3727 0,8174 0,5976 0.8242 0,4416 0,2856 0,3968 0,1411 0,0963 0.1261 0.5827 0.3819 0.5230 0.0497 0,0354 0.0502 0 0,0208 0,0569 0,0235 0,0077 0,0211 1,4734 1,0434 1,4753 0,1154 0,0201 0.1110 55,4757 57,2762 55,8627 39,5499 36,6036 35,4471 3.3766 3,3928 3,4002 0,0000 1,9917 3.8580 1,5978 0,7357 1,4321 0,1169 0,0810 0.0989 0,3957 0,3171 0,3647 16,6208 11,4484 17,7166 9,5372 6,5470 8,0728 9,5372 6,5470 8,0728 4,6460 5,3526 4,5961 2,6911 3,0754 2,5181 4,1753 4,6912 3,9067 0 18,3332 16,3848 12,5888 11,8422 13,3474 35,3953 17,7081 31,9670

pt(F) --1 p-1

. p-g +

pt(F)+l

6

7

0,3723 0,4390 0,3475 0.1336 0,1498 0,1241 0,5059 0,5888 0,4717 79,6615 78,6757 80,7073 1,1750 1.7274 1,1769 58,3690 65,5238 59,8550 7,3308 7.6600 7,8011 34,3002 26,8162 32.3439 0.3894 0,5518 0,3993 0,2441 0,3261 0,2503 0,6335 0,8779 0,6496 0,3570 0,4960 0,3339 0.1284 0,1682 0,1196 0,4854 0,6641 0,4535 0,0236 0.0334 0.0242 0 0 0,0183 0.0098 0,0268 0,0091 1,1523 1,6023 1,1547 0,0228 0,1251 0,0222 54,9827 54,7903 56,2590 42,1225 41,4480 39,2695 2,0482 2.0872 2,0957 0,0000 0,0000 1,5865 0.8467 1,6745 0,7893 0,1029 0,1256 0,0910 0,4030 0,4632 0,3807 11,6000 17,9958 12,3643 8,3143 10,2454 7,3525 8,3143 10,2454 7,3525 3,4410 2,9546 3,4353 2,0769 1,7071 1,9871 3,1626 2,6390 3,0259 0 0 14,9650 11,8509 13,3559 12,5206 19,8307 35,4641 18,1238

p- -- 1- 1 - -pg

pt(S) _ 1 pt+S-t~s) s(S) SZBS(S) -- p . - - . p-1

p - g 1 . p t - t ( F ) - f und

8 0,4051 0,1376 0,5427 79.8182 1,7198 66.7374 8,0774 25,1853 0.5548 0,3279 0,8826 0.4549 0,1535 0,6084 0,0336 0.0492 0,0246 1,5984 0,1214 55,2193 38,0618 2,1035 3.0777 1,5377 0,1095 0,4331 18,8926 8,9368 8,9368 2,9293 1,6219 2,5072 13,2798 14,0263 32,7825

(116) (117)

Die Bestiinde und Ums~itze der Geldgr6gen lauten: G S ( G M ) = a ( S ) . GS(S, s(S), p). pt+S-t(S)-s(S) + Ia(R) + ~

(118)

+ a ( V ) l " GS(R, s, P)

+ [a(FD) + a(FV)] • GS(F, s + f, p), F R ( G M ) = [a(FD) + a ( F V ) ] . F R ( f , p), 576

(119)

DS(GM) = a(S ). DS(S, t(S), PT" pt+~-tl s)-~¢s) + a(R). DS(R, t, p)- p g + a(FD). DS(FD, t(F), p). p-g,

(120)

TR(GM) = a(RT. TR(R, g, p)+ a(FD). TR(FD, g, p). p - f ,

(121)

SSP(GM) = a(S). E. pt+S + [a(R)+ a ( K ) + a(V)], a . pt .P s - I p-1 [a(FD)+a(FV)] p[ As . p- t 1• . + A ( F ) - p t ] p f --1 -p-f p-I p-1 ,

(122)

wobei in den Rechenbeispielen der Tabellen 9 und 10 A(F) = 0 ist, SGZ(GM) = r - 1. GS(GMT, P

(123) ptiS) _qttS)

STB(GM) = a(S)-[B(S)-(q -1). D(S, 0)]. + a(R). [B(R)- ( q - 17-D(R, 07]

p-q pt _qt

. pt+~-tcs)-~ls)

• p-g p-q pt{F) _qt(F)

+ a(FD). [B(F)-(q -1). D(F, 0)].

pt-t(F)-f-g, (124)

p-q

ZBG(GM7 = a(S). G(S, s(S)), pt+~-tls)-~ls~ + [a(R)+ a(V)]. G(R, s). pt + [a(FD)+a(FV)]. G(F, s+ f). pt 1

(1257

ZBD(GM) = a(S)-D(S, 0). pt+S us) siS) + a(R). D(R, 07-pt-g +a(FD).D(F, 07.p t f g,

(126)

GIR, s7 pt . , 3

(127)

RK(GM) = a(K).

ZFR(GM) = [a(FD) + a(FV)], p-E1 . FR(f, p), P

(1287

ZTR(GM) = [a(R7. TR(R, g, p7 + a(FD)-TR(FD, g, p).p e]. P - 1 (129) P Wfihrend es auf der Seite der Zufltisse zur Zuteilungsmasse bei den drei Zuflugarten Sparbeitr~ige, Guthabenzinsen und Tilgungsbetr~ige verbleibt, sind im Gesamtmodell bei den Entnahmen neben den Auszahlungen an zugeteilten Bausparguthaben und zugeteilten - erst bei Auszahlung der Zuteilungsmasse zu entnehmenden - Bauspardarlehen zus~itzlich Ktindigungsriickzahlungen sowie Zuftihrungen zur Fortsetzerreserve und zur Tr~igheitsreserve zu beriicksichtigen. Die Kassengleichung lautet bei Bildung von Fortsetzer- und Trfigheitsreserven ftir die Bestandsgr6gen: GS(GM) - FR(GM) = DS(GM) + TR(GM)

und

(130) 577

schliel31ich die Kassengleichung in den Umsatzgrtigen (unter Weglassung des Symbols GM): ZZM -- SSP + SGZ + STB = ZBG + ZBD + RK + ZFR + ZTR = EZM (t31) Nach den friiheren Darlegungen eriibrigt es sich, die Formeln des Gesamtmodells ftir die verschiedenen Kennzahlen anzugeben. Erw~ihnt sei nur, dass einige Werte, so Anspar-, Anlage- und Zuteilungsgrad sowie iSKLV ftir die Einzelbest~inde S, R und FD berechnet werden kOnnen, auch die - in den Tabellen jeweils nut ftir den Gesamtbestand genannten Spar- und Tilgungsintensit~iten und Tilgungsanteile der Tilgungsbeitr~ige.

2. Beispiele fiir den Kollektivausgleich Es liegt auf der Hand, dass sich ftir das bausparmathematische Gesamtmodell (GM) mit seinen zahlreichen Parametern eine kaum mehr tibersehbare Mannigfaltigkeit der denkbaren numerischen Auswertungen auftut. Oberdies dtirften bei jeder Bausparkasse etwas andere bauspartechnische Verh~iltnisse herrschen, die zudem der subjektiven Beurteilung dutch den Bausparmathematiker unterliegen. Wie aus den Tabellen hervorgeht, ist der Programmier7 aufwand zur Umsetzung des Modells nicht gering, abet insofern lohnend, als das implementierte Programm durch Variation der Bestimmungsgr613en zur Erzeugung beliebig vielet GM-Realisationen benutzt werden kann. Vor diesem Hintergrund kann es nicht darum gehen, m6glichst viele Beispielsf~ille durchzurechnen. Vielmehr beschr~inken sich die Beispiele der Tabelle 9 wieder auf ausgewghlte F~ille, bei denen die Ergebnisse ftir den statischen Beharrungszustand in [1] schon vorliegen. Nunmehr wird der dynamische Beharrungszustand mit p = 1,01 und p = 1,02 ftir die GM-Hauptversionen I (ohne Bildung einer Fortsetzerreserve) und II (mit maximaler Fortsetzerreserve) sowie ftir einen Ratensparerbestand betrachtet, der sich in die Teilbest~inde R, K, FD, FV und V aufteilt und dem ein 15%iger Anteil von 50%-Schnellsparem beigemischt ist. Die Sparzeiten s(R) sind so bestimmt, dass nach Bildung von Fortsetzer- und Tr~tgheitsreserven alas Kollektiv ausgeglichen ist, also weder ein Oberschul3 (Schwankungsreserve) noch ein Defizit der Zuteilungsmasse existiert. Auszugsweise ergeben sich nachstehende Kennzahlen: Quartalsprogression des Neuzugangs

Hauptversion I ohne FR Spar- Zielind. zeit BZ SKLV s(R) R

Hauptversion II SparZielzeit BZ s(R)

0% 1% 2%

28,20 26,67 25,16

614,8 546,7 483,3

54,13 42,65 33,64

30,98 29,44 27,90

749,2 673,2 601,0

83,64 65,70 51,65

30,02 28,49 26,98

702,1 72,08 628,1 56,63 560,0 44,75

Anlagegrad

Zuteil.grad

koll. SKLV

Anlagegrad

Zuteil.grad

koll. SKLV

Anlagegrad

Zuteil.grad

91,18 90,56 89,82

40,23 36,15 31,21

109,67 87,31 69,64

74,90 75,15 75,09

40,96 37,21 32,30

133,51 106,11 84,53

81,86 41,30 122,16 82,25 38,01 98,04 82,46 34,02 79,32

0% 1% 2%

max. FR ind. SKLV R

Ratensp. mit 15% S Spar- Ziel ind. zeit BZ SKLV s(R) R

koll. SKLV

Wie nicht anders zu erwarten, vermindern sich mit zunehmender Dynamik des Neugesch~ifts die Sparzeiten der Ratensparer (und der Bausparer mit abweichendem Verbalten) 578

sowie die Zielbewertungszahlen und noch mehr die iSKLV. Das gilt auch for das kSKLV und den Zuteilungsgrad, wS.hrend der Anlagegrad kaum yon der Progression p, wohl aber vom Ausmal3 der Bildung einer Fortsetzerreserve abhangt. Wie sehr es auf die Bestandsmischung der Kollektive ankomrnt, zeigt die Bandbreite der Zielbewertungszahlen bei gleichem p, die fiir die Tabelle 9 im statischen Beharrungszustand immerhin rd. yon 615 bis 750 reicht. Wenn jedoch der bauspartechnische Status des jeweiligen Bausparbestandes durch den Datenkranz der beiden Hauptversionen oder die dritte Konstellation der Tabelle 9 zutreffend beschrieben ist, dtirfen die aus den Zeilen p = 1,01 und p = 1,02 ablesbaren Verbessemngen an die Bausparer nicht weitergegeben werden, da sie allein aus dem wartezeitbestimmenden Faktor erster Art herrtihren. Hingegen k6nnen die Bausparer yon den Wirkungen der Faktoren zweiter und dritter Art durchaus profitieren, die sich jedoch bereits in den Ans~itzen des bauspal'mathematischen Gesamtmodells niederschlagen.

3. Mindestbewertungszahlen und Wirkungen der dadurch vorgegebenen individuellen SKLV Das geeignete Instrument zur Erftillung der aufsichtsrechtlichen Forderung, zwar die wartezeitbestimmenden Faktoren zweiter und dritter Art in die Zielbewertungszahlen einfliegen zu lassen, nicht aber die Progressions- und Anlaufeffekte, sind Mindestbewertungszahlen (MBZ), die - ftir die Optimierer - auch die iSKLV minimieren. Welche Situation ergibt sich nun, wenn derartige MBZ gezogen sind, sich das Kollektiv gleichwohl im dynamischen Behan'ungszustand befindet? Diese Frage beantwortet Tabelle 10 fur einige ausgewahlte F~ille, in denen die iSKLV des statischen Beharrungszustandes der jeweiligen Konstellation ftir die Hauptversionen I und II auch bei p = 1,01 undp = 1,02 vorgegeben sind. Nachstehend einige wichtige Kennzahlen far zwei F~ille: Quartalsprogression des Neuzugangs

Hauptversion koll. AnSKLV lagegrad

0% 1% 2%

109,67 110,01 110,36

91,18 72,15 57,38

I ohne FR ZuSR teil. zu grad SBG 40,23 33,62 26,73

0 19,85 35,40

Hauptversion II mit max. FR koll. AnZuSR SKLV lage- teil. zu grad grad SBG 133,51 134,56 135,68

74,90 59,47 47,30

40,96 34,58 27,60

0 18,12 32,78

Die Folge ist demnach, dass die kSKLV, die in allen betrachteten Beispielen im zul~issigen Bereich > 100% liegen, kaum vonder Progression abh~ingen, durchaus aber von dem Ausreal3 der Dotierung der Fortsetzerreserve. Andererseits vermindern sich mit zunehmender Progression die Anlage- und die Zuteilungsgrade betr~ichtlich, undes bilden sich Schwankungsreserven (SR), d.h. auch nach Bildung von Fortsetzer- und Tr~,gheitsreserven Uberschtisse der Zuteilungsmasse, welche die Bausparkasse aul3erkollektiv anlegen kann. Aus den dadurch erzielbaren Zusatzertr~igen kann sie den Fonds zur bauspartechnischen Absicherung (FbtA) speisen [4].

VI. A b s c h l i e g e n d e

Wertung

Der dynamische Beharrungszustand des bausparmathematischen Gesamtmodells (GM) liefert bei zutreffender Auswahl der ihm zugrundeliegenden Pr~imissen ein brauchbares Abbild der tatsachlichen bauspartechnischen Gegebenheiten von Bausparkollektiven, bei denen das Neugesch~ift ann~ihernd mit konstanter Zuwachsrate geometrisch zunimmt. Das haben 579

friihere Vergleiche der aus dem GM ableitbaren Kennzahlen mit den fur die Gesamtheiten der privaten und der 6ffentlich-rechtlichen Bausparkassen feststellbaren Kennzahlen gezeigt. Ein aktualisierender Vergleich mit den neuesten publizierten Werten [5] unterbleibt nur deshalb, weil sich in den Verbandsstatistiken untemehmenstypische Abweichungen naturgem~if5 verwischen und weil eine Gegentiberstellung der theoretischen und der empirischen Zahlen ohnehin ftir die einzelne Bausparkasse am aussagekr~iftigsten ist, der eine derartige Untersuchung tiberlassen bleiben muf3. Das GM ist nach allem als Prototyp zu verstehen, der Erganzungen und Abwandlungen in fast unbegrenztem Ausmaf3 zug~inglich ist. Beispielhaft seien folgende Verfeinerungen genannt: 1. Die Ktindigung von Bausparvertr~igen kann mit Verteilungsfunktionen der Kfindigungsh~iufigkeiten erfasst werden, die der Realit~it besser nachgebildet sind als der gew~hlte Ansatz einer Vertragsaufl6sung mit vollst~diger Rtickzahlung im Zeitpunkt s [6]. 2. Ftir die Teilbest~inde FD und FV der Fortsetzer k/~nnen die Sparbeitr~ge in der Sparzeit s mit A(FD) und A(FV) abweichend von A (und A(F)) bemessen und dadurch Anspargrade bei Wiedergeltendmachung erreicht werden, die eher der Bausparwirklichkeit entsprechen. Allerdings mtisste dann zur Abgrenzung der Fortsetzer errechnet werden, zu welchem Zeitpunkt diese mit ihrem (im Zweifel) h6heren Sparbeitrag die Zielbewertungszahl der Normalbausparer erreichen und sornit zugeteilt werden k6nnten. 3. Denkbar ist i.iberhaupt, die Sparzeit der Fortsetzer von s unabh~ingig zu machen und deren L~inge nach Erfahrungswerten, die vermutlich stark mit der (siebenj~ihrigen) Bindungsfrist des Wohnungsbau-Pr~imiengesetzes korrelieren, vorzugeben. Auch hier w~ire die Sparzeit s(F) bis zur Zuteilung aus der (schon mit r-I multiplizierten) Gleichung herzuleiten: G(r, s) - s. A = G(F, s(F)) - s(F). A(F). 4. Bei Tariftypen, die den Darlehensanspruch oder die Kassenleistung nach der Sparerleistung bemessen und dadurch weitgehend die Wirkungen von Vertragsfortsetzungen beseitigen, sind die Anteile a(FD) und a(FV) gegebenenfalls = 0 zu setzen. 5. Komplizierter werden die Berechnungen, wenn das Tarifwerk zwei und mehr Varianten mit unterschiedlichen Sparbeitr~igen, Bewertungszahlfaktoren und Tilgungsbeitr~igen enthalt. W~,hlt man die Variante mit dem niedrigsten Sparbeitrag, also der meist l~ingsten Sparzeit s = s(1) als Normtyp, k6nnte man mit k = 2 ..... m die Sparzeiten s(k) der iabrigen m-1 Varianten wieder aus der Gleichheit der Zielbewertungszahlen, also aus den Gleichungen [G(R(1), s(l)) - s(l). A(1)] • BZF(1) = [G(R(k), s(k)) - s(k). A(k)] • BZF(k) bestimmen, in denen BZF(k) die als bekannt vorausgesetzten Bewertungszahlfaktoren darstellen. 6. Hingegen bereitet es relativ wenig Mtihe, auch die Guthabentr~igheit, sollte sie ausnahmsweise eine gr013ereBedeutung haben, einzubeziehen. Die nach Zuteilung bereitgestellten, aber noch nicht abgerufenen Bausparguthaben erhOhen zwar die Summe der Bausparguthaben, mtissen davon aber als Teil der Tr~igheitsreserve wieder abgezogen werden. 7. Ebenso leicht liel~e sich das sogenannte Restguthaben, das sich durch die ftir die verfiJgbaren Zuteilungsmittel vorgeschriebene Berechnungsweise ergibt [7], in die Formeln integrieren. 8. Schliel31ich lassen sich auch Bauspartarife mit unterschiedlichen Zinsebenen, denen Zinsfaktoren r(k) und q(k) zuzuordnen sind, erfassen. Von besonderem Interesse sind dabei Untersuchungen tiber die der Bausparkasse verbleibende Zinsspanne zwischen den Ertrfigen aus den Darlehenszinsen und den Aufwendungen ftir Guthabenzinsen. Die letzteren diJrfen jedoch nur in H6he des Anlagegrades dem Kollektivgeschfift zugerechnet werden. Die auf den Uberschul3 der Bausparguthaben tiber die Bauspardarlehen entfallenden Zinsaufwendungen sind dem aul3erkollektiven Gesch~ift der Bausparkasse zuzuordnen [8]. 580

Verceichnis der wichtigsten verwendeten Bezeichnungen und Symbole A a(D)

Sparbeitrag eines Ratensparers pro Quartal (auch A (R)) Anteil der sofortigen Darlehensnehmer an Bausparsumme des Neuzugangs (auch a(R)) a(F) Anteil der Vertragsfortsetzer an Bausparsumme des Neuzugangs a(FD) Anteil der sp~iter darlehensnehmenden Fortsetzer a(FV) Anteil der sp~iter darlehensverzichtenden Fortsetzer a(K) Anteil der Ktindiger an Bausparsumme des Neuzugangs a(R) Anteil der darlehensnehmenden Ratensparer (auch a (D)) a(S) Anteil der Schnellsparer an Bausparsumme des Neuzugangs a(V) Anteil der (sofortigen) Darlehensverzichter an Bausparsumme des Neuzugangs ALG Anlagegrad ASG Anspargrad ASN Anspargrad der nicht zugeteilten Vertr~ige Tilgungsbeitrag pro Quarta] B BD Bauspardarlehen (auch D) BG Bausparguthaben (auch G) BS Bausparsumme BZ Bewertungszahl BZF Bewertungszahlfaktor D Bauspardarlehen (auch BD) d Darlehensgeb~hr (zu Nettoanfangs-Bauspardarlehen) D(0) Bruttoanfangs-Bauspardarlehen (einschlieglich Darlehensgebtihr) DA Darlehensanspruch DS Darlehenssumme (auch SBD) DZ Darlehenszinsen E Einmalsparbetrag des Schnellsparers bei Vertragsbeginn EZM Entnahmen aus der Zuteilungsmasse f Fortsetzungszeit in Quartalen FR Fortsetzerreserve FRM Maximale Fortsetzerreserve G Bausparguthaben (auch BG) g Tr~igheitszeit bei den zugeteilten Bauspardarlehen in Quartalen G(s) Bausparguthaben zum Zeitpunkt s Guthabensumme (auch SBG) GS GZ Guthabenzinsen i Zinssatz ftir die Guthabenverzinsung pro Quartal iSKLV Individuelles Sparer-Kassen-Leistungsverh~iltnis Zinssatz ftir die Darlehensverzinsung pro Quartal J K KiJndiger KL Kassenleistung KQ KiJndigungsquote kSKLV Kollektives Sparer-Kassen-Leistungsverh~iltnis MBZ Mindestbewertungszahl MGH Mindestsparguthaben Progressionsfaktor des summenmfigigen Neuzugangs pro Quartal P q Zinsfaktor 1 + j ftir die Darlehensverzinsung pro Quartal r Zinsfaktor 1 + i ftir die Guthabenverzinsung pro Quartal R Ratensparer 581

RK

Riickzahlungen Rtickzahlungsquote S Sparzeit in Quartalen S Schnellsparer SBD Summe der Bauspardarlehen (auch DS) SBG Summe der Bausparguthaben (auch GS) SBS Summe der (nicht zugeteilten und der zugeteilten) Bausparsummen SDZ Summe der Darlehenszinsen SGZ Summe der Guthabenzinsen SI Sparintensit~it I SKLV Sparer-Kassen-Leistungsverh~iltnis SL Sparerleistung SNZBS Summe nicht zugeteilter Bausparsummen SR Schwankungsreserve SSP Summe der Sparbeitr~ige STB Summe der Tilgungbetrage SZBS Summe zugeteilter Bausparsummen SZT Summe der Tilgungsbeitr~ige (Zins- und Tiigungsraten) t Tilgungszeit in Quartalen TA Tilgungsanteil der Tilgungsbeitr~ige TB Tilgungsbetr~ige TI Tilgungsintensit~it I TR Tr~igheitsreserve ~3ZM Oberschu8 der Zuteilungsmasse ZBD (Im Quartal neu) Zugeteilte Bauspardarlehen ZBG (Im Quartai neu) Zugeteilte Bausparguthaben ZBZ Zielbewertungszahl ZFR Zuftihrung zur Fortsetzerreserve ZG Zuteilungsgrad ZM Zuteilungsmasse ZTR Zuftihrung zur Tr~gheitsreserve ZZM Zufliisse zur Zuteilungsmasse

RQ

LITERATUR [1] Laux, Hans: ,,Der statische Beharrungszustand des bausparmathematischen Gesamtmodells", Bl~itter der DGVM, Band XXIV, 1999, S. 265. [2] Wegen einer Erkl~irung der bausparspezifischen Begriffe siehe Bertsch, EberhardJHOlzle, Bernhard/Laux, Hans: ,,Handw6rterbuchder Bauspartechnik", Schriftenreihe ,,Angewandte Versicherungsmathematik" der DGVM, 1998, Heft 30, 259 S. [3] Laux, Hans: ,Grundztige der Bausparmathematik", Schriftenreihe ,,Angewandte Versicherungsmathematik" der DGVM, 1978, Heft 8, 102 S. (vgl. dort S. 27-28) [4] Siehe hierzu Laux, Hans: ,,Der neue ,Fonds zur bauspartechnischen Absicherung'" Bl~itterder DGVM, Band XX, 1992, S. 183 sowie Laux, Hans/Lehmann, Hans-J6rg: ,,Modellberechnungen zur Reichweite der Mittet des Fonds zur bauspartechnischen Absicherung", Bl~tter der DGVM, Band XXI, 1993, S. 55. [5] Bauer, Ulrike/Laux, Hans: ,,Aktualisierte Kennzahlen des Bausparens", Bl~itterder DGVM, Band XXIII, 1998, S. 313. [6] Vgl. FuSnote 1, S. 280 ff. [7] Hinweise auf das Restguthaben enth~dt u.a. der in Fu8n~te 4 genannte Beitrag v~n Laux/Lehmann. [8] Vgl. Laux, Hans: ,Bilanzielle und ertragsm~iBigeWirkungen von Einschleusungen aul~erkollektivet Mittel in die Zuteilungsmasseeiner Bausparkasse", Bl~itterder DGVM. Band XVI, 1983, S. 47. 582

Zusammenfassung Weiterfahrende Untersuchungen zum dynamischen Beharrungszustand des Bausparens Zuletzt stand in den Bl~ittern der DGVM ,,Der statische Beharrungszustand des bausparmathematischen Gesamtmodells" zur Diskussion (Band XXIV S. 265). Nunmehr werden die Untersuchungen auf den dynamischen Beharrungszustand ausgedehnt, der sich herausbildet, wenn das Neugesch~ift dauernd geometrisch zunimmt. Die im einzelnen nach einer zum Teil neu gewfihtten Bezeichnungsweise hergeleiteten Formeln werden dadurch umfangreicher, insbesondere bei Einbeziehung der wartezeitbestimmenden Faktoren dritter Art. Zwar sind die Bausparkassen gehindert, Antauf- und Progressionseffekte in Gestalt erm~igigterWartezeiten und Zielbewertungszahlen an die Bausparer weiterzugeben. Gleichwohl sind die Berechnungsergebnisse unter dynamischen Voraussetzungen fur den Bausparmathematiker yon Interesse, weil er so die Wirkungen der verschiedenen Bestimmungsgr6Ben im bausparmathematischen Gesamtmodell erkennen kann. Ein Beispiel hierftir ist die H6he der Schwankungsreserve bei vorgegebener Mindestbewertungszahl, die das individuelle Sparer-Kassen-Leistungsverh~iltnis minimiert.

Summar 3' Further investigations on the dynamic state of equilibrium of the German building savings and loans model At last in the BLATTER there was discussed "The static state of equilibrium of the German building savings and loans model" (Vol. XXIV, p. 265). The investigations are now extended to the dynamic state of equilibrium, which results from a permanent geometrically growing influx of the amounts of building savings sums. Therefore the mathematical formulae are developed in new figures, which are inevitably increasing, specially in case of integrating the factors shortening the waiting periods of third kind. German building savings banks (Bausparkassen) are not permitted to transfer running-inand progression effects to the customers in reducing the waiting periods and the target valuation figures. Nevertheless the mathematicians of the saving for home building profit by the results of calculations under dynamic preassumptions, being able to recognize the effects of different determining factors. An example is the technical reserve of the allotment fund caused by the codified minimal evaluation figures which minimise the special terms of ratio between accumulated savings and credits.

583