GUNTHER HOLZ

ZUR ENDLICHER

S-DARSTELLBARKEIT LOKAL-AFFINER

KREISR.~UME

ABSTRACT. An incidence structure (~, of', I) consisting of a set ~ of points, a set ~g of circles and an incidence relation I is called a locally affine circular space ~, if the following holds: For any point P ~ ~ the points and the circles of the internal structure ~ , = (~p, oY'p,IF) with ~e = ~\{P}, ~g/'e = {k ~ o~e'lPlk} and le = I ~ (~p x ~f'p) are respectively the points and the lines of an affine space. The purpose of this paper is at first to find conditions for representing a finite locally atfine circular space ~ as a substrcture of a finite projective space q3. In our representation (called S-representation) the points of ~ correspond to the elements of a spread ,9' in e43 and the circles to certain lines of q3 not contained in elements of ~ It is then shown that a finite inversive plane ~/1 of order q admits an S-representation if and Qnly if q is even. As consequences we get characterizations of miquelian inversive planes of even order. l. E I N L E I T U N G Ein Kreisraum ~ ist eine I n z i d e n z s t r u k t u r bestehend aus einer P u n k t m e n g e ~', K r e i s m e n g e ~g" u n d einer Inzidenzmenge /, so d a b gilt: ~ n ~ = ~ , I _ ~ × ~ , u n d je drei verschiedene P u n k t e inzidieren m i t genau einem Kreis. Ffir j e d e n P u n k t P y o n ~ nennen wir die Teilstruktur von R, die aus der P u n k t m e n g e ~ F = ~ \ { P } , K r e i s m e n g e JY'F = {k ~ J F I ( P , k) ~ I} u n d I n z i d e n z m e n g e IF = I n ( ~ e x o~FF) besteht, die Ableitung Re. ~ heil3t lokal-affin, wenn ffir jed'en P u n k t P yon ~ die P u n k t e u n d Kreise der A b l e i t u n g ~F die P u n k t e u n d G e r a d e n eines affinen R a u m e s sind. I m folgenden sei ~ als endlich vorausgesetzt, d.h. ~ u n d Jg" seien endliche Mengen. W i r o r d n e n R = ~(d, q) die Dimension d u n d Ordnung q zu, wenn die A b l e i t u n g ~e ffir einen (und d a m i t ffir jeden) P u n k t P von ~ die D i m e n s i o n d u n d O r d n u n g q hat. Endliche lokal-affine Kreisr/iume der D i m e n s i o n 2 heil3en endliche M6biusebenen. Fiir j e d e natfirliche Z a h l d u n d j e d e P r i m z a h l p o t e n z q ist ein lokal-affiner K r e i s r a u m ~ = R(d, q) b e k a n n t : Die P u n k t e yon ~ sind die P u n k t e der projektiven G e r a d e n l fiber GF(qa), die Kreise yon ~ sind die Bilder der projektiven G e r a d e n l fiber G F ( q ) unter der A u t o m o r p h i s m e n g r u p p e P G L ( 2 , qa) yon l, die Inzidenz ist die m e n g e n t h e o retische Inklusion. ~ nennen wir d a n n klassisch bzw. fiir d = 2 a u c h miquelsch. Ffir d > 2 sind dies die bislang einzig b e k a n n t e n (endlichen) lokal-affinen Kreisr/iume. Ffir M 6 b i u s e b e n e n , die bisher vorwiegend untersucht wurden, gibt es einen wichtigen Satz von D e m b o w s k i [5], d e r einen Z u s a m m e n h a n g m i t p r o j e k t i v e n R/iumen herstellt: Jede M 6 b i u s e b e n e g e r a d e r O r d n u n g q 1/igt sich a u f den P u n k t e n eines O v o i d s i m 3-dimensionalen projektiven R a u m d e r O r d n u n g q darstellen. Ein analoges Resultat k a n n es fiir lokal-affine

Geometriae Dedieata 9 (1980) 477-496. 0046-5755/80/0094-0477503.00 Copyright © 1980 by D. Reidel Publishing Co., Dordrecht, Holland and Boston, U.S.A.

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Kreisr/iume der Dimension d > 2 nicht geben, da Ovoide mit endlich vielen Punkten nur in 2- oder 3-dimensionalen projektiven Riiumen existieren. In dieser Arbeit soll nun ein Zusammenhang anderer Art zwischen projektiven R~iumen und lokal-affinen Kreisr/iumen untersucht werden, der hinsichtlich der Dimension nicht eingeschr~inkt ist. Mit PG(d, q) wird der desarguessche projektive Raum der Dimension d und Ordnung q bezeichnet. In PG(2d 1, q) sei 5 a eine (d - 1)-Faserung, d.h. eine Menge von (d - 1)-dimensionalen Unterr/iumen von P G ( 2 d - + 1, q) derart, dab jeder Punkt von PG(2d - l, q) einem und nur einem Element von 50 angeh6rt. J - sei eine Menge von Geraden in PG(2d - 1, q), die mit jedem Element von 5: h6chstens einen Punkt gemeinsam haben. Wit definieren die Inzidenzstruktur (5a, J-, I) mit Punktmenge 5e und Blockmenge ~ dadurch, dab S e 5e m i t t ~ 5" genau dann inzidiere, wenn S und t in PG(2d - 1, q) einen gemeinsamen Punkt haben. (5#, Y , I) nennen w i r eine S-Darstellung des lokal-affinen Kreisraumes ~ von Dimension d und Ordnung q, wenn gilt: (i) Fiir jeden Punkt p von PG(2d - 1, q) liegt das Geradenbiischel 3-p der Geraden von J-, die mit p inzidieren, in einem d-dimensionalen Unterraum von PG(2d - 1, q), der das Element S e 5 a enth/ilt, in dem p liegt. (ii) ~ ist zu (5 °, J , I) isomorph, wobei die BeriihrbiJschel von ~ den Geradenbtischeln von J - entsprechen. Als Beriihrbiisehel bezeichnen wir dabei die Menge aller Kreise von R, die mit einem gemeinsamen Punkt P inzidieren und im affinen Raum Rp eine Parallelenschar bilden. Wir schreiben daftir (P, k), falls ein solches Bertihrbfischel den mit P inzidenten Kreis k enth/ilt; P heii3t der Triigerpunkt von (P; k). Ziel dieser Arbeit ist es, Bedingungen fiir die S-Darstellbarkeit eines lokal-affinen Kreisraumes ~ anzugeben. Die Grundlage dazu bildet die Untersuchung der Beriihrbiischelstruktur ~3(~), wie in §2 gezeigt wird. Wir verstehen darunter die Inzidenzstruktur, deren Punkte sowohl als auch deren Bl6cke die Befiihrbiischel von R sind. Dabei ist der Punkt (P, k) von ~3(R) inzident mit dem Block (Q, l) von ~3(R), wenn P = Q ist oder (P, k) und (Q, l) einen gemeinsamen Kreis haben. (Zur besseren Unterscheidung schreiben wir fiir einen Block yon ~3(R) nicht (Q, l), sondern (Q, l).) In Section 3 werden einige allgemeine Eigenschaften yon Befiihrbiischelstrukturen aufgefiihrt. Eine Kennzeichnung yon Beriihrbiischelstrukturen, die zu S-darstellbaren M6biusebenen geh6ren, folgt in Section 4. Grundlage hierzu ist 1.1. R E S U L T A T (Dembowski-Wagner [7]). Sei q3 ein (v, k, ;~)-B!ockplan, d.h. eine nichttriviale Inzidenzstruktur mit v Punkten und b B16cken derart, dab jeder Block mit derselben Anzahl k von Punkten und je zwei verschiedene Punkte P und Q mit derselben Anzahl Avon B16cken inzidieren. Dann sind gleichbedeutend:

E N D L I C H E L O K A L - A F F I N E KREISRAUME

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(1) Die Punkte und B16cke von ~3 sind die Punkte und Geraden einer projektiven Ebene oder die Punkte und Hyperebenen eines PG(d, q). (2) Fiir je zwei verschiedene Punkte P und Q yon ~ enth~ilt der Durchschnitt aller B16cke durch P und Q genau (b - 1)/(r - I) Punkte. Dabei ist r die Anzahl der B16cke durch einen gemeinsamen Punkt. Unter einer zus~itzlichen Bedingung k6nnen in Section 5 dann auch die Berfihrbiischelstrukturen S-darstellbarer lokal-affiner Kreisr/iume beliebiger Dimension gekennzeichnet werden. In den Beweisen wird wieder auf 1.1 und auf das folgende Axiomensystem ffir affine R~iume von Lenz zuriickgegriffen. 1.2. R E S U L T A T (Lenz [8]). Ein affiner Raum ~ = (~, if, I) ist eine Inzidenzstruktur mit einer ~quivalenzrelation auf der Menge N, die wir als Parallelit~it bezeichnen, sodal3 gilt: (A1) Zwei verschiedene Punkte P und Q von ~ inzidieren mit genau einer Geraden g von N; Bez.: P Q = g. (A2) Zu jedem Punkt P und jeder Geraden g von N gibt es genau eine Parallele h zu g durch P. (A3) Seien P1, P2 und Q1, Q2 vier verschiedene Punkte von ~ , sodag P1P2 und Q~ Q2 parallel sind. Ist dann P ein Punkt yon P~ Q1 mit P ¢ Q1, dann haben auch PQ2 und P~P~ einen Punkt gemeinsam. (A4) Keine Gerade von N babe mehr als zwei Punkte und (R, P Q ) sei ein nicht-inzidentes Punkt-Geradenpaar yon 9.1. Dann haben die Parallelen zu P Q durch R und zu P R durch Q einen Punkt gemeinsam. (A5) Jede Gerade enthNt mindestens zwei Punkte. In Section 6 folgen fiir die S-Darstellbarkeit notwendige und im Fall yon M6biusebenen auch hinreichende Bedingungen, die in lokal-affinen Kreisrftumen gelten. Davon ausgehend wird nun in Section 7 der Satz bewiesen: Jede M6biusebene gerader Ordnung ist S-darstellbar. Die Berfihrbfischelstruktur einer M6biusebene gerader Ordnung q ist isomorph zur Inzidenzstruktur aus Punkten und Hyperebenen des PG(3, q). Der Satz beruht auf zwei Resultaten von Dembowski: 1.3. R E S U L T A T ([5]). Sei ~l eine genau dann gerade, wenn fiir jedes !~l gilt: Die Berfihrkreise durch P Bfischels (P, Q), also alle Kreise Punkte P und Q.

M6biusebene von Ordnung q. Dann ist q nicht-inzidente Punkt-Kreispaar P, k von an k sind genau die q + 1 Kreise eines von ~ durch die beiden verschiedenen

1.4. RESULTAT ([5]). Die Ableitungen einer M6biusebene gerader Ordnung sind desarguessche affine Ebenen und damit Fano-Ebenen, d.h. jedes Viereck einer solchen Ebene hat kollineare Diagonalpunkte.

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Fiir M6biusebenen ungerader Ordnung 1/il3t sich zeigen, d a b sie keine SDarstellung besitzen. Die S-Darstellbarkeit yon MSbiusebenen gerader Ordnung hat verschiedene Konsequenzen: (a) Man erh/ilt einen rein kombinatorischen Beweis eines Satzes yon Thas [9], wonach die Existenz einer M6biusebene gerader Ordnung q die Existenz einer Translationsebene yon Ordnung q2 impliziert. (b) Die miquelschen M6biusebenen gerader Ordnung werden von Cofman [4] durch die Existenz hinreichend vieler miquelscher Unterebenen gekennzeichnet. (c) Eine weitere Kennzeichnung miquelscher M6biusebenen gerader Ordnung wird durch folgenden Schliei3ungssatz (R) erreicht: Seien kl . . . . . k~ Kreise und P1 . . . . . P4 Punkte in einem lokal-affinen Kreisraum mit k~Pik~ +1, i -- 1. . . . . 4; i + 1 mod 4 genommen. Dann liegen die Punkte P1 . . . . . P4 auf einem gemeinsamen Kreis. Der Beweis hierzu wird in Section 8 angegeben. Daneben wird die Frage untersucht, inwieweit die Kennzeichnung mittels (R) allgemein ffir die klassischen lokal-affinen Kreisr/iume gerader Ordnung gilt. 2. ZUSAMMENHANG ZWISCHEN S-DARSTELLUNG UND BERUHRBUSCHELSTRUKTUR

2.1. LEMMA. Sei (5 e, 9-', I) eine S-Darstellung des lokal-affinen Kreisraums ~(d, q) in PG(2d - 1, q). Dann ist die Beri~hrbi~schelstruktur ~3(~) yon ~ in PG(2d - 1, q) als Teilstruktur einbettbar. Beweis. Wir identifizieren die Berfihrbiischel von ~ mit den Geradenbiischeln von 3-. Jeder Punkt p von P G ( 2 d - 1, q) ist Tr~igerpunkt eines Geradenbiischels J-p von 3--. Es existiert also eine eineindeutige Zuordnung zwischen den Punkten yon ~(~) und den Punkten yon PG(2d - 1, q). Fiir jeden Punkt p, der zu einem Unterraum S e 5 p geh6rt, besteht das Geradenbiischel J-p aus qa-1 Geraden, deren Aufspann ( J ' v ) ein d-dimensionaler Unterraum yon PG(2d - 1, q) ist, der S enthglt. ( Y p ) hat mitjedem yon S verschiedenen Element aus Y genau einen Punkt gemeinsam. Seien p und p' verschiedene Punkte yon S und x ein gemeinsamer Punkt von ( Y ~ ) und (Yp,) in S' e ~9~, S' va S. Die Geraden xp und xp' geh6ren dann zu J-x- Der d-dimensionale Unterraum ( J - x ) hat also mit S mehr als einen Punkt gemeinsam, was einen Widerspruch ergibt. Aus Anzahlgr~nden folgt, dab jeder d-dimensionale Unterraum yon P G ( 2 d - 1, q), der ein S e &° enth/ilt, Aufspann eines Geradenbtischels von 3- ist. Es existiert also eine eineindeutige Zuordnung zwischen den B16cken yon ~3(R) und den d-dimensionalen Unterr~iumen yon P G ( 2 d - 1, q), die ein S E S~ enthalten- Diese Unterr/iume bilden zusammen mit den Punkten von P G ( 2 d - 1, q) eine Teilstruktur ~ ( 5 p) yon P G ( 2 d - 1, q). Die beiden angegebenen Zuordnungen induzieren einen Isomorphismus yon ~3(R) auf

e(s~). []

ENDLICHE LOKAL-AFFINE KREISRAUME

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Wir nennen eine Inzidenzstruktur 6, die isomorph zu einer Teilstruktur ~(5 p) eines PG(2d - 1, q) ist, einen Faserungsraum. 2.2. SATZ. FAn lokal-affiner Kreisraum ~ = ~(d, q) besitzt in PG(2d - 1, q) genau dann eine S-Darstellung, wenn die Beriihrbiisehelstruktur ~3(~) ein Faserungsraum ist. Beweis. Der erste Teil des Satzes folgt unmittelbar aus 2.1. Die Berfihrbiischelstruktur ~3(R) sei also ein Faserungsraum. Dann k6nnen wir uns ~3(R) in einen projektiven Raum q3 eingebettet denken, wobei aus Anzahlgriinden ~ = PG(2d - 1, q) ist. Ffir einen Punkt P yon ~ sei Sv die Menge aller Beriihrbiischel von R mit Tragerpunkt P. Sp ist der Punktedurchschnitt zweier verschiedener B16cke (P, x) und (P, x') yon ~3(R), also ist Sp ein Unterraum yon ~. Die Menge 5 p --- {SPIP Punkt von R} ist somit eine (d - 1)-Faserung yon q3. Fiir einen Kreis m von R sei tm die Menge aller Berfihrbfischel, die m enthalten. Sind P und Q verschiedene mit m inzidente Punkte in R, dann ist tm in ~3(R) im Punktedurchschnitt yon (P, m) und (Q, m) enthalten. (P, m) und (Q, m) haben genau die q + 1 Punkte einer Geraden yon ~ gemeinsam. Also ist tm Gerade von ~. Mit J - = {tm]m Kreis yon .~) ist (5P, J-, I) eine S-Darstellung yon R. 3. EIGENSCHAFTEN VON BERUHRBUSCHELSTRUKTUREN 3.1. LEMMA. Sei ~ ( ~) die Beriihrbiischelstruktur des lokal-affinen Kreisraurues ~ = R(d, q). Dann hat ~ ( R) folgende Anzahleigenschaften: (1) Die Anzahl der Punkte und der Bl6cke yon ~3(~) ist v = b = (q2a _ 1)/ 1) (2) Die Anzahl der Punkte eines Blockes yon ~3(~) ist k = (qa+~ _ 1)/ (q - 1) (3) Die Anzahl der Bl6eke yon ~3(~), die einen gemeinsamen Punkt ent~ halten; ist r = (qa+l _ 1)/(q - 1) Beweis. (1) Zu jedem Punkt P von ~ gibt es genau ( q a _ 1 ) / ( q - 1) Berfihrbiischel mit Tr/igerpunkt P. R hat qd + 1 Punkte, also insgesamt ( q a + 1 ) ( q a 1 ) / ( q - 1 ) = (q2d_ 1 ) / ( q - 1)Berfihrbfischel. (2) Sei (P, k) ein beliebiger Block yon ~3(~). Dann geh6ren zum einen die (qa - 1 ) / ( q - 1) Beriihrbiischel mit Tr/~gerpunkt P als Punkte zu (P, k). Zum anderen gibt es fiir jeden yon P verschiedenen Punkt Q yon ~ genau ein (Q, l), das mit (P, k) inzidiert. Insgesamt hat (P, k) also qa + (qa _ 1)/ ( q - 1 ) = (qa+l _ 1 ) / ( q - 1)Punkte. (3) ist dual zu (2). [] (q -

3.2. LEMMA. Sei ~ ( ~ ) die Beriihrbiisehelstruktur des lokal-affinen Kreisraumes ~ = R(d, q). Dann gibt es eine Partition ~ der Punktmenge yon ~3(R), wobei jedes Element von 50 genau (qa _ 1)/(q - 1) Punkte hat.

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(B1) Fiir jeden Block B yon ~3(~) gibt es genau ein Element S e 50, dessen Punkte zu B gehdren. Mit j e d e m sonstigen Element yon 50 hat B genau einen P u n k t gemeinsam. (B2) Fiir jedes S ~ 5p. gibt es zu j e d e m Punkt Q, der nieht zu S geh6rt, genau einen Block B in ~ ( ~), der die Punkte yon S und Q enthiilt. Beweis. Fiir einen Punkt P von ~ definieren wir Sp als die Menge aller Berfihrbfischel von ~ mit Triigerpunkt P. Die Menge 5 P = {Sp]P Punkt von ~} ist dann eine Partition der Punktmenge von ~3(~). Jedes Element von ow enth~ilt genau (qa _ l)/(c - 1) Punkte. Sei B = (P, k) ein Block von ~3(R). B enth~lt die Elemente von Se als Punkte. Ist So ~ SP mit P ¢ Q, dann liegt in S o genau ein (Q, l) von ~3(R), das auch zu (P, k) geh6rt. Also gilt (B1). Sei S = Sp ein Element von 5 ° und (Q, l) ein Punkt von ~3(~), der nicht in S liegt. Dann gibt es oenau ein Berfihrbiischel (P, k) in ~, das mit (Q, l) einen Kreis gemeinsam hat. Der Block (P, k) enth~ilt neben den Punkten von S daher auch (Q, l); also gilt (B2). [] Grundlegende kombinatorische Eigenschaften der Beriihrbfischelstrukturen ~3(R) mit R = R(d, q) h~mgen nach 3.1 und 3.2 nur yon d und q ab. Da wir uns im folgenden nur auf die Eigenschaften von 3.1 und 3.2 beziehen, schreiben wir ~3(d, q) statt ~3(~). Die B16cke von ~3(d, q) fassen wir als Teilmengen der Punktmenge von ~3(d, q) auf. 3.3 L E M M A . (1) Je zwei Bl6cke yon ~3(d, q), die nicht dasselbe Element yon 5 a enthalten, haben durchschnittlieh q + 1 Punkte gemeinsam. (2) Je zwei Punkte yon ~3(d, q), die nicht demselben Element yon 5 a angeh6ren, liegen in durchschnittlich q + 1 Bl6cken yon ~(d, q). Beweis. (1) Sei B ein Block yon ~3(d, q) der das Element S ' ~ 5p nicht enth~ilt. Wir beweisen die etwas sch~trfere Aussage, dab dann die B16cke B und B' mit S' __ B' durchschnittlich q + 1 Punkte gemeinsam haben. B~ . . . . . B~ seien die B16cke von ~3(d, q), die S ' enthalten, also s = (qa _ 1)/ (q - 1). Wegen (B2) liegt jeder Punkt von B, der nicht zu S ' geh6rt, in genau einem der B16cke B~ . . . . B~. Die durchschnittliche Anzahl a der Punkte von Bc~B~, i = 1. . . . . s ist definiert als a = s - l ( ~ = l l B n B ~ l ). Mit P bezeichnen wir den eindeutig bestimmten Punkt yon B n S'. Dann gilt a = s - l ( ~ = ~ IB n B~/{P}]) + 1. Also ist a = (q - 1)/(q a - 1)[(q a+~ - 1)/ (q-l)1] + 1 = q + 1. (2) ist dual zu (1). []

4. F A S E R U N G S R A U M E

IN DER KLASSE DER ~3(2, q)

Es zeigt sich, dab ~3(d, q) im allgemeinen kein Faserungsraum ist. Wir mtissen daher eine zus/itzliche Bedingung fordern: (B3) Es seien B und B' B16cke von ~3(d, q), wobei S ~ St~ in B, aber nicht in

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B' enthalten sei. P und Q seien verschiedene Punkte von B c~ B' mit P ~ S und Q ~ Se, S~ ~ 5,°. Dann enthNt ein Block C mit P und Se auch B c~ B'. Ftir zwei Punkte P und Q yon ~3(d, q), die nicht demselben Element von 5 ¢ angeh6ren, definieren wir die Gerade PQ als den Punktedurchschnitt aller B16cke von ~3(d, q), die P und Q enthalten. 4.1. L E M M A . ~3(d, q) erfiille (B3). P und Q seien zwei Punkte yon ~3(d, q), die nicht demselben Element yon ow, aber den beiden verschiedenen Blgcken B und B' yon ~(d, q) angeh6ren. Dann ist P Q = B n B'. Beweis. P liege in Sp ~ 5p, Q in SQ ~ 5p, also Sp ¢ S Q . Mit Be bezeichnen wir den Block, der Se und Q, mit BQ bezeichnen wit den Block, der SQ und P enth~ilt. Es ist also P Q c_ Be n B e . B sei ein beliebiger Block durch P und Q, der S E 5P enth/ilt. Ist S ¢ Sp, so ist B n Sp = {P}. Nach (B3) liegt dann B ~ Bp in B e. Insbesondere geh6rt der Punkt R aus Be ~ S zu B e . S hat mit Be n B e also den Punkt R gemeinsam, nach (B3) gilt deshalb Bp ~ B e c_ B. Aus S = Sp folgt nach (B2) B = Be und somit ebenfalls Be n B e _ B. Also gilt P Q = Be n B e. Sei B' ein weiterer von B verschiedener Block durch P und Q, der S ' ~ 5p enthgtlt. Ist S' ~ Se, dann geh6rt der Punkt R' aus Bp c~ S ' zu B e. R' ist also Punkt yon Bp ~ B e und wegen Bp c~ B e _c B ist R' auch Punkt yon B. Es ist S ¢ S' und deshalb {R'} = B c~ S'. Nach (B3) liegt B c~ B' in Bp. 1st S' = Se, dann ist B' - Bp und somit auch B n B' c_ Bp. Analogzeigtman B m B' ~ Be. AlsogiltP Q c_ B c~ B' ~ Be c~ B e = PQ, d.h. PQ = B n B ' . [] Erfiillt ~3(d, q) die Bedingung (B3), so folgt aus 4.1 unmittelbar, dab eine Gerade P Q yon ~3(d, q) mit einem Element yon 5 a h6chstens einen Punkt gemeinsam hat und durch zwei ihrer Punkte eindeutig bestimmt ist. 4.2. SATZ. ~3(2, q) erfiille (B3) und keine Gerade yon ~3(2, q) treffe alle Elemente yon 5p. Dann ist ~3(2, q) isomorph zur Inzidenzstruktur aus Punkten und Hyperebenen yon PG(3, q). Beweis. P und Q seien zwei Punkte von ~3(2, q), die nicht demselben Element von 5 ~ angeh6ren. Nach Voraussetzung gibt es dann ein S ~ 5p, das nicht von der Gerade PQ getroffen wird. Sei B ein Block, der S und PQ enth~ilt. Nach 4.1 ist dann PQ = B t~ Bp, wobei Be der Block durch den Punkt Q und Se ~ 5p mit P c Se ist. Be schneidet S in einem Punkt, also hat P Q mit S einen Punkt gemeinsam im Widerspruch zur Voraussetzung. Jeder Block, der S enth/ilt, schneidet die Gerade P Q in h6chstens einem Punkt. Es gibt genau q + 1 B16cke durch S, also hat P Q h6chstens q + 1 Punkte. Nach 3.3 haben daher alle Geraden yon ~3(2, q) genau q + 1 Punkte. Sind P und Q Punkte, die nicht demselben Element yon 5~ angeh6ren, dann ist die Anzahl der B16cke durch P und Q gleich )t = q + 1. Denn fiir

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jeden Punkt X ~ P Q , der i n Sx ~ 50 liegt, gibt es genau einen Block Bx, der Sx und PQ enthfilt. Jeder andere Block trifft PQ in h6chstens einem Punkt. Sind P und Q Punkte desselben Elements aus 5p, dann ist die Anzahl der Bl6cke durch P und Q ebenfalls A = q + I. ~3(2, q) ist also ein 2-Blockplan. Der Durschschnitt der B16cke von ~3(2, q), die zwei gemeinsame Punkte P und Q, P # Q, enthalten, besteht aus genau q + 1 Punkten. Mit 1.1 folgt dann die Behauptung. []

5. K E N N Z E I C H N U N G VON FASERUNGSRAUMEN IN DER KLASSE

BELIEBIGER~3(d, q) Wir ben6tigen eine zus/itzliche Bedingung, die vor allem eine 'Geradenvertr/iglichkeit' von Vereinigungen gewisser B16cke sicherstellt. (B4) (1) Jede Gerade von ~3(d, q) hat mehr als zwei Punkte, und (2) sei g eine Gerade von ~3(d, q) und S ein Element von Se, das g nicht trifft. V sei die Vereinigung aller B16cke, die S enthalten und mit g einen Punkt gemeinsam haben. Dann geh6rt jede Gerade von ~3(d, q) zu V, die V in zwei verschiedenen Punkten trifft. Im folgenden gelte fiir ~3(d, q) immer (B3) und (B4). 5.1. LEMMA. Fiir einen Block B yon ~3(d, q), der S ~ 5" enthiilt, sei ~I(B) die Inzidenzstruktur, die aus den Punkten yon B\S und allen Geraden yon ~3(d, q) besteht, die in B liegen. Dann ist ~(B) isomorph zur Inzidenzstruktur aus Punkten und Geraden des affinen Raumes AG(d, q). Dabei nennen wit zwei Geraden yon ~I(B) genau dann parallel, wenn sic in S einen gemeinsamen Punkt haben. Beweis. Es werden die Axiome von 1.2 nachgewiesen. (A1), (A2) und (A5) folgen unmittelbar aus den Voraussetzungen. (A3) Seien Pz, P2 und Q1, Q2 vier verschiedene Punkte von 9.1(B), sodal3 P1P2 und Q1 Q2 parallele Geraden sind. P sei ein Punkt von P1 Q1 in 9~(B) mit P # Q~. P liege weder aufP~P2 noch auf Q~ Q2, denn sonst ware (A3) sofort erfiillt. S~, sei das Element von St, das P enth~ilt. Sp hat mit B nut den Punkt P gemeinsam, trifft also weder P1P2 noch Q~ Q2. Sei V die Vereinigung aller B1/Sche von ~3(d, q), die Sp enthalten und Q~Q2 als Gerade von ~3(d, q) in einem Punkt treffen. Die Punkte P1 und U ~ S c~ Q1 Q2 liegen in v, also auch die Gerade PzP2. Sei B' der Block aus V, der Q2 enth~ilt. Hat B' mit P~P2 keinen Punkt gemeinsam, dann enth~ilt schon V\B' mit P~P2 auch Qa Q2, was einen Wider-

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spruch ergibt. Also trifft B' die Gerade P1P2 in einem Punkt X. Es ist X ~ B c~ B' = PQ2. (A4) Keine Gerade von 9.1(B) babe mehr als zwei Punkte. P, Q und R seien drei nichtkollineare Punkte von ~I(B). Das Element SR ~ ~ das R enth~ilt, hat mit P Q keinen gemeinsamen Punkt. V sei die Vereinigung der drei B16cke yon ~3(d, q), die SR enthalten und P Q als Gerade von ~3(d, q) in einem Punkt schneiden. V enth~ilt U1 ~ P Q n S und damit auch die Parallele UIR zu P Q dutch R. V enth/ilt U2 ~ P R n S, also auch die Parallele U2 Q zu P R durch Q. Liegt UaQ in einem Block B' von V, dann ist U2Q -= B n B' = QR, also U2Q nicht parallel zu PR. Deshalb trifft U2 Q jeden Block von V in einem Punkt. X sei der Schnittpunkt yon U2Q mit dem Block B~ aus V, der U~ enth/ilt. Dann ist X ~ B n B~ = UIR. Die Geraden von 9.1(B) haben dieselbe Anzahl von Punkten, wegen 3.3 also genau q Punkte. 9.1(B) ist also isomorph zu AG(d, q). [] 5.2. HILFSSATZ. B und B' seien versehiedene Bldeke yon ~(d, q), die dasselbe Element S ~ 5¢ enthalten. Dann induzieren die affinen Riiume 9.1(B) und ~I(B') in S denselben projektiven Raum, den wir mit 91(S) bezeiehnen. Beweis. Wir zeigen, dab fiir je zwei verschiedene Punkte P~ und P2 von S die uneigentliche Gerade von 21(B) dutch P1 und P2 gleich der uneigentlichen Gerade von ~.I(B') durch P~ und P2 ist. Sei Q1 ein Punkt von ~.I(B), also/'1Q~ eine Gerade von ~I(B). P2Qz hat in 9.1(B) einen Punkt X, der nicht zu P~Q~ geh6rt. Sei Sx das Element aus ~ das X enth/ilt. Sx hat mit P~ Q~ keinen Punkt gemeinsam. Mit V bezeichnen wit die Vereinigung der q + 1 B16cke yon ~3(d, q), die Sx enthalten und P1 Q1 als Gerade yon ~3(d, q) in einem Punkt treffen. Wegen (B4) ist der Durchschnitt von V mit ~(B) und mit 9.1(B')jeweils ein affiner Unterraum; aus Anzahlgrfinden sogar eine affine Ebene. V n S ist also eine uneigentliche Gerade sowohl yon 9.1(B) als auch von ~I(B'). [] Fiir jeden Block B von ~3(d, q) bezeichnen wir mit ~3(B) die projektive Erweiterung von ~(B). Sei H eine Vereinigung yon B16cken aus ~3(d, q), die ein gemeinsames S ~ 5~ enthalten. Dann hei6t H Hyperebene yon ~3(d, q), falls fiir einen Block B yon ~3(d, q), der S nicht enth~ilt, der projektive Raum ~(B) yon H in einer Hyperebene geschnitten wird. Man iiberlegt sich leicht, dai3 wegen (B4) mit je zwei Punkten P und Q auch die Gerade P Q zu H geh6rt und damit fiir jeden beliebigen Block B' von ~3(d, q) der Durchschnitt von q3(B') und H ein projektiver Raum ist. 5.3. SATZ. Die Inzidenzstruktur ~3, die aus den Punkten und Hyperebenen yon ~(d, q) besteht mit dem mengentheoretischen Enthaltensein als Inzidenz, ist isomorph zur Inzidenzstruktur aus Punkten und Hyperebenen des projektiven Raumes PG(2d - 1, q).

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G1JNTHER HOLZ

Beweis. Es werden die Voraussetzungen von 1.1 nachgewiesen.

(1) Die Anzahl der Punkte von q3 ist V

q2a

1

q--l"

(2) Die Vereinigung H von B16cken aus ~3(d, q), die gemeinsam S ~ Sp enthalten, sei eine Hyperebene von ~3(d, q). Ist S ein yon S verschiedenes Element aus ~, dann schneidet H den projektiven Raum q3(S) in einer projektiven Hyperebene. Jeder Block yon ~3(d, q), der zu H geh6rt, hat mit S genau einen Punkt gemeinsam. H besteht also aus ( q a - 1 1 ) / ( q - 1), Bl6cken yon ~3(d, q). Die Anzahl der Punkte von H ist daher qa-l_ k = - q-1

l qa

qa_ 1 + - - q-1

q2a-l_ q-1

1

(3) Jede Hyperebene yon ~3(d, q), deren Bl6cke S enthalten, schneidet q3(S) in einer projektiven Hyperebene. Umgekehrt ist jede projektive Hyperebene H s von ~(S) Durchschnitt yon q3(S) mit einer Hyperebene H von ~3(d,q), deren B16cke S enthalten, q3(S) hat genau ( q a _ 1 ) / ( q - 1) Hyperebenen, also gibt es genau (qa _ 1)/(q - 1) Hyperebenen yon ~3(d, q), die S enthalten. (4) Sei/~ ein Block yon ~3(d, q), der S ~ J enthglt. /~ schneide das yon S verschiedene S ~ S~'im Punkt P. Es gibt genau (qa-1 _ 1)/(q - 1) Hyperebenen in ~(S), die P enthalten. Daher gibt es auch genau (qa- ~ _ 1)/(q - 1) Hyperebenen yon ~3(d, q), die B und S enthalten. (5) Seien/~ und C verschiedene B16cke yon ~3(d, q), die S enthalten. Wie oben zeigt man, dab dann die Anzahl der Hyperebenen von ~3(d, q), die B, C und S enthalten, (qa-2 _ 1)/(q - 1) ist. (6) P und P ' seien verschiedene Punkte yon ~3(d, q), die in S liegen. Wegen (5) gibt es dann fiir jedes ~ e ~, das von S verschieden ist, genau (qa-2 _ 1)/ (q - 1) Hyperebenen yon ~3(d, q), die S und P, P ' enthalten. Aul3erdem liegen P und P ' in jeder Hyperebene von ~3(d, q), die S enth~ilt. Nach (3) sind dies genau (qa _ 1)/(q - 1). Also ist die Anzahl der Bl6cke von q3 durch P und p,

kl

qa -

1 -

q-1

+

qa q a - 2 -

-

q-1

1

q2a- 2 _ l

-

q-1

(7) P und P ' seien Punkte von ~3(d, q), die nicht demselben Element yon 5 p angeh6ren. Ist S ein Element von 5~, das v o n d e r Gerade P P ' von ~3(d, q) getroffen wird, dann gibt es einen eindeutig bestimmten Block B von ~3(d, q) durch S, der P P ' enth~lt. In einer Hyperebene H yon ~3(d, q) durch S liegen P und P ' genau dann, wenn B zu H geh6rt. Die Anzahl der Hyperebenen von ~3(d, q) durch S und P, P ' ist also (qa-1 _ 1)/(q - 1) nach (4). Ist S' ein Element von ~, das yon P P ' nicht getroffen wird, dann sind die

E N D L I C H E L O K A L - A F F I N E KREISR,g.UME

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B16cke C und C' von ~3(d, q) durch S' mit P ~ C, P' ~ C' verschieden. Eine Hyperebene H yon ~3(d, q) durch S' enth/ilt genau dann P und P', wenn C und C' zu H geh6ren. Nach (5) gibt es also genau (qa-2 _ 1)/(q - 1) Hyperebenen von ~3(d, q), die S' und P, P ' enthalten. Die Anzahl der B16cke von q3 durch P und P ' ist demnach A2

(q

1 +(qa_q) + 1) q a - l q - 1

a-2_ 1 _q2a-21 qq - 1 q - 1

Es ist A~ = A2 und deshalb q3 ein 2-Blockplan. Wir definieren fiir zwei verschiedene Punkte P und Q yon q3 die Gerade P Q als den Punktedurchschnitt aller Hyperebenen von ~3(d, q) durch P und Q. Ist B ein Block yon ~3(d, q), der P und Q enth/ilt, dann folgt unmittelbar, dab P Q auch Gerade des projektiven Raumes q3(B) ist. Die Anzahl der Punkte jeder Geraden yon q3 ist also q + 1, woraus mit 1.1 die Behauptung folgt. [] Aus 5.3 und den Eigenschaften eines Faserungsraumes erhalten wir 5.4. K O R O L L A R . Die Beriihrbiischelstruktur ~3(R) eines lokal-affinen Kreisraumes ~ = R(d, q) ist genau dann ein Faserungsraum, wenn ~3( ~) die Bedingungen (B3) und (B4) erfiillt. 6. BEDINGUNGEN FUR DIE S-DARSTELLBARKEIT LOKALAFFINER KREISRAUME Wir verwenden bei Kreisen k u n d l eines lokal-affinen Kreisraumes ~, die demselben Beriihrbtischel mit Trfigerpunkt P angeh6ren, die Bezeichnung k P l und schreiben auch: k und l beri~hren sich im (Beriihr-)punkt P. Es folgen zun~chst einige SchlieBungss~itze, von denen dann gezeigt wird, dab sie in S-darstellbaren lokal-affinen Kreisr/iumen gelten. (S1)

Seien k und l verschiedene Kreise, die sich in den beiden verschiedenen Punkten P und Q schneiden. Ist S Bertihrpunkt von Kreisen kp ~ (P, k) und i~ ~ (Q, l), dann ist S auch Berfihrpunkt yon Kreisen kQ ~ (Q, k) und lp

(P, t). (s2) Seien kl . . . . . k4 mindestens drei verschiedene Kreise mit k,P, ki+l, i = 1 , . . . , 4; i + 1 mod 4 genommen, ftir vier verschiedene Punkte P1 . . . . . P4. Dann haben der Kreis l~ E (P3, ka) durch P1 und 12 e (P4, k~) durch P2 einen gemeinsamen Beriihrkreis l durch Pz und P2.

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GUNTHER H6LZ

(ss) Seien k z , . . . , k4 vier verschiedene Kreise mit k~P~k~+~, i -- 1. . . . . 4; i + 1 rood 4 genommen, ffir vier verschiedene Punkte P1 . . . . . P~. Dann gibt es zu jedem Kreis x durch P8, der kz berfihrt, einen Kreis x' ~ (Pa, x), der k~ berfihrt. 6.1. LEMMA. Sei ~ ein lokal-affiner Kreisraum, dessen Beriihrbiischelstruktur ~3(~) die Bedingung (B3) erfiillt. Dann gelten in ~ die SchIieJ3ungss~itze (S 1) und ($2). Beweis. (1) Seien k und l verschiedene Kreise von ~, die sich in den beiden verschiedenen Punkten P und Q schneiden u n d S sei Berfihrpunkt von Kreisen kp ~ (P, k) und l~ E (Q, l). In ~3(~) ist (S, kp) also Punkt der B16cke (P, k) und (Q, l). (P, l) ist der eindeutig bestimmte Punkt von ~3(R) mit Tr/igerpunkt P in ~, der in (Q, l) liegt. Nach (B3) geh6ren zum Block (S, x) von ~3(R), der (P, l) enth/ilt, alle gemeinsamen Punkte yon (P, k) und (Q, l). Insbesondere liegt also (Q, k) in (S, x). Das bedeutet, dab S auch Berfihrpunkt eines Kreises ko ~ (Q, k) und eines Kreises lp ~ (P, l) ist, womit (S1) erffillt ist. (2) Seien k~ . . . . . k4 mindestens drei verschiedene Kreise von ~ mit kiP~k~+~, i = 1. . . . . 4; i + 1 rood 4 genommen, ffir vier verschiedene Punkte Pz . . . . . P4. Es sei ferner/1 der Kreis von (P~, k~) durch P~ und /2 der Kreis von (P4, k~) durch P~. In ~3(~) enthalten die B16cke (P~, k~) und (P~, k~) die Punkte (P~, k~) und (P~, k~). (P~,/1) ist der eindeutig bestimmte Punkt von ~3(~) mit Tr/igerpunkt Pz von ~, der in (P~, k~) liegt. Nach (B3) geh6rt zum Block (P~, x) von ~3(~), der (/1,/1) enth/ilt, jeder gemeinsame Punkt von (P~, kl) und (P~, k~), insbesondere also (P~, k4). Das Berfihrbfischel (P~, x) enth/ilt daher auch den Kreis/2. Der Kreis lvon (P~, x) durch P1 beriihrt den Kreis/1 und natfirlich/2. Damit ist ($2) erffillt. [] 6.2. LEMMA. In jedem S-darstellbaren lokal-affinen Kreisraum gilt der SchlieJ3ungssatz ($3). Beweis. Seien kl . . . . . k~ vier verschiedene Kreise eines S-darstellbaren lokal-affinen Kreisraumes ~ mit k~Pik~+l, i = 1. . . . . 4; i + 1 mod 4 genommen, ffir vier verschiedene Punkte P1 . . . . . P4- ~3(~) ist ein Faserungsraum nach 2.2. Also sind in ~3(~) die Mengen kl = {(X, kl)]X~k~} und /~2 = {(X, k2)] X ~ k2} Geraden. P3 ist kein Punkt von kl oder k2. Seien x~ . . . . . x~ alle Kreise durch P3, die kz berfihren. Die Vereinigung V aller B16cke (P3, x~), i = 1. . . . . s in ~3(~) enth/ilt die Gerade k~ und von k2 die Punkte (P1, k 0 u n d (/'2, k2). ~3(~) erffillt (B4). Daher liegt die Gerade k2 in V. W/ire (P3, x~), i ~ { 1 , . . . , s), ein Block von V, der /~2 enth/ilt, dann geh6rte auch (P3, k~) zu k2. P3 w/ire also ein Punkt des Kreises k,), was einen Widerspruch ergibt.

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Daher schneidet jeder Block von V die Gerade k2 in genau einem Punkt. D.h., dab es zu jedem Berfihrkreis x~ von kl durch P3 auch einen Beriihrkreis x~ von k2 gibt, der in (Pa, x0 liegt, i = 1. . . . . s. [] Die Frage, ob die fiir die S-Darstellbarkeit eines lokalaffinen Kreisraumes also notwendigen Bedingungen (S1), ($2) und ($3) auch hinreichend hierftir sind, konnte nur fiir M6biusebenen gekl~rt werden. 6.3. LEMMA. Erfiillt ein lokal-affiner Kreisraum ~ die Schlieflungssiitze (S1) und ($2), so gih fiir die Beriihrbiischelstruktur ~3(~) die Bedingung (B3). Beweis. Sei ~ ein lokal-affiner Kreisraum, der (S1) und ($2) erfiillt. (P, k) und (Q, l) m i t P ~ Q seien beliebige B16cke von ~3(~), wobei o.B.d.A. Q e k und P e I sei. (P, l) ist der eindeutig bestimmte Punkt von ~3(~) mit Tdigerpunkt P von ~, der in (Q, l) liegt. (Q, k) ist der eindeutig bestimmte Punkt von ~3(~) mit Trggerpunkt Q, der in (P, k) liegt. Sei (S, kv) ein Punkt von (P, k) und (Q, l) mit S ~a p, wobei o.B.d.A. P s kp sei. Mit lp bezeichnen wir den Kreis von (P, l) durch S, sodal3 also (S, lp) ein Block von ~3(R) ist, der den Punkt (P, l) enth~lt. (1) Wir zeigen, dab (S, lp) auch den Punkt (Q, k) enth~ilt. Ist S = Q, dann liegt natiirlich (Q, k) in (S, lp). Sei also nun S ¢ Q. S ist Beriihrpunkt des Kreises kp e (P, k) und eines Kreises lo E (Q, l). Ist k ~ l, dann ist S nach (S1) auch Beriihrpunkt der Kreise lp und ko e (Q, k) mit S ~ k~; d.h. (Q, k) ist Punkt von (S, lp). Ist k = l, dann ist kv = Ip und IQ = k o und somit ebenfalls (Q, k) Punkt von (S, lp). (2) Sei (S', k~,) ein weiterer Punkt von (P, k) und ( Q, l) mit P ~ S' ¢ Q, wobei o.B.d.A. P E k; sei. Wir zeigen, dab (S', k~,) auch in (S, Ip) liegt. Fiir S = S' ist dies klar. Sei also S ~ S'. Wir fiihren neue Bezeichnungen ein, um ($2) besser anwenden zu k6nnen: P1 = P, P2 = S, Pa = Q, P~ = S'. kl: k2: ka : k~:

Kreis Kreis Kreis Kreis

yon yon yon yon

(P4, k~,) durch P1, (P2, kv) durch P1, (P2, kp) dutch Pa (P~, k~) durch P3

d.h. kl = k~, d.h. k2 = kp

Dann gilt: k~P~k~+ ~, i = 1. . . . . 4; i + 1 mod 4 genommen. Ist k~ = kj fiir alle i, j ~ {1, 2, 3, 4}, dann gilt k~Pk und k~Ql und somit k = k~ = l u n d auch lp = l = k~,, d.h. (S', k~) geh6rt zu (S, Iv). Andernfalls ist ]{k~. . . . . k~}] > 2, wie man sich leicht fiberlegt. Sei nun l~ der Kreis aus (Pa, ka) durch P~ und l~ der Kreis aus (/4, k~) durch P~. Dann gibt es wegen ($2) einen Kreis x durch P~ u n d / ' 2 , der l~ und/2 berfihrt. Es ist l~ = l u n d x = le. Also ist (S', k~) Punkt yon (S, le), denn die Beriihrbiischel (S', k~,) und (S, l~) haben den Kreis/2 gemeinsam. In ~3(R) gilt daher (B3). [] 6.4. SATZ. Eine Mdbiusebene ~ ist genau dann S-darstellbar, wenn in ~l die Sehlieflungssiitze (S1) und ($2) gelten. Beweis. Ist ~ S-darstellbar, dann gilt in ~ wegen 6.1 (S1) und ($2). Gilt

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umgekehrt in m (S1) und (S2), so ist wegen 6.3 und 4.2 nur zu zeigen, dal3 es in ~3(m) keine Gerade gibt, die fiir jeden Punkt X yon m einen Punkt (X, x) yon ~3(m) enth~ilt. Sei g eine Gerade von ~3(m), die im Durchschnitt der Bl6cke (P, k) und (Q, l), P # Q, yon ~3(~) liegt. Sei l' ~ (Q, l) ein Kreis, der P nicht enthNt. Das Berfihrbiischel (P, k) besteht aus q Kreisen, l'besteht aus q + 1 Punkten. Also gibt es einen Kreis k' ~ (P, k), der l' in zwei Punkten X und X' schneidet. O.B.d.A. sei X # Q. (X, k') ist der einzige Punkt yon (P, k) und (X, l') ist der einzige Punkt yon (Q, l ) mit Tr~igerpunkt X. Es ist (X, k') # (X, l'). Also enthiilt g keinen Punkt, der durch ein Beriihrbfischel mit Tr~igerpunkt X dargestellt wird. [] 7. S-DARSTELLUNG VON MOBIUSEBENEN GERADER ORDNUNG

7.1. LEMMA. In einer M6biusebene m gerader Ordnung gilt der Schlieflungssatz (S1). Beweis. Seien k und l verschiedene Kreise yon ~ , die sich in den beiden verschiedenen Punkten P und Q schneiden. S sei Berfihrpunkt yon Kreisen ke e (P, k) und lQ e (Q, l). S ist weder Punkt yon k noch yon l. Also ist der Kreis kQ e (Q, k) durch S und der Kreis lp e (P, l) durch S eindeutig bestimmt. kp und k o sind verschiedene Beriihrkreise yon k durch S und haben nach 1.3 einen weiteren gemeinsamen Punkt A mit A # S. Desgleichen haben auch die Kreise lp und lQ neben S einen weiteren gemeinsamen Punkt B m i t B # S. Es ist A # P, B # Q und die Kreise SAP = kp, SBQ = l~ haben nur S als gemeinsamen Punkt. Also besteht V = {P, Q, A, B} aus vier verschiedenen Elementen. 1st y ein Kreis durch S, der drei Punkte yon V enthfilt, dann ist y = kp oder y = Io, was einen Widerspruch ergibt. Also bilden die Punkte von V in der Ableitung ms ein Viereck. SAP und SQB sind Parallelen in ms. SAB ist Beriihrkreis yon k und I. Umgekehrt sind k und l Beriihrkreise von SAB durch P und Q. Nach 1.3 sind dann alle Kreise des Biischels (P, Q) Beriihrkreise von SAB. Also beriihren sich die Kreise SAB und SPQ in S. Das bedeutet, dab SAB und SP Q in ms parallel sind. Nach 1.4 hat das Viereck Vin m s kollineare Diagonalpunkte. Daher sind auch SBP = lp und SAQ = k o in m s parallel, d.h. die Kreise lp und ko bertihren sich S. [] 7.2. LEMMA. In einer M6biusebene m gerader Ordnung gilt der SchlieJ3ungssatz (S2). Beweis. Seien kl . . . . . k4 mindestens drei verschiedene Kreise yon m mit k,P,k,+l, i = 1. . . . . 4; i + 1 rood 4 genommen, fiir vier verschiedene Punkte Pz . . . . , P4. Mit/1 bezeichnen wir den Kreis aus (P3, k3) d u t c h / 1 , mit/2 den Kreis aus (P4, k4) durch P2 und rnit l den Kreis aus (P~,/1) durch P2- Wir miissen zeigen, dab l in (P2,/2) liegt] Ist l(k~. . . . ,/q}l = 3, dann haben wit drei paarweise sich bertihrende Kreise, die nicht demselben Berfihrbiischel angeh6ren. Dies ist ein Wider-

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spruch zu 1.3, also sind kl . . . . . k4 paarweise verschieden. Die Kreise 12 und k2 dutch den gemeinsamen Punkt P2 sind Beriihrkreise von kl in den beiden verschiedenen Punkten P1 und P4. Nach 1.3 gilt daher 12 n k2 = {P2, C}, P2 ¢ C und wegen k2P2k3 auch 12 n k3 = {P2, B}, P2 ¢ B. Die Kreise l und k3 durch den gemeinsamen Punkt P2 sind Berfihrkreise yon l~ in den beiden verschiedenen Punkten Pa und P3. Also gilt nach 1.3 auch hier l n k3 = {P2, A}, P2 ¢ A. Esist'P1, C ¢ A, Bwegen k2 ~ k3 undP1 ¢ Cwegen 12 ¢ kl. Ist A = B, dann wird wegen 1.3 der Kreis 11 neben k4 auch von 12 in einem Punkt X, X ~ P3, berfihrt, k4 und 12 haben aber nur P4 als gemeinsamen Punkt im Widerspruch zu 1.3. Also ist A ~ B und V --- {A, B, C, P1} besteht somit aus 4 Elementen. Ist y ein Kreis durch P2, der drei verschiedene Elemente von Venth~lt, dann ist y = k2 oder y = k3. Zu k2 und zu k3 geh6ren aber jeweils nur genau zwei Elemente yon V. Also ist V in ~P2 ein Viereck. P2AB = k3 und P2P1C = k2 sind Parallelen in ~P2. Weil (Pz, l~) ~ (P~, k~) ist, gilt lz n k~ = {P~, Y}, Y # P~. Der Kreis k4 wird von kl in P4 und von l~ in P3 berfihrt. Also sind die Kreise des Bfischels (Pa, Y) die Beriihrkreise yon k4 durch P~ nach 1.3. Der Kreis k4 wird auBerdem von k3 in P3 und/2 in P4 berfihrt. Also sind auch die Kreise des Bfischels (P2, B) Berfihrkreise von k~. Der Kreis P2BP~ beriihrt demnach k4 und gehSrt somit auch zu (P~, Y). Der Kreis ll wird von l in Pz und von k3 in P3 berfihrt. Die Kreise des Bfischels (P2, A) sind daher Berfihrkreise von l~. Der Kreis kx wird von k2 in P1 und von 12 in P4 berfihrt. Die Kreise des Bfischels (P2, C) sind also Beriihrkreise von kz. Daraus folgt, dab der Kreis P2AC von ll und von kl beri~hrt wird. 11 und k~ geh6ren zum Bfischel (P~, Y), also sind alle Kreise yon (Pz, Y) Berfihrkreise yon P~AC. Insbesondere ist P2BP~ Berfihrkreis von P2AC. In ~p~ ist P2BP~ somit parallel zu P~AC. Nach 1.4 hat das Viereck V kollineare Diagonalpunkte in ~p~. Deshalb sind in ~p~ auch P2AP~ = l u n d P2BC = l~ parallel, d.h. l liegt im Berfihrbfischel (P2, 12). [] Es folgt unmittelbar mit 6.4 und 4.2: 7.3. SATZ. Jede Mgbiusebene ~ gerader Ordnung q besitzt eine S-Darstellung in PG(3, q). Die Beri~hrbiischelstruktur ~3(~) ist isomorph zur Inzidenzstruktur aus Punkten und Hyperebenen des PG(3, q). Daraus ergibt sich mit Hilfe der Darstellung yon Translationsebenen nach Andr6 [1]; Bruck and Bose [2]: 7.4. SATZ. (Thas [9]). Zu jeder M6biusebene ~ gerader Ordnung q existiert eine Translationsebene ~ yon Ordnung q2, sodaJ3gilt : Es gibt eine Menge ~ yon uneigentlichen Segmenten desarguesscher Unterebenen der Ordnung q in ~.1,sodaJ3 die Inzidenzstruktur (~, ~ , ~) isomorph zu ~ ist. Dabei sei ein uneigentliches

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Segment einer Unterebene die Menge ihrer uneigentlichen Punkte und bezeiehne die Menge aller uneigentliehen Punkte yon 9~. Beweis. Jede M6biusebene ~ gerader Ordnung q ist nach 7.3 isomorph zu einer Inzidenzstruktur ( ~ J,, I), wobei 50 eine 1-Faserung und J - eine Menge dazugeh6riger Transversalen in PG(3, q) ist. Ist PG(3, q) als uneigentliche Hyperebene in den affinen Raum AG(4, q) eingebettet, so erhalten wir nach Andr6, Bruck and Bose auf folgende Art eine Translationsebene ~(50): Die Punkte yon 9J(50) sind die Punkte von AG(4, q) und die Geraden von ~(50) sind die Ebenen von AG(4, q), deren uneigentliche Gerade zu 50 geh6rt. Ebenen in AG(4, q), deren uneigentliche Gerade nicht zu 50 gehSrt, sind desarguessche Unterebenen von ~l(50). Die Punktmenge eines Kreises k von ~ ist in (5~, J,, I) die Menge 50~ yon Elementen aus ~ die eine Gerade von Y treffen. Identifizieren wir die uneigentlichen Punkte von 9.1(5°) mit den Elementen von 5~, dann entspricht 50k einem uneigentlichen Segment einer desarguesschen Unterebene von Ordnung q in 9.1(50). Damit folgt die Behauptung des Satzes. [] Die S-Darstellbarkeit bei M6biusebenen ist auf solche yon gerader Ordnung beschrankt, wie das Folgende zeigt. Auch bei den klassischen lokal-affinen Kreisr~iumen h6herer Dimension konnte bisher nur im Falle gerader Ordnung die S-Darstellbarkeit nachgewiesen werden. 7.5. SATZ. 1st ~ eine M6biusebene ungerader Ordnung q, dann gilt in der Schlieflungssatz ($2) nicht. ~ ist also nicht S-dars.tellbar. Beweis. Seien k3 ein Kreis und P1, P2 Punkte von ~ mit P~ ¢ k3 und P2 ~ k3. Dann gibt es genau einen Kreis k2 durch P1, der k3 in P2 berfihrt. Jeder Punkt von k3 liegt auf genau einem Kreis des Bertihrbiischels (P~, k2). Die Anzahl der Punkte von k3 ist q + 1, also gerade. Deshalb gibt es neben k2 einen weiteren Kreis k~ ~ (P1, k2), der k3 in einem Punkt P4 beriihrt. (P1, k2) besteht aus q Kreisen, deshalb gibt es mindestens einen Kreis x aus (P~, k2), der mit k3 zwei verschiedene Punkte P3 und P'3 gemeinsam hat. Wir setzen k~ = k3 und erhalten somit k~P~k~+~, i = 1. . . . . 4; i + 1 rood 4 genommen. Es ist [{k~,..., k4}[ = 3 und [{P~. . . . . P4}[ = 4. Sei/1 der Kreis aus (P3, k3) durch P~ und/2 der Kreis aus (P4, k~) durch P2. Es ist/2 = k3. Den Kreis aus (P2,/2) durch P~ bezeichnen wir mit l. Es ist l = k2. x ist der eindeutig bestimmte Kreis aus (P~, k2), der P3 enth~ilt. Es ist x ¢ /1, also/1 ¢ (/'1, k~) = (P~, l). Damit ist gezeigt, dai3 ($2) in ~ nicht gilt. [] 8. K E N N Z E I C H N U N G DER MIQUELSCHEN MOBIUSEBENEN GERADER ORDNUNG

Wir wollen zun~ichst kl~iren, was man unter einer regul~iren Faserung versteht. Sei ~ eine Menge von q + 1 paarweise disjunkten ( d - 1)-dimensionalen

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Unterrgumen in PG(2d - 1, q) mit der Eigenschaft, dab jede Gerade von PG(2d - 1, q) mit drei Elementen yon ~ auch die fibrigen Elemente yon trifft. Dann nennen wir N ein Regulus. Je drei paarweise disjunkte Unterr/iume $1, S~, Sa yon Dimension d - 1 in P G ( 2 d - 1, q) sind genau in einem Regulus N(S1, S~, Sa) enthalten. Eine ( d - 1)-Faserung 50 yon P G ( 2 d 1, q) heil3t reguliir, wenn mit je drei Elementen S~, S~, Sa ~ 50 auch das zugeh6rige Regulus ~($1, S~, Sa) zu 5 ° geh6rt. Die folgenden Untersuchungen fiber (R) sind zunfichst nicht auf M6biusebenen beschffmkt. 8.1. SATZ. Der lokal-affine Kreisraum ~ = ~(d,q) besitze eine S-Darstellung (5~, ~ I) in PG(2d - 1, q). Dann gilt (R) in ~ genau dann, wenn 50 reguliir ist. Beweis. Wir identifizieren die Punkte von ~ mit den Elementen von 50 und die Kreise yon ~ mit den Elementen von J . (1) Sei 50 regular. P1 . . . . . P4 seien Elemente yon 50 und kl . . . . . k4 Elemente on J,, sodag gilt k~Pik¢ + 1, i = 1. . . . . 4; i + 1 mod 4 genommen. Nach Definition der S-Darstellung bedeutet das, dab k¢ und k~+l in P G ( 2 d - 1, q) einen gemeinsamen Punkt p~ ~ P~ enthalten. Die Geraden k~ und k ~ ~ geh6ren zum d-dimensionalen Unterraum ( ~ , ) , der vom Geradenbfischel ~ , aufgespannt ist. kl und k2 enthalten den gemeinsfimen Punkt Pl ~ P1, ka und k~ enthalten den gemeinsamen Punkt Pa ~Pa. Ist pl = P3, dann ist auch P1 = P8 und Pz . . . . . P4 sind konzirkular. Also sei Pz ¢ Pa. Sowohl ( ~ ) als auch (~) enthalten die Punkte Pz und Pa. Die Gerade P~Pa von PG(2d - 1, q) geh6rt deshalb zu ( ~ ) als auch zu ( ~ ) . PlP3 schneidet P2 als Hyperebene von ( ~ ) und P~ als Hyperebene yon ( ~ 4 ) in jeweils einem Punkt. Die Elemente yon 5~, die yon der Gerade P~Pa getroffen werden, bilden ein Regulus N in ~ P1 . . . . . P4 geh6ren also zu ~ . Sind X, Y, Z drei verschiedene Elemente yon N, dann gibt es in J - genau eine Gerade k, die X, Y, Z trifft. k trifft damit aber alle Elemente von N, d.h. P1 . . . . . P4 entsprechen Punkten des Kreises k yon ~. (2) In R gelte (R). Wir haben nur den Fall q > 2 zu betrachten, weil fiir q = 2 50 trivialerweise regulfir ist. Seien P~, P2, Pa verschiedene Elemente yon 50 und sei h e i n e beliebige Gerade yon PG(2d - 1, q), die jedes Pi in jeweils einem Punkt p~ schneidet, i = 1, 2, 3. Nach dem Beweis zu 2.1 gibt es Punkte p'~ ~ P~, sodaI3 (P~, h) = ( ~ ; ) ist, i = 1, 2, 3. Sei P4 ein beliebiges v o n / ' 1 , / ' 2 , Pa verschiedenes Element yon ~, das mit h den Punkt p~ gemeinsam hat. Mit p ; bezeichnen wir den Punkt von P4, fiir den (P4, h) = ( ~ ) ist. Die Geraden k2 = p;p~ und k3 = p'2pa geh6ren zu ~ i , die Geraden k~ = p'4p~ und k~ = P'~Pa geh6ren zu o~r;. Es gilt also

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GONTHER HOLZ

k~P,k~+l, i = 1. . . . . 4; i + 1 rood 4 genommen, weil ks und k,+l jeweils einen Punkt p~ oder p', mit P~ gemeinsam haben. Wegen (R) ist d a n n / ' 4 ein Punkt des Kreises P1P2P3 yon ~. P1P2P3 wird in (S~, ~,, I) von einer einzigen Geraden k repr~isentiert, die P1, P2, P3 in jeweils einem Punkt schneidet. Bezeichnen wir die Menge der Elemente von ~ die k treffen, mit ~(P1, P2, P3), dann ist gezeigt, dab jede Gerade yon P G ( 2 d - 1, q) mit P1, P2, P8 auch alle tibrigen Elernente von ~(P1, P2, P3) schneidet. ~(PI, P2, Ps) ist daher ein Regulus und weil P1, P2, P3 beliebig gew~ihlt sind, ist S# regul~ir. [] Klassische lokal-affine Kreisr~iume gerader Ordnung besitzen eine SDarstellung, was man durch Betrachtung ihrer Automorphismengruppen zeigen kann. Die zugeh6rigen Faserungen sind regular, sie erfiillen somit (R). Lassen sie sich mittels (R) kennzeichnen ? Dazu miJBten wir zeigen, dab (R) die S-Darstellung impliziert. Es kann folgendes Teilergebnis hierzu angegeben werden, das im Falle von M6biusebenen zu einem Kennzeichnungssatz ffihrt: 8.2. LEMMA. Sei ~ein lokal-affiner Kreisraum yon Ordnung q > 2,flit den (R) gilt. Dann erfiillt ~ die Schlieflungssiitze (S1), ($2), ($3). Beweis. In R gelte (R). (1) Wir zeigen, dab drei paarweise sich beriihrende Kreise von ~ demselben Berfihrbiischel angeh6ren. Seien kz, k2, k8 Kreise yon R mit k~P,k,+a, i = 1, 2, 3; i + 1 mod 3 genommen. P4 sei ein Punkt von k~, der von P1 und P3 verschieden ist. Es gilt dann k~P,k~.z, i = 1. . . . . 4; i + 1 rood 4 genommen, wobei k~ = k~ ist. Wegen (R) liegen die Punkte P~ . . . . . P4 auf einem gemeinsamen Kreis. Also ist P2 Punkt von P~P3P4 = kz. (P2, k2) enth~ilt k3 und kl, denn k~ und k2 sind Beriihrkreise mit den gemeinsamen Punkten P~ und/'2, und deshalb gilt P1 = P2 oder ka = k2. (2) Wir zeigen, dab in der Beriihrbfischelstruktur ~3(~) zwei B16cke (P, k) und (Q, 1) mit P C Q genau q + 1 Punkte (X,,x0, i = 1. . . . . q + 1, gemeinsam haben, wobei alle X, auf einem Kreis m durch P und Q liegen. 1. Fall: Die Berfihrbfischel (P, k) und (Q, l)von ~ enthalten einen gemeinsamen Kreis m. Ist S ein Berfihrpunkt eines Kreises k' e (P, k) und eines Kreises I' ~ (Q, l), dann ist wegen (1) S ein Punkt von m. Fiir jedes X e m i s t andererseits (X, m) ein Punkt von (P, k) und (Q, 1) in ~3(~). 2. Fall: Die Beriihrbfischel (P, k) und (Q,I) von R enthalten keinen gemeinsamen Kreis. Ist S~ Beriihrpunkt eines Kreises k~ ~ (P, k) und eines Kreises 1~~ (Q, l), i = 1, 2, dann gilt: k~Pkz, k~Szl~, lzQI~ und lxS~k~. Wegen (R) sind P, Q, S~, Sz Punkte des Kreises PQS~. Jeder Berfihrpunkt S eines Kreises aus (P, k) und eines Kreises aus (Q, 1) liegt also auf PQS~. (P, k) und (Q, 1) haben daher h6chstens q + 1 Punkte gemeinsam. Mit 3.3 folgt daraus die Behauptung. (3) Wit zeigen, dab ($2) in R gilt.

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Seien kl . . . . . k4 mindestens drei verschiedene Kreise von R mit k~P~k~+l, i = 1 , . . . , 4; i + 1 rood 4 genommen, ftir 4 verschiedene Punkte P1 . . . . , P4. Es sei ll der Kreis aus (P3, k3) durch P1 und es sei I., der Kreis aus (P4, k4) durch P2. P1 . . . . , P~ liegen wegen (R) auf dem Kreis PIP~Ps. P3 ist Beriihrpunkt des Kreises k4 E (P4, k4) und des Kreises ll e (P1, ll), d.h. (P3, k4) ist in ~3(~) Punkt der B16cke (P4, k4) und (P1, ll). (P2, 12) ist Punkt des Blockes (P~, k47 und P2 ist in ~ Punkt des Kreises P4P1P3. Also ist nach (2) (P2, 12) auch Punkt von (P1, 11>. Das bedeutet, dab die Kreise 11 und/2 einen gemeinsamen Beriihrkreis l durch P1 und P2 haben. (4) Wir zeigen, dab (S1) in ~ gilt und wenden dazu ($2) an. Seien k und / verschiedene Kreise von ~, die sich in den beiden verschiedenen Punkten P2 und P4 schneiden. P1 sei der Berfihrpunkt eines Kreises kl ~ (P4, l) und eines Kreises k2 e (P2, k). Weil q > 2 ist und wegen (2) gibt es einen weiteren, von P1 verschiedenen Punkt P3, der Bertihrpunkt eines Kreises k4 ~ (/'4, l) und eines Kreises k3 ~(P2, k) ist. Es gilt k~P~k~+l, i = 1. . . . . 4; i + 1 mod 4 genommen. P~ ist kein Punkt von kl, daher ist kl ¢ k2 und kl ~ k3. Wegen (1) ist k2 va k3. Die Voraussetzungen von ($2) sind also erfiillt. Nach ($2) haben der Kreis/1 e (P3, k3) durch P1 und/2 ~ (P~, k4) durch P~ einen gemeinsamen Beriahrkreis x durch /'1 und P2. Es ist /2 = l, also x ~ (P2, I). Wit numerieren um durch P; = Pi- a und k'~ = k~_ 1, i = 1. . . . . 4; i - 1 rood 4 genommen, und wenden wieder ($2) an. Es gibt dann fiir die t t kreise 11t ~ (P3, k~) durch P1! und l~ ~ (P~, k~) durch P2v einen gemeinsamen Berfihrkreis y durch P~ und P~. Es ist l~ ~ (P2, k2) durch P~ und l~ ~ (P~, k~) durch P1. Also ist l~ = ll und l~ = k, d.h. y ~ (P~, k). Die Kreise x und y berfihren/1 in P1, daher gilt (S1). (5) Wir zeigen, dab ($3) in R gilt. Seien k~, . . . . k~ verschiedene Kreise von ~ mit k~P~k~+l, i = 1. . . . . 4; i + 1 rood 4 genommen, fiir 4 verschiedene Punkte P1 . . . . . P~. Es sei x ein Kreis dutch Pa, der k~ in P; beriihrt. Wir betrachten die Ableitung R~. kl und k2 sind Parallelen in ~/,~. P1P3P~ und P1P~.~P'~sind Geraden in ~e~, die sich im Punkt Pa schneiden. P1PaP~ enth~ilt wegen (R) auch P2. Daher hat P1PaP~ mit kl den Punkt P~, mit k2 den Punkt P2 gemeinsam. P1P~P'~ hat mit kl den Punkt P ; gemeinsam. Wegen 1.2(A3) hat P1PaP'~ auch mit ke einen Punkt P~ gemeinsam. (P;, kl) ist in ~3(~) Punkt yon (P1, k l ) und (Pa, x). Wegen (2) ist dann auch (P~, k2) Punkt yon (P1, kl) und (Pa, x). Der Kreis x' yon (Pa, x) dutch P~ bertihrt also k2. [] 8.3. SATZ. In einer M6biusebene ~ yon Ordnung q > 2 gilt genau dann der Schlieflungssatz (R), wenn ~ miquelsch und q gerade ist. Beweis. (1) In ~ gelte (R). Aus den vorhergehenden S~itzen folgt leicht, dab q gerade ist und ~ eine S-Darstellung (5~, F , I) in PG(3, q) mit regul~rer Faserung 5~ besitzt. Die mittels 5p konstruierte Translationsebene ~(5~) ist

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desarguessch (Bruck a n d Bose [3]). ~ 1/iBt sich wie in 7.4 a u f der uneigentlichen G e r a d e n y o n ~t(5o) darstellen u n d ist d a h e r miquelsch. (2) ~ ist miquelsch u n d q ist gerade. N a c h 7.3 besitzt ~ eine S - D a r s t e l l u n g ( ~ ~,, I ) in PG(3, q). Die mittels 5 ° konstruierte T r a n s l a t i o n s e b e n e ~.1(5O) ist desarguesch, weil die miquelsche M 6 b i u s e b e n e ~ a u f ihrer uneigentlichen G e r a d e n d a r s t e l l b a r ist. A l s o ist 5O regul/ir (Bruck a n d Bose [3]). N a c h 8.1 gilt d a n n (R) in ~ . [ ] BIBLIOGRAPHIE 1. Andr6, J.: 'Uber nicht-desarguessche Ebenen mit transitiver Translationsgruppe'. Math. Z. 60, 156-186 (1954). 2. Bruck, R.H. and Bose, R. C. : ' The construction of translation planes from projective spaces'. J. Algebra 1, 85-102 (1964). 3. Bruck, R.H. and Bose, R.C.: 'Linear representations of projective planes in projective spaces'. J. Algebra 4, 117-172 (1966). 4. Cofman, J.: ' A characterisation of miquelian inversive planes of even order'. (in Vorbereitung). 5. Dembowski, P. : ' M6hiusebenen gerader Ordnung'. Math. Ann. 157, 179-205 (1964). 6. Dembowski, P.: Finite Geometries. New York 1968. 7. Dembowski, P. and Wagner, A. : ' Some characterizations of finite projective spaces'. Arch. Math. 11,465-469 (1960). 8. Lenz, H. : 'Uber die Einffihrung einer absoluten Polarit~t in die projektive und affine Geometrie des Raumes'. Math. Ann. 128, 363-372 (1954). 9. Thas, J. A. : ' Ovoidal translation planes'. Arch. Math. 23, 110-112 (1972). Anschrift des Verfassers :

GUnther H61z Schillerstr. 14 D-7432 Urach Bundesrepublik Deutschland (Eingegangen am 17 Juli 1978)