Arch. Math., Vol. 48, 223-231 (1987)

0003-889 X/87/4803-0223 $ 3.30/0 9 1987 Birkh~iuser Verlag, Basel

Sur la monog6n6it6 de l'anneau des entiers d'une extension di6drale imaginaire de degr6 2p (p premier) Par JEAN COUGNARD

Introduction. Soit N/Q une extension di6drale imaginaire de degr6 2p (p premier sup6rieur ou 6gal fi 5). On se propose de d6montrer que dans laplupart des cas il n'existe pas d'616ment 0 tel que 7/N = 7/.[0]. Si k est le sous-corps quadratique de N e t que ~N = Z[0] on a 6videmment 7~,u = 7~,k[O ]. C'est cette condition n6cessaire que nous 6tudions plus pr6cis6ment et qui permet d'6tablir la non-monog6n6it6 dans de nombreux cas. Ce travail est une adaptation aux extensions di6drales des r6sultats de M.-N. Gras ([3], [4]) sur les extensions abbliennes de Q, et les r6sultats obtenus (Section 5 Th6orbmes 1, 2 et 3) g6n6ralisent partiellement ceux de J.-J. Payan ([6]). La m6thode utilis6e n'a pas permis d'&ablir si les conditions n6cessaires 6nonc6es 6taient 6galement suffisantes. 1. Extensions di~drales et discriminants. N/~ est une extension di6drale de degr6 2p, k le sous-corps quadratique de N e t d le discriminant de k/~. Le groupe de Galois G de N / ~ est engendr6 par deux 616ments a e t z v6rifiant O"p =

Z"2 ~

~

"CO''C =

U" - 1

Le sous-groupe H engendr6 par a est groupe de Galois de N/k; on note Tle sous-groupe engendr6 par ~. Pour tout corps de hombres alg6briques L on note 7ZL la cl6ture int6grale de Z dans L. Si Z N = ;g[0] on a bien 6videmment Z N = Zk[0]. L'6tude de cette condition n6cessaire nous am6ne fi consid6rer le discriminant de l'extension N/k. Le discriminant de N/k est la puissance (p - 1)-6me d'un id6al f Z k engendr6 par un 616ment f de Z (cf. [5] th. III 1) d6fini de la fagon suivante: a)

S i p est non ramifi6 dans N/k, f =

[I

E

ramlfi6 E,~d

b)

S i p est ramifi6 dans N/k et ne divise pas d, f = p2

]1 { r amlfi~

c)

Si p est totalement ramifi6, f = ap

]1 g g ramlfi6

aveca=l

sip>5eta=l

ou3sip=3.

e 4-p

g'

224 Pour

J. C O U G N A R D

OeN

posons A ( 0 ) =

ARCH. MATH.

(#(O) -- aJ(O)) et pour l < r < _ p - 1

I~ O
p

Aft0)=

1

NN/k(O- a'(0)). O n a bien 6videmment A(O)= I-[ A~(O). P o u r 0 < j , r < p l'616ment ~-1

1 -- o-~s

t=0

I --0 4

v~((rs) = ~ r tj =

~=1

. est inversible dans l'alg6bre 2g[H]. O n en d6duit que p o u r toute

place q de N ramifi6e dans N / k la valuation en q de 0 - ~r~(0) est ind6pendante de i, ce qui c o n d u i t / t P r o p o s i t i o n 1. E a n n e a u 7Z,N est 7Zk-monogkne si et seulement si il existe un entier 0 de N et des unitds ~ de k (1 < r < p - 1) tels que

(1)

A.(O) = ~.f.

2. P r o p r i 6 t 6 s g a l o i s i e n n e s des entiers de N. Soient ( une racine primitive p-i~me de l'unit6 et A l'alg6bre crois6e / g [ ( ] o T off ( z = z ~ - l ; on peut d~montrer que

A ~- Z[G]/

o- et que ZN/Z k est un A-module libre de rang un (cf. [11, [21). I1 existe t

donc un ~16ment x de 2~N tel que p o u r tout y de Z N on puisse trouver z s Z k, a i, bl s Z (0 __
(2)

y = z + ~ aicri(x) + b~cri'c(x). /=0

Soit Z un caract~re non trivial de degr6 un de H, p o u r y e N e t 0 < t < p on note la r&olvante de Lagrange p-1

E ~t(x)zt(G i).

t=0

O n %rifle ais6ment la relation bien connue Y

1 p

rN/k(Y) + t = (Y' Z*) '

Ceci nous c o n d u i t / t a d j o i n d r e / t N les racines p-i~mes de l'unit6. O n obtient un corps N ( 0 galoisien sur I1) et dont le groupe de Galois G' contient un sous-groupe qui s'identifie g H. P o u r 0 ~ N e t a ~ H on a a (0,)~> = ( a 0, Z> = Z(a) (0, Z> ce qui, compte tenu de (2), donne: (3)

Y = p_1

a, zt(a z) (x, Z t) + blzt(tr ~) ('c x, Z t)

rN/k(Y)+ t=l E

Cette formule nous am6ne fi poser: p

(4)

2

c9 = Z i=0

p--2

aiz(cri),

fir = E bl)~(ai) . i=0

O n est dans la situation du chapitre IV de [5] auquel on renvoit p o u r la description de

G' et de son action sur les r6solvantes de Lagrange. R e m a r q u o n s toutefois que G' contient toujours un sous-groupe F i s o m o r p h e / t Gal(l~(0/ll)).

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Extensions di6drales et monogen6it6

225

On distingue plusieurs cas: C a s A. Les corps N e t

Q(() sont lin6airement disjoints sur Q. Le groupe F est

Gal(N(()/N), ses 616merits s, sont les N-automorphismes de N(() tels si(( ) = ~i (1 = < i < p - - 1). On note k le sous-corps de k(() invariant par (51)

Y= p

rN/k(Y)+ Z

spa z. La formule (3) devient:

St(%(X, Z) + fiy(z(X), Z) 9

t=l

C a s B. k = N c~ Q((). Le groupe G' est alors produit semi-direct d'un sous-groupe distingu6 isomorphe fi H et d'un sous-groupe F isomorphe /t Gal(Q(()/Q). On peut choisir F de telle sorte qu'il poss6de un g6n6rateur s e dont la restriction/t N coincide avec ~. Lorsque p = 1 (4), on note ~: = Q(() et la formule (3) se transforme en: (5 B1)

Y

rN/k(Y)+l<=t<=p-lY"S~[C~y(X,Z)

p

+ fly(Z(X), Z) 3

+ s~(~,(~(x), z -~) + ~,(x, z- 1))1f. Lorsque p = 3(4) on note k le sous-corps r~el maximal Qo de Q(() et on obtient: (5 B 2)

+

-1

s_1(%) (x, z -1) + s_l(/~y) (z(x), z-~))J.

3. Transformation de la formule (1). A l'aide des formules (5 A), (5 B 1), (5 B 2), on peut transformer les quantit& a'(O) - o "+ 1(0) et donner une autre expression de e~s Darts le cas A, compte tenu de Faction de o sur les r&olvantes de Lagrange, il est imm~diat que:

~(y)

-- r

= P

St[Zr(o") (1 -

zi(a))(c~y(x, Z) + fly(ZX, X)) .

En particulier, si 2gN = 2gK[0], on en d6duit que (61)

eif= pp ,__IJo

zrt(a) (i - ;g"(a))

st(~o(X, Z> + flo( zx, Z> -

Dans le cas B , p - l(4):ontientcomptedecequeacommuteavecstlorsque(p)=+l et de seas e = a -1, on obtient alors (6B1)

1 p-1 f~l+~0) eif =~r~=o

)

+ z"'(G) (1 - z"~(a)) s.(~o(ZX, z -~) + flo(X, z-~)) l 9 Archlv der Mathematxk 48

15

226

J. C O U G N A R D

ARCH. MATH.

Dans le cas B, p - 3 (4), on obtient par un calcul analogue: 1

(6B2)

81f = ?

p-1

f

52 , z"(a)(1 -z"(-)) s,(.0 +/~0Ox, z>) r~=O J.l __
G)=+,

)

+ z-"(~)(1 - z-"(G)) s,(s_~(~o) + s_,(~o) <.cx, z-b)}. )

4. Valuations des r6solvantes. Les relations habituelles sur les r6solvantes de Lagrange nous donnent dans chacun des cas: quel que soit z dana N tel que p ~ k(0*, quels que soient z, z' dana N tels que e k(0*



Z

i

quel que soit z dana N tel que '

k(O*.

Si on d4compose alors l'iddal fractionnaire de k(0 engendr6 par (z, Z) v sous la forme: p--1

( O

=

~(z) ~ YI a,(z)', i=i

lea lI,(Z) &ant des iddaux entiers sans facteurs carrd, premiers entre eux deux fi deux, on constate que lea iddaux Hi(Z) et la classe de N(Z) ne ddpendent pas de z. Si, en particulier, on choisit z = x, on constate que N ( 0 = k(0 (
i'= i(;)dana

lea cas B1 et B2 et i ' = i dana le cas A on peut alors &ablir lea formules: p-1

( < x , z ) p ) = ~ ( x ) p H l l l ( f f ) I ou

ii*-l(p),l


i=1

sAaAz)) = aj(z ~') et dana le cas A

r(lij(Z) ) = llj( Z- 1).

On peut 6crire: p-I

dana lea cas A et B 1

(
dana le cas B 2

(
Z

l<_t
1

s,(U~(z)'*a~(z-').-g.

Dana le cas B 1 lea iddaux Hi(Z) de I1~(0 sont permutds transitivement par Gal (ll~(0/lI~) ils sont donc premiers A p.

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Extensions di6drales et monogen6it6

227

Dans le cas B2 avec p =t= 3, on remarque que les idhaux II~(Z) sont ambiges dans Q ( 0 / Q o et sont permutes par G a l ( Q ( 0 / k ). Dans le cas B2 avec p = 3, on 6crit ~.I(Z)~[I(Z-1) 2~-- bl(z)B2(Z-1)2( l -j)~. Les b~ ~tant des id6aux de 2g et e valant 0, 1 ou 2. Dans le cas A, les id6aux ramifi6s dans k(()/k sont les id6aux au-dessus de p lorsque p est ramifi6 dans k/Q, sinon k(O/k est non ramifi6e aux places finies. Le groupe de d6composition des id6aux au-dessus d e p dans k ( 0 / Q est d ' o r d r e p - 1 et celui des id6aux de t[i(Z ) est d'ordre 2, engendr~ par s_ a z. I1 s'ensuit que les id6aux II~(z) sont premiers /t p lorsque p + 3 ou lorsque p = 3 n'est pas ramifi6 dans k/Q, ce sont donc des id6aux de k 6tendus fi k(0. Dans le cas A lorsque p = 3 est ramifi6 dans k/Q on a k = Q(x/3m), ~; = Q ( ~ - m) avec m premier fi 3. Si (3) est inerte dans Q ( ~ - m)/Q, les lI,(z) sont premiers fi 3; si (3) est d6compos6 dans Q ( x / 7 - m ) / Q , les id6aux Hi(X) peuvent ne pas ~tre premiers fi 3. 5. Etude d'une condition n6cessaire fi la monog6n6it6 de Z N comme Zk-alg6bre. Soit f un nombre premier, premier tip et ramifi6 dans N/k. U n tel id6al est d6compos6 dans ~:/Q ce qui impose les conditions suivantes: (7)

casB1

f-l(p),

casB2

f=_+l(p),

casA

f-(d)

modp.

Les id6aux premiers de Tcau-dessus de f divisent le produit [ I lli(Z). I1 en r6sulte, darts les cas A et B1 que Pun des id4aux au-dessus de C dans k(0 fgure dans la d6composition de ((x, Z) p) avec une valuation positive, congrue/t 1 modulo p, de plus pour tout automorphisme s~ la valuation de s~(fx, Z) p) en cet id6al est positive et non congrue fi un modulo p. Dans le cas B 2, on aboutit aux mames conclusions en remplagant 6ventuellement Z par Z- ~ et en choisissant les automorphismes sl dans Gal(Q(0/k). O n se place d6sormais dans les conditions suivantes: il existe un ideal (d) de Z premier fi p e t ramifi6 dans N/k. On choisit un id6al 5r au-dessus de (d) dans N ( 0 et on note: Y"=~e"c~k(0;

~"=Y"c~Q(0;

~=~"c~k.

(Dans les cas B1 et B2, oga' et 5(' coYnddent.) On suppose de plus que Z N = ~k[O]. L'id6al 5r peut alors ~tre choisi de fagon que 0 < Wse.((x, Z) p) -- ~//-ae,((zx, Z) v) - I (modp) et que pour s s Gal (N(O/N): 0 < "Uss(ae,)((x, Z) p) -- ~//~{z,)((zx, Z) v) ~ 1 (modp). Comme s est ramifi6 dans N(O/k(O les m6mes congruences peuvent atre r66crites avec ~ " au lieu de s et (x, Z), (zx, Z) au lieu de (x, X) p, (zx, Z) p. Lorsque (E) est d6compos6 dans •k, YT/k = ~1 ~2, o n peut choisir un id6al 5q," (resp. ~2") au-dessus de ~1 (resp. ~2) v6rifiant les conditions pr6c6dentes. On choisit maintenant une uniformisante 7r de l'id~al s telle que ~/r~,,(Tz) -- I et ~/~(se,,)(rr) = 0 pour tout s ~ Gal(N(O/N), s q=id. 15'

228

J. COUGNARD

ARCH, MATH.

D a n s c h a c u n des cas A, B 1, B 2 l'6criture de o-r(0) - o-r + i(0) fait a p p a r a l t r e u n terme de la forme Z"(a) (1 - g'(a)) leo
e l f = I~ (oF(O) - ~7~+i(0)) c'est que ~/'ze,,(a~(O) - a'+i(O)) = 1. r=O

I1 existe d o n c u n 616ment u, inversible m o d u l o ~ " tel que G'(0) - G'+'(0)

- z(r

(1 - z(~) ~) u ,

o (~e")

ce qui d o n n e en faisant le p r o d u i t p o u r les diff6rentes valeurs de r

a,(o) _ p ~ l ~'(o) - G'+'(o) 7~P

11 r=O

~

, - v H z(~') (1 - z(d)) ( ~ " ) r=O

off v e s t inversible m o d u l o ~ " . Soit

Ai(O) 7-cP

- v(1 - Z(a)i) p ( ~ " )

ot~ l'616ment u, et par c o n s 6 q u e n t l'616ment v, est i n d 6 p e n d a n t de i. E n faisant le q u o t i e n t des expressions o b t e n u e s p o u r deux valeurs distinctes i et i' o n o b t i e n t (avec les n o t a t i o n s pr6c6dentes): Proposition 2. Si Z N = 2~k[O] et s'il existe un iddal premier E, premier d p, ramifid dans N/k, il existe une unitJ e de 2~k telle que

- Z(G)"J

e (~e").

Soit alors t u n entier tel que e~ - I (•), o n a d o n c

-

et d o n c

Z(~)"J

- Z(a)"]

ceci ~tant vrai quels que soient i et i', o n 6crit la relation p o u r r* i, r* i' et o n c o n j u g u e p a r st, o n o b t i e n t d o n c la c o n g r u e n c e ci-dessus off ~ est remplac~ p a r s,(~q~); (E) n ' ~ t a n t pas ramifi6 dans Q(0/II~, o n a d o n c

(8)

-

x(G)"]

Le n o m b r e -- 1 ~tant t o u j o u r s d a n s le g r o u p e des unit6s, o n peut supposer t pair. L o r s q u e p = 3 la c o n d i t i o n ci-dessus est t o u j o u r s v6rifi6e. P o u r u n e 6tude du cas p = 3

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Extensions di6drales et monogen6it6

229

o n peut consulter l'article de J.-J. P a y a n ([6]). O n suppose d o n c d a n s ce qui suit que p > 5. Si k est q u a d r a t i q u e i m a g i n a i r e o n peut p r e n d r e (t = 6 si k = I I ~ ( ~ - - 3 ) , t = 4 si k = II)(xfZ-1), t = 2 sinon). O n suppose d6sormais k q u a d r a t i q u e i m a g i n a i r e (ce qui 61imine le cas B1). O n a trois s i t u a t i o n s / t envisager: 1 6 r e p o s s i b i l i t 6: k q u a d r a t i q u e imaginaire, k :t: ~ ( ~ 1), k + II~(~f~- 3). Le calcul de [3] sur la c o n d i t i o n (7) avec t = 2 a b o u t i t fi (2p + 1) (2p - 3) - O(E) or o n a vu que f doit v6rifier E -- _+ 1 (p) d o n c il ne peut pas diviser 2p - 3, c'est d o n c que ~~ 2 p + 1. Si N / k est s a u v a g e m e n t ramifi6e, avec les c o n d i t i o n s que l ' o n vient d ' i m p o s e r fi k, 2[N n'est pas 2gk m o n o g 6 n e ([61) d'ofi: Th6or6me 1. Soil N / ~ une extension di~drale de degrk 2p (p premier) imaginaire, ne contenant ni ~ ( x ~ - 1) ni f f ~ ( ~ - 3). Pour que 7Zw soit monogdne il faut que N / k soit non ramifike sur son sous-corps quadratique ou bien que E = 2p + 1 soit premier et qu'il n'y ait pas d'iddaux autres que ceux au-dessus de f dont l'indice de ramification soit dgal ~ p. 2 6 m e p o s s i b i 1i t 6 : k = ~ ( ~ -

1), o n est n6cessairement dans le cas A. O n doit

Les premi6res valeurs possibles p o u r E sont ~ = 2p _+ 1, E = 4p - 1. Si Y = 2p - 1 et p-1(4)

on a (=

1 (4)done (@)=

iet

O n a u n r6sultat a n a l o g u e s i p - - 1 (4). O n m o n t r e de m~me que # = 2p + I e s t impossible. Si o n suppose f = 4p - 1, o n consid6re la c o n d i t i o n 7 avec i = 2, i ' = 1, o n pose Z(a) = [, ce qui d o n n e

(J + ~)~p - 1 (t). 4p

Soit Z C]p ~s =_ 0 (Y) qui se transforme en s=l 3

3

t,~up+ ~ 4 p v ~--- • u=O

CU4.Pp(~)

u=O

pour v = 1,..., p - 1 . On obtient pour v = 2 2 (4p)!

+

2! (4p - 2)! =1+2

(4p)! (p + 2)! (3p - 2)[

(4p)! (4p)! + p! (3p)! (2p)! 2

ce qui r e v i e n t / t 0 = I (~).

+

(4p)! (2p + 2 ) ! ( 2 p -

+ 2)!

(4p)! (3p + 2)! (p - 2)!

230

J. C O U G N A R D

ARCH. MATH.

On obtient donc to > 4p + 1, or l'6tude de la condition (8) pour to > 4p + I faite dans [4] montre que to divise (4p + 1) (4p + 2) (4p + 3), 6tant donn6es les conditions que nous avons c'est que to = 4p + 1. L'article de J.-J. Payan cit6 pr6c6demment montre que si N/k est sauvagement ramifi6 et p + 5, Z N n'est pas 2gk-monog~ne. On peut donc conclure: Th~or~me 2. Si N est une extension dikdrale de degrk 2p (p premier) contenant Q ( x / - 1), pour que 2gN = 2g [0] il faut soit que p = 5 et que les idOaux au-dessus de 5 dans ~g [ x / - 1] soient les seuls ramifiks dans N/ff).(~- i) soit que to = 4p + 1 soit premier et que

les id~aux au-dessus de to dans ~[x/~- 1] soient les seuls ~ ~tre ramifies dans N / ~ ( ~ - ~ ) . 3 ~me possibilitY: k = ~ ( x / ~ - 3 ). On doit prendre t = 6, on est encore dans le cas A. Le nombre premier to doit v6rifier

lacon ru nc -( ) ,or =(-1)

2

=(-a)

(-1)

:

.

L'6tude de ~ - : ( ~ t ( p ) p e r m e t d'61iminer comme pr6c~demment les valeurs 2 p _ 1, x

/

4p 4- 1. La premi6re valeur possible est alors 6p - 1. On 6crit encore la condition (8) pour i = 2, i'= 1 et on pose Z(a) = [, on est alors conduit ~t: 5

5 up+v = up C6p -- ~ C6p(to) u=O u=O

qui pour v = 2 donne 0 - 1 (f). I1 faut donc que f > 6p + 1 ; la discussion qui pr6c6de la proposition 1 de [4] montre qu'alors to divise (6p + 1) (6p + 2) (6p + 3) (6p + 4) (6p + 5) la seule valeur possible compte tenu des congruences de to est to = 6p + 1. On sait de plus (cf. [6]) que si N / Q ( ~ - 3) est sauvagement ramifi6e et p 4= 7, 2gN n'est pas 2gk-monog6ne. On peut donc conclure: / Th~or~me 3. Soit N une extension dikdrale de degrk 2p (p premier) eontenant ff~(x~- 3) pour que 7Zu = 7Z[0] il faut soit que p = 7 et seuls des id~aux au-dessus de 7 et 43 soient ramifies dans N/(D(x/- 3) soit p =l=7, 6p + 1 premier et seuls les id~aux au-dessus de

6p + l dans 2g[l + x / - 3] s~

ramifi~s dans N/ff)(x~-

R e m a r q u e s. On a remplac6 dans ce travail les propri&bs des sommes de Gauss utilis6es dans [3] par des propri6t6s galoisiennes de 2gN; des propri6t6s analogues [2] existent pour N/if) di6drales de degr6 2p", on peut donc esp6rer g6n6raliser/t ces extensions les th6or6mes ci-dessus.

Bibliographie [1] A.-M. BERGE,Sur l'arithm6tique d'une extension di6drale. Ann. Inst. Fourier Grenoble 2, 31-59 (1972). [2] J. COUG~ARD,Propri6t6s locales et globales de certaines extensions m6tacycliques. Ann. Inst. Fourier Grenoble 32, 1-12 (1982).

Vol. 48, 1987

Extensions di6drales et monogen6it6

231

[3] M.-N. GRAS,Non monog6n6it~ de l'anneau des entiers des extensions cycliques de Q de degr6 premier ~ > 5. J. Number Theory, 23, 347-353 (1986). [4] M.-N. GRAS,Non monog6n6it6 de l'anneau des entiers de certaines extensions ab61iennes de Q. Publ. Math. Fac. Sci. Besangon 1983-1984. [5] J. MARTINET,Sur l'arithm6tique des extensions galoisiennes fi groupe de Galois di6dral d'ordre 2p. Ann. Sci. Fourier Grenoble 19, 1-80 (1969). [6] J.-J. PAYAN,Sur les classes ambiges et les ordres monogbnes d'une extension cyclique de degr6 premier impair sur Q ou sur un corps quadratique imaginaire. Ark. Math. 11, 239-244 (1973). Eingegangen am21.11.1985 Anschrift des Autors: Jean Cougnard U.A.-C.N.R.S. n ~ 741 Facultb'des Sciences de Besangon 25030 Besangon Cedex